第7章 套利定价理论,APT)
罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础的 多因素资产定价模型，也称套利定价理论模（Arbitrage Pricing Theory，APT）。 该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基 础为一价定律（The Law of One Price），即两种风险－收 益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资 产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖 于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产收 益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的 选择。
该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也 不能够证明单一风险资产均衡收益同β风险、市场组 合之间存在某种有意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模 糊，CAPM是无法检验的。
两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能力。
（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’s Critique）
Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包 括所有风险资产在内的市场资产组合是否具有 均值-方差效率。 2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股 票指数，那么如果该指数具有均值-方差效率， 则任何单个风险资产都会落在证券市场线上， 而这是由于恒等变形引起的，没有实际意义。
第7章
套利定价理论
（Arbitrage Pricing Theory，APT）
第一节 套利交易行为
一、套利（Arbitrage）的概念
套利指的是利用同一种（或等价的）实物资产或 证券的不同价格来赚取无风险利润的行为。 1.特征： （1）买入、卖出同时完成； （2）交易者不承担任何风险； （3）不需要投资但有正的收益，或者交易利润率大 于无风险利率。
2.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定的影响因 素 Rosenberg and Marashe（1977）的研究发现，如果将红 利、交易量和企业规模加入计量模型，则β系数会更有说 服力。 Basu（1977）发现，低市盈率股票的期望收益率高于资 本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明， 股票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高的 超常收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动， 即存在季节效应。
单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题：一是提供一种 简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化 的宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具 体带来风险因素的模型。
以回归分析得单因素模型。
一、因子模型的特点
第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有 证券价格的经济因子； 第二，在构造的因子模型中，我们假设两个证 券的回报率相关（一起运动仅仅是因为它们对因子 运动的共同反应导致的）； 第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部 分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特 有部分无关。
Байду номын сангаас
下表反映了公司i的股票收益率 r 和国内生产总值
i
（ＧＤＰ）的增长率（简记为因子Ｇ）和通货膨胀率
（简记为因子I）６年的统计情况。 年度 １ 2 3 4 5 6 Ｇ 5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9 Ｉ 1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
ri
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
注意的因素： 运输费用 交割品种的差异 交易单位与汇率波动 保证金与佣金成本
（三）期现套利
某种期货合约，当期货市场与现货市场在价 格上出现差距，交易者就会利用两个市场低 买高卖，从而缩小现货市场与期货市场间的 价差。 如9月大豆合约价格2660，现货价格2560. 卖出期货，实物交割。 要注意的问题：交割整理成本、运输成本、 发票、质检成本、入库成本、仓储成本。
同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作 了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。
