第六章线性空间自测练习

第六章 线性空间—自测练习

一.判断题

1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。

2.两个线性子空间的并仍是子空间。

维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。

4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。

5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。

6.同构映射的逆映射仍是同构映射。

7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。

8.同构的线性空间有相同的维数。

?

9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。

10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。

二.计算与证明

1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维

数。

2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。

3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。

4．P 为数域，22P ⨯中1,,x x V x y z P y z ⎧-⎫⎛⎫=∈⎨⎬

⎪⎝⎭⎩⎭，2,,a b V a b c P a c ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 1）证明：12,V V 均为22P

⨯的子空间。 2）求12V V +和1

2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈

{

证明：3P =12V V ⊕

6.设V 是定义在实数域R 上的函数所组成的线性空间。令

1{()|()(),()}W f t f t f t f t V ，2{()|()(),()}W f t f t f t f t V 证明：12,W W 均是V 的子空间，且12V W W =⊕。

7. 设A 为n 级实方阵, A 为幂等阵（2A A =），齐次线性方程组0=Ax 的解空间为1W ，()0A E x -=的解空间为2W .

证明:n

R =1W ⊕2W 8. 设M 是数域P 上形如1211231n n n a a a a a a A a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的循环矩阵的集合， (1)证明:M 是线性空间 n n P ⨯的子空间.

(2)证明:,,A B M ∀∈有AB BA =.

(3)求M 的维数和一组基.

…

9.设{(,,)|,}W a a b a b a b R 。 证明：(1) W 是3R 的子空间。（2）W 与2R 同构。

10.设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=0110A ，证明：由A 的全体实系数多项式集合V 关于矩阵的加法与数乘运算构成的R 上的线性空间与复数域C 作为R 上的线性空间同构.

11. C 为复数域，令,H C

证明：（1）H 关于矩阵加法和数与矩阵乘法构成实数域R 上的线性空间。

（2）求H 的一组基和维数。

（3）H 与4R 同构，并写出一个同构映射。

12. R 为实数域，,a b M a b R b a

证明：（1）M 是实数域R 上的线性空间。

（2）求M 的一组基和维数。

【

（3）M 与复数域C 作为R 上的线性空间同构，并写出同构映射。

13.设P 为数域，n n A P ，(),()[]f x g x P x ，且((),())1f x g x ， 12(,,,)'n n X x x x P 。对于n P 中的三个子空间：

{|()()0}n V X P f A g A X =∈=，1{|()0}n V X P f A X =∈=， 2{|()0}n V X P g A X =∈=。

证明：12V V V =⊕