江苏省泰州中学2017-2018学年高二6月月考文数试题(精编含解析)
江苏省泰州中学2017-2018学年高二12月月考数学试题
江苏省泰州中学2020-2021学年高二12月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．2．曲线2x y e =在0x =处的切线方程是__________．3．抛物线24y x =的焦点坐标是_______．4．双曲线22124-=y x 的渐近线方程为__________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y +=上一点P 到其左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为__________．6．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为__________． 7．设ΔABC 是等腰三角形，∠ABC =120∘，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为____．8．观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，…，根据以上式子可以猜想1+122+132+⋯+120152< ．9．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为________. 10．已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++⋯+++⋯+=，则在此等比数列{}n b 中，利用类比推理有类似的结论：__________．11．若函数1()2x f x e x -=+-（e 为自然对数的底数），3()2g x ax ax a =---，若存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==，且12||1x x -≤，则实数a 的取值范围是__________．12．用数学归纳法证明“()*1111,12321n n n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项13．三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内解三角形．已知A 为椭圆2222x a y a +=（1a >）的上顶点，若以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC ∆有且只有三解，则椭圆的离心率的取值范围是__________．14．已知函数31()4f x x mx =-+，()lng x x =-，{}min ,a b 表示a ，b 中的最小值，若函数{}()min (),()h x f x g x =（0x >）恰有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．二、解答题15．已知命题p ：函数32()f x x ax x =++在R 上是增函数；命题q ：{}|11x x x ∀∈-≤≤，不等式2220x x a -++>恒成立．（1）如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．16．试用适当的方法求证下列命题：（1>（2）求证：1不可能是同一个等差数列中的三项． 17．已知函数32()4f x x ax =-+-（a R ∈）．（1）若函数()y f x =的图象在点(1,(1))P f 处的切线的倾斜角为4π，求a ； （2）设()f x 的导函数是'()f x ，在（1）的条件下，若m ，[]1,1n ∈-，求()'()f m f n +的最小值． 18．已知数列{}n a 满足11a =，1924n n na a a +-=-（n 为正整数）． （1）求2a ，3a ，4a 并猜想出数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）的结论．19．如图是一块地皮OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OA =km，AB =，π4OAB ∠=．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a =km ，矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2．（1）求()f a ，并写出定义域；（2）当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点N 到定点(,0)M m （02m <<）的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标；（3）如图，过椭圆C 的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C 于点M ，N ，设直线AM 的斜率为k ，直线l ：21k y x k-=分别与直线AM ，AN 交于点P ，Q ．记AMN ∆，APQ ∆的面积分别为1S ，2S ，是否存在直线l ，使得126465S S =？若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．已知2()ln 1f x x x a=-+（a 为常数）． （1）当2a =时，求函数()f x 的单调性；（2）当2a >时，求证：()0a f e <；（3）试讨论函数()f x 零点的个数．参考答案1．若21x ≠，则1x ≠【详解】根据逆否命题的写法：既否条件又否结论，原命题的否命题为若21x ≠，则1x ≠. 故答案为若21x ≠，则1x ≠.2．220x y -+=【解析】'002,22,x y e y e ==='当自变量等于0时，函数值为2，故得到切线方程为：220x y -+=。
江苏省泰州中学2017-2018学年高二6月月考理数试题(解析版)
1．10【解析】分析：根据平均数的计算公式求解即可得到结论．详解：由题意得所求平均数为．点睛：本题考查样本平均数的概念及求法，考查学生的计算能力，属于容易题．2．【解析】分析：由极坐标方程得到圆的半径，然后根据圆面积公式计算可得结果．详解：∵圆的极坐标方程为，∴圆的半径为2，∴该圆的面积为．点睛：本题考查极坐标方程，解题的关键是正确理解方程的含义、得到圆的半径，同时也考查学生的运算能力．点睛：对于总体中的个体具有明显差异的总体来说，抽样时可用分层抽样．分层抽样即在每个层中按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比等于总体中各层的数量之比．4．500【解析】分析：由题意得到数据在[125,150)内的频率，根据频率、频数和样本容量间的关系可得所求．详解：由频率分布直方图可得，数据在[125,150)内的频率为，所以．点睛：解答本题时注意两点：一是在频率分布直方图中，小长方形的面积才表示该组的频率；二是求解时要注意频率、频数和样本容量间的关系，由题意正确列式求解．5．25【解析】分析：由题意得即求的值，计算可得结果．详解：由题意可得，运行的结果为．点睛：解答本题的关键是读懂题意，明确求解的问题，然后再根据题意求解即可，主要考查学生的阅读理解能力和运算能力．点睛：本题考查二项展开式的通项和组合数的性质，解题的关键是正确得到通项，同时也考查学生对组合数的运算能力．7．【解析】分析：根据独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式求解即可．详解：由题意得，甲、乙、丙三人射击同一目标都未击中的概率为，所以甲、乙、丙至少一人击中的概率为，即目标被击中的概率为．点睛：解答概率问题的关键是认清概率的类型、选择合适的公式求解，对于含有“至多”、“至少”等词语的问题一般可根据对立事件的概率求解，可减少运算量、提高解题的效率．8．【解析】分析：根据分布列的性质求出的值，然后再根据方差的定义求解即可得到结论．详解：由题意得，即，解得．∴．点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．9．【解析】分析：根据条件概率的定义求解即可．详解：由条件得，∴．点睛：条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得．∴展开式的通项为，令可得，即展开式的常数项为．点睛：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围．求常数项时，即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程可得结果．11．