3 渐进符号与递归式
算法渐进表达式的求法
算法渐进表达式的求法算法渐进表达式是用来描述算法时间复杂度的一种数学表示方法，通常使用大O记号表示。
算法渐进表达式可以帮助我们分析和比较不同算法的时间效率，从而选择最优解决方案。
求解算法渐进表达式需要考虑以下几个因素：1.基本操作数量在分析算法的时间复杂度时，需要确定一个基本操作的数量。
基本操作是指执行一次运算所需的最小单位操作数。
例如，在排序算法中，比较两个元素就是一个基本操作。
2.输入数据规模输入数据规模也是影响算法时间复杂度的重要因素。
通常情况下，输入数据规模越大，算法所需的时间就越长。
3.最坏情况下的执行次数在分析算法时间复杂度时，需要考虑最坏情况下执行次数。
这是因为在实际应用中，我们需要保证算法总是能够在最坏情况下保证正确性和效率。
4.运行时间增长率运行时间增长率是指随着输入数据规模n增加，算法所需运行时间的增长速度。
通常情况下，我们关注最高次项系数即可。
根据以上因素，可以使用以下步骤求解算法渐进表达式：1.确定基本操作数量首先需要确定算法中的基本操作数量。
这通常需要对算法进行逐行分析，找出执行次数最多的操作。
例如，在冒泡排序算法中，比较两个元素是一次基本操作，交换两个元素是两次基本操作。
2.确定最坏情况下的执行次数在分析算法时间复杂度时，需要考虑最坏情况下执行次数。
这可以通过对算法进行逐行分析并计算每行代码的执行次数来得出。
例如，在冒泡排序算法中，最坏情况下需要比较n-1轮，每轮比较n-i-1次，因此总共需要比较(n-1)+(n-2)+...+1 = n*(n-1)/2 次。
同时还需要进行交换操作，最坏情况下也需要进行(n-1)*(n-2)/2 次交换。
3.计算运行时间增长率根据基本操作数量和最坏情况下的执行次数，可以计算出运行时间增长率。
通常情况下，我们只关注最高次项系数即可。
例如，在冒泡排序算法中，总共需要进行约(n^2)/2 次基本操作（比较和交换），因此时间复杂度为O(n^2)。
算法效率分析基础
这个最差值 Cworse(n)。后面讲到，通过确定算法运行时间的上界，分析 最坏情况为算法效率提供一个非常重要的信息。也即，对于任何规模 n
的实例来讲，它保证算法运行时间不会超过最坏输入情况下的运行时间
—— Cworse(n)。（最差效率分析的价值） 2 最优效率：
顺序查找： Cworse(n) = n
算法设计与分析
计算机与信息学院
★ 使用教材
作者：（美）Anany Levitin 译者：潘彦 出版社：清华大学 丛书名：国外经典教材·计算机
科学与技术
2
第 2章 算法效率分析基础
★ 算法效率分析框架 ★ 渐进符号和基本效率类型 ★ 非递归算法效率分析 ★ 递归算法效率分析
★ 算法效率分析框架
本节将概要地描述一个分析算法效率的一般性框架。 时间效率指出算法运行得有多快；空间效率关心算法需要的额外空间。 目前，随着计算机硬件技术的飞速发展，空间效率已不是关心重点。 因此，我们主要关心的是时间效率。
当然，有些情况下，怎样选择输入规模参数是有差别的。例如计算两个 n 阶矩阵的乘积，有两种度量输入规模的方法：
第一种方法：选择矩阵的阶 n ； 第二种方法：选择参与乘法运算的所有元素个数。 第二种方法更具一般性，适用于非方阵。 对于选择不同的输入规模，其算法效率在含义上有所差别。 选择输入规模参数的合适量度，会受到算法操作细节的影响。例如： 对于一个检查文字拼写的算法，如果算法要求对每个字符都要检查， 那么应该用字符数作为输入规模度量；如果算法操作的是单词，那么 选择单词数作为输入规模的度量。 若算法与数字特性（数字的大小）相关，那么在度量它的输入规模时， 计算机科学家倾向于选择数字的二进制位数作为输入规模的度量。
则为 n(1-p)。因此，算法平均效率：
可计算性与计算复杂性导引第二版教学设计
可计算性与计算复杂性导引第二版教学设计课程概述本课程主要介绍可计算性和计算复杂性理论的基本概念和方法，旨在帮助学生理解计算机科学的核心思想和方法，培养学生的计算思维和解决问题的能力。
课程目标1.了解可计算性和计算复杂性理论的基本概念和方法。
2.了解主要的计算模型和算法设计技术。
3.学会分析算法的时间和空间复杂度。
4.学会证明计算问题的不可解性和不可近似性。
