江苏省泰州中学2020学年高一数学下学期期中试题(扫描版)
江苏省泰州中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省泰州中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.在ABC ∆中，若30B°?，AB =2AC =，则满足条件的三角形有（ ）个 A.B. 1C. 2D. 不确定 【答案】C【解析】【分析】直接利用sin AB AC AB B >>来判断三角形解得情况.【详解】在ABC ∆中，30B°?，AB =2AC =，则sin AB AC AB B >>，所以，ABC ∆有两解.故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．2.正方体被平面所截得的图形不可能是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C 项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.3.10y +-=的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk =求解倾斜角.10y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=.故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.4.以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A. 2280x y x y +---=B. 2290x y x y +---=C. 2280x y x y +++-=D. 2290x y x y +++-= 【答案】A【解析】【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.5.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ）A. 310x y -+=B. 370x y ++=C. 3110x y --=D. 3130x y ++=【答案】D【解析】【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程. 【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--； 设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=则3(4)(1)0m ⨯-+-+=解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=.故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A. 2B.C. 43πD. 6π 【答案】D【解析】【分析】依题意最大的球为与正方体各个面相切，直径为正方体的棱长，即可求解.【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球， 该球为正方体的内切球，其半径为12，所以球体积为341()326ππ⨯=.故选：D .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.7.在ABC V 中，2cos22B a c c +=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC V 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得． 【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键． 8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. 2m 3 C. 43m D. 3m 2【答案】B【解析】【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m 的一扇形，蚂蚁从P 爬行一周后回到P （记作1P ），作1OM PP ⊥，如下图所示：的由最短路径为，即12PP OP ==， 由圆的性质可得13POM POM π∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23π， 则圆锥底面圆的周长为24233l ππ=⨯=， 则底面圆的半径为423223l r πππ===， 故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.9.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A. 5B. C. 4 D. 16 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案．【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211*********()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=- 又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）11.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）A. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥B. 若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nC. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nD. 若αβ⊥，m α⊂，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥【答案】ABD【解析】【分析】根据线面的位置关系对每个选项进行判断．【详解】由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又由n β⊂，得αβ⊥，A 正确；由//αβ，m α⊥，得m β⊥，又由n β⊥，得//m n ，B 正确；若//αβ，m α⊂，n β⊂，,m n 可能平行也可能是异面直线，C 错误；由面面垂直的性质定理知D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．12.设有一组圆k C ：()()224132x k y k k -++-=（*k N ∈）.下列四个命题中真命题的是（ ） A. 存在一条定直线与所有的圆均相切B. 存在一条定直线与所有的圆均相交C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交D. 所有圆均不经过原点【答案】BD【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断A ．由圆心所在直线判断B ，由圆半径可能无穷大，判断C ，代入原点坐标确定方程是否有整数解判断D ．【详解】圆心为(1,3)k C k k -，半径为2k r =，1(0,3)C ，1r =2(1,6)C ，2r =12C C ==<=1C 与圆2C 是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A 错误；易知圆心在直线3(1)y x =+上，此直线与所有圆都相交，B 正确；若k 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C 错；将(0,0)代入圆方程得224(1)92k k k -+=，即2410212k k k -+=，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，掌握反证法，特殊值法，综合性较高．