2019年中考数学：正多边形与圆专题练习(含解析)
专题13-圆与正多边形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(解析版)
专题13.圆与正多边形一、单选题1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】D 【分析】根据正多边形内角和公式求出∠F AB ，利用扇形面积公式求出扇形AB F 的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠F AB =()621801206-⨯︒=︒，AB =6， ∴扇形ABF 的面积=2120612360，故选择D ．2．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到∠BOC =2∠BAC ，证明△AOB ≌△AOC ，得到∠BAO =∠CAO =30°，得到∠BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BOC =2∠BAC =120°，又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO=30°，∴∠BOD=60°，∴劣弧BD的长为603180π⨯⨯=π，故选B．3．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（）A．两人说的都对B．小铭说的对，小燕说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．4．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB=厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt△AOC中，6OC==（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．5．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．6．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为（ ）A ．2-B ．3C ．4D ．2【答案】C 【分析】如图，延长AD ，BC ，二线交于点E ，可求得∠E =30°，在Rt △CDE 中，利用tan 30°计算DE ，在Rt △ABE 中，利用sin 30°计算AE ，根据AD =AE -DE 求解即可；【详解】如图，延长AD ，BC ，二线交于点E ，∵∠B =90°，∠BCD =120°，∴∠A =60°，∠E =30°，∠ADC =90°，∴∠ADC =∠EDC = 90°，在Rt △CDE 中，tan 30°=DC DE ，∴DE在Rt △ABE 中，sin 30°=AB AE ，∴AB =212=4，∴AD =AE -DE =4,故选C 7．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πBC ．12D ．1【答案】B【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OAAB ︒=，112OA BC == ，∴ 1sin 45OA AB ===︒∴BC 的长度为：90180π⨯， ，设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：22r π=， ∴1=224r π=⨯B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】连接OD ，据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，∴CD =2DE ，∵2CD OE =，∴DE =OE ，∴ODE 是等腰直角三角形，即∠BOD =45°，∴BCD ∠=12∠BOD =22.5°，故选B ． 9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，由题意可得OB =OC =OA =1，∠OF A =∠OFE =90°，由切线长定理可得AB =AF =2，CE =CF ，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ， ∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽，∴OC CE AB OB =，∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形；故选D ． 10．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．23πC ．2πD ．2π 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据∠BCP =90°和∠BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，∵△BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒①若∠BCP =90°，则CP =BC =2 这C 作CE ⊥AD ,交AD 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形∴AB =BC =CD =DA =2，∠D =∠ABC =60°∴CE =CDsin ∠D =22=< ∴点P 在菱形ABCD 的外部，∴与题设相矛盾，故此种情况不存在； ②∠BPC =90° 过P 作PF ⊥BC 交BC 于点F ，∵△BPC 是等腰直角三角形，∴PF =BF =12BC =1∴P (1,1)，F (1,0) 过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在Rt △ABG 中，∠ABG =60°∴∠BAG =30°∴BG =112AB =，AG =∴A ，(1,0)G ∴点F 与点G 重合∴点A 、P 、F 三点共线∴1AP AF PF =-= ∴1111)22ABP S ∆=⨯⨯= 12112BPC S ∆=⨯⨯= 26022=3603BAC S ππ⨯=扇形∴2121=13232ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--=--=-阴影扇形 故选：A ． 11．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可． 【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D 12．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N 为BD 上一动点，A 点关于线段BD 的对称点为点C ，连接CN ，则=CN AN ，过A 点作CN 的平行线AG ，过C 点作BD 的平行线CG ，两平行线相交于点G ，AG 与BD 相交于点M ． //,//,CN MG NM CG ∴四边形CNMG 是平行四边形 ∴MG CN =∴MG AN =则=1AMN C AN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMN AM N C C <∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形 ∴CNM NMA∠=∠ 四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅∴ON OM =又AC BD ∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭32AM ∴=3=2+1=42AMN C ∴⨯故选：B ． 13．（2021·湖南怀化市·中考真题）以下说法错误的是（ ）A ．多边形的内角大于任何一个外角B ．任意多边形的外角和是360︒C ．正六边形是中心对称图形D ．圆内接四边形的对角互补【答案】A【分析】根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．【详解】解：对于A 选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意； 对于B 选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；对于C 选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；对于D 选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；故选A ．14．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9，AC =AB =2AC =又∵12018180AB π⨯⨯==12π，∴走便民路比走观赏路少走12π-米，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．15．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故选：A．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．16．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A B C D【答案】AGC=，即可得【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得6AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD=△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得DH DF=，由此即可求得BF=BC BF【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt △DGC 中，CD =10，∴6GC ===，∵AD=DE ，BC=CE ，CD =10，∴CD = DE +CE = AD+BC =10，∴AD+BG +GC =10，∴AD=BG =2，BC =CG +BG =8，∵∠DAB =∠ABC =90°，∴AD ∥BC ，∴∠AHO =∠BCO ，∠HAO =∠CBO ，∵OA =OB ，∴△HAO ≌△BCO ，∴AH=BC =8，∵AD =2，∴HD=AH +AD =10；在Rt △ABD 中，AD =2，AB =8，∴BD ==∵AD ∥BC ，∴△DHF ∽△BCF ，∴DH DF BC BF =，∴108=BF =A ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．