9；【解析】经分析知, 12341,2,3,4x x x x ---- 这四个自然数的和为6,分情况讨论:①当四个自然数为1,1,1,3时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,3,4,1和4,1,2,3两种情况,②当四个自然数为1,1,2,2时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,4,1,3和3,1,4,2两种情况,③当四个自然数为1,2,3,0时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,4,1,3和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3共4种情况,当四个自然数为0,0,3,3时, 1234,,,x x x x 的值分别为4,2,3,1.④当四个自然数为0,2,2,2时,没有符合的.故这样的排列共有22+4+1=9+ 种情况.点睛：本题主要考查了分类加法计数原理，由123412346x x x x -+-+-+-=有，由于绝对值结果为非负数，1234,,,x x x x 为1,2,3,4的一个全排列,所以每一个绝对值结果为自然数且它们的和为6, 故12341,2,3,4x x x x ----可能为1,1,1,3或1,1,2,2或1,2,3,0或0,0,3,3.每一个绝对值的结果不超过3.分类要做到不重不漏.（2）从4个括号中选择3个并选取其中的，从剩余的一个括号中选取，相乘后得．所以展开式中的系数为．点睛：求三项式的展开式中特定项的系数时，可按照以下两种思路进行：（1）化为二项式后，再根据二项展开式的通项公式求解；（2）根据组合的方法“凑”出所求项，再根据要求求解． 13．84【解析】分析：分甲入选和甲不入选两种情况求解． 详解：分两种情况求解．（1）当甲入选时，由题意可得乙一定入选，另外2人可从剩余的8人中选取，共有种方案； （2）甲不入选时，由题意得丙一定入选，另外3人从剩余的8人中选取，共有种方案．根据分类加法计数原理可得共有种选派方案．点睛：使用分类加法计数原理时注意两点：（1）根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；（2）分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法． 14．5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1， 令，则故答案为5【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题． 15．(1) 3a = (2) 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）由2142120a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦可解得3a =；（2）矩阵M 的特征多项式为()23|21f λλλ--=-- ()()221634λλλλ=---=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1-与4，再分别求其相应的特征向量.令()0fλ=，得矩阵M 的特征值为1-与4当1λ=- 时， ()()230{0210x y x y x y λλ--=⇒+=-+-=∴矩阵M 的属于特征值-1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 当4λ=时， ()()230{230210x y x y x y λλ--=⇒-=-+-=∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．（1）1225（2）932【解析】试题分析：(1)基本事件总数为5525N =⨯=个.函数有零点的条件为24a b ≥.()0,0， ()1,0， ()2,0， ()2,1， ()3,0， ()3,1， ()3,2， ()4,0， ()4,1， ()4,2， ()4,3， ()4,4，则函数()f x 有零点的概率为1225. (2)由几何概型的计算公式可得事件“()10f >”的概率为133924432P ⨯⨯==⨯. 试题解析：解：（1）a ， b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为5525N =⨯=个.函数有零点的条件为240a b ∆=-≥，即24a b ≥.因为事件“24a b ≥”包含()0,0， ()1,0， ()2,0， ()2,1，()3,0， ()3,1， ()3,2， ()4,0， ()4,1， ()4,2， ()4,3， ()4,4，所以事件“24a b ≥”的概率为1225P =，即函数()f x 有零点的概率为1225. （2）a ， b 都是从区间[]0,4上任取的一个数， ()110f a b =-+->，即1a b ->，此为几何模型，如图可知，事件“()10f >”的概率为133924432P ⨯⨯==⨯. 点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关. 17．(1)；(2)，；(3).【解析】分析：（1）由极坐标和直角坐标间的转化关系可得结论．（2）根据转化公式可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数可得曲线D 的普通方程．（3）由题意求得和点P 到直线的距离后可得三角形的面积．（2）将代入，得，∴曲线的直角坐标方程为.消去方程中的参数，得，∴曲线的参数普通方程．（3）因为直线：过圆：的圆心，∴为圆的直径，∴.又点到直线：的距离为，∴．点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．参数方程与普通方程间的互化，常用的方法是根据合适的方法消去参数即可．18．(1)；(2)；(3).详解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，,．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，又．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）设平面的法向量为，则，即，所以．由（1）可得平面的法向量为．所以.由图形知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．点睛：求线面角时注意所求角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，下结论时注意转化．在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要结合图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得到所求．19．(1)；(2).【解析】分析：（1）根据古典概型概率求解．（2）由题意得到的所有可能取值，然后分别求出对应的概率后可得分布列，进而可得期望．详解：（1）从正棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，其中“”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法．所以.（2）依题意的所有可能取值为，所以，故．所以的分布列为所以．点睛：（1）解答本题的关键是根据几何图形得到分别对应的基本事件的个数，然后再结合古典概型概率公式求解．（2）求分布列时注意分布列性质的运用，以提高计算的效率．20．(1)；(2)证明见解析.详解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为，，，所以，．（2）当，时，依题意，则．所以.又，所以，所以（定值）．点睛：本题以集合为载体考查组合数的运算及应用，解题的关键是深刻理解的含义，然后根据集合的有关知识求解，在解题过程中注意组合数性质的运用．。
江苏省泰州中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学(文)试卷 Word版含解析
江苏省泰州中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学（文）一、填空题：共14题1．已知集合错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
_________.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】本题主要考查的是集合的运算,意在考查学生对基本概念的理解.因为错误！未找到引用源。
,又错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
.2．函数的单调递减区间为.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】本题主要考查了幂函数、对数函数的导数以及函数的单调性的基本知识.错误！未找到引用源。
，令，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，所以单调递减区间为错误！未找到引用源。
.【备注】历年高考题中常在大题中考查利用函数的导函数求函数的单调区间，难度适中.3．设集合错误！未找到引用源。