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第15题第一空2分，第二空3分；共20分）13.若直线()2540a x y +-+=与()2210x a y +--=互相垂直，则a 的值是__________.【答案】4-.【解析】【分析】由垂直的条件求解．【详解】∵已知两直线垂直，∴2(25)(2)0a a +--=，解得4a =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．14.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且1BD AC ==，则EF 的长为__________.【答案】12【解析】【分析】 取BC 中点G ，可证EGF ∠（或其补角）是BD ，AC 所成的角，分类计算．【详解】取BC 中点G ．连接,GE GF ，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴//,//EG AC GF BD ，1122GE BD ==，1122GF BD ==， ∴BD ，AC 所成的角是EGF ∠（或其补角）， 若60EGF ∠=︒，则12EF GE ==，若120EGF ∠=︒，则12sin 6022EF GF =︒=⨯=，故答案为：12或2．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时要注意通过平行线作出异面直线所成角时，对应的角或其补角是异面直线所成的角，因此可分类讨论．15.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：()0,3Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切.已知直线l 过点O .（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________.【答案】 (1). 3 (2).125【解析】【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆L 与圆S 的圆心坐标，（1）求出切线方程后，求出Q 到切线l 的距离后由勾股定理得弦长．（2）设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(,0)(0)S a a >23=+，4a =，即(4,0)S ，∴(4,0)L -．（1）设l 方程为y kx =，即0kx y -=2=得k =，由对称性不妨取k =l方程为y x =，0x -=，圆心Q 到l2=，∴弦长为3=； （2）同（1）设直线l 方程为0kx y -=，点Q 到直线l，直线截圆Q得弦长为d ==S 到直线l，直线截圆S得弦长为d ===，解得2421k =，∴125d ==． 故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．16.在锐角ABC V 中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是__________.【答案】2⎭【解析】【分析】由正弦定理化角为边，由余弦定理求出中线长（用三边表示），然后根据已知条件求出b 的范围，结合二次函数性质得bc 的范围，从而得中线取值范围．【详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，又2a =，所以4b c +=，由余弦定理得2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，12BD CD a ==， 所以2222122b c AD a +=+，所以AD === 又4b c +=，即4c b =-，因为ABC V 是锐角三角形，∴222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，所以222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解得3522b <<，∴2215(4)4(2)4(,4]4bc b b b b b =-=-=--+∈，AD ≤<故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，二次函数的性质的综合应用，解题时利用余弦定理建立中线与三角形边长之间的关系是基础，利用锐角三角形求出b 的取值范围是解题关键．四、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． ∴Ⅰ）求∠A ∴∴Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠∴∴2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高∴ 详解：解∴∴1）在△ABC 中，∵cos B =–17∴∴B ∴∴π2∴π∴∴∴sin B=由正弦定理得sin sin a b A B =⇒ 7sin A=AB ∴∴π2∴π∴∴∴A ∴∴0∴π2∴∴∴∴A =π3∴ ∴2）在∴ABC 中∴∴sin C =sin∴A +B ∴=sin A cos B +sin B cos A1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴ 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ∴∴h =sin BC C ⋅=7=∴∴AC∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18.在如图所示五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形∴所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ∴且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o,所以,EH AD BH AD ⊥⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以122BDES ==V , 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为11422BDM BCD S S ===V V , 所以由E BDM M BDE V V --=,得113232h =⨯⨯,解得5h = 即F 到平面BDE的距离为5∴ 19.已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝,（1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程.【答案】（1）x ＋y －3＝0（2）圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40 【解析】 【分析】（1）求出AB 中点坐标和直线CD 的斜率，即得直线CD 的方程；（2）设圆心P （a ，b ），求出,a b 的值，即得圆P 的方程.【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2）. 所以1CD k =-.则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1）， 所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝，所以|P A |＝ 所以（a ＋1）2＋b 2＝40.