17．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A ．16π-B ．16π-C ．20π-D ．20π-【答案】A【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH，AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AOOH =12AOAH=6，∴AE =2AH =12， ∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-A ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．18．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C 【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】ABC 的外接圆如下图∵∠40A =︒∴280BOC A ∠=∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．19．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，∴12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠∴tan =DE OEα ∴=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE ODα= ∴sin DE OD α= ∴22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE OD α= ∴cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m == ∴cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；∵2sin CD m α=，cos OE m α= ∴2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ． 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．20．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A =80°，则∠C 的度数是（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠C =180°-∠A =100°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．21．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上， ∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ， ∴AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∴AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∴△AOG ≌△BOM ，∴∠CAB =∠CBA ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB =∠CBA =45°，12OC AB ∴=，2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+=22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B 【分析】连接AD ，由切线性质可得∠ADB =∠ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得∠BAD =60°，易求得∠ADE =72°，由AD=AE 可求得∠DAE =36°，则∠GAC =96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，∵BC 与圆A 相切于点D ，∴∠ADB =∠ADC =90°，在Rt △ADB 中，AB =6，则cos ∠BAD =AD AB =12，∴∠BAD =60°， ∵∠CDE =18°，∴∠ADE =90°﹣18°=72°，∵AD=AE ，∴∠ADE =∠AED =72°， ∴∠DAE =180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC =36°+60°=96°，∴∠GFE =12∠GAC =48°，故选：B ．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD =60°是解答的关键．23．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于O ，∴90BOC ∠=° ∴11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．24．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊥AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．∴OC =5，CP =3∵CD ⊥AB ，∴CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦． 25．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径，∴点A 在⊙O 外．点B 在⊙O 上，∴直线AB 与⊙O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．26．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ） A ．163π B ．643π C ．16π D ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴R =S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．27．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A 【分析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC ∴ AE =EC ，CF =FD ∵OE =3，OB =5∴OB =OC =OA =5∴在Rt △OAE 中4AE ==∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=- 22228(5)5x x -+=- x =1.4在Rt △OFC 中， 4.8FC == ∴29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键28．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM BM ⊥，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE PM +的最小值为（ ）A 1B 1CD 1【答案】A【分析】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE ＋PM 的最小值为OE '的值减去以AB 为直径的圆的半径OM ，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．【详解】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，如图：∵动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，∴点M 在以AB 为直径的圆上，OM ＝12AB ＝1， ∵正方形ABCD 的边长为2，∴AD ＝AB ＝2，∠DAB ＝90°，∵E 是AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝12×2＝1，∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '＝DE ＝1，PE ＝PE '，∴AE '＝AD ＋DE '＝2＋1＝3， 在Rt △AOE '中，OE '＝22AE AO '＋＝2231+＝10，∴线段PE ＋PM 的最小值为：PE ＋PM ＝PE '＋PM ＝ME '＝OE '−OM ＝10−1．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．29．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 四点均在圆O 上，∠AOD=68°，AO//DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．56°D ．68°【答案】C【分析】连接AD ，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA ，再根据平行线的性质求出∠ODC ，最后根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接AD ，∵∠AOD=68°，OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=56°， ∵AO ∥DC ，∴∠ODC=∠AOD=68°，∴∠ADC=124°，∵点A 、B 、C 、D 四个点都在⊙O 上，∴∠B=180°-∠ADC=56°，故选C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．30．（2019·广西玉林市·中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB = ∵90OPB ︒∠=，∴OP AC∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ⊥，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =， ∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.