最大流问题(数学建模资料)
第20讲 最大流问题
谢 谢！ 再 见！
图上求解基本概念
• 饱和弧与非饱和弧： 流量fij达到容量cij的弧则称为饱和弧(fij=cij) 流量fij没有达到cij的弧则称为非饱和弧(fij<cij) • 零流弧：流量为0的弧(fij=0) • 前向弧与后向弧： 弧vivj是由vi发出指向vj，称为前向弧 弧vivj是由vj发出指向vi，称为后向弧
（10，10）
（10，10）
（15，15）
v4
（15，15）
v v0 （15，15） 1 （40，20） [-v4 ，15] [v0 ，∞]
（40，20）
v6 [v3 ，10 ]
v8
（15，15） （45，35）
v3 （30，20）
[v0 ，20]
v7
标号停止：最小截集与最大流
v2
（10，10）
v5 [-v6 ，15] （20，20）
v4
v v0 （15，15） 1 [-v4， 15] [v0 ，∞]
（40，10）
v6 [v3 ，20 ]
v8
（15，15） （45，25）
[v7 ，10]
v3 （30，10）
[v0 ，30]
v7 [v2 ，10]
最大流问题：给增广链增流
v2
（10，0 +10 ）
v5
（20，10 +10 ）
（10，10）
增广链的定义
• 增广链：设{fij}为一个可行流，如果从起点Vs 到终点Vt之间存在一条链M（不考虑链上面弧 的指向），在M上面的所有弧的流量满足： （1） 所有前向弧均为非饱和弧(fij<cij) ， （2）所有后向弧均为非零流弧(fji>0), 则称M这条链为关于流{fij}一条增广链，又叫可 扩充链。 • 定理：某可行流{fij}是最大流的充分必要条件 是不存在从起点Vs到终点Vt之间的增广链。
最大流问题(数学建模资料)
一般可以把L 0的流网络转化为L=0的流网络进行研究(思考？)
除非特别说明, 以后我们总是假设L=0,网络简记为N=(V,A,U,D).
4
网络中的流
例 - 运输网络和运输计划
有一批货物从货源地运往目的地，假设货源集合为S，目的地集 合为T. 货源i可提供的货物数量为ai个单位，目的地j对货物的需 求量为bj个单位.
xij 0,
(i, j ) A \ P
则称x为路流（Path flow），v称为该路流的流值（流量）. v=0时，称该路 流为零路流，否则称为非零路流. 如果N中存在一个有向圈W，使得
0 v xij u ij , (i, j ) W ，
xij 0,
(i, j ) A \ W
(a)找到一条从一个源点i0指向一个汇点ik的有向路P. 定义
v( P) min d i0 ,d ik , min xij | (i, j ) P
d i0 d i0 v( P ), d ik d ik v( P ), xij xij v( P ), (i, j ) P.
max s.t.
v, xij x ji v, A j:( j ,i )A j:( i , j ) 0,
v
i s, i t, i s, t ,
0 xij u ij ,
(i, j ) A
定理6.2 (整流定理) 最大流问题所对应的约束矩阵是全么模 矩阵. 若所有弧容量均为正整数,则问题存在最优整数解.
11
6.1.3 增广路定理
定义6.5 设[S，T]是网络N=(s,t,V,A,U)中给定的一个割，且sS， t T ，则称割[S，T]为s-t割. s-t割[S，T]中的弧(i，j)(iS，jT) 称为割的前向弧，弧(i, j)(jS，iT)称为割的反向弧. s-t割[S，T] 的容量定义为前向弧的容量之和，记为 U ( S , T ) uij 一个网络中容量最小的s-t割称为最小割.
