北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力做的功到平面向量的数量积
a b 4
2
2
1 2
2 1 当且仅当a b 2时, S有最大值, 此时 cos a b 2 2 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范围
a b 1 4 16 4 2 2
2
进行向量数量积 计算时,既要考 2 虑向量的模,又 或 AB CD AB 16 要根据两个向量 3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。 1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
特别地, a a a 或 a a a
2
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则a b x1 x2 y1 y2 0
内积为零是判定两向量垂直的充要条件
用于计算向量的模 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么
PM PN
1点P的轨迹是什么曲线? 2若点P坐标为x0 , y0 , 记为PM与PN的夹角, 求 tan .
1 x0 2 y02 1 x0 2 y02
1
2 4 x0
0
0
2 2 2 2 2 2 x0 y0 2 x0 1 x0 y0 2 x0 1 16 4 x0 2 4 x0
cos
PM PN PM PN
2
0
tan sin cos 1 1 2 4 x0
2 3 x0 y 0
1 sin 1 cos 1 2 4 x0
1 2 4 x0
求 : 1. AD BC
2.AB CD
3.AB DA
D
C
AD与BC的夹角为 . 0 AD BC AD BC cos0 3 3 1 9
60
A 120 B
2. AB与CD平行, 且方向相反
AB与CD的夹角是 180
或 AD BC AD 9
所以点P的横坐标的取值范围为 x 3 0
小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、 运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
2．利用平面向量的数量积运算来解决一些实际 问题.
四、作业布置
2 2
1.已知 a 1, b 4, a b a 0, 则a与b的夹角是 :
A.90
1 2
2
2
a b cos ab
A
1 1 OA OB sin a b 1 cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 a b a b cos a b a b 2
a
a b
2
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量下列结论正确的是 , :
B
D.a b 0
A.a b 1
3.设向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 有下列命题: 1 a x12 y12 ,
B.a b
2
C.a平行b a b
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
2 2
2
3
例4. 已知两点M 1,0, N 1,0, 且点P使MP MN ,
解 : 记Px, y ,由M 1,0, N 1,0得
PM PN, NM NP
公差小于零的等差数列求点P的横坐标的取值范围 , ?
PM 1 x, y , PN 1 x, y, MN 2,0
B.60 C.120
D.150
2.已知 a 3, b 5, 且a b 12, 则b在a的方向上投影为___
3. 已知向量x与a 2,1共线, 且a x 18, 则x的坐标为_________
4.已知a与b的夹角为 且 a 3, b 1, 求向量p a b与q a b的夹角的余弦 30 .
MP MN 21 x, PM PN x2 y 2 1, NM NP 21 x,
于是MP MN, PM PN, NM NP是公差小于零的等差数 列等价于 1 2 x y 2 1 21 x 21 x x 2 y 2 3 2 即 21 x 21 x 0 x 0
W F S | F || S | cos
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
1a b a b 0
当a 0时, a b 0, 不能推出b 0
2.当a与b同向时, a b a b ;当向量a与b反向时, a b a b
5.已知平面四边形 ABCD中, AB a, BC b, CD c, DA d , 且a b b c c d d a, 试判断四边形 ABCD的形状特征 .
6.若a cos , sin , b cos , sin , 且 k a b 3 a k b k 0
1用k表示数量积a b 2求a b的最小值, 并求此时a与b的夹角 .
例4.已知两点M 1,0, N 1,0, 且点P使MP MN , PM PN, NM NP 成公差小于零的等差数 列
解2点P的坐标为 x0 , y0 , PM 1 x0 , y0 , PN 1 x0 , y0 , 2 2 2 PM PN 1 x0 1 x0 y0 x0 y0 1 2, x 2 y 2 3
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是 （A） A．-1 B.0 C.1 D.2
三、典型例题分析
如图 例1、 , 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60 ,
解: 1因为AD与BC平行且方向相同 ,
北师大版高中数学必修4 第二章《平面向量》
从力做的功到平面向量的数量积
一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平 面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数 量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些 简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识 （“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮 助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题， 培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同 学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生 进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数 量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 :重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义； 运算律.难点: 运算律的理解 三.学法与教法 (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应 用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
一、知识复习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
其中：பைடு நூலகம்a 0, b 0
是a和b的夹角 ,范围是0
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
规定: 0 a 0
数量积的坐标公式： 其中：
a b x1x2 y1 y2
a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
2 2 x12 y12 x2 y2
2
4. a b a b
2 2 证明柯西不等式特例 : x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 y2
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a) b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b) c a c b c
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
例2、 已知 a 5, b 4, 且a与b夹角为60 ,问k为何值时,
解: k a b a 2b k a b a 2b 0
k a 2k 1a b 2b 0
, 例3、已知OA a, OB b, a b a b 2,当AOB的面积有最大值时 求a与b的夹角 2 2 解 : 因为a b 2, 所以a 2a b b 4
B
b
O
a b 4 2a b 4 2 2 8
S AOB 1 2
2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a
A
O
a b b a cos
| b | cos
a b b a
数量积a b等于a的长度a 与b在a的方向上的投影数量 cos的乘积. b
3、数量积的物理意义： F
F cos
S
如果一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力F所做的功W F s 可用公式计算:
设a x, y , 则 a x 2 y 2
a
x1 x2 2 y1 y2 2 .
a b .