二、填空题31．（2021·青海中考真题）点P 是非圆上一点，若点P 到O 上的点的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则O 的半径是______．【答案】6.5cm 或2.5cm 【分析】分点P 在O 外和O 内两种情况分析；设O 的半径为xcm ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设O 的半径为xcm 当点P 在O 外时，根据题意得：429x += ∴ 2.5x cm = 当点P 在O 内时，根据题意得：294x =+ ∴ 6.5x cm = 故答案为：6.5cm 或2.5cm ．【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 32．（2021·北京中考真题）如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线，∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∴由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒， ∵50P ∠=︒，∴130AOB ∠=︒；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．33．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 2 【答案】80π【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵弧长16πcm 的扇形铁片，∴做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为16πcm ，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm 10cm =， ∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2，故答案是：80π． 【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．34．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°， ∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．35．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．【答案】223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】连接BE ，由题意易得BE =AB =2cm ，进而可得∠EBC =30°，∠ABE =60°，然后可得EC =1cm ，最后根据割补法及扇形面积计算公式可进行求解阴影部分的面积． 【详解】解：连接BE ，如图所示：由题意得BE =AB =2cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC C ∠=∠=︒，∵AD =，∴cos 2BC EBC BE ∠==，∴∠EBC =30°，∠ABE =60°，∴1cm CE =，∴226022=cm 360223ECBABCD ABE S S S Sππ⎛⎫⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭阴影矩形扇形；故答案为223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题关键． 36．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则∠ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DCB 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE = ,ABE ACD ∴∠=∠ ,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠ 90,32,ABC A ∠=︒∠=︒ ()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．37．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________． 【答案】48π【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π， 设扇形的半径为r ，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r ＝12， ∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大． 38．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴OC AB ⊥ ∴14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，∵2cm CD = ∴(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R = 即O 的半径为5cm 故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 39．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数 【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．40．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是______2cm （结果用含π的式子表示）．【答案】180π【分析】由题意易得该扇形的弧长为221020cm r πππ=⨯=，然后根据扇形面积计算公式可求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为221020cm r πππ=⨯=，∴该扇形的面积为2111820180cm 22S lR ππ==⨯⨯=；故答案为180π．【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．41．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第三期) 专题32 正多边形与圆(含解析)
正多边形与圆一.选择题1.（2019•湖北省荆门市•3分）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝D B．【解答】解：连接BI，如图，∵△ABC内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI，∴DI＝D B．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接B D．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．3. （2019•河北省•3分）下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．D．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，4. ．（2019•黑龙江省绥化市•3分）下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60°C．半径为RD．只有正方形的外角和等于360°答案：D考点：命题真假判断，三角形，正多边形的性质。
2019年中考数学试题汇编：正多边形和圆填空题部分(解析版)
1.（2019年陕西省）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6．【分析】根据正六边形的性质即可得到结论．【解答】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．2.（2019年广西柳州市）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5．【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE＝BE＝，再由勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，∵OE⊥BC，∴OE＝BE＝，即a＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．3.（2019年四川内江市）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．4.（2019年江苏省徐州市）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为6cm．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．5.（2019年湖北省黄冈市）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为4π．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．∴面积为：4π，故答案为：4π．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．6.(2019年贵州省贵阳市）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是8π．【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；故答案为：8π．【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长＝2个圆的周长是解题的关键．7.（2019年山东省烟台市）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为π﹣2．【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，如图，利用等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，再根据三角形内切圆的性质得OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，再计算出BH＝CH＝1，OH＝BH＝，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O进行计算．