最新5.1.1任意角的概念教学文案
高一数学必修一5.1.1任意角教学设计
5.1.1 任意角一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第1课时，本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。
树立运动变化的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。
教学方法可以选用讨论法,通过实际问题，如时针与分针、体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。
二、课标要求了解任意角的概念和弧度，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性三、教学目标与核心素养A.了解任意角的概念；B.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；C.掌握终边相同的角的表示方法；D.会判断角所在的象限。
四、学情分析学生在初中时已接触到角的概念(角的范围仅限于0°～360°)，在前面又学习了集合内容，具备了一定的基础知识，同时具备了一定的观察能力和数形结合能力.由于刚刚将角的概念推广，学生还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质，在理解终边相同的角的表示方法上，学生会出现障碍，另外，学生在用集合和数学符号语言正确地表示象限角时也可能会出现障碍.五、教学重点任意角的概念，象限角的表示六、教学难点终边相同角的表示，区间角的集合书写七、教学过程的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？2.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.3.角的构成要素：终边、始边、顶点。
4.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.︒︒︒-=-= =660,150 210.5γβα负角，负角画出下列各角：正角【解析】6.。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念引导学生回顾角度的概念，引入终边相同的角。
讲解任意角的定义，即不与任何特定角度相同的角。
强调任意角可以大于360°或小于-360°。
1.2 任意角的表示方法介绍用弧度制表示任意角的方法。
讲解用角度制表示任意角时，超过360°的部分记作正数，不足360°的部分记作负数。
示例练习，让学生熟悉表示方法。
第二章：任意角的性质2.1 任意角的度量讲解任意角的度量方法，即以原点为中心，以射线为边，绕原点旋转形成的角。
强调度量结果不受旋转方向影响。
2.2 任意角的分类讲解任意角的分类，如锐角、直角、钝角、平角、周角等。
示例练习，让学生掌握各类角的特征。
第三章：任意角的三角函数定义3.1 正弦函数的定义讲解正弦函数的定义，即任意角与其终边上的正弦线之间的比值。
强调正弦函数的周期性和奇偶性。
3.2 余弦函数的定义讲解余弦函数的定义，即任意角与其终边上的余弦线之间的比值。
强调余弦函数的周期性和奇偶性。
3.3 正切函数的定义讲解正切函数的定义，即任意角与其终边上的正切线之间的比值。
强调正切函数的周期性和奇偶性。
第四章：任意角的应用4.1 求解任意角的三角函数值讲解如何利用三角函数定义求解任意角的三角函数值。
示例练习，让学生熟悉求解过程。
4.2 任意角在实际问题中的应用举例讲解任意角在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。
让学生尝试用所学知识解决实际问题。
第五章：任意角的复习与拓展5.1 复习任意角的概念、性质和三角函数定义通过练习题，让学生巩固任意角的相关知识。
引导学生发现任意角的规律和特点。
5.2 拓展任意角的相关知识介绍任意角的进一步研究，如倍角公式、半角公式等。
鼓励学生自主学习，探索任意角的更多知识。
第六章：任意角的三角函数图形6.1 正弦函数的图形讲解正弦函数的图形特征，如波动性和周期性。
引导学生通过图形理解正弦函数的性质。
任意角的概念教案
任意角的概念教案教案标题：任意角的概念教案教案目标：1. 理解任意角的概念及其特点。
2. 能够正确使用角度单位进行角的度量。
3. 能够在平面坐标系中绘制和标记任意角。
4. 能够通过已知角度的运算求解未知角度。
教学资源：1. 平面坐标系图纸和直尺。
2. 角度测量工具，如量角器或半圆规。
3. 白板、黑板或投影仪。
4. 角度计算练习题。
教学步骤：引入活动：1. 向学生展示一个直角，并询问他们对角的概念的理解。
2. 引导学生思考是否只有直角才是角，或者是否存在其他类型的角。
3. 引出任意角的概念，并解释任意角是介于0度和360度之间的角。
知识讲解：1. 介绍角的度量单位：度和弧度。
2. 解释度的概念，即一个圆共分为360度。
3. 介绍弧度的概念，即一个圆的周长为2π，因此一个圆共分为2π弧度。
4. 比较度和弧度的关系，强调在数学中常用度作为角的度量单位。
示范与实践：1. 在平面坐标系中示范绘制一个任意角，并解释如何使用直尺和角度测量工具进行角度的绘制和度量。
