采用小波变换实现图像压缩编码

目录第一章前言 (1)1.1图像压缩的必要性 (1)1.2图像压缩原理 (1)1.3小波变换编码的发展现状 (1)1.4论文内容结构 (2)第二章小波变换的基本理论 (3)2.1 连续小波变换 (3)2.2 离散小波变换 (4)2.3小波包分析 (5)第三章用Matlab实现具体图像的压缩编码 (9)3.1 基于小波变换的图像局部压缩 (9)3. 2 利用二维小波变换进行图像压缩 (11)3. 3 基于小波包变换的图像压缩 (16)第四章对小波变换图像压缩编码的总结和展望 (19)第五章结束语 (20)参考文献： (21)致谢 (22)摘要：随着多媒体通信和计算机通信网的快速发展，图像传输已成为重要的通信内容，无论是图像数据的传输还是存储，都要求对图像数据进行压缩，以减少图像通信的数据量和图像存储的空间。

根据目前网络多媒体通信技术的现状和发展趋势，在将来相当长的一段时间内，数字化的媒体数据以压缩形式存储和传输势在必行。

基于小波变换的图像压缩技术采用多尺度分析, 因此可根据各自的重要程度对不同层次的系数进行不同的处理,图像经小波变换后，并没有实现压缩，只是对整幅图像的能量进行了重新分配。

事实上，变换后的图像具有更宽的范围，但是宽范围的大数据被集中在一个小区域内，而在很大的区域中数据的动态范围很小。

小波变换编码就是在小波变换的基础上，利用小波变换的这些特性，采用适当的方法组织变换后的小波系数，实现图像的高效压缩的。

关键词:小波分析；图像压缩；MATLABABSTRACT：As multimedia communications and the rapid development of computer communication network, the image transfer has become an important content of the communication, either transmission or storage of image data, the image data are required to be compressed to reduce the image data amount of communication and an image memory space . According to the current network multimedia communication technology status and development trend in the future for a long period of time, the digitized media data stored and transmitted in compressed form is imperative.Wavelet-based image compression technology uses multi-scale analysis, it can be according to their degree of importance on different levels for different coefficients processing, image by wavelet transform, and did not achieve compression, but the energy of the whole image has been re-assignment. In fact, the converted image has a wider range, but a wide range of large data is concentrated in a small area, while a large dynamic range of the data area is small. Wavelet transform coding is based on the wavelet transform, wavelet transform these characteristics, using appropriate methods organization transformed wavelet coefficients, to achieve efficient image compression.Key words: Wavelet Transform;Image Compression;MATLAB第一章前言1.1图像压缩的必要性图像数字化后，其数据量非常庞大，例如，对于640*480像素的彩色图像，如果每个像素的位深度为24，即24bit/像素，按照30帧/s的速度进行播放，则一张650M的光盘只能存储大约24s左右的播放画面。

当前随着多媒体通信和计算机通信网的快速发展，图像传输已成为重要的通信内容，无论是图像数据的传输还是存储，都要求对图像数据进行压缩，以减少图像通信的数据量和图像存储的空间。

根据目前网络多媒体通信技术的现状和发展趋势，在将来相当长的一段时间内，数字化的媒体数据以压缩形式存储和传输将势在必行。

在多媒体计算机系统，电子出版，视频会议，数字图书馆等众多领域数字图像都有着广泛的应用。

然而，大数据量的图像，使存储成本变高，而现在的网络环境不能满足多媒体通信的需求。

在此背景下，图像编码理论迅速发展了起来，并且越来越受到广泛的关注。

1.2图像压缩原理对于给定的任何图像，图像都能分解成一个轮廓信号（低频子图）和水平、垂直、对角线三个方向上的细节信号（高频子图），相应的轮廓信号又可以进一步分解。

而图像的主要能量部分是低频部分，而且人眼视觉系统对低频部分更为敏感，所以可以对低频部分进行低压缩比，对高频部分相应采用较高压缩比，最终再将所有的分量进行图像重构，重构后的图像即是预期压缩处理后的图像。

1.3小波变换编码的发展现状小波分析诞生于20世纪80年代, 被认为是调和分析即现代Fourier分析发展的一个崭新阶段。

众多高新技术以数学为基础,而小波分析被誉为“数学显微镜”,这就决定了它在高科技研究领域重要的地位。

目前, 它在模式识别、图像处理、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。

但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。

其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。

换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。

所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。

而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。

1.4论文内容结构本文首先介绍了小波变换的基本理论，包括连续小波变换，离散小波变换和小波基。

然后用MATLAB实现具体图像的压缩编码，包括基于小波变换的图像局部压缩，利用二维小波变换进行图像压缩，基于小波包变换的图像压缩。

第二章 小波变换的基本理论2.1 连续小波变换定义：设)()(2R L t ∈ψ，其Fourier Transform 为)(ˆωψ，当)(ˆωψ满足条件时， ∞<=⎰R d C ωωωψψ2)(ˆ (2-1) 我们称)(t ψ为一个基本小波（或者母小波）。

)(1)(,ab t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2-2) 将母函数)(t ψ 伸缩和平移后获得一个小波序列。

其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。

对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为dt ab t t f af b a W R b a f )()(,),(2/1,->==<⎰-ψψ (2-3) 其逆变换（重构公式）为⎰⎰∞∞-∞∞--=dadb a b t b a W a C t f f )(),(11)(2ψψ (2-4)∞<⎰∞∞-dt t )(ψ (2-5))(ˆωψ是一个连续函数。

在原点)(ˆωψ必须等于0，即 0)()0(ˆ==⎰∞∞-dt t ψψ (2-6) 既满足逆变换条件式，又满足（2-7）式子稳定性条件的小波)(t ψ的Fourier Transform ，可以实现信号重构在数值上的稳定：∑∞∞--≤≤B A j 2)2(ˆωψ(2-7)式中。

2.2 离散小波变换连续小波变换中的尺度伸缩参数和平移参数都是连续变化的实数，在应用中需要计算连续积分，在处理数字信号时很不方便，因此连续小波变换),(b a W f 只用于理论分析与论证。

在实际数值计算中常采用离散形式，即离散小波变换（DWT ）。

离散形式都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的。

而不是针对时间变量t 的。

这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。

在连续小波)(,t b a ψ中，考虑函数：)()(2/1,ab t a t b a -=-ψψ 这里R b ∈，+∈R a ，且0≠a ，ψ是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值，这样相容性条件就变为∞<=⎰∞ωωωψψd C 0)(ˆ (2-8) 通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散公式分别取作j a a 0=，这里Z j ∈，扩展步长10≠a 是固定值，假定10>a 。

所以相应的离散小波函数)(,t k j ψ就可以写成： )()()(002/00002/0,kb t a a a b ka t a t j j j j j k j -=-=---ψψψ (2-9) 离散形式小波变换系数为：>=<=⎰∞∞-k j k j k j f dt t t f C ,*,,,)()(ψψ (2-10) 它的重构公式是：∑∑∞∞-∞∞-=)()(,,t C C t f k j k j ψ (2-11)C 是一个常数，它与信号无关的。