第二节
单因子模型
定义 1 因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回 报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。 因素模型中的因素常以指数形式出现（如GNP指数、股价 指数、物价指数等）,所以又称为指数模型。
（五）无风险套利
套利定价理论中的套利是无风险套利。它的 特点是完全没有风险。
四、套利交易发生的条件及其对市场的作 用
（一）资产定价出现了偏差 相同资产在不同市场上的价格不同 相同现金流量的价格不同 用未来价格确定的资产，其目前的交易价格 不等于未来价格的现值。 （二）不存在对套利的限制以及套利成本小 于套利收益。
2 i2 i2 F 2 ( i )
在这里， δ 2F 是因素的方差， δ 2(ε i) 是随机误 差项的方差 协方差：在单因素模型中，计算证券间的协方 差变得十分简单。 2
ij i j F
先考虑一个宏观经济指标（Ｇ）对公司i的股票收益率 的影响，即研究Ｇ与公司i的股票收益率ri 的关系。由一元 线性回归可得如下方程：
（二）跨市场套利
在某个交易所买入（或卖出）某一交割月份 的某种商品合约的同时，在另一个交易所卖 出（或买入）同一交割月份的同种商品合约， 以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手 的期货合约，以期在有利时机分别在两个交 易所对冲在手的合约获利。 注意的因素：运输费用、交割品级的差异、 交易单位与汇率波动、保证金和佣金成本。
二、单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素F对证 券收益产生广泛影响，这种影响力通过对 每种证券i在任意时期t的建立如下方程来 反映：
Rit i i F t it
Ft 是宏观因素 Rit 是证券i在t时期的收益率， i 是证券i对宏观因素的敏感度， it 在t期的值， 是一个均值为零的随机变量， i 是当宏观因素均值为零时证券收益率。
e i i iG i r
其中 ~ r,
i
是随机变量， i 4%, i 2 是由回归确定 ~) 0 ， ~, e ~ ) 0, i j ，并 ~ , G) 0 ， 的系数。且 E(e cov( e cov( e i i j i 有
~ ~ G, ei
) i ) i i E(G E(r
风险套利：实践中的套利行为 投资者在特定市场同时进行买入、卖出交易 的行为。 先寻找具有不同价格的商品交易机会，当价 差大到足以补偿交易成本以及所承担的可能 风险时，套利者会迅速两边下单，完成交易。
套利与投机交易的区别
盈利的理念不同。 操作的方式不同。 套利的风险较小。 套利的成本较低。
单因素模型有如下假设
E( it ) 0
Cov( it , Ft ) 0
Cov( i , j ) 0
方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为：
期望收益率：根据单因素模型，证券i的期望收益 率可以表示为： E( R ) E( F )
i i i
方差：在单因素模型中，同样可以证明任意证券i 的方差等于：
（四）跨期套利
在同一市场（主要是指同一交易所）上同时买入、 卖出标的相同、不同交割月份的期货合约，以期在有 利时机同时将两个交割月份不同的合约对冲平仓获利。 分类: 1.牛市套利:买入近期月份合约的同时，卖出远期月份 合约而进行牛市套利。 2.熊市套利:卖出近期合约的同时，买入远期合约而进 行熊市套利。 3.蝶式套利：利用不同交割月份的价差进行套期获利， 由两个方向相反、共享居中交割月份合约的跨期套利 组成。
二、身边的套利交易
1.50ETF上的套利交易 可以在一级市场上用一篮子股票进行申购和 赎回，又可以在二级市场上直接买卖。 瞬时套利 延时套利 事件型套利
2.金属市场期货市场上的套利 上海期铜与伦敦期铜的正套：买伦敦铜卖上 海铜。
3.外汇套汇
三、套利交易的基本方式
ri 4% 2GDP i
Ri i i G i
从方程中我们可以看出，任何一个证券的收益由三部 分构成： αi：宏观因素期望变化为零时的收益，是投资者对证券 的期初收益； βiG：系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定 性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是βi； εi是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性风险 收益，即只与单个证券相关的非预期事件形成的非预 期收益。
CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实 不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着 信息是无成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格；
（二）CAPM的实证检验问题
1.市场组合的识别和计算问题