② 由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）.所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40.【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，AB 是O e 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：PBC V 是直角三角形；（2）若2PA AB ==，且当直线PC 与平面ABC 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）由PA ABC ⊥平面，得BC PA ⊥，再有BC AC ⊥，这样可由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而得证线线垂直，即得证结论；（2）过A 作AH PC ⊥于H ，由（1）可证AH PBC ⊥平面，从而有ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，求出此角正弦值即可．【详解】（1）证明∴AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.∴BC AC ⊥， ∴PA ABC ⊥平面，∴BC PA ⊥，又PA AC A =I ，PA ，AC PAC ⊂平面， ∴BC PAC ⊥平面，∴BC PC ⊥， ∴BPC △是直角三角形.（2）如图，过A 作AH PC ⊥于H ，∴BC PAC ⊥平面， ∴BC AH ⊥，又PC BC C ⋂=，PC ，BC PBC ⊂平面， ∴AH PBC ⊥平面，∴ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角， ∴PA ABC ⊥平面，∴PCA ∠即是PC 与平面ABC 所成的角，∴tan PAPCA AC∠==又2PA =，∴AC =∴在Rt PAC △中，3AH ==，∴在Rt ABH △中，3sin 2AH ABH AB ∠===，即直线AB 与平面PBC 【点睛】本题考查证明线线垂直，考查直线与平面所成的角，求线面角时一般可作出平面的垂直，得出直线与平面所成的角，在三角形中计算即可，即通常所说的作证算三步． 21.已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于【答案】（1）证明见解析；直线经过的定点为M （2，－2）（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形得到2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，得到方程26040x y x y --=⎧⎨--=⎩计算得到答案.（2）易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，直线方程为x －y －4＝0.，而直线系不能表示此直线，故得证.【详解】（1）解显然2＋λ与－（1＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，∴26040x y x y --=⎧⎨--=⎩ 解得22x y =⎧⎨=-⎩故直线经过的定点为M （2，－2）.（2）证明：易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，等号成立 此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴d <.【点睛】本题考查了直线过定点，点到直线的距离范围，确定直线系不能表示x －y －4＝0是解题的关键.22.已知直线220x y -+=与圆C ：2240x y y m +-+=. （1）求圆C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与函数2y x =的图象相交于M 、N 两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若函数2y x =图象上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明.【答案】（1）()2221x y +-=（2）证明见解析；（3）直线QR 与圆C 相切；证明见解析； 【解析】 【分析】（1）化圆方程为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，用表示出弦长，从而求得m ，得圆方程；（2）求出过原点的圆C 的两条切线方程，然后求得两条切线与抛物线的交点坐标后可得证； （3）设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，由此写出直线,,PQ PR QR 的方程，由直线,PQ PR 与圆相切得出,,a b c 的关系，可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-，然后可证直线QR 也与圆相切． 【详解】（1）解：圆C ：2240x y y m +-+=，可化为圆()2224x y m +-=-+，圆心到直线的距离d =，∴，∴224m +=-+⎝⎭， ∴3m =，∴圆C 的方程为()2221x y +-=；（2）证明：设过原点O 的切线方程为y kx =，即0kx y -=，1=，∴k =∴设过原点O 的切线方程为y =，与函数2y x =，联立可得3x y ==，∴3y =与圆C 相切；（3）解：设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，可得22PQb a ka b b a-==+-， 直线PQ 的方程为()()2y a a b x a -=+-，即为()y a b x ab =+-，同理可得，直线PR 的方程为()y a c x ac =+-， 直线QR 的方程为()y b c x bc =+-， ∴直线PQ 和PR 都与圆C 相切，1=1=，即为()2221230b a ab a --+-=，()2221230c a ac a --+-=，即有b ，c 为方程()2221230x a ax a --+-=的两根， 可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-， 由圆心到直线QR222211111a a a a ---===+-，则直线QR 与圆C 相切.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，考查直线与圆的位置关系，掌握用几何方法求弦长和判断直线与圆的位置关系是解题基础．。
江苏省泰州市高一下学期期中数学试卷