《运筹学最大流问题》课件
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
数学建模最大流
新流f(i,j) 新流f(i,j)的流值为 ：f= f + θ(P) f(i,j)的流值为 称f为基于P的修改流； 为基于P的修改流； 显然 f> f 定理：当且仅当N 定理：当且仅当N中不包含 f 增长道 路时， 是最大流。 路时，N中的流 f 是最大流。
算法的基本思想： 算法的基本思想：
1 从任一已知流(如零流)开始，递推 从任一已知流(如零流)开始， 地构造一个其值不断增加的流的序列。 地构造一个其值不断增加的流的序列。 2 在每一个新流构成之后，如果N有f 在每一个新流构成之后，如果N 的可增长道路， 不是最大流。 的可增长道路，则f不是最大流。 3 可得基于P的修改流f，并作为递增流 可得基于P的修改流f 序列的下一个流，如果不存在f 序列的下一个流，如果不存在f 可增长 道路， 是最大流，停止，否则重复。 道路，则f 是最大流，停止，否则重复。
最大流算法
设P=v0v1v2….vn为网络中的一条通路， 为网络中的一条通路， E(P)=(所有 中的前向弧和后向弧) 所有P 记E(P)=(所有P中的前向弧和后向弧) 令θ(P)=min θ(i,j) 其中 θ(i,j)= Cij-fij (vi,vj)是前向弧 fij (vi,vj)是后向弧
其中C 是边容量， 其中Cij是边容量， f(i,j) 是流过边 vivj 的可行流， 的可行流， （ f(i,j) ≤ Cij） 定义：若 θ(P)=0 称P为f 的饱和的； 的饱和的； 定义： 若 θ(P)>0 称P为f 的不饱和的。 的不饱和的。 定义： 定义：一条从发点到收点的 f不饱和通路称 的增长道路（增流路）。 为f 的增长道路（增流路）。
定义（道路或通路）在任意一 定义（道路或通路） 网络中，凡从始点v 发点） 网络中，凡从始点v0（发点） 开始到终点v 收点） 开始到终点vn（收点）结束的 一系列前向弧集合称为道路。 一系列前向弧集合称为道路。 记为P 记为P。
最大流PPT课件
未标号，则给v j
(i,
一个标号
(
j)
min{x ji ,
(i)})
.
2.3 如果t已被标号，转3，否则转2.1.
.
12
Ford-Fulkerson算法
3. 根据得到的增广路上各顶点标号来增加流 量，抹去s外所有顶点标号，转2. 4. 此时当前流是最大流，且把所有标号点集 记为 S，则(S, S) 就是最小割.
0，f，vvi i
s s,
t
v jV
v jV
f，vi t
• 目标： max f xs*j x*jt
j
j
.
3
• 最大流问题的线性规划模型：
max f
s.t. xij f , vi t
vj
vj
xij x ji 0, vi s,t
.
5
3,1 s
2,2
3,2 s
2,2
v1 2,1 1,0
v3 2,2 v1 2,2
1,0 v3 2,2
v2 3,2
1,1
t
2,1 v4 v2
3,2
1,0
t
2,2 v4
.
6
• 一个弧割 (S, S) 若满足s S,t S ，则称为(s,t) 割，其
容量定义为C(S, S) cij . viS v jS
• 标号过程中，增加先标号先检查的原则.
.
16
• 整数假设 • 实数包含有理数和无理数. • 有理数就是分数，扩大若干倍可以变成整
数. • 而对于无理数，Ford和Fulkerson[1962]证
明了算法会收敛到一个不是最大流的流值. • 现实中流量是不会出现无理数的.