理论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合， 每一种资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总 价值的比重。但实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛， 因此，在CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组 合几乎不可能。 一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准 普尔工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进 行了检验，得出的结果却与现实相悖。
现在我们来看公司i的股票的收益率的方差。因 ~ , G) 0 ，所以可以导出 为 cov(e i
2 i2 i2 G e2
i
如果经统计测算出G增长率的方差是 G 0.0003 ， 2 0.00152，则可算出股票收益 非系统风险的方差是 e i 率的方差为 i2 0.00272
（一）跨品种交易 利用两种不同的，但相互关联的品种的合约 价格差异进行套利，即买入某一交割月份某 种品种的合约，同时卖出另一相同交割月份、 相互关联的品种的合约，以期在有利时机同 时将两种合约对冲平仓获利。 在商品期货市场，分成两种情况：一是相关 商品之间的套利；二是原料与成品之间的套 利。
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套利定价理论的理论有哪些
套利定价理论的理论有哪些套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory, APT）是金融学中一种理论模型，用于解释证券价格的变动。
在金融市场中，证券价格每日都会波动，这种波动往往不仅仅受到市场因素影响，还受到宏观经济因素、政治因素等多重因素的影响。
套利定价理论就是试图用这些因素来解释证券价格的变动，并通过套利来实现投资收益的最大化。
套利定价理论的基本假设是证券价格受到多个因素的影响，不同投资组合的预期收益率可以通过这些因素的加权和来计算。
这些因素包括了宏观经济因素、行业因素、公司内部因素等，每个因素都有一个相关的风险因子，它们在证券价格中的权重不同，从而导致不同的投资组合有不同的预期收益率。
具体来说，套利定价理论认为，一个证券的价格变化可以通过下列公式表示：r = RF + β1F1 + β2F2 + … + βnFn + e其中，r代表证券的预期收益率，RF代表无风险利率，Fn代表第n个风险因子，βn代表证券对第n个风险因子的敏感程度，e代表随机误差。
这个公式的意义在于，证券的预期收益率是由多个因素所共同作用的结果，每个因素都有一定的风险性质，投资者需要根据这些风险因子来制定投资策略。
除了以上理论假设外，套利定价理论还有一些其他的理论：1. 市场有效性套利定价理论认为市场是有效的，市场上的所有信息都会反映在证券价格上。
换言之，投资者无法通过超越市场的手段实现投资收益的最大化。
2. 套利机会套利定价理论认为，总有一些投资者能够发现某些证券价格的偏差，并通过套利来实现超额收益。
这些套利机会在市场上是短暂的，并且会被投资者的套利行为所消除。
3. 风险散布套利定价理论认为，投资者应该尽可能地分散投资风险，不要把所有蛋放在同一个篮子里。
这种风险散布可以通过投资不同行业、不同地区、不同公司的证券来实现。
总之，套利定价理论试图用多个变量来解释证券价格变动的原因，投资者可以利用这些变量来构建投资组合以实现收益最大化。
《投资学》第七章 套利定价理论
i 表示个别风险。
结论：在市场均衡时，个别证券的期望收益率是由无风险收 益率与风险溢价所组成，并且期望收益率会与多个因素敏感 度“共同”存在线性关系。
市场均衡是由投资者通过反复“套利”来实现的。
对APT进一步说明
正是由于APT涉及“多因素”，故又称之为多因 素模型。 但APT本身并未说明何谓“多个因素”。 依ROSS等人的研究，归纳出四个主要因素可以 解释大部分证券的收益率：
当只有一个共同因素（如市场收益率）能影响证
券的收益时，两者一致。
APT与CAPM的比较
区别
CAPM纯粹从市场组合的观点来探讨风险与收益的关系，认 为经济体系中的全面性变动（即市场风险）才是影响个别证 券预期收益率的主要且惟一因素；而APT则认为不止一个因 素会对个别证券的收益产生影响； CAPM所借用的市场组合实际上是不存在的，因此实际中只 能借用单一股价指数来评估市场风险与收益；而APT则不需 要市场组合，只要设定若干个“因素”加入模型即可用于预 测。 APT没有说明哪些因素关系着证券的预期收益率，因此APT 似乎不如 CAPM的单一因素模式，只要配合足够多的假设， 以 来解释仍相对容易理解。
套利定价线
E(Ri)
bi
APT的模型及结论
E ( Ri ) R f b1r1 b2 r2 bn rn i R f b1 ( R1 R f ) b2 ( R2 R f ) bn ( Rn R f ) i bi 类似于，为证券i报酬率对特定因素i的敏感度； ri 特定因素所提供的风险溢价；
无套利定价条件
市场均衡时，初始投资为0，因素敏感度为 0的证券组合的期望收益率也必然为0，否 则存在套利机会。则
套利定价模型(APT)
双因素以及多因素 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
谢谢！
L x1 x2 x3 xn 0 0 L b1 x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0 1 可得到： ri 0 1bi ; 此即为单因素模型APT定价公式，其中0，1是常数。
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