,那么“错误！未找到引用源。
”是“错误！未找到引用源。
”的____________条件.【答案】必要不充分【解析】本题主要考查的是充要条件,意在考查学生的逻辑推理能力.因为集合错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,所以“错误！未找到引用源。
”是“错误！未找到引用源。
”的必要不充分条件.4．“若实数满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
”的否是___________(填“真”或“假”).【答案】真【解析】本题主要考查的是及其关系,意在考查学生的逻辑推理能力.“若实数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
”的否是:“若实数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
,”是真.5．已知幂函数错误！未找到引用源。
的图象过点错误！未找到引用源。
,则此函数的解析式为_________.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】本题主要考查的是幂函数的定义,意在考查学生的运算能力.设错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
,故错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．2．（5分）已知直线y=kx是曲线y=e x的切线，则实数k的值为．3．（5分）已知函数f（x）=，则“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的条件．4．（5分）已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为．5．（5分）双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于．6．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是．7．（5分）函数的单调增区间为．8．（5分）一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点（如图），以FO所在直线为x轴，线段FO的中线为y轴，建立直角坐标系，则点P的轨迹方程为．9．（5分）已知双曲线﹣=1的焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为．10．（5分）已知点P在曲线y=sinx上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是．11．（5分）过点（1，﹣1）与曲线f（x）=x3﹣2x相切的直线方程是．12．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．13．（5分）已知椭圆E的方程为+y2=1，T为圆O：x2+y2=上一点，过点T作圆O的切线交椭圆E于A、B两点，则△AOB面积的取值范围是．14．（5分）f（x）=，g（x）=x3﹣3a2x﹣2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知：命题p：+=1表示双曲线，命题q：函数f（x）=x3﹣mx2+x﹣1在R上单调递增．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．17．（14分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A，B，点M为线段AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为．（1）求的值；（2）若OA⊥OB，求a、b的值．18．（16分）如图，江的两岸可近似地看成两条平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江岸的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．19．（16分）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．直线l与椭圆C交于不同两点A、B （A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g （x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x0∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．2017-2018学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x∈R，有x2＜0”．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：“存在x∈R，有x2＜0”．故答案为：“存在x∈R，有x2＜0”．2．（5分）已知直线y=kx是曲线y=e x的切线，则实数k的值为e．【解答】解：曲线y=e x的导数为y′=e x，设切点为P（x0，），则过P的切线方程为y﹣=（x﹣x0）代入（0，0）点得x0=1，∴P（1，e）∴k=e．故答案为：e．3．（5分）已知函数f（x）=，则“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件．【解答】解：f（x）=，在R上单调递增，∴log21≥1+c，∴c≤﹣1，∴“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要4．（5分）已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，∴cos30°=，得a=，c===以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，∴椭圆的离心率为：e===．．故答案为：．5．（5分）双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（2，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故答案为：．6．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是a≥1．【解答】解：由条件p：|x+1|＞2，解得x＞1或x＜﹣3，故¬p：﹣3≤x≤1由条件q：x＞a得￢q：x≤a∵¬p是¬q的充分不必要条件∴a≥1故答案为：a≥17．（5分）函数的单调增区间为（0，e）．【解答】解：由得函数的单调增区间（0，e），故答案为（0，e）8．（5分）一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点（如图），以FO所在直线为x轴，线段FO的中线为y轴，建立直角坐标系，则点P的轨迹方程为．【解答】解：以FO所在直线为x轴，线段FO的中垂线为y轴，建立直角坐标系．由题设，得：CD垂直平分线段MF，则有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10即|PO|+|PF|=10＞|OF|，所以点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆．方程为：，2a=10，2c=6，b2=16．点P的轨迹方程为：；故答案为：．9．（5分）已知双曲线﹣=1的焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为36．【解答】解：由题意得，a=8，b=6，c=10，∴F1（﹣10，0 ）、F2（10，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1 |﹣|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2 |=4a2+2•|PF1|•|PF2 |，∴400=4×64+2•|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=72，∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2 |=36．故答案为：36．10．（5分）已知点P在曲线y=sinx上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：y′=cosx∴tana=cosx∵﹣1≤cosx≤1即﹣1≤tanα≤1∵0≤α≤π∴0≤α≤或≤α＜π故答案为：[0，]∪[，π）．11．（5分）过点（1，﹣1）与曲线f（x）=x3﹣2x相切的直线方程是x﹣y﹣2=0或5x+4y﹣1=0．【解答】解：若直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠0），则k===+x0﹣1．