2022年数学建模算法与应用-图与网络模型网络最大流问题
航空基础学院数学第教10研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
③不断地重复步骤②直到收点vt 被标号，或不再 有顶点可以标号为止。当vt 被标号时，表明存在一条 从vs到vt 的增广路，则转向增流过程（2）。如若vt 点不 能被标号，且不存在其它可以标号的顶点时，表明不 存在从vs到vt 的增广路，算法结束，此时所获得的流 就是最大流。
fsj v；
(vs ,v j )A
f jt v； 可行流总是存在
(v j ,vt )A
——零流
式中v 称为这个可行流的流量，即发点的净输出量。
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数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
最大流问题可以写为如下的线性规划模型 max v，
(vs ,v j )A
f sj
数学建模算法与应用
4.6.1 最大流问题
第4章 图与网络模型及方法
许多系统包含了流量问题，如公路系统中有车辆 流、物资调配系统中有物资流、金融系统中有现金流 等。这些流问题都可归结为网络流问题，且都存在一 个如何安排使流量最大的问题，即最大流问题。
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数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
1.基本概念
定义 4.15 给定一个有向图 D (V , A)，其中 A为 弧集，在V 中指定了一点，称为发点或源（记为vs）， 该点只有发出的弧；同时指定一个点称为收点或汇 （记为vt ），该点只有进入的弧；其余的点叫中间点， 对于每一条弧(vi ,v j ) A，对应有一个c(vi ,v j ) 0（或 简写为cij），称为弧的容量。通常把这样的有向图 D叫 作一个网络，记作 D (V , A,C )，其中C {cij }。
最大流问题
33
v2
43 1
v4
5 1 1 v1
1 22
3 0
1
3
vt
2
51
v3
2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
算法思想:
首先得到一条可行流。
然后在可行流的基础上,寻找增广链.如果 找到,得到新的流量更大的可行流; 如果找不 到，说明当前的可行流就是最大流。 由于可行流的流量不能无限增大，因而总 可以得到最大流。
33 (0, M) vs 5 2
v2 1 0
4 4
v4 5 3 0 1 v3 4
11
22
vt
2
v1 (vs, 3) 33 (0, M) vs
v2
1 0
4 3
10 22 3 0
v4 5 3
5
vt
2 2
2 v1 (vs, 3) v3
最大流问题应用举例
下图中，A,B,C,D,E,F分别表示陆地和岛屿，①，②，…，14 表示桥梁及其 编号。若河两岸分别为互为敌对的双方部队占领，问至少应切断几座桥梁 （具体指出编号）才能达到阻止对方部队过河的目的。试用图论方法进行分 析。 3 1 2 12 A
v4
(0, M) vs
33
5 1 0 1
v1
1 22
3 0
1 v3 (-v2, 1)
4 (v , 1) 3 4
vt
51 2
2
(vs, 4)
第二步：再标号过程
33 (0, M) vs 5 v2 1 0 4 4 11 22 v4 5 3 0 1 v1 (vs, 3) v3 4
vt
2
2
最大流可能有多条
最大流问题
数学建模最大流问题
建模作业之最大流问题一、问题重述在交通领域，不论是火车还是汽车甚至是飞机的起航与降落，都涉及到了流量问题。
顺利地解决最大流量问题，可以便利的解决交通方面日益突出的问题，更能让资源更充分更优化地得到利用。
所以，学者们对最大流量问题的各个方面进行了不同的研究并把所得结论运用到实践中，因此而极大地促进了经济文化的发展。
本题就是这样一个最基础的最大流量问题。
二、符号说明X（i，j）：i流出到j的实际流量C（i，j）：i流出到j的最大流量三、模型假设由于要计算0与1流到5、6、7的流量涉及到2个流出口与3个流进口，对计算十分不利，对模型的建立也增加了难度。
所以在本题1与2之前增加一个流出口S，在5、6、7之后增加一个流进口T，从而，本题的目标函数就变成从S流出到T的最大流量。
题中所涉及的变量一些是数字，一些是字母，对模型的建立十分不利。
所以，我们在建立模型前，将图中的S设定为1号,0到7号设定为2到9号，剩下的T 则为10号。
本题所求的最大流量即为从1号的流出量或者10号的流进量。
目标函数：max=X(1，2)+X(1，3)约束条件：X(i ，j)<=C(i,j) i=(1…10),j=(1…10)101011ik kj i j X X ===∑∑ k=(1…10)根据函数建模，由lingo 得出结果，最大流量即为25.四、 附录所建lingo 模型如下;sets :a/1..10/;do(a,a):x,c;endsetsmax =x(1,2)+x(1,3);@for (do:x<c);@for (a(k)|k#ne#1#and#k#ne#10:@sum (a(i):x(i,k))=@sum (a(j):x(k,j)));data :c= 0,12,20,0,0,0,0,0,0,00,0,0,12,0,0,0,0,0,00,0,0,0,20,0,0,0,0,00,0,0,0,6,3,6,0,0,00,0,0,0,0,7,0,0,9,00,0,0,2,0,0,5,8,0,00,0,0,0,0,0,0,0,0,1000,0,0,0,0,0,0,0,0,1000,0,0,0,0,0,0,4,0,1000,0,0,0,0,0,0,0,0,0;enddataend经lingo 求解得如下结果：Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 25.00000Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 