5.培养学生的抽象思维和解决问题的能力。
教学内容1.可计算性理论介绍可计算性理论的基本概念，包括图灵机、递归函数、停机问题、可计算函数和不可计算函数等。
2.计算复杂性理论介绍计算复杂性理论的基本概念，包括时间复杂度、空间复杂度、P、NP、NP 完全问题、NP难问题等。
3.算法设计介绍常见的算法设计技术，包括贪心、动态规划、分治、回溯、随机化等。
4.算法分析介绍算法分析的基本方法和技巧，包括渐进符号、递归方程、对数级数等。
5.不可解性与不可近似性介绍一些经典的不可解性和不可近似性结果，包括halting problem、cook定理、PCP定理等。
教学方法本课程采用理论讲授和实践演练相结合的方式进行教学。
1.理论讲授通过讲授理论知识和解释实例，介绍可计算性和计算复杂性理论的基本概念和方法。
2.实践演练通过设计算法，分析算法复杂度，并完成一些经典问题的求解，锻炼学生的算法分析和实现能力。
教学评估1.平时成绩：作业和实验占比30%，课堂表现占比20%，出勤占比10%。
2.考试成绩：闭卷笔试，占比40%。
3.课程设计和报告：占比10%。
学生需要设计一个算法或证明一个不可解性或不可近似性定理，并完成一篇报告。
参考书目1.Sipser, M. (2012), Introduction to the Theory of Computation, 3rd edition, Cengage Learning.2.Papadimitriou, C. (1994), Computational Complexity, Addison-Wesley.3.Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms, 3rd edition, MIT Press.结语通过本课程的学习，学生可以深入了解计算机科学的核心理论，掌握算法设计和分析技术，以及认识到一些计算问题的不可解性和不可近似性。
递归公式的渐进上下界 定理解析
递归公式的渐进上下界定理解析
递归公式的渐进上下界是用来估计递归算法的时间复杂度的重
要工具。
该定理通过比较递归算法的递推公式与一些已知的递归关系，给出了递归算法时间复杂度的上下界。
递归公式的渐进上下界定理通常分为两个部分：渐进上界定理和渐进下界定理。
渐进上界定理：给定一个递归算法的递推公式，如果存在一个函数g(n)，使得递推公式的解f(n)满足f(n)<=g(n)，那么递推公式的时间复杂度的渐进上界为O(g(n))。
渐进下界定理：给定一个递归算法的递推公式，如果存在一个函数h(n)，使得递推公式的解f(n)满足f(n)>=h(n)，那么递推公式的时间复杂度的渐进下界为Ω(h(n))。
通过这两个定理，我们可以得到递归算法的时间复杂度的渐进界。
具体的做法是，通过求解递推公式的解，并找到合适的上界函数和下界函数，然后使用大O和Ω符号来表示递归算法的时间复杂度的上下界。
需要注意的是，渐进上界和渐进下界是针对最坏情况下的时间复杂度的估计。
在实际应用中，我们通常更关心的是平均情况下的时间复杂度，这就需要更加详细的分析和估计。
算法渐进表达式的求法
算法渐进表达式的求法算法渐进表达式是用来描述算法时间复杂度的一种形式化表示方法。
在计算机科学中，算法的时间复杂度是指执行算法所需的时间与输入规模之间的关系。
通常用大O符号来表示，表示算法的最坏情况下的运行时间。
求算法渐进表达式的方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。
1. 基本操作计数法：通过对算法中基本操作的计数来求解算法的时间复杂度。
基本操作是指算法中执行一次所需的时间是固定的。
例如，对于一个循环，每次执行的时间是固定的，那么循环的执行次数乘以每次执行的时间就是算法的时间复杂度。
2. 循环法：对于包含循环结构的算法，可以通过循环的次数来求解算法的时间复杂度。
对于一个循环，可以通过分析循环的条件和循环体中的操作来确定循环的执行次数，进而求解时间复杂度。
3. 递归法：对于递归算法，可以通过递归的深度和每层递归的操作数量来求解时间复杂度。
递归的时间复杂度一般通过递推关系式来表示，然后通过求解递推关系式来得到时间复杂度。