2. 要求学生在自己的平面坐标系图纸上练习绘制和度量不同的任意角。
3. 引导学生讨论他们绘制和度量角的过程中遇到的困难和技巧。
角度计算：1. 引导学生思考如何通过已知角度进行角度计算。
2. 解释角度计算的基本运算法则，如角的加法、减法、乘法和除法。
3. 提供一些角度计算的练习题，让学生运用所学知识进行解答。
总结与评价：1. 总结任意角的概念和特点。
2. 回顾学生在绘制和度量角以及角度计算方面的学习成果。
3. 对学生的表现进行评价，并提供必要的反馈和指导。
拓展活动：1. 鼓励学生探索其他类型的角，如锐角、钝角等，并比较它们与任意角的异同。
2. 引导学生思考角度在日常生活和实际问题中的应用，如测量角度、导航等。
教案评估：1. 观察学生在绘制和度量角以及角度计算练习中的表现。
2. 收集学生在课堂讨论和活动中的参与程度和回答问题的准确性。
3. 评估学生对任意角概念的理解程度和能力的提升。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的表示方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角的分类。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的概念及表示方法。
2. 难点：任意角的分类。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的概念及表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解任意角的分类。
五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的概念及表示方法。
2. 分析实例，让学生理解任意角的分类。
3. 课堂练习，巩固所学知识。
六、课后作业1. 定义任意角，并写出表示方法。
2. 分析实例，判断任意角的类别。
第二章：任意角的度量一、教学目标1. 让学生掌握任意角的度量方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 任意角的度量方法。
2. 弧度制的概念及应用。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的度量方法。
2. 难点：弧度制的概念及应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的度量方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解弧度制的概念及应用。
五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的度量方法。
2. 分析实例，让学生理解弧度制的概念及应用。
3. 课堂练习，巩固所学知识。
六、课后作业1. 解释任意角的度量方法。
2. 运用弧度制，解决实际问题。
第三章：任意角的三角函数一、教学目标1. 让学生掌握任意角的三角函数定义及性质。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 任意角的三角函数定义及性质。
2. 三角函数在各象限的符号。
三、教学重点与难点1. 重点：任意角的三角函数定义及性质。
2. 难点：三角函数在各象限的符号。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解任意角的三角函数定义及性质。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子理解三角函数在各象限的符号。
五、教学步骤1. 引入新课，讲解任意角的三角函数定义及性质。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。
2. 培养学生运用图形计算器进行角的测量和绘制，提高学生的动手操作能力。
3. 通过对任意角的学习，培养学生对数学的兴趣和探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：任意角的概念及其表示方法。
2. 教学难点：任意角的测量和绘制。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。
2. 利用图形计算器，让学生亲自动手测量和绘制任意角，提高学生的实践能力。
3. 采用分组讨论法，培养学生团队合作精神，激发学生学习兴趣。
四、教学准备1. 准备图形计算器，确保每个学生都能进行实践操作。
2. 准备相关教案、PPT和教学素材。
3. 准备练习题，巩固学生所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾之前学过的角的概念，为新课学习做好铺垫。
2. 讲解任意角的概念：讲解任意角的概念，并用PPT展示相关图片，让学生形象地理解任意角。
3. 任意角的表示方法：介绍任意角的表示方法，如用弧度制、度分秒制等。
4. 实践操作：让学生使用图形计算器测量和绘制任意角，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 分组讨论：让学生分组讨论任意角的测量和绘制方法，分享彼此的经验和心得。