江苏省泰州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，且，则实数m的可取值组成的集合是（）A .B .C .D .2. （2分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A . (,)(,)B . (,)(,)C . (,)(,)D . (,)(,)3. （2分）若，且，则tanα=（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·南宁期中) 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分）函数y=5sin（ x+ ）的最小正周期是（）A . πB . πC .D . 5π6. （2分） (2019高一下·鹤岗期中) 在中，内角的对边分别为，若，且，则是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形7. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 已知和是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（）A . 和 +B . ﹣2 和﹣C . + 和﹣D . 2 ﹣和﹣8. （2分） (2016高二上·阳东期中) Sn是等差数列{an}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（）A . 12B . 36C . 24D . 489. （2分） (2020高一下·金华月考) 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 .若，，则用“三斜求积术”求得的的面积为（）A .B . 2C .D . 410. （2分） (2019高一上·郁南月考) 为了得到函数y=4sin(x- )的图象，只要把函数y=3cos（－x)的图象上所有的点（）A . 纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度B . 纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C . 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D . 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度11. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x．下列结论正确的是（）A . 函数f（x）在区间[0， ]上是减函数B . 函数f（x）的图象关于原点对称C . f（x）的最小正周期为D . f（x）的值域为[﹣， ]12. （2分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A . （﹣，﹣ ]B . [﹣，﹣ ]C . [﹣3，﹣2]D . （﹣3，﹣2]二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）= ，且0＜β＜＜α＜π，则sin =________．14. （1分）在△ABC中，（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=________．15. （1分） (2016高一下·抚顺期末) 已知平面向量与满足| |=1，| ﹣ |= ，且＜ + ，﹣＞= ，则| |=________．16. （1分）某台风中心位于A港口东南方向的B处，且台风中心与A港口的距离为400 千米．预计台风中心将以每小时40千米的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．三、解答题： (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·拉萨月考) 已知向量，， .（1）若，求x的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的x的值.18. （10分） (2018高一下·瓦房店期末) 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．(注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)（1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，试求出OD最大值，并求出此时的值．19. （5分）已知等差数列{an}的前n项和记为Sn ，公差为2，且a1 ， a2 ， a4依次构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式与Sn（2）数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （15分） (2019高三上·上海月考) 对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“ 数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列为“ 数列”，，且，求的所有可能值；（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“ 数列”.21. （10分）(2018·许昌模拟) △ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．22. （5分） (2016高一下·黄石期中) 据气象部门预报，在距离码头A南偏东45°方向400千米B处的台风中心正以20千米每小时的速度向北偏东15°方向沿直线移动，以台风中心为圆心，距台风中心100 千米以内的地区都将受到台风影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，码头A将受到台风的影响？影响时间大约有多长？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2020年江苏省泰州中学高一下学期 数学 期中考试(附带详细解析)
5．B
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【详解】
解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，
b＝1.40.7＞1.40＝1，
0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，
∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．
故选B．
【点睛】
本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知 ， ， 分别表示三条直线， 表示平面，给出下列四个命题
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 .
其中正确命题的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．设函数f(x)＝ －ln（|x|+1），则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A． B．
16．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 为锐角三角形，且满足 ，则 的取值范围是_______________.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知 中， ， ， 分别为三个内角 ， ， 的对边， ，
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的值.
18．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点.
13．在正方体 中， 是棱 的中点，则直线 和平面 所成的角的正弦值为_____________.
14．如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD= ,E为BC中点,若 ,则 ___.
15．如图，在 中， ， 平面 ， 垂直平分 ，且分别交 ， 于点 ， ，又 ， ，则二面角 的大小为_______________.
2019-2020学年江苏省泰州中学高一下学期期中数学试题(解析版)
将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从 爬行一周后回到 （记作 ），作 ，如下图所示：
