高二数学同步讲义(复数的运算)
2021年新版高二数学课件：《复数的加减法》
高二数学课件：《复数的加减法》想要生活的漂亮，需要付出极大忍耐，一不抱怨，二不解释。
【教学目标】（1）把握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算；（2）理解并把握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题；（3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题；（4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的数学思想；（5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）.【教学建议】一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点是复数加法法则。
难点是复数加减法的几何意义。
复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。
复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不轻易接受。
三、教学建议（1）在复数的加法与减法中，重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定，应通过【教学设计示例】复数的减法及其几何意义【教学目标】1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义.2.渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力.3.培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）. 教学重点和难点重点:复数减法法则.难点:对复数减法几何意义理解和应用.【教学过程】（一）引入新课上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.（板书课题:复数减法及其几何意义）（二）复数减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（i）（i）=（）（）i，1.复数减法法则（1）规定:复数减法是加法逆运算；（2）法则:（i）（i）=（）（）i（，，，R）.把（i）（i）看成（i）（1）（i）如何推导这个法则. （i）（i）=（i）（1）（i）=（i）（i）=（）（）i. 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.推导:设（i）（i）= i（，R）.即复数i为复数i减去复数i 的差.由规定，得（i）（i）= i，依据加法法则，得（）（）i= i，依据复数相等定义，得故（i）（i）=（）（）i.这样推导每一步都有合理依据. 我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数.是确定的复数.复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（i）（i）=（）（）i.（三）复数减法几何意义我们有了做复数减法的依据复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么?设z= i（，R），z1= i（，R），对应向量分别为，如图由于复数减法是加法的逆运算，设z=（）（）i，所以zz1=z2，z2 z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数zz1的差（）（）i对应，如图.在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量2吗?还有. 因为OZ2 Z1Z，所以向量，也与zz1差对应.向量是以Z1为起点，Z为终点的向量.能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.（四）应用举例在直角坐标系中标Z1（2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）.例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式.解:设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2z1的模.假如用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2z1|. 例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.（1）|z1i|=|z 2 i|；方程左式可以看成|z（1 i）|，是复数Z与复数1 i差的模.几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离.方程右式也可以写成|z（2i）|，是复数z与复数2i差的模，也就是动点Z与定点（2，1）间距离.这个方程表示的是到两点（1，1），（2，1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（1，1），（2，1）为端点的线段的垂直平分线.（2）|z i| |zi|=4；方程可以看成|z（i）| |zi|=4，表示的是到两个定点（0，1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.（3）|z 2||z2|=1.这个方程可以写成|z（2）||z2|=1，所以表示到两个定点（2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.由z1z2几何意义，将z1z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.例4 设动点Z与复数z= i对应，定点P与复数p= i对应.求（1）复平面内圆的方程；解:设定点P为圆心，r为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|zp|=r.（2）复平面内满足不等式|zp|解:复平面内满足不等式|zp|（五）小结我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题.（六）布置作业P193习题二十七:2，3，8，9.探究活动复数等式的几何意义复数等式在复平面上表示以为圆心，以1为半径的圆。
高二数学复数的乘方与根式的运算与应用
高二数学复数的乘方与根式的运算与应用复数是由实数部分与虚数部分组成的数，形如a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
在高二数学中，我们学习了复数的乘方与根式的运算与应用。
本文将详细介绍这一知识点的相关内容。
一、复数的乘方运算复数的乘方运算是指将一个复数自乘多次的操作。