4. 分析法：对于复杂的算法，可以通过对算法的整体结构进行分析来求解时间复杂度。
例如，可以通过分析算法中各个部分的时间复杂度，然后取最大值作为算法的时间复杂度。
在实际应用中，求解算法渐进表达式一般需要根据算法的具体实现和输入规模进行分析。
可以通过手工计算、代码分析或者利用工具进行求解。
在求解过程中，需要注意算法中各个部分的执行次数、循环的条件和循环体中的操作、递归的深度等因素，以及它们与输入规模之间的关系。
通过求解算法渐进表达式，可以对算法的时间复杂度进行评估和比较。
时间复杂度越小，算法的效率越高。
因此，在设计和实现算法时，需要尽量选择时间复杂度较低的算法，以提高算法的执行效率。
求解算法渐进表达式是一项重要的任务，可以帮助我们评估和比较不同算法的效率。
通过合理选择求解方法和仔细分析算法的执行过程，可以准确求解算法的时间复杂度，从而为算法的设计和优化提供指导。
希望本文对读者对算法渐进表达式的求法有所帮助。
2019-wfx-第1章 概述 -递归算法的复杂度分析
【例1.7】有以下递归算法： void mergesort(int a[],int i,inБайду номын сангаас j)
{ int m; if (i!=j) { m=(i+j)/2; mergesort(a,i,m); mergesort(a,m+1,j); merge(a,i,j,m); }
}
其中，mergesort()用于数组a[0..n-1]（设n=2k，这里的k为正整数）的归并
算法设计与分析
咸阳师范学院计算机学院 吴粉侠
递归算法的时间复杂度分析
递归算法是采用一种分而治之的方法，把一个“大问题”分解为若 干个相似的“小问题”来求解。
对递归算法时间复杂度的分析，关键是根据递归过程建立递推关系 式，然后求解这个递推关系式，得到一个表示算法执行时间的表达式， 最后用渐进符号来表示这个表达式即得到算法的时间复杂度。
i+=2; } }
解：该算法是一个非递归算法，其中只临时分配了i、k两个变量 的空间，它与问题规模n无关，所以其空间复杂度均为O(1)，即该算
法为原时工作算法。
【例1.10】有如下递归算法， 分析调用
maxelem(a，0，n-1)
的空间复杂度。
int maxelem(int a[],int i,int j) { int mid=(i+j)/2,max1,max2;
排序，调用该算法的方式为：
mergesort(a，0，n-1)；
另外merge(a，i，j，m)用于两个有序子序列a[i..j]和a[j+1..m]的有序合并，是
非递归函数，它的时间复杂度为O(n)（这里n=j-i+1）。分析上述调用的时间复杂度。
算法时间复杂度计算公式
算法时间复杂度计算公式算法（Algorithm）是指⽤来操作数据、解决程序问题的⼀组⽅法。
对于同⼀个问题，使⽤不同的算法，也许最终得到的结果是⼀样的，但在过程中消耗的资源和时间却会有很⼤的区别。
那么我们应该如何去衡量不同算法之间的优劣呢？主要还是从算法所占⽤的「时间」和「空间」两个维度去考量。
时间维度：是指执⾏当前算法所消耗的时间，我们通常⽤「时间复杂度」来描述。
空间维度：是指执⾏当前算法需要占⽤多少内存空间，我们通常⽤「空间复杂度」来描述。
因此，评价⼀个算法的效率主要是看它的时间复杂度和空间复杂度情况。
然⽽，有的时候时间和空间却⼜是「鱼和熊掌」，不可兼得的，那么我们就需要从中去取⼀个平衡点。
下⾯我来分别介绍⼀下「时间复杂度」和「空间复杂度」的计算⽅式。
⼀、时间复杂度我们想要知道⼀个算法的「时间复杂度」，很多⼈⾸先想到的的⽅法就是把这个算法程序运⾏⼀遍，那么它所消耗的时间就⾃然⽽然知道了。
这种⽅式可以吗？当然可以，不过它也有很多弊端。
这种⽅式⾮常容易受运⾏环境的影响，在性能⾼的机器上跑出来的结果与在性能低的机器上跑的结果相差会很⼤。
⽽且对测试时使⽤的数据规模也有很⼤关系。
再者，并我们在写算法的时候，还没有办法完整的去运⾏呢。
因此，另⼀种更为通⽤的⽅法就出来了：「⼤O符号表⽰法」，即 T(n) = O(f(n))我们先来看个例⼦：for(i=1; i<=n; ++i){j = i;j++;}通过「⼤O符号表⽰法」，这段代码的时间复杂度为：O(n) ，为什么呢?在⼤O符号表⽰法中，时间复杂度的公式是： T(n) = O( f(n) )，其中f(n) 表⽰每⾏代码执⾏次数之和，⽽ O 表⽰正⽐例关系，这个公式的全称是：算法的渐进时间复杂度。