∵y′=3x2﹣2，∴y′=3x 02﹣2，∴+x0﹣1=3x02﹣2，∴2x02﹣x0﹣1=0，∴x0=1，x0=﹣，∴过点A（1，﹣1）与曲线f（x）=x3﹣2x相切的直线方程为x﹣y﹣2=0或5x+4y ﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣2=0或5x+4y﹣1=0．12．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0，整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．∵|MF2|=|F1F2|，∴﹣c=2c．∴c2=3b2=3（c2﹣a2），∴c2=a2，∴e==．故答案为：．13．（5分）已知椭圆E的方程为+y2=1，T为圆O：x2+y2=上一点，过点T作圆O的切线交椭圆E于A、B两点，则△AOB面积的取值范围是[，] ．【解答】解：分别画出椭圆和圆的图象，如图所示，结合图象可得，当切线与x轴垂直时，|AB|最短，此时△AOB的面积最小，切线方程为x=±，代入椭圆的方程可得+y2=1，解得y=±，∴AB=，=××=；∴S△AOB当切线与y轴垂直时，|AB|最长，此时△AOB的面积最大，∴切线方程为y=±，代入椭圆的方程可得+y2=1，解得x=±，∴AB=，∴S=××=；△AOB综上所述△AOB面积的取值范围为[，]故答案为：[，]14．（5分）f（x）=，g（x）=x3﹣3a2x﹣2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围为．【解答】解：设t=2﹣x，则t∈[1，2]，y=4t+﹣16∴﹣4≤y≤﹣3∴f（x）值域[﹣4，﹣3]，∵g（x）=x3﹣3a2x﹣2a（a＞0），∴g′（x）=3x2﹣3a2=3（x+a）（x﹣a）若0＜a≤，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1﹣3a2﹣2a，﹣2a3﹣2a]；若＜a＜1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[﹣2a，﹣2a3﹣2a]；若a≥1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1﹣3a2﹣2a，﹣2a]；由条件，对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，故只须g（x）的值域包含f（x）的值域∴或或∴故答案为：二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知：命题p：+=1表示双曲线，命题q：函数f（x）=x3﹣mx2+x﹣1在R上单调递增．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）、命题p真：则（m+3）（m﹣1）＜0，得﹣3＜m＜1，∴实数m的取值范围是（﹣3，1）．（2）当命题q真：函数f（x）=x3﹣mx2+x﹣1在R上单调递增．∴f′（x）=x2﹣mx+1≥0在R上恒成立，∴△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，①p为真命题，q为假命题时，⇒﹣3＜m＜﹣2，②p为假命题，q为真命题时，⇒1≤m≤2，综上所述：实数m的取值范围：（﹣3，﹣2）∪[1，2]．16．（14分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象经过点P（0，2），知d=2，∴f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx﹣c．由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，又f'（﹣1）=6．解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令f'（x）＞0，得或；令f'（x）＜0，得．故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为．17．（14分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A，B，点M为线段AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为．（1）求的值；（2）若OA⊥OB，求a、b的值．【解答】解：（1）∵椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A，B，点M为线段AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为．∴联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，△=4b2﹣4（a+b）（b﹣1）=4（a+b﹣ab）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴弦AB的中点坐标M（，），∴OM所在直线斜率=．（2）∵OA⊥OB，∴•=x1x2+y1y2=x1x2+（1﹣x1）（1﹣x2）=2x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣+1=1﹣=0．整理，得a+b=2，联立，得a=4﹣2，b=2﹣2，满足△=4（a+b﹣ab）＞0，∴a=4﹣2，b=2﹣2．18．（16分）如图，江的两岸可近似地看成两条平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江岸的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．【解答】解：（1）若∠ADC=α，则∠ACD=﹣α，在△ACD中，由正弦定理可得：==，∴CD=，AD=，∴BD=20﹣，∴S=BD+2AD+3CD=++20=+30（＜α＜）．（2）S′（α）=，令S′（α）=0可得cosα=﹣，设cosα0=﹣，∴当＜α＜α0时，S′（α）＜0，当α0＜α＜时，S′（α）＞0，∴当α=α0时S（α）取得最小值．此时sinα0=，S（α0）=+30=20+30．AD==10﹣．∴中转站D建在何离A处10﹣千米时，运输总费用S最小，最小运输费用为20+30元．19．（16分）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：设P（x，y），则，…（2分），化简得：，∴椭圆C的方程为：．…（4分）（2）解：∵A（0，1），F（﹣1，0），∴，∠OFA+∠OFB=180°，∴k BF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1…（6分）代入，得：3x2+4x=0，∴，代入y=﹣x﹣1得，∴…（8分），∴，…（10分）（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2）设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：，…（13分），，，令y=0，得：，y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），=，…（15分）∴直线l总经过定点M（﹣2，0）…（16分）．20．（16分）已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g （x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x0∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…（1分）令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为…（3分）（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x0∈[1，2]使h（x）=f（x ），∴f（x）≥g（x）在x0∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x0∈[1，2]上有解，即不等式在x0∈[1，2]上有解，…（4分）设，∵对x0∈[1，2]恒成立，∴在x0∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…（7分）（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为，①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x ）=max {f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点…（8分）②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点…（9分）③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．当0＜x≤x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点；Ⅱ．当x＞x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数，∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点；从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点…（15分）综上所述，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点…（16分）。
