中考数学旋转专题中的常见模型

旋转专题

1、图形的旋转

（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，

这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．

（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；

②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等； ③对应点到旋转中心的距离相等．

2、图形的中心对称

（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于

这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心． （2）①关于中心对称的两个图形是全等形；

②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.

1、三垂直全等模型

三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

C

B

E D C

A

B

2、手拉手全等模型

C

C

C

A

B

D

E

A

B

B

A

方法技巧提炼

高频核心考点

E

D

B

A

E

D

B

A

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

D

C

B

A

3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°)

(2) 等腰直角三角形(旋转90°)

A'D

C

B

A

F'

D'

F

E

D

C

A

(3) 等边三角形旋转(旋转60°)

(4) 正方形旋转(旋转90°)

②

①F

E

D

C

B

A

P

F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

A

例1、如图,设P 是等边△ABC 内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB 的度数是________。

类型一

旋60°，造等边

精题精讲精练

例2、（1）如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.

A.2:3:4

B.3:4:5

C.4:5:6

D.以上结果都不对

（2）在等边△ABC中，P为BC边上一点,设以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为θ，则（） A. θ≥90° B.θ≤120° C.θ=120° D.θ=135°

例3、如图所示.△ABD是等边三角形，在△ABC中，BC=a,CA=b,问：当∠ACB为何值时，C,D 两点的距离最大？最大值是多少？

例4、（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，证明：BC＋DC＝AC.

（2）如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD＝120°.证明:PA+PD+PC≥BD.

如图，P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC＝60°,AD=DC.证明:BD2=AB2+BC2.

例5、如图,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO,如果AB=4,AO=62,那么AC的长等于________。

类型二

旋90°，造垂直

检测2

检测1

例6、如图,P为正方形ABCD内一点,若PA=a,PB=2a,PC=3a(a＞0).

(1)求∠APB的度数；

(2)求正方形ABCD的面积.

例7、如图,己知DE是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的两点,满足∠DAE=135°证明CD2+BE2=DE2

.

把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕点O顺时针旋转α（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的

16

1

？若存在，求出

此时x的值；若不存在，说明理由．

检测1

如图,等腰直角△ABC中,△ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.

(1)求△PCQ的度数；

(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；

（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．

例8、如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM直线a 于点https://www.360docs.net/doc/6011267790.html,⊥直线a于点N,连接PM,PN.

（1）延长MP交CN于点E（如图2）．

①求证：△BPM≌△CPE；

②求证：PM=PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

类型三

旋180°，造中心对称

检测2

例9、请阅读下列材料:

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，∠ABC=∠BEF=60°，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线

段DF 的中点，连接PG ，PC ，探究PG 与PC 的位置关系

小颖同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题： （1）请你写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及

PC

PG

的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在

同一条直线上，原问题申的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，

（3）若图1中∠BEF=∠ABC=2α（0＜α＜90°）,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题中的其他

条件不变,请你直接写出

PC

PG

的值(用含α的式子表示).

如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF=120°. （1）直接写出DE 与DF 的数量关系；

（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出 图形，直接给出结果即可）

（3）思考：AE+AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.

检测1

已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC中点M，连接DM和BM.

(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；

(2)如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

例10、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A 上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）

小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；

小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

类型四

大角夹半角

如图，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上两个动点(不与B、C、D重合)，连接AE、AF，分别交BD于G、H两点，求证下列三个条件中只要有一个成立，那么另外两个也成立：①BE+DF=EF；

②BP2+QD2=PQ2；③∠EAF=45°

如图，在五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,∠CAD=

2

1

∠BAE,求∠BAE的度数。

例11、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE。将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α。

（1）问题发现。①当α=0时，

BD

AE

=_____ ；②当α=180°时，

BD

AE

=_____ 。

（2）拓展探究。试判断：当0°＜α＜360°时，

BD

AE

的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决。当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长。

类型五

旋转任意角

检测2

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

检测2

1、在△

ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方

形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．

（1）若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系：BC=CG，位置关系：BC⊥CG．（2）如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；

②当G为CF中点，连接GE，若AB=√22，求线段GE的长．

2、如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．

（1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

综合拓展训练