假设有一个复数z=a+bi，其中a和b均为实数，那么z的乘方可以表示为z^n，其中n为整数。
复数的乘方运算可以通过以下步骤进行：1. 将复数z写成三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
2. 对复数的模长和辐角进行乘方运算：r^n为模长的乘方，θn为辐角的乘方。
3. 将结果转换回标准形式，得到复数的乘方。
举个例子来说明。
假设有复数z=2+3i，我们要求z的平方(z^2)。
首先将复数z写成三角形式：r = |z| = √(2^2 + 3^2) = √13θ = arctan(b/a) = arctan(3/2)然后对模长和辐角进行乘方运算：r^2 = (√13)^2 = 13θ^2 = (arctan(3/2))^2最后将结果转换回标准形式：z^2 = 13(cosθ^2+ isinθ^2)二、复数的根式运算复数的根式运算是指求一个复数的n次方根。
假设有一个复数w，我们要求w的n次方根，可以通过以下步骤进行：1. 将复数w写成三角形式：w=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
2. 对复数的模长和辐角进行根式运算：r的n次方根为模长，θ/n为辐角。
3. 将结果转换回标准形式，得到复数的n次方根。
举个例子来说明。
假设有复数w=4(cosπ/3+isinπ/3)，我们要求w的立方根。
首先将复数w写成三角形式：r = |w| = 4θ = π/3然后对模长和辐角进行根式运算：r^(1/3) = 4^(1/3)θ/3 = π/9最后将结果转换回标准形式：w^(1/3) = 4^(1/3)(cos(π/9)+isin(π/9))三、复数的应用复数的乘方与根式运算在实际问题中有广泛的应用。
高二数学复数的运算PPT教学课件
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
另外不难证明: z 1 z 2 z 1 z 2,z 1 z 2 z 1 z 2
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？
设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
如图, z1 对应向量 OZ1 , z2 对应向量 OZ2 ,根据向量
(1)2( 2
3i)2 2
01; 3 1 44
例3、 下 列 命 题 中 正 确 的 是 (1)如果 Z1 Z2是实数， Z1、 则Z2互为共轭复数 (2)纯 虚Z数 的 共 轭 复数Z。 是 (3)两 个 纯 虚 数 的 差 虚还 数是 纯 (4)两 个 虚 数 的 差 还 。是 虚 数
可得
x2x24, x23x220.
解得
x3或x2 x3或x6
所以 x3．
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 3.计算 (1 i)3 -2+2i 4.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3
高二数学复数的加减乘除与运算规则
高二数学复数的加减乘除与运算规则复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
在高二数学中，我们学习了复数的加减乘除与运算规则，它们是我们在解决复数相关问题时的基础。
本文将对这些运算规则进行详细的介绍。
一、复数的加法与减法规则复数的加法规则很简单，实部相加得到新的实部，虚部相加得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和可以表示为(z1+z2) = (a+c) + (b+d)i。
同样地，复数的减法规则也很直观，实部相减得到新的实部，虚部相减得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的差可以表示为(z1-z2) = (a-c) + (b-d)i。
二、复数的乘法规则复数的乘法规则需要我们对两个复数进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算实部的乘积，然后计算虚部的乘积，最后将两部分相加。
所以，两个复数的乘积可以表示为：(z1*z2) = (a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i三、复数的除法规则复数的除法规则与乘法规则有些类似，但需要注意的是，我们需要将除数的共轭复数乘以被除数，然后进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算两个复数的乘积，然后将乘积的实部和虚部除以除数的模的平方。
所以，两个复数的除法可以表示为：(z1/z2) = (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2 + d^2)以上就是高二数学中复数的加减乘除与运算规则的详细介绍。
通过掌握这些规则，我们可以更加熟练地进行复数的运算，解决与复数相关的问题。
同时，在实际应用中，我们可以利用这些规则简化计算，并应用到其他数学领域中。
高二数学 复数的四则运算
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
设z1 ，z2 为共轭复数，且(z1 ＋z2)2 －3z1z2i＝4－
6i，求z1和z2.
[策略点睛] 解答本题时，也可以利用z的代数形式求解，并注意z的 共轭复数．
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
已知 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z· －3i z ＝1＋ z 3i，求 z.
复数的乘法运算
z1﹒z2 ＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
复数的除法运算
z1 a bi ac bd bc ad 2 2 i (c di 0) 2 2 z 2 c di c d c d
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分 别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求：
பைடு நூலகம்
→ (1) AO表示的复数； → (2)对角线CA表示的复数；
(3)对角线OB表示的复数．
→
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
[思路点拨]
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
[思路点拨] 解答本题既可利用z1 ，z2 的代数形式求 解，又可利用复数运算的几何意义求解．
[思路点拨] 解答本题时，也可以利用z的代数形式求
解，并注意z的共轭复数．
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
计算i＋i2＋i3＋…＋i2 013.
