1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)
1.2
排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
[正解] 坐在椅子上的 6 个人是走进屋子的 10 个人中的任意 6 个人，若把人抽象地看成元素，将 6 把不同的椅子当成不同 的位置， 则原问题抽象为从 10 个元素中取 6 个元素占据 6 个 不同的位置．显然是从 10 个元素中任取 6 个元素的排列问 题．从而，共有 A6 ＝151 200 种坐法． 10
明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因
式，可以简化计算．
x＋ 2 x 【变式3】 (1)解不等式：A8 ＜6A8； n 3 (2)证明： n＋1－An＝nAn， An＋1 并用此结论计算 A1＋2A2＋3A3＋… n 1 2 8 ＋8A8.
原不等式等价于 8！ 8！ ＜6× ， （8－x）！ [8－（x＋2）]！ x＋2≤8且x∈N*， (1)解
(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的
方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列
问题．
∴(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
规律方法
若不能正确的理解排列的定义，就会产生判断
失误．应充分认识到：有“顺序”要求的才可能是排列问 题，而与“顺序”无关的必定不是排列．
cadcb.
排列数是 A3＝24. 4
题型三
排列数公式的应用
【例3】 求下列各式中的 x 值． 3 (1)3Ax＝2A2＋1＋6A2. x x x x－ 1 (2)3A8＝4A9 .
解 (1)由 3A3＝2A2＋ 1＋6A2得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋ x x x 6x(x－1)． ∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)． 化简整理得：3x2－17x＋10＝0. 2 解得 x1＝5，x2＝ (舍去)．∴x＝5. 3 (2)由 3Ax＝4Ax－ 1得 8 9 3×8！ 4×9！ ＝ . （8－x）！ （10－x）！
一定 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____ 的顺序排成一列 _______________，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素
完全相同 排列顺序 _________，且元素的_________相同．
想一想：同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？
[规范解答] (1)从 5 个课题中选出 3 个， 由兴趣小组进行研 究，对应于从 5 个元素中取出 3 个元素的一个排列．因此 不同的安排方法是 A3＝5×4×3＝60(种)．(6 分) 5
(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重
复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方 法．(12分)
如2÷5≠5÷2，
∴(2)是排列问题．
题型二
列举法解决排列问题
【例2】 将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求 自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第 三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． [思路探索] 可画出符合条件的树形图，然后写出所有的 排列．
解
由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一
3×8！ 4×9×8！ ∴ ＝ . （8－x）！ （10－x）（9－x）（8－x）！ 化简得：x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13. ∵x≤8，且 x－1≤9，∴原方程的解是 x＝6.
规律方法
1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和
当m较小时的含排列数的方程和不等式问题． 2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证
【变式1】 判断下列问题是否是排列问题： (1)从2，3，5，7中任取两数相乘可得多少个不同的积？ (2)从2，3，5，7中任取两数相除可得多少个不同的商？
解
关，
(1)由于两数相乘而得到的积与两数相乘时的顺序无
∴不是排列问题． (2)由于两数相除而得到的商与取出的两数中哪一数是除 数，哪一数是被除数的顺序有关．
第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个
排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
【变式2】 写出从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个字母 的所有排列并求出排列数． 解 画出树形图如图．
因此，共计有24个不同的排列，它们是abc，abd，acb，
acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，
解 (1)A3＝120(个)． 6
(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝ 216(个)． (3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、
三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有
3×6×5＝90(个)．
误区警示
对排列概念理解不清致误
【示例】 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必 须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ [错解] 10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的 集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法． 没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能 坐一人，已不符合映射模型了，本题事实上是一个排列问 题．
数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，
即所有排列的个数，它是一个数．
3．排列数公式 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (1)乘积形式：Am＝_________________________．(这里 n， n m∈N*且 m≤n.) (2)阶乘形式：Am＝ n n！ .(n，m∈N*，且 m≤n) （n－m）！
判断是否为排列问题的关键是选出的元素在 被安排时是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问 题；否则就不是排列问题．
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少
种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再 从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
[思路探索] 判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n
个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时，是
有序的还是无序的，有序就是排列，无序就不是排列． 解 题． (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐 标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问
元素的排法种数．
(2)排列数公式的特征：乘积式是从n到n－m＋1共m个连 续正整数的连乘积，阶乘式是n！除以(n－m)！.应熟记公 式两种形式的互相转化． (3)乘积式多用于含有数字的排列数的计算，而阶乘式一
般用于含有字母的排列数的计算或证明．
题型一
排列的概念
【例1】 判断下列问题是否是排列问题 (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内 的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
或者元素相同、排列顺序不同，都是不同的排列．只有当
元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是 同一个排列． (3)在定义中规定m≤n，如果m＝n，称作n个元素的全排 列．
2．对排列数的理解 (1)正确区分排列与排列数两个概念：排列是指m个元素按 照一定的顺序排成一列而得到一个排列，排列数是指m个
x2－15x＋50＜0， 整理得 即 * x≤6且x∈N .