江苏省泰州中学2017-2018学年高二上学期开学摸底考试数学试题Word版含答案
江苏省泰州中学高二年级数学期初检测第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．）1．函数()01x f x ⎛⎫- ⎪=的定义域为 ． 2．已知全集U R =，集合{}260A x x x =--≤，40x B x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，那么集合()U A B =I ð ．3．用“<”将0.20.2-， 2.32.2-，0.2log 2.3从小到大排列是 ．4．设变量x ，y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是 ．5．若3sin 5=α，,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππα，则5cos 4⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα ． 6．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b +λr r 与2a b -r r 共线，则=λ ．7．若m ，n ，l 是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题： ①若⊥αβ,m =αβI ，m n ⊥，则n ⊥α或n ⊥β；②若∥αβ，m =αγI ，n =βγI ，则m n ∥；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若m =αβI ，m n ∥，n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β；⑤若m =αβI ，n =βγI ，l =αγI 且⊥αβ，⊥αγ，⊥βγ，则m n ⊥，m l ⊥，n l ⊥.其中正确的命题是 ．（填序号）8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差8967a a a a +=+ ．9．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为 ．10．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 ．11．设a ，b R ∈，[)0,2c ∈π，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭π，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为 ．12．设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值 ．13．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x L 满足1206n x x x ≤<<<≤πL ，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112n n f x f x -+-=L （2m ≥，*N m ∈），则m 的最小值为 ． 14．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，过D 做DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=uuu r uuu r ． 第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知直线l ：2220x y m -+-=.（1）求过点()2,3且与直线l 垂直的直线的方程；（2）若直线l 与两坐标所围成的三角形的面积大于4，求实数m 的取值范围.16．一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD ∆折起，得到三棱锥A BCD -（如图2）.（1）若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：EF ∥平面ACD ；（2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD .17．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用t （0t ≥）万元满足421k x t =-+（k 为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）.（1）求常数k ，并将该厂家2016年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？18．在平面直角坐标系中，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以A 为圆心的圆A ：()2222x y r -+=（0r >）与圆O 交于B ，C 两点.（1）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当直线DE 长最小时，求直线l 的方程；（2）设P 是圆O 上异于B ，C 的任意一点，直线PB 、PC 分别与x 轴交于点M 和N ，问OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，12n n n n T b T b ++=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.江苏省泰州中学高二年级数学期初检测答案一、填空题1．112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 2．{}03x x ≤≤ 3． 2.30.20.2log 2.3 2.20.2--<<4．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．10- 6．12-7．②④⑤ 8．3+ 9．6:5:410．0或6 11．4 12 13．8 14．1615- 二、解答题15．解：（1）与直线l 垂直的直线的斜率为2-，因为点()2,3在该直线上，所以所求直线方程为()322y x -=--，故所求的直线方程为270x y +-=.（2）直线l 与两坐标轴的交点分别为()22,0m -+，()0,1m -， 则所围成的三角形的面积为12212m m ⨯-+⨯-.由题意可知122142m m ⨯-+⨯->，化简得()214m ->， 解得3m >或1m <-，所以实数m 的取值范围是()(),13,-∞-+∞U .16．证明：（1）因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥. 又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以EF ∥平面ACD .（2）因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC I 平面BCD BC =，CD ⊂平面BCD ，CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC .因为AB ⊂平面ABC ，所以CD AB ⊥.又因为AB AC ⊥，AC CD C =I ，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD .17．解：（1）由题意，当0t =时，1x =，代入421k x t =-+中，得141k =-，得3k = 故3421x t =-+，∴()6121.5612x y x x t x+=⨯⨯-+- 33636421x t t ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭182721t t t -=--+（0t ≥）. （2）由（1）知：182721y t t =--=+9127.5122t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦. 