[思路点拨] 本题中需求多个in和的值，求解时可考虑
利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1 ＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝r ＝
北师版数学高二选修2-2课件 5.2.1 复数的加法与减法
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理 (1)复数的加、减法法则
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). ①数学表达式：z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； ②语言叙述：两个复数的和(或差)仍然是一个复数，它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差) ，它的虚部是原来两个复数的 虚部 的和(或差). (2)复数加法的运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
60°，则
z1＋z2
等于
√A.1
B.－1
C.12－
3 2i
D.12＋
3 2i
解析 z1＋z2＝1.
12345
解析 答案
2.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四√象限
解析 ∵z1－z2＝5－7i， ∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝－ 3，4，
∴z＝－4＋3i.
解析 答案
类型二 复数加、减运算的应用 例2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0， 3＋2i，－2＋4i.求：①A→O表示的复数；②C→A表示的复数；③O→B表示的复数.
解答
(2)已知 z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3，求|z1－z2|.
∴∠AOC＝30°.
同理，得∠BOC＝30°，
∴△OAB 为等边三角形，则|B→A|＝1，B→A对应的复数为 z1－z2，
∴|z1－z2|＝1.
高二数学下学期苏教版选修2-2第三章3.2复数的四则运算课件
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表
示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称.
复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z
关于实轴对称.
y Z:a+bi
Z:a+bi y
b
b
o
x
-b
-b
ox
Z :a-bi
Z :a-bi
例4 已知复数 x2 x 2 (x2 3x 2)i
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac
bd (bc c2 d 2
ad )i
ac bd c2 d 2
bc c2
ad d2
i
4、复数的除法法则
那么它们的积
任何 z1 , z2 , z3， C
交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
分配律 z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
3、复数的乘方：
对任何 z, z1, z2 C 及 m, n N ，有
zm zn zmn
(4). 2i (1 2i)
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实数的 运算基本上没有区分，最主要的是在运算中 将i21结合到实际运算过程中去．
1、复数的加法与减法
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部 分别相加(减). 两个复数的和差是一个确定的复数
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
高二数学同步讲义(复数的坐标表示)
复数的坐标表示1、复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=（,a b R ∈），都可以由一个有序实数对(,)a b 唯一确定。
由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的复数为000i +=.在复平面内的原点(0,0)表示实数0；实轴上的点(2,0)表示实数2；虚轴上的点(0,1)-表示纯虚数－i ；虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i ；一般的虚数对应的点在四个象限内，如复数23i -对应的点为(2,3)-在第四象限.2、复数与点、向量之间的对应关系： 复数z a bi =+（,a b R ∈）←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b←−−−→一一对应复平面内的向量OZ3、复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作z . 由模的定义可知：),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=复数和向量进行类比推理：（表中,,,,,a b c d x y R ∈）z z 表示原点(0,0)O 到(,)Z x y 的距离. 12z z -表示复数12,z z 对应的点12,Z Z 之间的距离.例如：4z =表示复数z 对应的点所组成的集合是“以原点为圆心，以4为半径的圆” 类似：(23)4z i -+=表示复数z 对应的点的集合是“以(2,3)为圆心，以4为半径的圆”；12z z i -=+表示复数z 对应的点的集合是“以(1,0)、(0,2)-为端点的线段的中垂线” 【例题讲解】1、（1）复数3z i =-对应的点在第 象限；（2）复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是 （3）设222log (33)log (3)z m m i m =--+-（m R ∈），若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .2、（2）“满足2z i z i -++=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆”是否正确？