5＜x≤6 且 x∈N*，从而解得 x＝6.
(2)证明：An＋1－An＝(n＋1)！－n! n ＋1 n n ＝(n＋1)n！－n！＝n· n！＝nAn. 3 A1＋2A2＋3A3＋…＋8A8 1 2 8 1 3 9 ＝(A2－A1)＋(A3－A2)＋…＋(A8－A7)＋(A9－A8) 2 2 8 7 8 9 ＝A9－A1＝9！－1＝362 879. 1
提示
由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同
一个元素．
2．排列数的定义 所有不同排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________ 的个数 _______，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 用符号 Am表示． n
想一想：排列与排列数的区别是什么？ 提示 “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是 指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个
排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
[正解] 坐在椅子上的 6 个人是走进屋子的 10 个人中的任意 6 个人，若把人抽象地看成元素，将 6 把不同的椅子当成不同 的位置， 则原问题抽象为从 10 个元素中取 6 个元素占据 6 个 不同的位置．显然是从 10 个元素中任取 6 个元素的排列问 题．从而，共有 A6 ＝151 200 种坐法． 10
明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因
式，可以简化计算．
x＋ 2 x 【变式3】 (1)解不等式：A8 ＜6A8； n 3 (2)证明： n＋1－An＝nAn， An＋1 并用此结论计算 A1＋2A2＋3A3＋… n 1 2 8 ＋8A8.
原不等式等价于 8！ 8！ ＜6× ， （8－x）！ [8－（x＋2）]！ x＋2≤8且x∈N*， (1)解
(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的
方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列
问题．
∴(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
规律方法
若不能正确的理解排列的定义，就会产生判断
失误．应充分认识到：有“顺序”要求的才可能是排列问 题，而与“顺序”无关的必定不是排列．
cadcb.
排列数是 A3＝24. 4
题型三
排列数公式的应用
【例3】 求下列各式中的 x 值． 3 (1)3Ax＝2A2＋1＋6A2. x x x x－ 1 (2)3A8＝4A9 .
解 (1)由 3A3＝2A2＋ 1＋6A2得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋ x x x 6x(x－1)． ∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)． 化简整理得：3x2－17x＋10＝0. 2 解得 x1＝5，x2＝ (舍去)．∴x＝5. 3 (2)由 3Ax＝4Ax－ 1得 8 9 3×8！ 4×9！ ＝ . （8－x）！ （10－x）！
一定 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____ 的顺序排成一列 _______________，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素
完全相同 排列顺序 _________，且元素的_________相同．
想一想：同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？
[规范解答] (1)从 5 个课题中选出 3 个， 由兴趣小组进行研 究，对应于从 5 个元素中取出 3 个元素的一个排列．因此 不同的安排方法是 A3＝5×4×3＝60(种)．(6 分) 5
(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重
复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方 法．(12分)
如2÷5≠5÷2，
∴(2)是排列问题．
题型二
列举法解决排列问题
【例2】 将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求 自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第 三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． [思路探索] 可画出符合条件的树形图，然后写出所有的 排列．
解
由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一
3×8！ 4×9×8！ ∴ ＝ . （8－x）！ （10－x）（9－x）（8－x）！ 化简得：x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13. ∵x≤8，且 x－1≤9，∴原方程的解是 x＝6.