这就是平面内两点间的距离公式
3. cos
ab 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则 cos
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高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积
1234
【做一做
4-2】
若
e
1,e2
是夹角为
π 3
的单位向量,
且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则 a·b=( )
A.1
B.-4
C.−
7 2
D.
7 2
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】
如图,在▱ABCD 中,|������������| = 4, |������������| = 3,∠DAB=60°,求: (1)������������ ·������������; (2)������������ ·������������; (3)������������ ·������������; (4)������������ 在������������ 方向上的射影.
夹角为( )
A. π
B. π
C. π
D. π
6
4
3
2
答案:C
【做一做3-2】 已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则|a-
b|=
.
解析:|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 60°+|b|2=7,则
|a-b|= 7.
答案: 7
1234
4.运算律 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)a·(b+c)=a·b+a·c. 【做一做4-1】 下列运算中不正确的是( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c) 答案:D
北师大版数学必修四课件：2.5从力做的功到向量的数量积
r r ； (1)求 a gb
r
r
(2)求 a 在 b 上的射影.
r r 及 【审题指导】已知向量a , b 的模及其夹角，求 a a gb
在 b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何 意义求解便可.
【规范解答】(1) Q a 5, b 4, a 与 b 的夹角θ=120°，
r r r r a gb a b cos 5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10. 2
求:
u r r (1) 2 的值； u r r (2) 2 的值.
u r r 【审题指导】利用 2
u r r 2 u r r 2 ， 2
u r r 2
2
分别求解.
【规范解答】由题意可知 g 2 0， 结合 1, 4,
思想计算cosθ 的值.
向量的夹角与向量所在直线所成的角不同，前
者的范围是［0,π］，而后者的范围是 ［0, ］ . 2
r ur 【例3】设 n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向
量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角.
r ur 【审题指导】 n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其 r 数量积，又向量 a,b 均由向量 n 和 m 线性表示，待求向量
求向量的模 求向量的模的常见思路及方法： 1.求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵 活应用 a a , 勿忘记开方.
r2 r r2 r
2. a ga a 2 a 或 a a 2 ， 此性质可用来求向量的模，可以
实现实数运算与向量运算的相互转化.
r r
r
r
(2)求 a 在 b 上的射影.
r r 及 【审题指导】已知向量a , b 的模及其夹角，求 a a gb
在 b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何 意义求解便可.
【规范解答】(1) Q a 5, b 4, a 与 b 的夹角θ=120°，
r r r r a gb a b cos 5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10. 2
求:
u r r (1) 2 的值； u r r (2) 2 的值.
u r r 【审题指导】利用 2
u r r 2 u r r 2 ， 2
u r r 2
2
分别求解.
【规范解答】由题意可知 g 2 0， 结合 1, 4,
思想计算cosθ 的值.
向量的夹角与向量所在直线所成的角不同，前
者的范围是［0,π］，而后者的范围是 ［0, ］ . 2
r ur 【例3】设 n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向
量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角.
r ur 【审题指导】 n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其 r 数量积，又向量 a,b 均由向量 n 和 m 线性表示，待求向量
求向量的模 求向量的模的常见思路及方法： 1.求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵 活应用 a a , 勿忘记开方.
r2 r r2 r
2. a ga a 2 a 或 a a 2 ， 此性质可用来求向量的模，可以
实现实数运算与向量运算的相互转化.
r r
北师大版必修4高中数学第2章平面向量5从力做的功到向量的数量积
a 与 b 反向
θ＝_9_0_° a 与 b 垂直，记作__a_⊥__b_，规定_0_可与任一向量垂直
思考 1：△ABC 为正三角形，设A→B＝a，B→C＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？
[提示] 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD， 则B→D＝a，
∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量 a 与 b 的夹角为 120°.
A.]
2．已知三角形 ABC 中，B→A·B→C<0，则三角形 ABC 的形状为( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
A [∵B→A·B→C＝|B→A|·|B→C|·cos B<0，
∴cos B<0，又∵B 为△ABC 的内角．
∴2π<B<π.]
3．已知向量|a|＝2，|b|＝2，a·b＝1，则|a－b|＝( )
算律解决涉及长度、夹角、平行、 垂直的问题．提升数学运算素养.