关于2的含义，另考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为0，
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
套利定价理论(APT)
10
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
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套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
12
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
APT套利定价理论
xn nk 0 x11k x2 2 k
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
套利定价理论
i 1 j 1
xi2 σ ε2 i
i 1
n
2 2 bp σ2 σ F ε i
组合风险分散化的在回顾
若投资方式为等比例投资，即各证券在投资中所占的比
例相同，各证券因素的敏感度也相同，那么有：
σ
2 p 2 2 bp σ2 σ F ε i
2 F
2 bp σ
1 2 σ ε i n i 1
2 2 ij bi1bj1 F b b 1 i 2 j 2 F 2 (b i1bj 2 b i 2bj1 )COV (F 1, F 2)
证券组合的方差：
2 2 2 2 2 σ2 b σ b σ + 2b b cov( F , F )+ σ p p1 F1 p2 F 2 p1 p 2 1 2 ε p
2 2 2 2 其中， bp 是因素风险， F1, σ b σ F2 ) 1 F1 p 2 F 2 + 2b p1b p 2cov(
2 σ ε是非因素风险。和单因素模型一样，投资多样化可以 p
降低非因素风险。
两因素模型
在两因素模型中，证券i的预期收益率为：
ri ai bi1 F 1 b i2 F 2
证券i收益率的方差
2 2 2 2 i2 bi2 1 F1 b i 2 F 2 2b i1b i 2COV ( F 1, F 2 ) i
两因素模型
证券i收益率的协方差为：
系统性性风险，源于宏观经济因素）； 为证券 i的 2i 非因素风险（表示公司的特有风险）。证券i的总 风险为二者之和。
证券i与证券j的协方差：
cov(ri , rj ) E{[(ai bi F ε i ) (ai bi F )][a j bj F ε j ) (a j bj F )]} E{[bi (F F ) ε i ][bj ( F F ) ε j ]} bi b jσ 2 F
xi2 σ ε2 i
i 1
n
2 2 bp σ2 σ F ε i
组合风险分散化的在回顾
若投资方式为等比例投资，即各证券在投资中所占的比
例相同，各证券因素的敏感度也相同，那么有：
σ
2 p 2 2 bp σ2 σ F ε i
2 F
2 bp σ
1 2 σ ε i n i 1
2 2 ij bi1bj1 F b b 1 i 2 j 2 F 2 (b i1bj 2 b i 2bj1 )COV (F 1, F 2)
证券组合的方差：
2 2 2 2 2 σ2 b σ b σ + 2b b cov( F , F )+ σ p p1 F1 p2 F 2 p1 p 2 1 2 ε p
2 2 2 2 其中， bp 是因素风险， F1, σ b σ F2 ) 1 F1 p 2 F 2 + 2b p1b p 2cov(
2 σ ε是非因素风险。和单因素模型一样，投资多样化可以 p
降低非因素风险。
两因素模型
在两因素模型中，证券i的预期收益率为：
ri ai bi1 F 1 b i2 F 2
证券i收益率的方差
2 2 2 2 i2 bi2 1 F1 b i 2 F 2 2b i1b i 2COV ( F 1, F 2 ) i
两因素模型
证券i收益率的协方差为：
系统性性风险，源于宏观经济因素）； 为证券 i的 2i 非因素风险（表示公司的特有风险）。证券i的总 风险为二者之和。
证券i与证券j的协方差：
cov(ri , rj ) E{[(ai bi F ε i ) (ai bi F )][a j bj F ε j ) (a j bj F )]} E{[bi (F F ) ε i ][bj ( F F ) ε j ]} bi b jσ 2 F
套利定价理论
A的需求加大， A对应的直线向右移， 的需求减小，B对应的直线向左移，直到套 因此，市场处于均衡状态时，相同 βB 值的充分分散化资产组合的收益 利消失，两直线重合。 是唯一的。
二、充分分散化的资产组合的收益与风险
（4）不同β值的充分分散化资产组合均衡的风险溢价与β值 成正比例 如图，直线A是一定系统条件下，不同β值的充分分散化资 产组合在均衡状态时收益与β值的关系曲线
'
[ E (rA ) r f ] / A [ E (rB ) r f ] B
三、套利定价模型的表达
•
•
• • • •
对于一般的资产组合和单个证券，尽管不是充分分散化组合资产，也近似表 现出相同的趋势。否则会有套利机会 因此，对于任意两个资产i、j之间，市场均衡时存在下列关系:
①相同β值的点，应是直线上的同一点。如 图，β╭垂线上的点，均衡点应是A‘’点。假 如存在C、D点，就存在套利，套利消失， C、D回到均衡点A
r
A*
C
A
A'
E
D *
②不同β值的点均衡时应在同一直线上。 如图，D、E两点β值分别是β‘’，这两点经 过套利，达到均衡，应分别在AA点 因此，不同β值的点均衡时应在同一直线上 存在这样的关系:
二、充分分散化的资产组合的收益与风险