规律方法
1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和
当m较小时的含排列数的方程和不等式问题． 2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证
【变式1】 判断下列问题是否是排列问题： (1)从2，3，5，7中任取两数相乘可得多少个不同的积？ (2)从2，3，5，7中任取两数相除可得多少个不同的商？
解
关，
(1)由于两数相乘而得到的积与两数相乘时的顺序无
∴不是排列问题． (2)由于两数相除而得到的商与取出的两数中哪一数是除 数，哪一数是被除数的顺序有关．
第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个
排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
【变式2】 写出从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个字母 的所有排列并求出排列数． 解 画出树形图如图．
因此，共计有24个不同的排列，它们是abc，abd，acb，
acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，
解 (1)A3＝120(个)． 6
(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝ 216(个)． (3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、
三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有
3×6×5＝90(个)．
误区警示
对排列概念理解不清致误
【示例】 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必 须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ [错解] 10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的 集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法． 没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能 坐一人，已不符合映射模型了，本题事实上是一个排列问 题．
数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，
即所有排列的个数，它是一个数．
3．排列数公式 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (1)乘积形式：Am＝_________________________．(这里 n， n m∈N*且 m≤n.) (2)阶乘形式：Am＝ n n！ .(n，m∈N*，且 m≤n) （n－m）！
判断是否为排列问题的关键是选出的元素在 被安排时是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问 题；否则就不是排列问题．
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少
种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再 从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
[思路探索] 判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n
个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时，是
有序的还是无序的，有序就是排列，无序就不是排列． 解 题． (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐 标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问
元素的排法种数．
(2)排列数公式的特征：乘积式是从n到n－m＋1共m个连 续正整数的连乘积，阶乘式是n！除以(n－m)！.应熟记公 式两种形式的互相转化． (3)乘积式多用于含有数字的排列数的计算，而阶乘式一
般用于含有字母的排列数的计算或证明．
题型一
排列的概念
【例1】 判断下列问题是否是排列问题 (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内 的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
或者元素相同、排列顺序不同，都是不同的排列．只有当
元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是 同一个排列． (3)在定义中规定m≤n，如果m＝n，称作n个元素的全排 列．
2．对排列数的理解 (1)正确区分排列与排列数两个概念：排列是指m个元素按 照一定的顺序排成一列而得到一个排列，排列数是指m个
x2－15x＋50＜0， 整理得 即 * x≤6且x∈N .
5＜x≤6 且 x∈N*，从而解得 x＝6.
(2)证明：An＋1－An＝(n＋1)！－n! n ＋1 n n ＝(n＋1)n！－n！＝n· n！＝nAn. 3 A1＋2A2＋3A3＋…＋8A8 1 2 8 1 3 9 ＝(A2－A1)＋(A3－A2)＋…＋(A8－A7)＋(A9－A8) 2 2 8 7 8 9 ＝A9－A1＝9！－1＝362 879. 1
提示
由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同
一个元素．
2．排列数的定义 所有不同排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________ 的个数 _______，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 用符号 Am表示． n
想一想：排列与排列数的区别是什么？ 提示 “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是 指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个
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人教版高中数学选修2-3课件：1.2.1排列 (共28张PPT)