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，∵O点为等边三角形的外心，∴BH＝CH＝1，在Rt△OBH中，OH＝BH＝，∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB ﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．故答案为π﹣2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质和扇形面积公式．8.（2019年广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为π．【分析】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．利用三角形的中位线定理证明OQ＝＝定值，推出点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，已解决可解决问题．【解答】解：如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，∵A1Q＝QC，BO＝OC，∴OQ＝BA1＝AB＝，∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，∴点Q的运动路径长＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9.（2019年福建省）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．10.（2019年广西梧州市）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC 是解题的关键．11.（2019年海南省）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为：144．【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．12.（2019年黑龙江省绥化市）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为12．【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可．【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得：＝2π×4，解得：l＝12，故答案为：12．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．13.（2019年黑龙江省齐齐哈尔市）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为4cm．【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.（2019年黑龙江省哈尔滨市）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是110度．【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可．【解答】解：根据l＝＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．15.（2019年黑龙江省鸡西市）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是150°．【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是45cm，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5πcm，∴＝5π，解得：n＝150故答案为150°．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出弧长．16.（2019年湖北省黄石市）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为π．【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据三角形的内角和得到∠AOD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长个公式即可得到结论．【解答】解：连接DF，OD，∵CF是⊙O的直径，∴∠CDF＝90°，∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，∴∠ACD＝30°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCF＝30°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝30°，∴∠COD＝120°，在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，∴⊙O的半径＝2，∴劣弧的长＝＝π，故答案为π．【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．17.（2019年湖北省咸宁市）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为3（结果保留π）．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．【解答】解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，∴AC＝3，∵∠CDA＝90°，∴CD＝，∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，故答案为：3π﹣．【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.（2019年河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为+π．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF ＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.（2019年吉林省）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20.（2019年江苏省淮安市）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是3．【分析】设该圆锥底面圆的半径是为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×5＝15π，然后解关于r的方程即可．【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，根据题意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．即该圆锥底面圆的半径是3．故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．21.（2019年贵州省安顺市）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为6．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2＝，然后解关于l的方程即可．【解答】解：根据题意得2π×2＝，解德l＝6，即该圆锥母线l的长为6．故答案为6．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．22.（2019年广西贵港市）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为．【分析】利用弧长＝圆锥的周长这一等量关系可求解．【解答】解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠BAO＝30°，AM＝，∴OA＝2，∵＝2πr，∴r＝故答案是：【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．23.（2019年湖北省孝感市）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝0.14．【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．【解答】解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S＝3.14，∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，∴则S﹣S1＝0.14，故答案为：0.14．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．（2019年湖北省江汉油田）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是6 cm．【分析】由弧长公式：l＝计算．【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．故本题答案为：6．【点评】本题考查了弧长公式．24.（2019年湖北省十堰市）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6π．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.（2019年广西贺州市）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是90度．【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据题意得2π•1＝，解得n＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．故答案为：90．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26.（2019年湖北省荆门市）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为+﹣．