（2）几何表示 如图，横轴为系统因素，竖轴为资产组合的收益率，βр为 直线的斜率 （3）相同β值的充分分散化资产组合的均衡收益是唯一的 R A A*
B* F* F
B
假如βA＝1的充分分散化资产组合 还存在另一个B，且E（ r B）＝8％， 对于任意系统水平F*，A、B两资 产组合存在的收益假如RA＞RB， 有套利机会，投资者愿意购买资产 A，卖出（或卖空）B，就稳获无 风险套利2％。
7 因素模型和APT(1)
例子：国内生产总值GDP的增长率 是影响证券回报率的主要因素
在图 1 中，零因素是 4% ，这是 GDP 的增长 率为零时， Haier 的回报率。 Haier 的回报 率对 GDP 增长率的敏感度为 2 ，这是图中直 线的斜率。这个值表明，高的GDP的增长率 一定伴随着高的Haier的回报率。如果GDP的 增长率是 5% ，则 A 的回报率为 14% 。如果 GDP 的 增 长 率 增 加 1%—— 为 6% 时 ， 则 Haier的回报率增加2%，或者为16%。
7.2.1 因素模型概述
因素模型在证券组合管理中的应用
在证券组合选择过程中，减少估计量和计算 量 刻画证券组合对因素的敏感度
7.2.1 因素模型概述
如果假设证券回报率满足因素模型，那 么证券分析的基本目标就是，辨别这些 因素以及证券回报率对这些因素的敏感 度。
7.2.1 因素模型概述
例子：国内生产总值GDP的增长率 是影响证券回报率的主要因素
从这个例子可以看出， Haier 在任何一期的 回报率包含了三种成份： 1．在任何一期都相同的部分（ a ）
2．依赖于GDP的增长率，每一期都不相同的部分 （ bGDPt ） 3．属于特定一期的特殊部分（ e ）。
t
单因素模型
=系统风险+ 非系统风险 = 不可分散风险 + 可分散风险 = 市场风险 + 个别/公司特有风险
7.2 因素模型
7.2.1 因素模型概述 7.2.2 单因素模型 7.2.3 多因素模型
7.2.1 因素模型概述
我们称这些把资产回报分解成两部份的 模型为因素模型（factor models）.
APT套利定价理论
同样，可以由每个证券的方差：
2 p
2
p1
2
(
F1
)
2
p2
2
(
F2
)
2
pk
2
(
Fk
)
2
p
最后需要强调的是，无论单因素模型还是多
因素模型，都不像资本资产定价模型那样明
确指出市场组合这个因素会影响证券收益率。
三、纯因素组合
介绍了单因素和多因素模型，有必要引入 纯因素组合。所谓纯因素组合是指消除了其 他因素的影响，只对某一个因素具有敏感性， 而且敏感性为1的资产组合。
N
Rp Wi (ai i F i ) i 1
N
N
N
= Wiai Wii F Wii
i 1
i 1
i 1
=ap p F p
其中，
N
N
N
a p Wi a, p Wi i , p Wi i
i 1
i 1
i 1
同时可以推出组合P的方差：
2 p
p2
2 F
2
p
公式表明：证券组合的风险也由系统性风险
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为：
ri ai i Rm i
同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
套利定价理论APT
套利定价理论APT套利定价理论（APT）是金融学领域中的一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系。
它采用了套利思想，即通过买入低估的资产并卖出高估的资产，从市场的价格差异中获得利润。
APT模型的基本假设是，资本市场是有效市场，并且所有的投资者都是理性的。
它认为，资本市场的价格决定因素不仅仅是资产本身的特性，还包括宏观经济因素、行业因素以及特定的个股风险。
根据APT的理论框架，资本资产定价模型（CAPM）可以被看作是APT模型的一个特例。
CAPM假设只有一个因素（即市场风险），而APT则认为市场因子可能不止一个。
根据APT模型，资产的期望收益率可以通过以下公式计算：E(Ri) = RF + β1 * λ1 + β2 * λ2 + ... + βn * λn其中，E(Ri)是资产i的期望收益率，RF是无风险利率，β是资产i对各个因子的敏感度，λ是各个因子的预期收益率。
APT模型的基本原理是，资产的价格应该与各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度相关。
如果市场对某个因子的预期收益率发生变化，这将影响到资产的定价，从而为套利提供机会。
套利定价理论的重要性在于它提供了一种解释和预测资产价格变动的工具。
通过分析和估计各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度，投资者可以找到被低估或高估的资产，并利用市场的定价差异获得套利机会。
然而，APT模型也存在一些限制。
首先，它的有效性依赖于投资者对各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度的准确估计。
如果估计出现误差，那么套利机会可能会有所降低或消失。
其次，APT模型假设资本市场是完全有效的，但实际市场中存在信息不对称的情况，这可能导致价格的波动和套利机会的减少。
综上所述，套利定价理论（APT）是一种理论框架，用于解释金融资产价格之间的关系，并提供了一种套利的思路。
虽然APT模型有其局限性，但它仍然为金融学研究提供了有价值的理论基础。
套利定价理论（APT）是金融学中一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系以及利用价格差异进行套利交易。