1 2
3 2
4 2 2
1
3 1
4 2
3 1
3
3 42 42 3
41 4 1
2
有此可写出所有的三位数：总共24种
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
想一想：这两个问题有什么相同点？
基本概念
1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m (m n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不
同元素中取出m个元素的一个排列。(一取二排)
说明： （1）m＜n时的排列叫选排列，
（2）m＝n时的排列叫全排列。
排列的特征
1、含有“不同”，“元素不能重复”等词。
3.分类计数与分步计数原理的区别和联系：
分类加法原理 区别一 分步乘法原理
完成一件事有不 同的方案关键是 “分类”
完成一件事情,共分n 个步骤，关键是 “分步”
任何一步都不能独立 每类办法都能独立 完成这件事情，只有 完成 这件事情。 区别二 每个步骤完成了，才 能完成这件事情。
区别三
各类办法是互斥的、
m n
n 当m＝n时，An n(n 1)(n 2)3 2 1
是排列
不是排列
(教师用书)高中数学 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式课件 新人教A版选修2-3
【自主解答】 5＋1 3 ＝ . 50－10 20
4 4 A5 5A4 9＋A9 9＋A9 (1) 法 一 ： 6 ＝ 4 4＝ A10－A5 50A － 10A 10 9 9
问题
设计意图
师生活动
教师引导学生分析， (7)第15页的问题2 得出“一件事”是 为理解排列概念奠 “从4个数字中选3 中要完成的“一件 定基础. 事”是什么？ 个排成一个三位 数”．
学生独立完成解题 让学生完整经历问 过程后，再让学生 (8)你能仿照问题1 题1的解答过程， 发言、讨论，特别 的解决过程，给出 建立理解排列概念 注意用“分 详细解答吗？ 的经验. 步”“顺序”等进 行引导．
问题
设计意图
师生活动
教师提问，学生讨 (3)怎样用计数原理 启发学生联系计数 论、回答，得出分 原理. 解决它？ 步完成选人参加活 动． 教师引导学生理解 “甲乙”和“乙甲” (4)“甲上午乙下午” 是两种不同选法； 与“乙上午甲下午”辨析问题，为引出 在计数过程中， 一样吗？在计数过 排列概念做准备. “先选甲后选乙” 程中考虑到了吗？ 与“先选乙后选甲” 被看成两种不同选 法．
【自主解答】 (1)植树和种菜是不同的， 存在顺序问题， 是排列问题． (2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题． (4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题． (5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺 序的，是排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素”，二是 “与顺序有关”． 2．排列的特点是“与顺序有关”．因此，判断一个问 题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题．
问题
设计意图
师生活动
教师引导学生使用 (5)你能列出所有选 使学生相信答案的 树形图列举结果， 法，以说明用分步 正确性，为理解排 并进一步说明用分 计数原理得出的答 列概念奠定基础. 步乘法计数原理解 案是正确的吗？ 题的可靠性． 教师：一般地，可 以把被取对象称为 (6)舍弃具体背景， 将具体问题抽象到 元素． 如何叙述问题1及 一般问题，为引出 教师引导学生用“ 排列概念做准备. 其解答？ 元素”“排列”等 词叙述问题．
高中数学人教A版 选修2-3 1.2.1 排列 PPT 课件
（1）男甲排在正中间；A
4 4
=
2
4
（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；A25-2A44+A33=78
（3）两个女生排在一起； A22 A44=48 （4）两个女生两两都不相邻； A33 A42=72
练习3、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少种 不同的排法？
⑴女生必须全分开
A 6 3A 5 5=1 2 0 1 2 0=1 4 4 0 0
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
概念解析
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号
A
m n
表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
第一章 计数原理 1.2.1 排列
创设情境
问题1：在1.1节的学习我 们看到,用分步乘法计数原理解决一 些问题时,因做了一些重复性工作而 显得繁琐,能否对这一类计数问题给 出一种简捷的方法呢?
乘问法题原探理究 ？种
30 X 29 X 28 冠军 亚军 季军
第四名Βιβλιοθήκη X 27冠军 亚军 季军 第四名 …… 第10名 30 X 29 X 28 X 27 X …… X 21
n “一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 m 个元素按照
一定的顺序排成一列，不是数；
n m “排列数”是指从 个不同元素中，任取 个元素的所有排
列的个数，是一个数；
所以符号
A
m n
只表示排列数，而不
表示具体的排列。
高中数学人教A版选修2-3课件1-2-1排列
整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.所
以n个不同元素的全排列数公式可以写成 A =n!.另外,我们规定
!
0!=1.所以 A =
.
(-)!
特别提醒注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指从n个
不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列
空法解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排
列,共有A66 种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22 种排法,故共有A66 ×
A22 =1 440(种)排法.