由最短路径为 ，即 ，
由圆的性质可得 ，即扇形所对的圆心角为 ，
则圆锥底面圆的周长为 ，
则底面圆的半径为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.
9．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .若 ， 的面积为 ，则 （）
所以球的体积为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.
7．在 中， （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则 的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．
【详解】
∵ ，∴ ， ， ，整理得 ，∴三角形为直角三角形．
A．5B． C．4D．16
【答案】C
【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得 ,再根据面积公式可求得 ,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中, ,由正弦定理得 ,
又 ,
∴ ,又 ,∴ ,∴ ,又 ,
∴ .∵ ,
∴ ,∵ ,∴由余弦定理可得 ,
∴ ,可得 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= ．由正弦定理得 = ，∴sinA= ．∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ．
2020年泰州市高一数学下期中一模试题含答案
2020年泰州市高一数学下期中一模试题含答案一、选择题1．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=2．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．85．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π6．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．2109．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．110．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．2a 11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32C ．4πD ．3412．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．14．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.15．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．17．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCDV -=，则球O 的体积是______． 19．函数2291041y x x x +-+_________.20．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．22．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.23．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程. 26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
江苏省泰州中学2020学年度数学第二学期高一期中试卷苏教版
江苏省泰州中学2020学年度数学第⼆学期⾼⼀期中试卷苏教版江苏省泰州中学2020学年度第⼆学期⾼⼀数学期中试卷(总分160分,考试时间120分钟)⼀、填空题：本⼤题共14⼩题,每⼩题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．不等式022≤--x x 的整数解共有▲个．2．在ABC ?中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲． 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ▲．4．在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π，则ABC ?的形状是▲．5．海上有B A ,两个⼩岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视⾓为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视⾓为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ． 6．若n S 为等⽐数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = ▲． 7．设关于x 的不等式342+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的取值范围是▲． 8．若x x f 6sin)(π=，则=++++)2011()5()3()1(f f f f Λ▲．9．已知等⽐数列{}n a 满⾜0n a >，n =l ，2，…，且()252523nn a a n -?=≥，则当3n ≥时，212223221log log log log n a a a a -++++=L ▲．10．在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c a +=，且ba=则C ∠= ▲．11．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满⾜：()()314+?-=n n n a a S ，则=1005a ▲．12．已知1,100=≤<<cb a b a 122+-+的最⼩值是▲． 13．洛萨?科拉茨（Lothar Collatz, 1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了⼀个著名的猜想：任给⼀个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，⼀定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到⼀个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对洛萨?科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，⽬前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （n 为⾸项）按照上述规则施⾏变换后的第六项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值为▲．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满⾜对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成⽴，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类⽐上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成⽴，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满⾜如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为▲ .⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，计90分.解答应写出必要的⽂字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本⼩题满分14分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最⼩值为1，求实数m 的值．16．(本⼩题满分14分)在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ．（Ⅰ）⽤余弦定理证明：当C ∠为钝⾓时，222c b a <+；（Ⅱ）当钝⾓△ABC 的三边,,a b c 是三个连续整数时，求ABC ?外接圆的半径．17．(本⼩题满分15分)在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，不等式06sin 4cos 2≥++C x C x 对⼀切实数x 恒成⽴．（Ⅰ）求C cos 的取值范围；（Ⅱ）当C ∠取最⼤值，且2=c 时，求ABC ?⾯积的最⼤值并指出取最⼤值时ABC ?的形状．18．(本⼩题满分15分)设n S 是等⽐数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的公⽐q ；（Ⅱ）求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；（Ⅲ）当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19．(本⼩题满分16分)某企业去年年底给全部的800名员⼯共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都⽐上⼀年增加60万元，企业员⼯每年净增a ⼈．（Ⅰ）若9=a ，在计划时间内，该企业的⼈均年终奖是否会超过3万元？（Ⅱ）为使⼈均年终奖年年有增长，该企业每年员⼯的净增量不能超过多少⼈？20．(本⼩题满分16分)将数列}{n a 中的所有项按第⼀排三项，以下每⼀⾏⽐上⼀⾏多⼀项的规则排成如下数表：记表中的第⼀列数Λ,,,841a a a 构成的数列为}{n b ，已知：①在数列}{n b 中，11=b ，对于任何*N n ∈，都有0)1(1=-++n n nb b n ；②表中每⼀⾏的数按从左到右的顺序均构成公⽐为)0(>q q 的等⽐数列；③5266=a ．请解答以下问题：（Ⅰ）求数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求上表中第)(*N k k ∈⾏所有项的和)(k S ；（Ⅲ）若关于x 的不等式x x k k S 211)(->+在]201,2001[∈x 上有解，求正整数k 的取值范围．江苏省泰州中学2020学年度第⼆学期ΛΛΛ121110987654321a a a a a a a a a a a a⾼⼀数学期中试卷参考答案⼀、填空题：本⼤题共14⼩题,每⼩题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 4 2． 41- 3． 10 4．直⾓三⾓形 5． 310 6． 7- 7． [)1,3-- 8． 23 9． ()21n n - 10． 0010515或11．2011 12．102201+ 13． 32,5,4 14． []13,25⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，计90分.解答应写出必要的⽂字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本⼩题满分14分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()?=+-+=+--==-032390320301b a b a f f ， 4分解得：4,1=-=b a ． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2++-=x x x f ， 8分()x f y =Θ的对称轴⽅程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 10分 m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 12分解得31±=m ．31,1-=∴解：（Ⅰ）当C ∠为钝⾓时，0cos由余弦定理得：22222cos 2b a C ab b a c +>?-+=， 5分即：222c b a <+． 6分（Ⅱ）设ABC ?的三边分别为()Z n n n n n ∈≥+-,21,,1，ΘABC ?是钝⾓三⾓形，不妨设C ∠为钝⾓，由（Ⅰ）得()()4004112222<3,2,,2==∴∈≥n n Z n n Θ，当2=n 时，不能构成三⾓形，舍去，当3=n 时，ABC ?三边长分别为4,3,2， 11分415sin 41322432cos 222=?-=??-+=C C ， 13分ABC ?外接圆的半径1515841524sin 2===CcR ． 14分 17．(本⼩题满分15分) 解：（Ⅰ）由已知得：()≥-+?≤->02cos 3cos 20cos 24sin 40cos 22C C C C C ， 4分 ()舍去或2cos 21cos -≤≥∴C C ． 5分 1cos 21<≤∴C 6分（Ⅱ）,21cos ,0≥<∴当C ∠取最⼤值时，3π=∠C ． 8分由余弦定理得：ab ab ab ab b a ab b a =-≥-+=??-+=243cos2222222π，3433sin 21≤=?=∴?ab ab S ABC π， 12分当且仅当b a =时取等号，此时()3max =?ABC S ， 13分由3 ,π=∠=C b a 可得ABC ?为等边三⾓形． 15分18．(本⼩题满分15分)解：（Ⅰ）当1=q 时，133a S =，199a S =，166a S =，6392S S S +≠Θ，∴3S ，9S ，6S 不成等差数列，与已知⽭盾，1≠∴q ． 2分由6392S S S +=得：()()()qq a q q a q q a --+--=--?1111112613191， 4分即()()()012111236639=--?-+-=-q qq q q，332121-=?-=∴q q ，113=?=q q （舍去），243-=∴q 6分（Ⅱ）()012223621512181639=--=--=--q q q a q a q a q a a a a Θ，6392a a a +=∴，∴3a ，9a ，6a 成等差数列． 9分（Ⅲ）3S ，9S ，6S 成等差数列1471316136362212012a a a a q a q a q q q q +=?+=?+=?=--?，GP a a a 成471,,∴或GP a a a 成174,,，则12=++t s m ， 11分同理：GP a a a 成582,,或GP a a a 成285,,，则15=++t s m ，GP a a a 成693,,或GP a a a 成396,,，则18=++t s m ， GP a a a 成7104,,或GP a a a 成4107,,，则21=++t s m ，t s m ++∴的值为21,181512，，． 15分 19．(本⼩题满分16分)解：（Ⅰ）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业⼈均发放年终奖为y 万元．则)101,(800602000*≤≤∈++=x N x axxy ； 4分解法1：由题意，有310800602000≥++xx， 5分解得，10340>≥x ． 7分所以，该企业在10年内不能实现⼈均⾄少3万元年终奖的⽬标． 8分解法2：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x 7分所以，该企业在10年内不能实现⼈均⾄少3万元年终奖的⽬标． 8分（Ⅱ）解法1：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--?=ax ax x x a ，13分所以，020*******>-?a ，得24所以，为使⼈均发放的年终奖年年有增长，该企业员⼯每年的净增量不能超过23⼈．16分解法2：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x axxy +-+=+-++=++=13分由题意，得0800602000-a，解得2420．(本⼩题满分16分)解：（Ⅰ）由0)1(1=-++n n nb b n ，得数列}{n nb 为常数列。