由基本不等式91122t t ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭+6=， 当且仅当91122t t =++，即 2.5t =时等号成立， 故18912727.512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦27.5621.5≤-=. 答：该厂家2016年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.18．解：（1）设直线l 的方程为1x y a b+=（0a >，0b >），即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O2=，即221114a b +=.2224DE a b =+=()22221116a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b ==l的方程为0x y +-=.（2）设()00,B x y ，()11,P x y （10y y ≠），则()00,C x y -，22004x y +=，22114x y +=直线PB 的方程为：()011101y y y y x x x x --=-- 直线PC 的方程为：()011101y y y y x x x x ---=-- 分别令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，100101N x y x y x y y +=+， 所以222210012201M N x y x y OM ON x x y y -⋅===-()()222210012201444y y y y y y ---=-为定值. 19．解：（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>， 解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U . （2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠. 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >. 于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4U .（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减.函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥. 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20．解：（1）因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2n n a =. 由12n n n n T b T b ++=得1123T b T b =，2234T b T b =，3345T b T b =，…，111n n n n T b T b --+=，12n n n n T b T b ++=， 以上n 个式子相乘得11212n n n T b b T b b ++=，即12n n n T b b +=①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②， 两式相减得()112n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥），所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为n b n =（2）当1n =时，11n n n n a b a b +++-无意义，设()112121n n n n n n n a b n c a b n +++++==--+（2n ≥，*n ∈N ），显然1n c >. 则()()11122212221n n n n n n n n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n n n n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦，即11n n c c +>>.显然()2121n n n n ++>-+，所以234731c c c =>=>>>L ， 所以存在2n =，使得72b c =，33b c =，下面证明不存在2n c =，否则()21221n n n n c n ++==-+，即()231n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的n b 为3b ，7b .。
江苏省泰州中学2017-2018学年高二6月月考理数试题(解析版)
1．10【解析】分析：根据平均数的计算公式求解即可得到结论．详解：由题意得所求平均数为．点睛：本题考查样本平均数的概念及求法，考查学生的计算能力，属于容易题．2．【解析】分析：由极坐标方程得到圆的半径，然后根据圆面积公式计算可得结果．详解：∵圆的极坐标方程为，∴圆的半径为2，∴该圆的面积为．点睛：本题考查极坐标方程，解题的关键是正确理解方程的含义、得到圆的半径，同时也考查学生的运算能力．点睛：对于总体中的个体具有明显差异的总体来说，抽样时可用分层抽样．分层抽样即在每个层中按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比等于总体中各层的数量之比．4．500【解析】分析：由题意得到数据在[125,150)内的频率，根据频率、频数和样本容量间的关系可得所求．详解：由频率分布直方图可得，数据在[125,150)内的频率为，所以．点睛：解答本题时注意两点：一是在频率分布直方图中，小长方形的面积才表示该组的频率；二是求解时要注意频率、频数和样本容量间的关系，由题意正确列式求解．5．25【解析】分析：由题意得即求的值，计算可得结果．详解：由题意可得，运行的结果为．点睛：解答本题的关键是读懂题意，明确求解的问题，然后再根据题意求解即可，主要考查学生的阅读理解能力和运算能力．点睛：本题考查二项展开式的通项和组合数的性质，解题的关键是正确得到通项，同时也考查学生对组合数的运算能力．7．【解析】分析：根据独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式求解即可．详解：由题意得，甲、乙、丙三人射击同一目标都未击中的概率为，所以甲、乙、丙至少一人击中的概率为，即目标被击中的概率为．点睛：解答概率问题的关键是认清概率的类型、选择合适的公式求解，对于含有“至多”、“至少”等词语的问题一般可根据对立事件的概率求解，可减少运算量、提高解题的效率．8．【解析】分析：根据分布列的性质求出的值，然后再根据方差的定义求解即可得到结论．详解：由题意得，即，解得．∴．点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．9．【解析】分析：根据条件概率的定义求解即可．详解：由条件得，∴．点睛：条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得．∴展开式的通项为，令可得，即展开式的常数项为．点睛：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围．求常数项时，即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程可得结果．11．9；【解析】经分析知, 12341,2,3,4x x x x ---- 这四个自然数的和为6,分情况讨论:①当四个自然数为1,1,1,3时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,3,4,1和4,1,2,3两种情况,②当四个自然数为1,1,2,2时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,4,1,3和3,1,4,2两种情况,③当四个自然数为1,2,3,0时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,4,1,3和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3共4种情况,当四个自然数为0,0,3,3时, 1234,,,x x x x 的值分别为4,2,3,1.④当四个自然数为0,2,2,2时,没有符合的.故这样的排列共有22+4+1=9+ 种情况.点睛：本题主要考查了分类加法计数原理，由123412346x x x x -+-+-+-=有，由于绝对值结果为非负数，1234,,,x x x x 为1,2,3,4的一个全排列,所以每一个绝对值结果为自然数且它们的和为6, 故12341,2,3,4x x x x ----可能为1,1,1,3或1,1,2,2或1,2,3,0或0,0,3,3.每一个绝对值的结果不超过3.分类要做到不重不漏.