我们继续看上⾯的例⼦，假设每⾏代码的执⾏时间都是⼀样的，我们⽤ 1颗粒时间来表⽰，那么这个例⼦的第⼀⾏耗时是1个颗粒时间，第三⾏的执⾏时间是 n个颗粒时间，第四⾏的执⾏时间也是 n个颗粒时间（第⼆⾏和第五⾏是符号，暂时忽略），那么总时间就是 1颗粒时间 + n颗粒时间 + n颗粒时间，即 (1+2n)个颗粒时间，即： T(n) = (1+2n)*颗粒时间，从这个结果可以看出，这个算法的耗时是随着n的变化⽽变化，因此，我们可以简化的将这个算法的时间复杂度表⽰为：T(n) = O(n)为什么可以这么去简化呢，因为⼤O符号表⽰法并不是⽤于来真实代表算法的执⾏时间的，它是⽤来表⽰代码执⾏时间的增长变化趋势的。
求递归方程渐近界的常用方法
递归方程解的渐近阶的求法递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。
因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。
递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。
这里只介绍比较实用的五种方法。
1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这一推测的正确性。
那么，显式解的渐近阶即为所求。
2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。
3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。
4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问题)的方法来解递归方程。
然后对得到的解作渐近阶的估计。
5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。
它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。
方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。
本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。
本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。
递归方程组解的渐进阶的求法——代入法用这个办法既可估计上界也可估计下界。
如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。
例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。
我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0时有：T(n)≤Cn log n (6.2)事实上，取n0=22=4，并取那么，当n0≤n≤2n0时，(6.2)成立。
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渐进上界O（读作：“大oh”）
渐进下界Ω（“ome ga”）
（2）递归式
• 递归式是一组等式或不等式，它所描述的 函数是用在更小的输入下该函数的值来定 义的。例如Merge-Sort的最坏情况运行时 间T(n)可以用以下递归式来表示：
• 解递归式的方法主要有三种：代换法、递 归树方法、主方法。
算法导论
3 渐进符函数，定义域 为自然数集N。
渐进确界 （读作“theta”）
p • 一般地，对任意一个多项式： (n) ai n
i 0
d
i
其中ai为常数且ad>0，有T(n)= (nd)。 • 因为任何常数都是0次多项式，所以可以 把任何常数表示成(n0)= (1)。 • 常使用记号(1)表示一个常数或某个变量 的常系数。
The master method
master theorem
该定理的意义