垂直的几何问题．(难点)
自主预习 探新知
1．向量的夹角
定义 已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫作向量 a 与 b 的夹角
范围
0°≤θ≤180°
θ＝0_°_
a 与 合作探究 提素养
求向量的数量积 【例 1】 已知|a|＝4，|b|＝5，且 a 与 b 的夹角为 60°. 求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2. [解] 由题知 θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21. (4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.
高中数学第二章平面向量25从力做的功到向量的数量积课件北师大版必修4
∴a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9， ∴12λ－18＝0，即 λ＝32.
规律方法 根据向量垂直的条件即数量积等于 0 可建立参数 的方程，从而可求得参数的值或找到参数之间的函数关系．
已知|a|＝2，|b|＝1，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝a＋5b，d ＝ma－2b.当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120° ＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－ 3|b|2＝8－15－27＝－34.
【解】 (1)a 在 b 方向上的射影为
|a|cosθ＝5cos150°＝－5
2
3 .
a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos150°＝－10 3.
(2)b 在 a 方向上的射影为|b|cosθ＝a|a·b| ＝96＝32.
∵cosθ＝|aa|·|bb|＝6×9 3＝12，∴θ＝60°.
规律方法 向量 b 在 a 方向上的射影只与向量 b 的模及向量 a 和 b 的夹角有关，而与向量 a 的模没有关系．
类型三 向量的夹角
【例 3】 已知 a，b 是非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|， 求 a 与 a＋b 的夹角．
【思路探究】 依据条件，可以利用向量的数量积定义求解， 也可以利用向量加法运算的几何意义求解．
【解】 解法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2.
又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
规律方法 根据向量垂直的条件即数量积等于 0 可建立参数 的方程，从而可求得参数的值或找到参数之间的函数关系．
已知|a|＝2，|b|＝1，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝a＋5b，d ＝ma－2b.当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120° ＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－ 3|b|2＝8－15－27＝－34.
【解】 (1)a 在 b 方向上的射影为
|a|cosθ＝5cos150°＝－5
2
3 .
a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos150°＝－10 3.
(2)b 在 a 方向上的射影为|b|cosθ＝a|a·b| ＝96＝32.
∵cosθ＝|aa|·|bb|＝6×9 3＝12，∴θ＝60°.
规律方法 向量 b 在 a 方向上的射影只与向量 b 的模及向量 a 和 b 的夹角有关，而与向量 a 的模没有关系．
类型三 向量的夹角
【例 3】 已知 a，b 是非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|， 求 a 与 a＋b 的夹角．
【思路探究】 依据条件，可以利用向量的数量积定义求解， 也可以利用向量加法运算的几何意义求解．
【解】 解法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2.
又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
北师大版数学必修四课件：第2章§5 从力做的功到向量的数量积
a·b =| a|| b |cosθ=
2 ×2×cos45°= 2.
思考4
数量积的几何意义是什么？
B
b
O
| b | cos
a b a b cos
a
A
a b b a cos
a b b a
a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上投影 b cos 的乘积， 或b的长度 b 与a在b方向上投影 a cos 的乘积.
【特别提醒】
1. a a a
2
ur uu r 2.若 e , e 是单位向量,则 1 2
e1 e2 e1 e2 cos cos
单位向量 是一种特 殊的向量 哟！
【重要性质】
r 1.若 e 是单位向量，则 r r r r r e a a e a cos . r r r r 2. a b a b 0.
（1）任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向 量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换 律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们 自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？ 如果可以,结果又如何呢？
（2）我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产 生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算: W=|F||S|cosθ ,其中θ 是F与S的夹角.
当0°≤θ ＜90°时，W＞0, 即力F做正功； 当θ ＝90°时，W＝0，即力F不做功； 当90°＜θ ≤180°时，W＜0，即力F做负功. 从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
b
思考1 如何定义向量的夹角？
W = F S =| F || S| cosθ
高中数学北师大版必修四 从力做的功到向量的数量积 课件(35张)
一定一样．
1．点的坐标与向量的坐标的区别
(1) 向量 a ＝ (x ， y) 中间用等号连接，而点的坐标 A(x ， y) 中 间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与 向量终点的坐标相同． (3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可 表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结
合思想的运用．
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a
－b,3a,2a＋3b的坐标． 解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．
(λx，λy) ，即实数与向 若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_________
量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 __________
→ → 向量的坐 已知向量AB的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则AB＝ (x2－x1，y2－y1) ，即一个向量的坐标等于表示此向 ________________ 标 终点 的坐标减去______ 起点 的相应坐标 量的有向线段的______
平面向量的坐标表示
→ 如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA| → ＝4 3，∠xOA＝60° ，求向量OA的坐标．
思路点拨：结合三角函数定义，求出点 A 的坐标，进而求 → 出OA的坐标．
y 解：如图所示，利用三角函数的定义，可得 sin 60° ＝ ， → |OA| x cos 60° ＝ ， → |OA|
高中数学-第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4
25
π
b=|a||b|cos θ=5×5×cos = ,
a·
3
2
=
所以|a+b|= ( + )2 = 2 + 2 + 2·
25 + 25 + 25=5 3.
|a-b|= (-)2 =
=
2 + 2 -2·
25 + 25-25=5.