0.000000 0.000000X( 1, 3) 16.00000 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 1.000000 X( 1, 5) 0.000000 1.000000 X( 1, 6) 0.000000 0.000000 X( 1, 7) 0.000000 0.000000 X( 1, 8) 0.000000 0.000000 X( 1, 9) 0.000000 0.000000 X( 1, 10) 0.000000 0.000000 X( 2, 1) 0.000000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 0.000000 X( 2, 4) 9.000000 0.000000 X( 2, 5) 0.000000 0.000000 X( 2, 6) 0.000000 0.000000 X( 2, 7) 0.000000 0.000000 X( 2, 8) 0.000000 0.000000 X( 2, 9) 0.000000 0.000000 X( 2, 10) 0.000000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 0.000000 0.000000 X( 3, 5) 16.00000 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 0.000000 X( 3, 7) 0.000000 0.000000 X( 3, 8) 0.000000 0.000000 X( 3, 9) 0.000000 0.000000 X( 3, 10) 0.000000 0.000000 X( 4, 1) 0.000000 0.000000 X( 4, 2) 0.000000 0.000000 X( 4, 3) 0.000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 0.000000 X( 4, 5) 0.000000 0.000000 X( 4, 6) 3.000000 0.000000 X( 4, 7) 6.000000 0.000000 X( 4, 8) 0.000000 0.000000 X( 4, 9) 0.000000 0.000000 X( 4, 10) 0.000000 0.000000 X( 5, 1) 0.000000 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 0.000000 X( 5, 3) 0.000000 0.000000 X( 5, 4) 0.000000 0.000000 X( 5, 5) 0.000000 0.000000X( 5, 7) 0.000000 0.000000 X( 5, 8) 0.000000 0.000000 X( 5, 9) 9.000000 0.000000 X( 5, 10) 0.000000 0.000000 X( 6, 1) 0.000000 0.000000 X( 6, 2) 0.000000 1.000000 X( 6, 3) 0.000000 1.000000 X( 6, 4) 0.000000 1.000000 X( 6, 5) 0.000000 1.000000 X( 6, 6) 0.000000 0.000000 X( 6, 7) 2.000000 0.000000 X( 6, 8) 8.000000 0.000000 X( 6, 9) 0.000000 0.000000 X( 6, 10) 0.000000 0.000000 X( 7, 1) 0.000000 0.000000 X( 7, 2) 0.000000 1.000000 X( 7, 3) 0.000000 1.000000 X( 7, 4) 0.000000 1.000000 X( 7, 5) 0.000000 1.000000 X( 7, 6) 0.000000 0.000000 X( 7, 7) 0.000000 0.000000 X( 7, 8) 0.000000 0.000000 X( 7, 9) 0.000000 0.000000 X( 7, 10) 8.000000 0.000000 X( 8, 1) 0.000000 0.000000 X( 8, 2) 0.000000 1.000000 X( 8, 3) 0.000000 1.000000 X( 8, 4) 0.000000 1.000000 X( 8, 5) 0.000000 1.000000 X( 8, 6) 0.000000 0.000000 X( 8, 7) 0.000000 0.000000 X( 8, 8) 0.000000 0.000000 X( 8, 9) 0.000000 0.000000 X( 8, 10) 8.000000 0.000000 X( 9, 1) 0.000000 0.000000 X( 9, 2) 0.000000 1.000000 X( 9, 3) 0.000000 1.000000 X( 9, 4) 0.000000 1.000000 X( 9, 5) 0.000000 1.000000 X( 9, 6) 0.000000 0.000000 X( 9, 7) 0.000000 0.000000 X( 9, 8) 0.000000 0.000000 X( 9, 9) 0.000000 0.000000X( 10, 1) 0.000000 0.000000 X( 10, 2) 0.000000 1.000000 X( 10, 3) 0.000000 1.000000 X( 10, 4) 0.000000 1.000000 X( 10, 5) 0.000000 1.000000 X( 10, 6) 0.000000 0.000000 X( 10, 7) 0.000000 0.000000 X( 10, 