(2)法一:(间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的
答案:60
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
简单的排列问题
例1 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学
习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等
奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
(3)(插空法)
先排 4 名男生,有A44 种方法,再将 5 名女生插空,有A55 种方法,故共
有A44 ·A55 =2 880 种排法.
探究一
探究二
探究三
所以原方程的解为x=3.
反思感悟应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合
以n个不同元素的全排列数公式可以写成 A =n!.另外,我们规定
!
0!=1.所以 A =
.
(-)!
特别提醒注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指从n个
不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列
空法解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排
列,共有A66 种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22 种排法,故共有A66 ×
A22 =1 440(种)排法.
(2)法一:(间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的
答案:60
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
简单的排列问题
例1 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学
习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等
奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
(3)(插空法)
先排 4 名男生,有A44 种方法,再将 5 名女生插空,有A55 种方法,故共
有A44 ·A55 =2 880 种排法.
探究一
探究二
探究三
所以原方程的解为x=3.
反思感悟应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
[导入新知]
排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
1
排列的有关概念
用列举法解决排列问题
答案：B
排列数公
1.2
1.2.1
第 第一 一 课时 章
排列 与排 列数 公式
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
题型三
随堂即时演练 课时达标检测
[提出问题]
排列的定义
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？ 提示：不是． 问题2：有几种排法？ 提示：2种，男—师—女，女—师—男． 2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动， 其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动 ．
[化解疑难] 排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素 中取出元素；二是按一定顺序排列． (2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列 顺序相同.
[提出问题]
排列数及排列数公式
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复 数字的三位数？ 提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数． 问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一 列，共有多少种不同的排法？ 提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．
问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？ 提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确 定下午的同学． 问题2：有几种排法？ 提示：上午有3种，下午有2种， 因此共有3×2＝6种排法． 问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？ 提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、 甲下午．
[导入新知] 顺序
2015-2016学年高二数学人教版A版选修2-3课件：1.2.1.1 排列与排列数公式
合作探究 课堂互动
由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD， BCDA ， BDAC ， BDCA ， CABD ， CADB ， CBAD ， CBDA ， CDAB ， CDBA ， DACB ， DABC ， DBAC ， DBCA ， DCAB ， DCBA.
第二十九页，编辑于星期五：八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
树形图法在解决简单排列问题中的应用
从0,1,2,3这四个数字中，每次取 出三个不同数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数； (2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3 不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位 数．
数学 选修2-3
第一章 计数原理
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(3)若干个元素按照一定顺序排成一列，元素不同或元素相 同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的 元素和顺序都相同时才是同一个排列．
(4)研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同元素 中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重复抽 取同一元素的情况．
数学 选修2-3
ห้องสมุดไป่ตู้
第一章 计数原理
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1．2 排列与组合 1．2.1 排 列 第1课时 排列与排列数公式
第一页，编辑于星期五：八点 九分。
数学 选修2-3
第一章 计数原理
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第二页，编辑于星期五：八点 九分。
数学 选修2-3
选修2-3 1.2.1(排列一)排列概念与排列数公式(人教A版)精选教学PPT课件
（乘积形式）
n (n 1) (n m 1)(n m) 2 1 (n m) 2 1
n! (n m)! （阶乘形式）
说明：排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
3.例题讲解 利用排列数公式求值或化简
1.求值
(1)2A35
+
A
2 4
2.解方程
8! 7! m! (m 1)!
我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道 和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取 m 个元素
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m 个元素的
所有排列的个数，是一个数；所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排
(2)从1,2,3,4中任意选出3个组成一个三位数,共可得到多 少个三位数?
1.排列的概念
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ
（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
排列问题实际包含两个过程： （1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 （2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。
A（. A3165）m B共. 有A21m05个mm .C因..数A1．66m D.
A5 20 m
全排列
【人教A版】2015年秋新版高中选修2-3数学：1.2.1《(1)排列与排列数公式》ppt课件
【思路启迪】 判断取出的元素是否与顺序有关．
【解】
(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理
由是：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法 时， 与两个元素的位置无关， 但做除法时， 两个元素谁作除数， 谁作被除数不一样， 此时与位置有关， 故做加法不是排列问题， 做除法是排列问题．“入座”问题同“排队”，与顺序有关， 故选 3 个座位安排三位客人是排列问题．
提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排 列是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列 数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同 排列的个数”，它是一个数.
