高中数学含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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含绝对值的函数图象的作法及应用
作者： 杨正华
出版物刊名： 玉溪师范学院学报
页码： 141-148页
主题词： 图象变换;中学数学教学;数学问题;混淆概念;高考试题;轴对称图形;平行直线;截距;
象县;非负整数
摘要： 在中学数学教学中,含有绝对值的数、含有绝对值的代数式的问题,是一类重要的数学问题,它的有关概念和运算虽不难弄懂,但在具体的应用中学生经常混淆概念,运算错误。
对于含有绝对值的函数:y=|f(x)|与y=f(|x|)型的问题,教材中虽未讲述,但散见于课本的习题之中,历年的高考试题中也时有出现。
为了帮助学生复习掌握数、式的绝对值的有关知识,图象变换作图的有关问题,并对含有绝对值的函数有较深入的了解,在对高三的数学复习中,草拟了此专题。
绝对值函数图象的速画法
绝对值函数图象的速画法高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。
但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。
下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。
一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是 。
分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性；当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0<a ，图象开口向下(见图1)，总不满足条件；若0>a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。
所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。
又联立以上分段函数两侧解析式⎩⎨⎧+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=02y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上的点)0,2(b a +。
含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
绝对值函数的图像与性质
绝对值函数的图像与性质绝对值函数是数学中常见的一类函数。
它使用绝对值符号来表示，可以用一条直线段来表示其图像。
本文将详细讨论绝对值函数的图像与性质。
1. 绝对值函数的定义绝对值函数通常表示为|x|，表示x与原点的距离。
其定义如下：|x| = {x，x≥ 0−x，x < 0其中，x为实数。
2. 绝对值函数的图像由于x与原点的距离是非负的，绝对值函数的图像总是处于原点的左侧。
当x≥ 0时，绝对值函数的图像与x轴重合，即为x = x。
当x < 0时，绝对值函数的图像为一条通过原点的与x轴对称的直线段，斜率为-1，即为x = -x。
3. 绝对值函数的性质绝对值函数具有以下几个重要的性质：性质1：非负性对于任意实数x，绝对值函数的值都是非负数，即|x| ≥ 0。
性质2：对称性绝对值函数关于原点对称，即对于任意实数x，有|−x| = |x|。
性质3：单调性当x > x时，有|x| > |x|。
反之，当x < x时，有|x| < |x|。
性质4：三角不等式对于任意实数x和x，有|x + x| ≤ |x| + |x|。
三角不等式表示绝对值函数的加法性质，即两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
性质5：零点判定当且仅当x = 0时，有|x| = 0。
4. 绝对值函数的应用绝对值函数在实际问题中有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：应用1：距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。
例如，在数轴上，点x的坐标为x，点x的坐标为x，则点x和点x之间的距离为|x−x|。
应用2：温度变化绝对值函数可以用于表示温度的变化范围。
例如，在某城市中，某天的最高气温为10摄氏度，最低气温为-5摄氏度。
则该城市这一天的气温变化范围为|10−(−5)| = 15摄氏度。
应用3：经济收益绝对值函数可以用于描述经济收益的情况。
例如，某企业的利润为x万元，通过绝对值函数|x|可以表示利润的绝对值。
含绝对值函数图像处理之我见
含绝对值函数图像处理之我见作者：喻国标来源：《学生周报·教师版》2013年第16期高中数学的函数作图中，常出现函数的自变量或因变量带有绝对值符号的函数，对于此类函数图像的作法不仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨，本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值函数的六种类型：已知函数y=f（x），x∈R，x叫做函数的自变量；y叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x取绝对值：y=f（x），x∈R；②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；④对整个函数取绝对值：y=f（x），x∈R；⑤对x，f（x）都取绝对值：y=f（x），x∈R；⑥部分自变量取绝对值：y=f（x，x），x∈R。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x取绝对值y=f（x），x∈R；：【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R；，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（-x，y）关于y轴对称。
因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于y轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留x>0时函数y=f（x）的图象；（3）当x【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图像②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（x，-y）关于x轴对称。
因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于x轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留y>0时函数y=f（x）的图象；（3）当y【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图象③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，它与点（x，-y）关于x 轴对称、与点（x，-y）关于 y轴对称且与点（-x，-y）关于原点对称。
对称性应用(一)——含绝对值函数的图象
对称性应用（一）——含绝对值函数的图象熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。
函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。
本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类：已知函数()R x x f y ∈=,，x 叫做函数的自变量；y 叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,；②对应变量y 取绝对值：()R x x f y ∈=,； ③对y x ,全都取绝对值：()R x x f y ∈=,；④对整个函数取绝对值：()R x x f y ∈=,； ⑤对()x f x ,都取绝对值：()R x x f y ∈=,；⑥部分自变量取绝对值：()R x x x f y ∈=,,。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x ,-关于y 轴对称。
因为点()y x ,与()y x ,-都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于y 轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数()x f y =的图象；（2）保留0>x 时函数()x f y =的图象；（3）当0<x 时，利用对称性作出（2）中图象关于y 轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数()22-==xx f y 的图象→【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x -,关于x 轴对称。
因为点()y x ,与()y x -,都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于x 轴对称。
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含绝对值的函数图象的画法及其应用
一、三点作图法
三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。
步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点；
③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。
解：（1）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121
，，两点（0，0），（1，0）。
其图象如图1所示。
图1
（2）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121，，两点（－1，0），（0，0）。
其图象如图2所示。
图2
注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。
函数图象关于直线a
b x -=对称。
二、翻转作图法
翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数
)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；
③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。
解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图
4。
图4就是要画的函数图象。
图3 图4
（2）先作出322
--=x x y 的图象，如图5。
把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。
图6就是要画的函数图象。
图5 图6
（3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。
把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图
8。
图8就是要画的函数图象。
图6 图7
三、分段函数作图法
分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。
例3. 作出下列函数的图象。
（1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）|32|2
--=x x y 。
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=)0(12)0(121||2222x x x x x x x x y 图9就是所要画的函数图象。
（2）⎪⎩
⎪⎨⎧><<--≤-=-++=)
1(2)11(2
)1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。
（3）|32|2--=x x y ⎪⎩⎪⎨⎧<--++-≥----=)
032(32)032(322222x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=)
31(32)31(3222x x x x x x x 或 图11就是所要画的函数图象。
图9 图10 图11
注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。
三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一
试。
四、应用
把数化为形是“数形结合”思想。
利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。
1. 求函数值域。
例4. 求函数|1||1|-++=x x y 的值域。
解：由图10知函数的值域为)2[∞+，。
2. 求函数的单调区间。
例5. 求函数|32|2
--=x x y 的单调递增区间。
解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］Y )3[∞+，。
3. 求方程解的个数。
例6. 求方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数。
解：方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数就是函数1||22+-=x x y 的图象与函数|)3lg(|+=x y 的图象在同一坐标系中交点的个数。
由图12知两个函数图象有5个交点，所以方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 有5个解。
图12。