8) 0.000000 0.000000 X( 10, 9) 0.000000 0.000000 X( 10, 10) 0.000000 0.000000 C( 1, 1) 0.000000 0.000000 C( 1, 2) 12.00000 0.000000 C( 1, 3) 20.00000 0.000000 C( 1, 4) 0.000000 0.000000 C( 1, 5) 0.000000 0.000000 C( 1, 6) 0.000000 0.000000 C( 1, 7) 0.000000 0.000000 C( 1, 8) 0.000000 0.000000 C( 1, 9) 0.000000 0.000000 C( 1, 10) 0.000000 0.000000 C( 2, 1) 0.000000 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 0.000000 0.000000 C( 2, 4) 12.00000 0.000000 C( 2, 5) 0.000000 0.000000 C( 2, 6) 0.000000 0.000000 C( 2, 7) 0.000000 0.000000 C( 2, 8) 0.000000 0.000000 C( 2, 9) 0.000000 0.000000 C( 2, 10) 0.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 0.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 4) 0.000000 0.000000 C( 3, 5) 20.00000 0.000000 C( 3, 6) 0.000000 0.000000 C( 3, 7) 0.000000 0.000000 C( 3, 8) 0.000000 0.000000 C( 3, 9) 0.000000 0.000000 C( 3, 10) 0.000000 0.000000 C( 4, 1) 0.000000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.000000 C( 4, 3) 0.000000 0.000000C( 4, 5) 6.000000 0.000000 C( 4, 6) 3.000000 0.000000 C( 4, 7) 6.000000 0.000000 C( 4, 8) 0.000000 0.000000 C( 4, 9) 0.000000 0.000000 C( 4, 10) 0.000000 0.000000 C( 5, 1) 0.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 0.000000 C( 5, 3) 0.000000 0.000000 C( 5, 4) 0.000000 0.000000 C( 5, 5) 0.000000 0.000000 C( 5, 6) 7.000000 0.000000 C( 5, 7) 0.000000 0.000000 C( 5, 8) 0.000000 0.000000 C( 5, 9) 9.000000 0.000000 C( 5, 10) 0.000000 0.000000 C( 6, 1) 0.000000 0.000000 C( 6, 2) 0.000000 0.000000 C( 6, 3) 0.000000 0.000000 C( 6, 4) 2.000000 0.000000 C( 6, 5) 0.000000 0.000000 C( 6, 6) 0.000000 0.000000 C( 6, 7) 5.000000 0.000000 C( 6, 8) 8.000000 0.000000 C( 6, 9) 0.000000 0.000000 C( 6, 10) 0.000000 0.000000 C( 7, 1) 0.000000 0.000000 C( 7, 2) 0.000000 0.000000 C( 7, 3) 0.000000 0.000000 C( 7, 4) 0.000000 0.000000 C( 7, 5) 0.000000 0.000000 C( 7, 6) 0.000000 0.000000 C( 7, 7) 0.000000 0.000000 C( 7, 8) 0.000000 0.000000 C( 7, 9) 0.000000 0.000000 C( 7, 10) 100.0000 0.000000 C( 8, 1) 0.000000 0.000000 C( 8, 2) 0.000000 0.000000 C( 8, 3) 0.000000 0.000000 C( 8, 4) 0.000000 0.000000 C( 8, 5) 0.000000 0.000000 C( 8, 6) 0.000000 0.000000 C( 8, 7) 0.000000 0.000000C( 8, 9) 0.000000 0.000000 C( 8, 10) 100.0000 0.000000 C( 9, 1) 0.000000 0.000000 C( 9, 2) 0.000000 0.000000 C( 9, 3) 0.000000 0.000000 C( 9, 4) 0.000000 0.000000 C( 9, 5) 0.000000 0.000000 C( 9, 6) 0.000000 0.000000 C( 9, 7) 0.000000 0.000000 C( 9, 8) 4.000000 0.000000 C( 9, 9) 0.000000 0.000000 C( 9, 10) 100.0000 0.000000 C( 10, 1) 0.000000 0.000000 C( 10, 2) 0.000000 0.000000 C( 10, 3) 0.000000 0.000000 C( 10, 4) 0.000000 0.000000 C( 10, 5) 0.000000 0.000000 C( 10, 6) 0.000000 0.000000 C( 10, 7) 0.000000 0.000000 C( 10, 8) 0.000000 0.000000 C( 10, 9) 0.000000 0.000000 C( 10, 10) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 25.00000 1.0000002 0.000000 0.0000003 3.000000 0.0000004 4.