（2）从4个括号中选择3个并选取其中的，从剩余的一个括号中选取，相乘后得．所以展开式中的系数为．点睛：求三项式的展开式中特定项的系数时，可按照以下两种思路进行：（1）化为二项式后，再根据二项展开式的通项公式求解；（2）根据组合的方法“凑”出所求项，再根据要求求解． 13．84【解析】分析：分甲入选和甲不入选两种情况求解． 详解：分两种情况求解．（1）当甲入选时，由题意可得乙一定入选，另外2人可从剩余的8人中选取，共有种方案； （2）甲不入选时，由题意得丙一定入选，另外3人从剩余的8人中选取，共有种方案．根据分类加法计数原理可得共有种选派方案．点睛：使用分类加法计数原理时注意两点：（1）根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；（2）分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法． 14．5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为5【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题．15．(1) 3a = (2) 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）由2142120a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦可解得3a =；（2）矩阵M 的特征多项式为 ()23|21f λλλ--=-- ()()221634λλλλ=---=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1-与4，再分别求其相应的特征向量.令()0fλ=，得矩阵M 的特征值为1-与4当1λ=- 时， ()()230{0210x y x y x y λλ--=⇒+=-+-= ∴矩阵M 的属于特征值-1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；当4λ=时， ()()230{230210x y x y x y λλ--=⇒-=-+-=∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．（1）1225（2）932【解析】试题分析：(1)基本事件总数为5525N =⨯=个.函数有零点的条件为24a b ≥.()0,0， ()1,0， ()2,0， ()2,1， ()3,0， ()3,1， ()3,2， ()4,0， ()4,1， ()4,2， ()4,3， ()4,4，则函数()f x 有零点的概率为1225. (2)由几何概型的计算公式可得事件“()10f >”的概率为133924432P ⨯⨯==⨯. 试题解析：解：（1）a ， b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为5525N =⨯=个.函数有零点的条件为240a b ∆=-≥，即24a b ≥.因为事件“24a b ≥”包含()0,0， ()1,0， ()2,0， ()2,1，()3,0， ()3,1， ()3,2， ()4,0， ()4,1， ()4,2， ()4,3， ()4,4，所以事件“24a b ≥”的概率为1225P =，即函数()f x 有零点的概率为1225. （2）a ， b 都是从区间[]0,4上任取的一个数， ()110f a b =-+->，即1a b ->，此为几何模型，如图可知，事件“()10f >”的概率为133924432P ⨯⨯==⨯. 点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关. 17．(1)；(2)，；(3).【解析】分析：（1）由极坐标和直角坐标间的转化关系可得结论．（2）根据转化公式可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数可得曲线D 的普通方程．（3）由题意求得和点P 到直线的距离后可得三角形的面积．（2）将代入，得，∴曲线的直角坐标方程为.消去方程中的参数，得，∴曲线的参数普通方程．（3）因为直线：过圆：的圆心，∴为圆的直径，∴.又点到直线：的距离为，∴．点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．参数方程与普通方程间的互化，常用的方法是根据合适的方法消去参数即可． 18．(1)；(2)；(3).详解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，,．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，又．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．由（1）可得平面的法向量为．所以.由图形知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．点睛：求线面角时注意所求角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，下结论时注意转化．在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要结合图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得到所求．19．(1)；(2).【解析】分析：（1）根据古典概型概率求解．（2）由题意得到的所有可能取值，然后分别求出对应的概率后可得分布列，进而可得期望．详解：（1）从正棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，其中“”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法．所以.（2）依题意的所有可能取值为，“”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法，所以，故．所以的分布列为所以．点睛：（1）解答本题的关键是根据几何图形得到分别对应的基本事件的个数，然后再结合古典概型概率公式求解．（2）求分布列时注意分布列性质的运用，以提高计算的效率．20．(1)；(2)证明见解析.详解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为，，，所以，．（2）当，时，依题意，则．所以.又，所以，所以（定值）．点睛：本题以集合为载体考查组合数的运算及应用，解题的关键是深刻理解的含义，然后根据集合的有关知识求解，在解题过程中注意组合数性质的运用．。
江苏省泰州中学2017-2018学年高二6月月考语文试题含答案
江苏省泰州中学2018年度高二年级第二学期第二次质量检测语文试卷（总分160分时间：150分钟）一、语言文字运用(总共24分，每小题3分)1．在下面一段文字空缺处依次填入词语，最恰当的一组是(3分)( )梭罗去瓦尔登湖独自一人在那儿，地生活着他像修剪门前的杂草灌木一样，决然删除日常的，因为他认为，我们的生活几乎已被文明的浮华与琐屑殆尽，他以一种近乎英雄主义的孤身试验，证明人的生存所需其实很少，并企图阻拦文明人迅速滑向奢侈的。
A．安之若素细枝末节消费陷阱B．从容不迫繁文缛节消耗陷阱C．安之若素繁文缛节消费深渊D．从容不迫细枝末节消耗深渊2．下列交际用语使用不得体的一项是(3分)( )A．我是职场新人，很多规矩都不懂，不当之处请大家见谅。
B．年前回乡，给您捎带了一点土仪，不成敬意，还望笑纳。
C．此行承蒙雅爱，全程叨陪，设宴款待，盛情厚意，不胜感激。
D．欣闻兄台喜得麟儿。
衷心祝愿贵公子健康聪明，茁壮成长。
3．在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是(3分)( )我们停止说话，且看那瞬息万变的落照，迤逦行来，已到水边，水已成冰。
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但也有浅淡的光，照在框外的冰上，使人想起月色的清冷。
①冰中透出枝枝荷梗，枯梗上漾着绮辉②岸边几株枯树，恰为夕阳做了画框③框外娇红的西山，这时却全呈黛青色，鲜嫩润泽④一派雨后初晴的模样，似与这黄昏全不相干⑤远山凹处，红日正沉，照得天边山顶一片通红A．①④②⑤③B．①⑤②③④C．②①⑤③④D．②①③④⑤4．下列各句中，没有语病的一句是(3分)( )A．美英法4月14日对叙利亚发动空袭绕开安理会采取的单边军事行动明显有悖《联合国宪章》的宗旨和原则，违反国际法原则和基本准则，也将给叙利亚问题的解决增添新的复杂因素。
B．在构建和谐社会的过程中，科技创新要以民为本，这需要我们的科技工作者改变“公益类科技就是低端技术”的偏见，从制度上着手打造民生科技。
C．微电影，从关爱孤儿、帮扶贫弱到热爱自然、保护环境等多个方面已广泛发挥作用，艺术的力量已日益增强。