【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC ＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，故答案为：+﹣．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27.（2019年湖北省鄂州市）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是．【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，∴圆锥的母线长为＝5，∴圆锥的侧面积为π×5×5＝，故答案为：．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．28.（2019年江苏省苏州市）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为（10）cm2（结果保留根号）．【分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积﹣内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．【解答】解：如图，EF＝DG＝CH＝，∵含有45°角的直角三角板，∴BC＝，GH＝2，∴FG＝8﹣﹣2﹣＝6﹣2，∴图中阴影部分的面积为：8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2＝32﹣22+12＝10+12（cm2）答：图中阴影部分的面积为（10）cm2．故答案为：（10）．【点评】考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长．29.（2019年江苏省无锡市）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为3cm．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝3cm，故答案为：3．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．30.（2019年浙江省杭州市）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于113cm2（结果精确到个位）．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．故答案为113．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．31.（2019年江苏省扬州市）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝15．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝24°，则边数n＝360°÷中心角．【解答】解：连接BO，∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案为：15．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．32.（2019年甘肃省天水市）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为2π﹣2．【分析】连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C ＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论．【解答】解：连接AB，∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，∵OB＝2，∴OA＝OB tan∠ABO＝OB tan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．故答案为：2π﹣2．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．33.（2019年四川省宜宾市）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝60°．【分析】先根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°求出六边形的内角和，再除以6即可求出∠B的度数，由平行线的性质可求出∠DAB的度数．【解答】解：在六边形ABCDEF中，（6﹣2）×180°＝720°，＝120°，∴∠B＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质．34.（2019年四川省南充市）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝15度．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，求得AB＝AH，∠BAH＝120°，于是得到AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为：15．【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．35.（2019年甘肃省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．36.（2019年江苏省连云港市）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为6π．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为6π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．37.（2019年湖南省衡阳市）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．38.（2019年山东省聊城市）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为120°．【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，∴圆锥的底面周长为2π，∵圆锥的高是2，∴圆锥的母线长为3，设扇形的圆心角为n°，∴＝2π，解得n＝120．即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．39.（2019年山东省泰安市）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．40.（2019年甘肃省武威市、陇南市）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．41.（2019年重庆市B卷）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是8﹣8．【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．【解答】解：连接AE，∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，∴sin∠AED＝，∴∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，∴AD＝DE＝2，∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．42.（2019年山东省青岛市）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．。
2019年中考数学真题分类汇编第二期专题32正多边形与圆试题含解析
2019年中考数学真题分类汇编正多边形与圆一.选择题1. （2019•资阳•3分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）A．B．（）a2C．2D．（）a2【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×，即可得出结果．【解答】解：∵正六边形的边长为a，∴⊙O的半径为a，∴⊙O的面积为π×a2=πa2，∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2，∴正六边形面积为a2，∴阴影面积为（πa2﹣a2）×=（﹣）a2，故选：B．【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×是解答此题的关键．2. （2019•湖州•3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A. rB. （1+）rC. （1+）rD. r【答案】D【解析】分析：如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；详解：如图连接CD，AC，DG，AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，∴AC=r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG=r，故选：D．点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．3. （2019·黑龙江大庆·3分）一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解．【解答】解：∵一个正n边形的每一个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．故选：D．二.填空题1.（2019•山东烟台市•3分）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2= ：2 ．【分析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．【解答】解：连OA由已知，M为AF中点，则OM⊥AF∵六边形ABCDEF为正六边形∴∠AOM=30°设AM=a∴AB=AO=2a，OM=∵正六边形中心角为60°∴∠MON=120°∴扇形MON的弧长为： a则r1= a同理：扇形DEF的弧长为：则r2=r1：r2=故答案为：：2【点评】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．2. （2019•广西玉林•3分）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= 9+4．【分析】设△AFB的内切圆的半径为r，过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A.O1B，解直角三角形求出AM、FM、BM，根据三角形的面积求出r，即可求出答案．【解答】解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A.O1B，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A==120°，AF=AB，∴∠AFB=∠ABF=（180°﹣120°）=30°，∴△AFB边BF上的高AM=AF=（6+4）=3+2，FM=BM=AM=3+6，∴BF=3+6+3+6=12+6，设△AFB的内切圆的半径为r，∵S △AFB=S+S+S，∴×（3+2）×（3+6）=×r+×r+×（12+6）×r，解得：r=，即O1M=r=，∴O1O2=2×+6+4=9+4，故答案为：9+4．。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题32正多边形与圆(含解析)