江苏省泰州市姜堰区2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
江苏省泰州市姜堰区2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）1. 已知点，，则直线的斜率是______．【答案】3【解析】分析：利用斜率公式，计算即可.详解：∵点，，∴故答案为：3点睛：本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 正方体中，与棱平行的棱有________条.【答案】3【解析】与棱AA1异面的有：BC，CD，C1D1，B1C1故答案为：4．3. 直线在轴上的截距为_______．【答案】4【解析】分析：根据纵截距的意义，令，即可得到结果.详解：直线,当时，.∴直线在轴上的截距为4故答案为：4点睛：本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．4. 圆的圆心坐标为________．【答案】【解析】分析：化一般方程为标准方程，得到圆心坐标.详解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，则圆心坐标为．故答案为：点睛：本题解题关键是熟练掌握圆的一般方程与标准方程的互化，也可以利用结论直接得到圆心的坐标.5. 已知直线和直线垂直，则实数的值为_____. 【答案】3【解析】分析：直线和直线垂直等价于. 详解：∵直线和直线垂直，∴∴故答案为：3...........................6. 直线的方程为，直线的方程为，若∥则实数的值为_______.【答案】2【解析】分析：利用∥得到系数满足的关系，从而得到结果.详解：∵直线的方程为，直线的方程为，且∥∴∴故答案为：2平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！7. 如图,正方体中, ,点为的中点,点在上,若平面,则________．【答案】2【解析】分析：由平面结合线面平行的性质定理与面面平行的性质定理可得EF∥AC，再利用三角形中位线定理即可得到结果.详解：设平面AB1C∩平面=∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面，平面AB1C∩平面=m，∴EF∥m，又平面∥平面AC，平面AB1C∩平面=m，平面AB1C∩平面AC=AC∴m∥AC，又EF∥m，∴EF∥AC，又∥AC，∴EF∥，又为的中点∴EF=故答案为：2．点睛：本题重点考查了平行关系的转化，熟练掌握平行的判定定理及性质定理是解题的关键.8. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为_______．【答案】0或4【解析】分析：利用垂径定理布列a的方程，从而得到实数的值.详解：∵圆∴圆心为：（0，），半径为：2圆心到直线的距离为：∵，即，∴a=4，或a=0．故答案为：0或4．点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.9. 已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若,则(2)若,则(3)若,则(4)若，，则其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)【答案】（1）【解析】分析：根据线面关系的判定定理或性质定理进行推理判断即可.详解：①根据线面垂直的性质可知若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故②不成立；③根据面面平行的可知，当m与n相交时，α∥β，若两直线不相交时，结论不成立；④若，，则或，故④不成立．故正确的是①，故答案为：①．点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．10. 过点引圆的切线，则切线长为________．【答案】4【解析】分析：求出点到圆心C（1，1）的距离和圆的半径，利用勾股定理求得切线长．详解：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心A坐标（1，1），半径r=|AB|=2，又点P（3，5）与A（1，1）的距离|AP|==，由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，根据勾股定理得：|PB|===．则切线长为．故答案为：4．点睛：本题主要考查了直线与圆相切属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键.11. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．【答案】【解析】由题意可得的中点坐标为，，故其中垂线的方程为即，联立得，故圆心，半径，即圆方程为，故答案为. 点睛：本题主要考查了圆的方程的求法，解答有关圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，关键是确定圆心的坐标，常见的确定圆心的方法有：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2、圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；3、两圆相切时，切点与两圆圆心共线.12. 已知两圆相交于两点，且两圆的圆心都在直线上，则的值是_______．【答案】-3【解析】分析：求出两点的中点坐标，代入直线方程，在根据垂直关系得到斜率互为负导数，联立方程组，求解即可．详解：两圆相交于两点A（2，3）和B（m，2），且两圆圆心都在直线上，可得K AB=，即1=，…①AB的中点（，）在直线上，可得++n=0…②，由①②可得m=1，n=﹣4，∴m+n=﹣3．故答案为：﹣3．点睛：本题考查了两圆间的位置关系问题，解题关键两圆的圆心连线垂直平分两点的连线.13. 如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为________.【答案】【解析】分析：先将直三棱柱沿棱AA1展开成平面连接BC1，与AA1的交点即为满足最小时的点F，由此可以求得△BFC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积详解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱AA1展开成平面连接BC1，与AA1的交点即为满足最小时的点F，由于，，，再结合棱柱的性质，可得AF==2，由图形及棱柱的性质，可得BF=2，FC1=，BC1=2 ，cos∠==．∴sin∠=△的面积为××2 ×=，故答案为：点睛：在空间处理折线段长度和最小的问题的手段为“空间问题平面化”“化曲为直”的策略，通过折叠把问题纳入一个平面，再根据两点之间线段最短，即可解决问题.14. 