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000012 0.000000 1.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 3.000000 0.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 1.00000018 0.000000 1.00000019 0.000000 1.00000021 0.000000 1.00000022 0.000000 1.00000023 0.000000 0.00000024 0.000000 0.00000025 0.000000 0.00000026 4.000000 0.00000027 0.000000 1.00000028 0.000000 1.00000029 0.000000 1.00000030 0.000000 1.00000031 0.000000 1.00000032 0.000000 1.00000033 0.000000 0.00000034 0.000000 0.00000035 0.000000 0.00000036 6.000000 0.00000037 0.000000 1.00000038 0.000000 1.00000039 0.000000 1.00000040 0.000000 1.00000041 0.000000 1.00000042 0.000000 1.00000043 0.000000 0.00000044 0.000000 0.00000045 0.000000 0.00000046 0.000000 0.00000047 0.000000 1.00000048 0.000000 1.00000049 0.000000 1.00000050 0.000000 1.00000051 0.000000 1.00000052 0.000000 0.00000053 0.000000 0.00000054 0.000000 0.00000055 2.000000 0.00000056 0.000000 0.00000057 0.000000 0.00000058 3.000000 0.00000059 0.000000 0.00000060 0.000000 0.00000061 0.000000 0.00000062 0.000000 0.00000063 0.000000 0.00000065 0.000000 0.00000066 0.000000 0.00000067 0.000000 0.00000068 0.000000 0.00000069 0.000000 0.00000070 0.000000 0.00000071 92.00000 0.00000072 0.000000 0.00000073 0.000000 0.00000074 0.000000 0.00000075 0.000000 0.00000076 0.000000 0.00000077 0.000000 0.00000078 0.000000 0.00000079 0.000000 0.00000080 0.000000 0.00000081 92.00000 0.00000082 0.000000 0.00000083 0.000000 0.00000084 0.000000 0.00000085 0.000000 0.00000086 0.000000 0.00000087 0.000000 0.00000088 0.000000 0.00000089 4.000000 0.00000090 0.000000 0.00000091 91.00000 0.00000092 0.000000 0.00000093 0.000000 0.00000094 0.000000 0.00000095 0.000000 0.00000096 0.000000 0.00000097 0.000000 0.00000098 0.000000 0.00000099 0.000000 0.000000 100 0.000000 0.000000 101 0.000000 0.000000 102 0.000000 1.000000 103 0.000000 1.000000 104 0.000000 1.000000 105 0.000000 1.000000 106 0.000000 0.000000108 0.000000 0.000000 109 0.000000 0.000000根据求解结果得出：最大流量为25。
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(b)找到一个有向圈W. 此时,定义 v(W ) min xij | (i, j ) W
对新网络,重复上述过程,直到所有顶点变成为转运点(平衡点). 然后,找到一个至少有一条出弧上的流量为正的顶点, 继续重 复上述过程, 这时只有情形(b)会出现, 即一定获得一个非零 圈流. 重复上述过程, 直到重新定义的流x成为零流为止. 当找到一个路流时, 重新定义使得某个节点的供需量从非零成 为零, 或者使得某条弧的流量从非零成为零. 当找到一个圈流 时, 重新定义使得某条弧的流量从非零成为零. 上述过程找到路流和圈流的次数之和不会多于m+n次，且其中找 10 到圈流的次数不会多于m次.