(2)由2 =16,得| |=4,又| + |=| −
1
因此 cos θ=- ,从而 θ=120°.选 C.
2
答案:C
(2)解:如图所示,在平面内取一点 O,作=a, =b,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,使||=| |,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时=a+b,=a-b.
)
(2)向量的数量积运算满足(a·
b)·
c=a·
(b·
c). (
)
(3)已知 a≠0,且 a·
c=a·
b,则 b=c. (
)
(4)在△ABC 中,| |=5,| |=6,∠ABC=60°,则 · =15.
(
)
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos θ1=|b|·|c|cos θ2.
∵c≠0,∴|a|cos θ1=|b|cos θ2.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的
π
b=|a||b|cos θ=5×5×cos = ,
a·
3
2
=
所以|a+b|= ( + )2 = 2 + 2 + 2·
25 + 25 + 25=5 3.
|a-b|= (-)2 =
=
2 + 2 -2·
25 + 25-25=5.
(2)由2 =16,得| |=4,又| + |=| −
1
因此 cos θ=- ,从而 θ=120°.选 C.
2
答案:C
(2)解:如图所示,在平面内取一点 O,作=a, =b,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,使||=| |,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时=a+b,=a-b.
)
(2)向量的数量积运算满足(a·
b)·
c=a·
(b·
c). (
)
(3)已知 a≠0,且 a·
c=a·
b,则 b=c. (
)
(4)在△ABC 中,| |=5,| |=6,∠ABC=60°,则 · =15.
(
)
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos θ1=|b|·|c|cos θ2.
∵c≠0,∴|a|cos θ1=|b|cos θ2.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的
2.5从力做的功到向量的数量积 线上课程课件-北师大版高中数学必修4
同理可得 a b 2 7
探究新知
7.向量数量积的运算律 思考 数量积作为一种运算 , 有怎样的运算律呢?
运算律 实数乘法
向量的数量积
交换律
ab ba
ab ba
结合律 (ab)c a(bc)
(a b) c a (b c)
(a) b a (b) a b
分配律 (a b)c ac bc
a B1 A
B
B
B
b
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时 , b cos 0
B1
OaA
θ为钝角时 , b cos 0
O(B1) a
A
θ为直角时 , b cos =0
探究新知
4.向量数量积的几何意义
a 与b 的数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos 的乘积 , 或 b 的长度 b 与 a 在 b 方向上的射影 a cos 的乘积.
性质(5) 对任意两个向量 a, b , 有 a b a b .
当且仅当 a∥b 时等号成立.
例题讲解 例2 已知 a 3, b 4,且 a与 b的夹角 60 , 求 a b 和 a b .
解 a b (a b)2
2
2
a 2a b b
62 2 6 4 cos 60 42
76 2 19
解 ka b a 2b, ka ba 2b 0,
2
ka
2k
1 a b
2
2b
0,
解得 k 14 , 15
所以 ,当 k 14 时 , ka b a 2b . 15
a
B
注意:在两向量的夹角定义中 , 两向量必须是同起点的.
b
高中数学北师大版必修四《第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积》课件PPT
重要性质： 1.若 是单位向量，则： 2. 3. 4. 5. 当且仅当 ∥ 时等号成立.
问题5 数量积的物理意义是什么？
F
S
如果一个物体在力 F 的作用下产生位移s ,那么力 F 所做的功W 可用公式计算:
W F s | F || s | cos
探究点2 向量的数量积的运算律
(1)a b b a; (2)(a) b (a b) a (b);
( )×
（3）已知 b 为非零向量,因为0×a = 0，a ·b= 0,
所以 = a 0.
()
×
(4) abc abc.
()
×
2.△ABC中，
则该三角形为(C)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】由
知∠ABC为锐角；
由
知,∠ACB为钝角.
3．（2015·四川高考）设四边形 ABCD 为平行四边形，
向量法证明几何问题的步骤： 1.将三角形的边用有向线段表示. 2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量 之间的关系. 3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.
例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.
证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于D
C
AC = AD + AB, BD = AD - AB
O
可得
AC BD = (AD + AB) (AD - AB)
(AD)2 - (AB)2
A
B
2
2
= AD - AB
=0，
所以，AC BD.
即菱形的两条对角线互相垂直.
【提升总结】
证明线段垂直的方法：
1.取两个不共线的向量作基底.
高中数学北师大版必修4第二章《从力做的功到向量的数量积》word教案
从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。
●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。
本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。
（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。
（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。