已知点为圆外一点，若圆上存在一点，使得，则正数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：易得圆的圆心为C （a，a），半径r= r=|a|，由题意可得1≥≥sin由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．详解：由题意易知：圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|，∴PC=，QC=|a|，∵PC和QC长度固定，∴当Q为切点时，最大，∵圆C上存在点Q使得，∴若最大角度大于，则圆C上存在点Q使得，∴=≥sin =sin=，整理可得a2+6a﹣6≥0，解得a≥或a≤﹣，又=≤1，解得a≤1，又点为圆外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1∵a＞0，∴综上可得．故答案为：．点睛：处理圆的问题，要充分利用圆的几何性质，把问题转化为更加简单的代数问题来处理即可.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15. 已知分别为正方体的棱的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小.（2）求证:.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：(1) 根据异面直线所成角定义进行合理平移即可；（2）要证，可转证，利用好四边形为平行四边形，问题迎刃而解.详解：（1）因为,所以即为异面直线和所成的角又因为，所以两条异面直线所成的角为（2）法1：因为分别为正方体的棱的中点．所以,,得到,且，四边形为平行四边形，所以,同理可证，又因为,所以,,即证法2：因为分别为正方体的棱的中点．所以,,得到，四边形为平行四边形，所以同理可证又因为与方向相同，与方向相同，所以点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16. 已知的顶点,,．（）若为的中点，求线段的长．（）求边上的高所在的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由中点坐标公式可得D坐标，利用两点间距离公式求得线段的长；（2）由斜率公式可得k AB，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率，可得方程详解：(1)D为BC的中点，由中点坐标公式得到点D的坐标为（-1，-3）（），边上的高斜率，，则．边上的高过点．∴边上的高线所在的直线方程为，整理得．点睛：本题考查了直线方程的求法，关键是两点：定点与斜率.17. 四边形是正方形，是正方形的中心，平面，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证PA∥EO即可，这可由中位线定理得证；（2）要证，就是要证平面。
江苏省泰州市2020版高一下学期期中数学试卷(I)卷
江苏省泰州市2020版高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·成都期中) 已知为等差数列的前n项和，若，则等于（）A . 30B . 45C . 60D . 1202. （2分）要得到函数的图象,可以将函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位3. （2分）已知，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 在等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A .B . 或C .D .5. （2分）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A .B . -C .D . -6. （2分）给出下列四个命题：①的对称轴为x=；②函数的最大值为2；③函数f（x）=sinx•cosx﹣1的周期为2π；④函数在上的值域为[-,]．其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）若△ABC的周长等于20，面积是，，则BC边的长是（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 以下四个命题中，正确的是（）A . 若 ,则三点共线B . 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C .D . 为直角三角形的充要条件是9. （2分）设数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，an+1=3Sn（n∈N*），则S6=（）A . 44B . 45C . （46-1）D . （45﹣1）10. （2分）已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A . {a|﹣2＜a＜0}B . {a|﹣2＜a≤0}C . {a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2}D . {a|﹣2＜a＜0或a=1}11. （2分）已知是第二象限的角，且，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；③σ（A，B，C）=cos C•cos （A﹣B）﹣cos2C（A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·沈阳模拟) 已知等差数列的前n项和为，且， .数列中，， .则 ________.14. （1分）已知角α的终边经过点P(,)，则tanα的值为________15. （1分）设 =（x，2）， =（1，﹣1），⊥ ，则x=________．16. （1分） (2018高一上·华安期末) 下列说法中，所有正确说法的序号是________．①终边落在轴上角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数在第一象限是增函数；④为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2014·广东理) 已知函数f（x）=Asin（x+ ），x∈R，且f（）= ．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）= ，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18. （15分） (2017高二下·高淳期末) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Tn= ，求证：Tn＜．19. （10分）已知函数（1）求该函数的最小正周期和取最小值时x的集合；（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．20. （10分） (2017高三上·南充期末) 已知，其中A，B，C是△ABC 的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．21. （5分） (2018高三上·邹城期中) 设分别为的三个内角的对边，且.（Ⅰ）求内角的大小；（Ⅱ）若，试求面积的最大值.22. （10分） (2019高二上·耒阳月考) 已知函数 . （1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递减区间.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。