6. 总结提升：教师引导学生总结任意角的概念和表示方法，强调重点知识点。
7. 布置作业：发放练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为的教学做好准备。
六、教学内容与要求1. 教学内容：任意角的定义与表示方法，角的测量与绘制。
2. 教学要求：学生能理解任意角的定义，能用弧度制和度分秒制表示任意角。
学生能够使用图形计算器测量任意角的度数。
学生能够绘制给定度数的任意角。
七、教学过程设计1. 教学活动一：引入新课通过实际生活中的例子（如钟表上的指针、车轮的旋转等）引出角的概念。
提问：我们之前学习的角都是有限制的，有没有无限大的角呢？2. 教学活动二：讲解任意角讲解任意角的定义，强调任意角可以是正向旋转也可以是反向旋转。
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念引导学生回顾角度的概念，引入终边相同的角。
通过图形和实际例子，让学生理解任意角的概念。
1.2 任意角的表示方法介绍用角度制表示任意角的方法。
引导学生学习用弧度制表示任意角。
让学生通过练习，掌握任意角的表示方法。
第二章：任意角的分类2.1 象限角引导学生学习象限角的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角的定义。
2.2 轴线角引导学生学习轴线角的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解轴线角的定义。
第三章：任意角的三角函数定义3.1 正弦函数的定义引导学生学习正弦函数的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解正弦函数的定义。
3.2 余弦函数的定义引导学生学习余弦函数的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解余弦函数的定义。
3.3 正切函数的定义引导学生学习正切函数的概念。
通过图形和实际例子，让学生理解正切函数的定义。
第四章：任意角的三角函数性质4.1 正弦函数的性质引导学生学习正弦函数的性质。
通过图形和实际例子，让学生理解正弦函数的性质。
4.2 余弦函数的性质引导学生学习余弦函数的性质。
通过图形和实际例子，让学生理解余弦函数的性质。
4.3 正切函数的性质引导学生学习正切函数的性质。
通过图形和实际例子，让学生理解正切函数的性质。
第五章：任意角的三角函数在坐标系中的应用5.1 在直角坐标系中的应用引导学生学习任意角的三角函数在直角坐标系中的应用。
通过图形和实际例子，让学生理解任意角的三角函数在直角坐标系中的应用。
5.2 在极坐标系中的应用引导学生学习任意角的三角函数在极坐标系中的应用。
通过图形和实际例子，让学生理解任意角的三角函数在极坐标系中的应用。
第六章：任意角的三角恒等式6.1 和角公式引导学生学习两角和的正弦、余弦公式。
通过图形和实际例子，让学生理解两角和的正弦、余弦公式的推导和应用。
6.2 差角公式引导学生学习两角差的正弦、余弦公式。
5.1.1 任意角
关于终边相同角的表示及求法 (1)书写时不能漏掉 k∈Z； (2)k·360°与 α 应用“＋”连接，若写成 k·360°－30°，应视为 k·360° ＋(－30°)； (3)求一定范围内的终边相同的角即给 k 赋值，一定注意不能漏解．
(1)写出与 15°角终边相同的角的集合； (2)在(1)的集合中，将适合不等式－1 080°＜α＜360°的元素 α 求出来．
1．已知集合 A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于 90°的角}， 则下面关系正确的是( D )
A．A＝B＝C B．A⊆C C．A∩C＝B D．B∪C＝C 解析：由已知得 B⊆C，所以 B∪C＝C，故选 D. 2．将时钟拨快 20 分钟，则分针转过的度数是 －120°.
解析：分针每分钟转 6°，由于顺时针旋转，所以 20 分钟转了－120°.
2．会求一定范围内的终边相同的角、终边在一条直线上的角、终边 在一定区域内的角，培养学生数学运算的能力.
素养目标 1.掌握任意角、象限角的概念． 2.会表示终边相同的角.
新知线索
概念深层理解
1．任意角
类型
定义
一条射线绕其端点按 逆时针 方向旋转 正角
形成的角
一条射线绕其端点按 顺时针 方向旋转 负角
解：(1)与 15°角终边相同的角的集合是 M＝{α|α＝k·360°＋15°，k∈ Z}．
(2)在 M 中适合－1 080°<α<360°的元素 α 有 取 k＝－3 时，－3×360°＋15°＝－1 065°；取 k＝－2 时，－2×360° ＋15°＝－705°；
取 k＝－1 时，－1×360°＋15°＝－345°；取 k＝0 时，0×误，如 0°与 360°终边相同，但不相 等；②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；③小于 90°的角 是锐角错误，也可能是负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误， 如 120°是第二象限角，390°是第一象限角，但 120°<390°；⑤若角 α 的终 边经过点 M(0，－3)，则角 α 是终边在 y 轴负半轴上的角，故⑤错误．其 中错误的是①③④⑤.