（3）已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且111zx =的点在复平面上所表示的曲线是（ ）A ．直线B ． 圆C ． 椭圆D ．抛物线3、（1）复数cos sin z i =+θθ（(0,2)θπ∈）在复平面上所对应的点的轨迹是 （2）若（1）中条件改为[0,]θπ∈，则复数z 对应的点的轨迹是4、（1）已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ,若(.)O C O A O B R λμλμ=+∈，则λμ+的值是___________.（2）已知复数123,,z z z 满足12121z z z z ==-=，则12z z +=5、（1）已知121,32z i z i =+=-，求12z z -；（2）已知11,12,3z C z i z z ∈=+-=，求z 对应的点Z 的轨迹方程；变题：已知z C ∈，112z i =+，12z z -≤，则z 对应的点Z 的轨迹是 （3）已知12,23,12z C z i z i ∈=+=+且12z z z z -=-，求z 对应的点Z 的轨迹方程6、若z C ∈,且221z i +-=，则22z i --的最小值是变题：已知1,z =求6z i z ++-的最小值及取到最小值时的z【同步精练】1、O 为复平面中坐标原点，O A对应的复数为13i -，将A 点向右平移3个单位，再向上平移1个单位后对应点为B ，则OB对应的复数为2、已知复习11z i =-，235z i =-+分别和复平面上的点,A B 对应，则（1）写出向量AB和BA 对应的复数；（2）求,A B 两点之间的距离.3、复数1212,,z z z z +分别表示点，,,A B C 为原点，且1212z z z z +=-，则四边形O A C B 的形状是__ _；4、在复平面上复数32i --，45i -+，2i +所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形A B C D 的对角线B D 所对应的复数是5、已知集合{}P z z i z i =+=-，{}11Q z z =+=，则P Q =6、若复数z 满足4z i z i -++=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是7、若复数z 满足221z z +--=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是8、若22,z z i z -=-=z =9、已知复数z 满足21z -=，求z 的取值范围.10、已知复数z 满足12z i z i --=++，求z 的取值范围.11、求使12log 434x i i -≥+成立的x 的取值范围.。
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复数的运算
1、加法：()()()()a bi c d i a c b d i +++=+++（,,,a b c d R ∈）．
〖几何意义〗 设1z a bi =+对应向量1(,)OZ a b = ，2z c d i =+对应向量2(,)OZ c d = ，则12
z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++ ．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．
2、减法：()()()()a bi c d i a c b d i +-+=-+-（,,,a b c d R ∈）
〖几何意义〗设1z a bi =+对应向量1(,)OZ a b = ，2z c d i =+对应向量2(,)OZ c d = ，则12
z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==-- ．
3
、复平面上两点之间的距离：12()()z z a c b d i -=-+-1Z 、2Z 两
点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．
4、乘法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++.
运算律：1221z z z z ⋅=⋅；123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅
5、除法：()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+=
==++-+. 6、乘方：n n
z z z z =⋅⋅⋅ 性质：m n m n z z z +⋅=；()
m n mn z z =；1212()n n n z z z z ⋅=⋅（m 、n 为正整数） 7、复数的积与商的模：1212z z z z ⋅=⋅；1122
z z z z =（20z ≠） 8、复数运算的常用结论：
（1）222()
2a bi a b abi +=-+， 22()()a bi a bi a b +-=+ （2）2(1)2i i +=，2(1)2i i -=-（3）
11i i i +=-， 11i i i -=-+ （4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅， 1122
z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，z =． （5）22z z z z ⋅=
=，z z =，121212z z z z z z -≤+≤+， n
n z z =
【例题讲解】
1、已知复数z 满足22z -=，4
z R z +∈，求z .
2、设z 为虚数，求证：1
z z +为实数的充要条件是1z =
3、复数z 满足2(1)(1)z z z ++=，且1
1z z -+为纯虚数，求z
4、复数z 满足(12)(310)434i z i z i ++-=-，求z .
5、已知复数)(,4)
1)(31(R a ai z i i i z ∈+=--+-=ω，若2≤z ω
，求a 的取值范围.
6、设复数z 满足5=z ,且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， )(252R m m z ∈=-,求z 和m 的值.。