高三数学教案：数列极限的运算法则

数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。

教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0
B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)
()(lim 0
x g x f x x ＿＿＿
[]=→)().(lim 0
x g x f x x ＿＿＿＿，=→)
()
(lim
x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(lim
B A b a n n n .).(lim =∞
→ )0(lim
≠=∞→B B A
b a n
n n
推广：上面法则可以推广到有限．．
多个数列的情况。

例如，若{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 有极限，
则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
二.例题：
例1.已知,5lim =∞
→n n a 3lim =∞
→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞
→
例2.求下列极限： （1）)45(lim n
n +
∞
→； （2）2)11
(lim -∞→n n
例3.求下列有限：
（1）1312lim
++∞→n n n （2）1
lim 2-∞→n n
n
分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，
上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限： （1） )1
1
2171513(
lim 2
222+++++++++∞
→n n n n n n （2）)39312421(
lim 1
1
--∞→++++++++n n n
说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。

当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

练习与作业：
1.已知,2lim =∞
→n n a 3
1
lim -
=∞
→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞
→； （2）n
n
n n a b a -∞→lim
2.求下列极限： （1）)1
4(lim n
n -
∞
→； （2）n
n 3
52lim
+
-∞→。

3.求下列极限 （1）n n n 1lim +∞→； （2） 2
3lim -∞→n n
n ；
（3）2
123lim n n n --∞→； （4）1325lim 22--∞→n n n n 。

4.求下列极限
已知,3lim =∞
→n n a ,5lim =∞
→n n b 求下列极限：
（1）. ).43(lim n n n b a -∞
→ （2）. n
n n
n n b a b a +-∞→lim
5.求下列极限:
（1）. );27(lim n n -∞
→ （2）. )51
(
lim 2
-∞
→n n
（3）. )43
(1lim +∞→n n n (4).11
1
1lim -+∞→n
n n
(5). 2
2321lim n n n ++++∞→ (6).11657lim
-+∞→n n
n
(7). 91lim 2-+∞→n n n （8）)1412lim(22n n n
n +-+∞→
（9）n
n n 3
1913112141211lim ++++++++
∞→ （10）.已知,2lim =∞→n
n a 求n
n n a n a n -+∞→lim。