【参考教案】《任意角》(人教)
【参考教案】《任意角》（人教）第一章：任意角的概念与表示方法1.1 任意角的概念1. 引导学生回顾角度的定义，复习锐角、直角、钝角的概念。
2. 引入“任意角”的概念，解释任意角是指大于0°且小于或等于360°的角。
1.2 任意角的表示方法1. 讲解如何用度数表示任意角，例如：一个任意角可以表示为375°。
2. 引导学生理解任意角可以分为锐角、直角、钝角三种类型。
第二章：任意角的度量与计算2.1 任意角的度量1. 介绍量角器的使用方法，示范如何测量任意角的度数。
2. 学生分组练习，测量不同角度的任意角，并记录结果。
2.2 任意角的计算1. 讲解如何计算两个任意角的和、差、乘积、除法。
2. 引导学生运用公式进行计算练习，例如：A + B = (A的度数+ B的度数)°。
第三章：任意角的性质与变化3.1 任意角的性质1. 引导学生探讨任意角的性质，如：任意角的对边相等、相邻角互补等。
2. 学生通过实例验证这些性质，并记录在教案中。
3.2 任意角的变化1. 讲解如何通过旋转或翻转改变任意角的大小。
2. 学生进行实际操作，观察任意角的变化，并记录在教案中。
第四章：任意角的应用4.1 任意角在几何中的应用1. 引导学生回顾几何中任意角的概念和性质。
2. 学生举例说明任意角在几何中的应用，如：计算三角形内角和、证明角度相等等。
4.2 任意角在生活中的应用1. 引导学生思考任意角在生活中的应用场景。
2. 学生举例说明任意角在生活中的应用，如：测量角度、设计建筑等。
第五章：任意角的综合练习5.1 综合练习题1. 设计一组综合练习题，包括任意角的表示、度量、计算、性质和应用等方面的内容。
2. 学生独立完成练习题，教师进行讲解和解答。
5.2 小组讨论与总结1. 学生分组讨论在练习过程中遇到的问题和解决方法。
2. 每组选代表进行总结，分享学习心得和经验。
第六章：任意角的弧度制6.1 弧度制的引入1. 讲解弧度制的概念，解释为什么用弧度制表示角度。
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【 5.1.1 任意角的概念】
动脑思考 明确新知
【 5.1.1 任意角的概念】
高中阶段对角的定义： “旋转”形成角
角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个 位置所形成的图形。
角的内部
a
顶点
始边
动脑思考 明确新知
【 5.1.1 任意角的概念】
角的分类：
任 意 角
正角：逆时针方向旋转
顶点
负角：顺时针方向旋转
+
-
始边
零角：没有旋转 0 0
度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑 旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到任意大小。
运用知识 强化练习 1、下面两个角的大小分别是多少？
α =450º
β =-630º
运用知识 强化练习
2、当时间由2：00到5：00，时针旋转了多 少度？分针旋转了多少度？
y
II
I
象限角
角 是第一象限角 I
O
x 角 是第三象限角 III
角 不是象限角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱIII
IV
知识巩固
注意：
处于标准位置的角的终边落在第几象限，就 把这个角叫做第几象限的角，如果角的终边落在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
运用知识 强化练习
练1：在直角坐标系中，下列各角分别是第几象限 的角？
5.1.1任意角的概念
复习回顾
【 5.1.1 任意角的概念】
1、在初中角是如何定义的？
定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
顶点
B
边
O
A
边
思考 1：
假如你的钟表快了30分钟,你将怎样把它调 整准确? 快了2个小时呢？
逆时针旋转180º 逆时针旋转720º
假如你的钟表慢了30分钟,你将怎样把它调 整准确? 慢了2个小时呢？
30° –100°
第1 象限
-390° 120° 390° 330°
第2 象限
第3 象限
第4 象限
运用知识 强化练习
练2：判断正误
1、第四象限角一定是负角。 2、锐角是第一象限的角。 3、第一象限的角都是锐角。 4、第二象限角一定比第一象限角大。 5、小于90º的角都是锐角。
（×）
（√）
× （ ） （×） （×）
归纳小结
正角：逆时针方向旋转
任意角 负角：顺时针方向旋转
零角：没有旋转
象限角：处于标准位置的角的终边落在第几象限， 就把这个角叫做第几象限的角。
非象限角：终边落在坐标轴上的角
下课！
5.1.1 任意角的概念
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运用知识 强化练习
3、请小组协作，展示150º、-30º、270º角的 形成过程，并指出角的始边和终边。
思考 2：
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系里面讨 论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴 重合，那么对于任意一个角，角的终边可能落在哪些位置？
y
o
x
动脑思考 明确新知