x
xij 0,
运输网络的特点是只有源或汇，没有中间转运点. 显然，此问题有解的一个必要条件是 a b i j
iS jT
5
网络中的流
例6.1 有向网络中，令所有弧上的容量下界为0，容量（上界） 为1，并令节点s的供需量为1，节点t的供需量为-1。 从s到t的一条有向路正好对应于网络中的一个可行流x （当xij =1时，表示弧(i，j)位于s-t路上， 当xij=0时，表示弧(i，j)不在s-t路上）.
s
P
t
思考：网络中的任意一个可行流是否一定对应于一条有向路？
6
网络中的流
定义6.3 在流网络N=(V,A,U,D)中，对于流x, 如果某条弧(i,j)上的 流量等于其容量（ xij u ij ），则称该弧为饱和弧（saturated arc）；如果某条弧（i，j）上的流量为0（ ij 0 ），则称该弧 x 为空弧（void arc）. 如果所有弧均为空弧，即
v( x) xij x ji
iS jT
引理6.1证明中的中间结果 因此,[S,T]为最小割,x为最大流.
14
uij U ( S , T )
iS jT
定理6.4 (最大流最小割定理) 最大流的流值等于最小割的容量.
6.2 增广路算法 基本思想：从任何一个可行流开始,沿增广路对流进行 增广,直到网络中不存在增广路为止.
xij , ' xij xij , x , ij (i, j ) P , (i, j ) P , (i, j ) P .
13
这一过程称为x 关于P 的增广 (augmentation)
增广路定理
定理6.3 (增广路定理) 一个可行流为最大流的充要条件是不存 在增广路. 证明 必要性可以由前面的引理直接得到. 下面证明充分性. 假设流网络N=(s,t,V,A,U)中不存在关于可行流x的增广路,记 网络中从s出发沿增广弧可以到达的节点集合为S,令T=V\S,则 sS，tT，即[S,T]为s-t割. 并且,对于A中的任意弧(i,j), 如果它是该s-t割的前向弧,则 xij u ij ;如果它是该s-t割的后 向弧,则 xij =0.
iS jT iS jT
uij
iS jT
( xij uij )
12
U (S , T )
增广路 定义6.6 设 x 是流网络 N=(s,t,V,A,U)中给定的可行流， P 是一条 s-t 路，则 P 中满足下列两个条件之一的弧（i，j）称为增广弧(augmenting arc)： （1）弧（i，j）是P的前向弧且为不饱和弧；或
di >0:供应点(supply node)或源(source)、起始点或发货点 di <0:需求点(demand node)或汇(sink) 、终止点或吸收点
di ＝0:转运点(transshipment node)或平衡点、中间点
3
网络中的流 定义6.2 对于流网络N=（V， A， L， U， D ），其上的一个流 (flow) x是指从N的弧集A到实数集合R的一个函数x：A R, 即 对每条弧(i,j) 赋予一个实数 (称为弧(i,j)上的流). 如果流x满足
xij 0,
(i, j ) A,
2
则称x为零流，否则为非零流.
1,1
S 1 1,1
1,0
3
1,1
1,1 5 t
2,2
3,0
4
3,2
7
网络中的流
定义6.4 对于给定流网络N=(V,A,U,D)中的流 x：A R ，如果N中存在一条 有向路P，使得
0 v xij u ij , (i, j ) P ，
（2）弧（i，j）是P的反向弧且为非空弧.
如果P中的弧都是增广弧，则称P为关于流x的增广路, 简称增广路 (augmenting path).
引理6.2
如果对于一个可行流存在增广路，则该可行流不是最大流.
min min uij xij , min xij 0 (i , j )P ( i , j )P
( i , j ) A, iS , jT
引理6.1 任意一个s-t可行流流值不超过任意一个s-t割容量.
xij x ji xij x ji xij x ji v( x) iS jV jV iS jT iS jS xij x ji xij ( x ji 0)
一般可以把L 0的流网络转化为L=0的流网络进行研究(思考？)
除非特别说明, 以后我们总是假设L=0,网络简记为N=(V,A,U,D).