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1．【解析】分析：根据交集的定义，找出两集合的公共元素即可．详解：由已知．点睛：本题考查集合的交集运算，解题时根据交集定义，寻找两集合的公共元素即组成交集．2．200【解析】分析：按相同比例抽取教师和女生后，可得样本容量．详解：设教师、女生分别抽取人，则，∴，∴．点睛：在分层抽样中，采用分层比例抽样可以提高样本的代表性，及对总体数量指标的估计值的确定，避免出现简单随机抽样中的集中于某些特性或遗漏掉某些特性.点睛：判断充分必要条件可以通过研究相应的命题的真假得出结论：若为真，则是的充分条件，若为真，则是的必要条件；也可通过集合的包含关系得出：命题对应集合，命题对应集合，则时，是的充分条件，时，是的必要条件．既充分又必要的就是充要条件．4．7【解析】分析：模拟程序运算，可得输出值．详解：程序运行中，变量值依次为：；，；，此时不满足判断条件，结束循环，输出．点睛：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，一步一步运行程序即可得结果．这是我们解程序框图的常用方法之一．5．﹣．【解析】试题分析：显然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9．共10种情况．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．其中能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9．三种情况，故概率是．故填：．考点：求古典概型的概率.点睛：本题考查方差的计算，掌握方差的计算公式是解题基础，当然方差还具有如下性质：样本数据的方差为，则样本数据的方差为．7．【解析】分析：可用导数确定单调增区间．详解：由已知，由且得，当时，，当时，，∴增区间为．点睛：本题是求三角函数的单调区间，可以反函数化为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质得出：如，时，，的减区间为，即为的增区间．8．4【解析】分析：切化弦后，用正弦定理和余弦定理化角为边，再变形可得．详解：∵，∴，∴，∴，∴．点睛：本题考查正弦定理与余弦定理，在解三角形问题中，深深用这两个正理进行边角转换，如果等式两边是关于边的齐次式，则可直接由正弦定理化为的等式，反之如等式两边是关于的齐次式，则可直接化为的等式；如等式中有余弦，则要用余弦定理化角为边．点睛：复合函数的单调性，在的定义域内的区间上：增增增增减减减增增减减减10．1009【解析】分析：把已知与待求式代入函数式，变形即得．详解：，∴，∴．点睛：本题考查对数函数的性质，掌握对数的运算法则是解题关键．本题属于简单题．11．【解析】分析：把函数化为一个角的一个三角函数形式，再利用三角函数的周期求解．详解：．其周期是，射线与的交点依次为，则其中，，∴．点睛：直线（）与（或）的图象在一个周期内都有两个交点，因此题中那些交点依次排列（是按横坐标从小到大顺序排列的）后，奇数项的横坐标成等差数列，偶数项的横坐标也成等差数列，且公差均为函数的周期．点睛：解函数不等式，一般先确定的单调性，在单调区间内可直接去年函数符号，而具有奇偶性的函数，要利用奇偶性把转化到函数的同一单调区间上，才能求解．所以解此类问题，方法是判断奇偶性（由奇偶性求得参数值），判断单调性，转化自变量为同一单调区间，由单调性去函数符号，解不等式得结论．13【解析】由b=acosC+csinA ，1正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA 即sin （A +C ）=sinAcosC+sinCsinA可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA ∴cosAsinC=sinCsinA ，∵sinC ≠0∴cosA=sinA ，即tanA=1．0＜A ＜180°，∴A=45°在三角形ADC 中：由余弦定理可得： 222422c b c b +-=即bc=4b 2+c 2﹣8．∵4b 2+c 2≥4bc ，∴bc4+那么S=bcsinA．1212bc ≤1+故答案为：．1 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.14．605【解析】分析：分析已知条件得出函数是周期函数，且周期为10，这样只要研究函数在一个周期内的零点个数，就可以得出结论．∴函数在一个周期内只有3个零点，即上有个零点，当时，其图象与的图象是一致的，有2个零点，所以共有603＋2＝605个零点．点睛：本题考查函数的零点，考查函数的周期性．实际上本题是求区间上的零点个数，这个区间长度够大了，因此只有周期性才能得出正确结论，而有了周期性，我们只要研究函数在一期内的性质即可．15．（1），（2）【解析】分析：（1）利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，即的形式，然后由正弦函数的性质可求解．（2）由，求得，由正弦函数的性质可得最小值．②∴，即时，．点睛：三角函数问题一般都要利用两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、诱导公式等化为一个角的一个三角函数即形式，然后利用正弦函数性质求解．16．（1）（2）【解析】试题分析：1225932(1)基本事件总数为个.函数有零点的条件为.， ， ， ，5525N =⨯=24a b ≥()0,0()1,0()2,0()2,1， ， ， ， ， ， ， ，则函数有零点的概率为()3,0()3,1()3,2()4,0()4,1()4,2()4,3()4,4()f x .1225(2)由几何概型的计算公式可得事件“”的概率为.()10f >133924432P ⨯⨯==⨯试题解析：解：（1）， 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为个.a b 5525N =⨯=函数有零点的条件为，即.因为事件“”包含， ， ，240a b ∆=-≥24a b ≥24a b ≥()0,0()1,0()2,0， ， ， ， ， ， ， ， ，()2,1()3,0()3,1()3,2()4,0()4,1()4,2()4,3()4,4所以事件“”的概率为，即函数有零点的概率为.24a b ≥1225P =()f x 1225（2）， 都是从区间上任取的一个数， ，即，此为几何模型，a b []0,4()110f a b =-+->1a b ->如图可知，事件“”的概率为.()10f >133924432P ⨯⨯==⨯点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关.17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）对任意，恒有成立，得出，进而可知，即可求解不等式，得到集合；（2）通过集合的关系得到两个集合端点的大小，列出不等式，求出的取值范围．（2）解得, 解得考点：二次函数的性质；函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数的恒成立问题的求解即给出的新定义---凹函数，然后根据新定义证明，其中合理使用和接受新定义的内容，将集合之间的关系转化为端点的大小比较是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的的能力，转化与化归思想的应用，属于中档试题．18．（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP ，（2）甲从C到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又所以，时长为小时．当时，，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题. 19．（1），（2）【解析】分析：（1）根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解相应不等式；（2）求出的最小值，的最小值，然后再解不等式，注意分类讨论．详解：（1）依题意得当时，，或，；当时，，无解所以原不等式的解集为在上单调增，在上单调增，在上单调减当时，，则在上单调增，在上单调减，在上单调增当时，的上单调增，又因为所以①当时，在上单调增，②当时，又因为，结合时，的单调性，故，综上，，又因为，所以①当时，；②当时，综上得：当时，由得，故当时，由得，故当时，由得，故综上所述：的取值范围是点睛：不等式恒成立问题的等价转化：①对任意，，恒成立；②对任意，存在，使成立；③存在，对任意，使成立．20．（1），（2）①，②6详解：（1）由题意，，化简得解得（舍）或，所以（2）因为是奇函数，所以，所以化简并变形得：要使上式对任意的成立，则或解得：或，因为的定义域是，所以舍去所以，所以①对任意，有：因为，所以，所以因此在上递减因为，所以即在时有解，所以，解得所以的取值范围为令，，则在时恒成立令，时，，所以在上单调递减时，，所以在上单调递增所以，所以所以，实数的最大值是6．点睛：本题考查指数函数的性质，考查换元法的应用．解方程或不等式可用换元法，即，变为或，同样与有关的问题，也是用换元法，即设，只是要注意的取值范围（这个范围可用基本不等式或用函数的单调性求解），否则会出错．。