要 点 导 学
要点一
排列的概念
2．排列数与排列数公式 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数 ，用
m m A 符号 n 表示， 即 An ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ， 其中 n，
m∈N*，且 m≤n.
(2)n 个不同元素全部取出的一个排列， 叫做 n 个元素的一 个全排列．这时公式中 m＝n，即有 An n＝ n×(n－1)×(n－2)
解：(1)是．选出的 2 人，担任正、副班长任意，与顺序有 关，所以该问题是排列问题． (2)是． 显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系， 与 顺序有关． (3)是． 任取两个数组成点的坐标， 横、 纵坐标的顺序不同， 即为不同的坐标，与顺序有关.
要点二 用列举法解决简单的排列问题
“列举法”是解决简单排列问题的有效方法， 特别是元素 较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序挑出，然后以安 排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面 元素不变的情况下定第二位元素， 依次一直进行到完成一个排 列．有时借助“树形图”更加直观．
人教A版选修2-3 排列与排列数公式 课件(48张)
提示：排列定义包括两个基本内容：一是“取出的元素不能重 复”；二是“按照一定的顺序排列”．
2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的 排列顺序完全相同．
3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取 出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关， 所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序 有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一 个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题.
化简得，n2－9n＋8＝0. 解得，n＝8 或 n＝1(因为 n≥3，所以 n＝1 舍去)，所以 n 的值为 8.
解析：12 名学生分为 4 组，3 人一组无先后顺序，不属于排列 问题．
2．已知 An2＝132，则 n＝( B )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：n(n－1)＝132，n＝12.
3．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一 条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．(用数字作 答)
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的 阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下 标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，
2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的 排列顺序完全相同．
3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取 出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关， 所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序 有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一 个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题.
化简得，n2－9n＋8＝0. 解得，n＝8 或 n＝1(因为 n≥3，所以 n＝1 舍去)，所以 n 的值为 8.
解析：12 名学生分为 4 组，3 人一组无先后顺序，不属于排列 问题．
2．已知 An2＝132，则 n＝( B )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：n(n－1)＝132，n＝12.
3．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一 条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．(用数字作 答)
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的 阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下 标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，
【数学课件】选修2-3 1.2.1(排列一)排列概念与排列数公式(人教A版)
Ann n！
另外，我们规定 0!＝1
问题：请比较Am和An的差异，并思考这两者有何关系？
n
n
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
Ann n(n 1)(n 2) （n m 1)(n m) 3 2 1
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
（乘积形式）
n (n 1) (n m 1)(n m) 2 1 (n m) 2 1
A（．1A）11400第B．一A个1150因0 C数． 是A1160n0，D．后A面11700每一个因数比它前面一
2.个设因m 数N少*,1m． 15 ，则 15 m16 m...20 m 等于（ ）
（2）最后一个因数是n－m＋1．
A（. A3165）m B共. 有A21m05个mm .C因..数A1．66m D.
√（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 √（9）有10个车站，共需要多少种车票？ √ （10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素
的排列数。用符号 Anm 表示。
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
另外，我们规定 0!＝1
问题：请比较Am和An的差异，并思考这两者有何关系？
n
n
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
Ann n(n 1)(n 2) （n m 1)(n m) 3 2 1
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
（乘积形式）
n (n 1) (n m 1)(n m) 2 1 (n m) 2 1
A（．1A）11400第B．一A个1150因0 C数． 是A1160n0，D．后A面11700每一个因数比它前面一
2.个设因m 数N少*,1m． 15 ，则 15 m16 m...20 m 等于（ ）
（2）最后一个因数是n－m＋1．
A（. A3165）m B共. 有A21m05个mm .C因..数A1．66m D.
√（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 √（9）有10个车站，共需要多少种车票？ √ （10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素
的排列数。用符号 Anm 表示。
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种