4网Biblioteka 中的流例 - 运输网络和运输计划
有一批货物从货源地运往目的地，假设货源集合为S，目的地集 合为T. 货源i可提供的货物数量为ai个单位，目的地j对货物的需 求量为bj个单位.
则称x为圈流（Cycle flow），v 称为该圈流的流值（流量）. v=0时，称该圈 流为零圈流，否则称为非零圈流.
6
5 W 5
5
6 5 6 P
8
流的分解定理 （Flow Decomposition Theorem）
定理6.1 在网络N=(V,A,U,D)中，任何一个可行流可以表示为若干 个路流和若干个圈流之和，且这些路流和圈流满足下列性质： （1）非零路流对应的有向路从一个源点指向一个汇点； （2）至多有m+n个路流和圈流为非零流，且其中至多有m个圈 流为非零流.
max s.t.
v, xij x ji v, A j:( j ,i )A j:( i , j ) 0,
v
i s, i t, i s, t ,
0 xij u ij ,
(i, j ) A
定理6.2 (整流定理) 最大流问题所对应的约束矩阵是全么模 矩阵. 若所有弧容量均为正整数,则问题存在最优整数解.
以（S，T）为节点集作完全二部图，以 ai ，- bj 为节点上的供需 量。通过每条弧的运输量没有限制（非负即可）。
一个运输计划就相当于该网络中的一个流。
ij j:( i , j )A
x
ij
ai , bj ,
i S, j T , i S, j T
S
T
i:( i , j )A
(a)找到一条从一个源点i0指向一个汇点ik的有向路P. 定义
v( P) min d i0 ,d ik , min xij | (i, j ) P
d i0 d i0 v( P ), d ik d ik v( P ), xij xij v( P ), (i, j ) P.
在一个无源无汇的流网络中，一个可行流称为可行循环流。
推论 一个可行循环流一定可以表示为至多m个非零圈流之和. 证明 (构造性) 记可行流为x，设i0是网络中的一个源点，则存 在弧(i0,i1)使得 xi0i1 > 0. 如果i1是一个汇点, 则找到了从源点指向汇点的一条有向路. 否则从i1出发重复上述过程,直到找到一个汇点或再次遇到前 面经过的某个顶点时为止, 即直到下列两种情况之一出现为止: 9
1
最大流问题的例子
公路交通网络：车流流量
S
T
许多实际问题都可以转化为最大流问题
2
6.1.1网络中的流
定义6.1 在有向图G=(V，A)上定义如下的权函数： （1）L：AR为弧上的权函数，弧(i,j) 对应的权 L (i,j) 记为lij， 称为弧 (i,j)的容量下界（lower bound）; （2）U：A R为弧上的权函数，弧(i,j)对应的权U(i,j)记为uij ， 称为弧(i,j) 的容量上界，或直接称为容量（capacity）; （3）D：V R为顶点上的权函数，节点i对应的权D(i)记为di ， 称为顶点i的供需量（supply/demand）; 此时网络可称为流网络(Flow Network,一般仍简称为网络),记 为 N=(V,A,L,U,D).
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6.1.3 增广路定理
定义6.5 设[S，T]是网络N=(s,t,V,A,U)中给定的一个割，且sS， t T ，则称割[S，T]为s-t割. s-t割[S，T]中的弧(i，j)(iS，jT) 称为割的前向弧，弧(i, j)(jS，iT)称为割的反向弧. s-t割[S，T] 的容量定义为前向弧的容量之和，记为 U ( S , T ) uij 一个网络中容量最小的s-t割称为最小割.
问题的关键在于如何有效地找到增广路,并保证算法在 有限次增广后一定终止. 6.2.1 Ford-Fulkerson标号算法 （１９５６）
基本思想：标号过程来寻找网络中的增广路 pred（j）：节点j 在可能的增广路中的前一个节点;
maxf（j）: 沿该可能的增广路到该节点为止可以增广
的最大流量.
LIST : 记录可能的增广路上的节点
xij 0,
(i, j ) A \ P
则称x为路流（Path flow），v称为该路流的流值（流量）. v=0时，称该路 流为零路流，否则称为非零路流. 如果N中存在一个有向圈W，使得