/ BCD ,然后根据等腰三角形的性质即可得到结论.【解答】解：T 在正六边形 ABCDEF 中，/ BCD = •••/ CBD = — (180° — 120° = 30°, 2(故选：A .【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边 形的内角和是解题的关键.2. (2019?铜仁?12分)如图，正六边形 ABCDEF 内接于O O , BE 是O O 的直径，连接 BF , 延长BA ，过F 作FG 丄BA ，垂足为G . (1) 求证：FG 是O O 的切线；(2) 已知FG = 2 一，求图中阴影部分的面积.【解答】(1)证明：连接OF , AO , ••• AB = AF = EF ,•••/ ABF = / AFB = / EBF = 30°, •/ OB = OF ,.选择题 1.( 2019?贵阳?3 分) 正多边形与圆如图，正六边形 ABCDEF 内接于O O ,连接BD .则/ CBD 的度数是) B 30 ° B . 45 ° C . 60°D . 90 ° 【分析】根据正六边形的内角和求得 旳=120° BC = CD ,•••/ OBF = / BFO = 30°•••/ ABF = Z OFB ,•AB// OF ,•/ FG 丄BA,•OF 丄FG ,•FG是O O的切线；（2）解：I' r；u J = i ：，•Z AOF = 60°•/ OA= OF,•△ AOF是等边三角形，•Z AFO = 60°•Z AFG = 30°••• FG = 2 二，•AF = 4,•AO = 4,•/ AF // BE,…S A ABF = S A AOF，•图中阴影部分的面积=ILL = \ .360 3 3 43 （2019?江苏宿迁?3分）如图，正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）D . 6^j-+2 n【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和-（大圆的面积-正六边形的面积）即可得到结果.【解答】解：6个月牙形的面积之和= 3n-（22n—6 X〕 X2X _）= 6 "—n故选：A .【点评】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.4. （2019?江苏宿迁?3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）A. 20 n B . 15 n C. 12 n D. 9 n【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积.【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径= 则底面周长=6 n底面半径=3,由图得，母线长=5,侧面面积=—>6 nX5 = 15 n.故选：B.【点评】本题考查了由三视图判断几何体，禾U用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解. 5A . 60°B . 70°C. 72°D. 144°5 （2019?浙江湖州?3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于O 0,连结BD，则/ ABD的度数是（【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出/ ABC、CD = CB，根据等腰三角形的性质求出/ CBD，计算即可.【解答】解：T五边形ABCDE为正五边形，•••/ ABC= / C= —= 108°5•/ CD = CB,•••/ CBD= 36°2 ，•••/ ABD = / ABC - / CBD = 72°,故选：C.【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n - 2）X180°是解题的关键.6. （2019泗川自贡？分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）4 3 2 1A . j B.“C「D.:【分析】连接AC ,根据正方形的性质得到 / B = 90°根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可.【解答】解：连接AC ,设正方形的边长为a,•••四边形ABCD 是正方形,••• AC 为圆的直径,•- AC = ~AB =二a ,【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键.7. （2019?广西贺州?3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A •正三角形B •平行四边形C .正五边形D •圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 【解答】解：A .正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； B. 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； C. 正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形； D .圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 故选：D .【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念•轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合.66 （2019?甘肃省庆阳市?3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为:a 2JT X—= 〜$兀3,【分析】根据多边形内角和公式（ n -2） X18O °即可求出结果. 【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（ 5- 2） X18O°= 540°, 故选：C .【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式.二.填空题1. （2019?海南 ?4分）如图，O O 与正五边形 ABCDE 的边AB 、DE 分别相切于点 B 、D ,则 劣弧| -所对的圆心角/ BOD 的大小为 144 度.D E【分析】根据正多边形内角和公式可求出/ E 、/ D ，根据切线的性质可求出/ OAE 、/ OCD ，从而可求出/ AOC ，然后根据圆弧长公式即可解决问题. 【解答】解：•••五边形ABCDE 是正五边形， E =Z A =|（沪=108°T AB 、DE 与O O 相切，•••/ OBA = / ODE = 90°•••/ BOD =（ 5- 2） X180° - 90° - 108°- 108°- 90° = 144°故答案为：144.【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌 握切线的性质是解决本题的关键.2. （2019?江苏扬州?3分）如图，AC 是O O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是O O 的内接正十边形的一边，若 AB 是O O 的内接正n 边形的一边，贝y n=__15_o 【考点】：圆心角，圆内正多边形 【解析】：B . 360C . 540D . 720解：•/ AC是O O的内接正六边形的一边••• BC是O O的内接正十边形的一边•••/ AOC=360°吒=60°•••/ BOC=360° ^10=36°•••/ AOB=60°-36 °=24° 即360° 切=24° • n=15【答案】：15.三•解答题1. （2019?贵阳分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA = 2,则四叶幸运草的周长是8 n ./ / \ \【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化.3. （ 2019?江苏扬州?3分）如图，将四边形 ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45。
正多边形和圆(解析版)九年级数学-下册
27.4正多边形和圆姓名：_______班级_______学号：________题型1直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程212200x x -+=的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出OD 的长即可得到答案．【详解】解：212200x x -+=，()()2100x x --=，10x ∴=或2，当2x =时，268+=，不能组成三角形，不符合题意；10x ∴=，当第三边为10时，2226810+= ，此三角形是直角三角形，如图所示，在Rt ABC △中，点O 是Rt ABC △的内接圆，分别与,,AB BC AC 相切于D 、E 、F ，,,OD OE OF OD AB OE ∴==⊥ABC ABO ACO BCO S S S S ∴=++ 111222AB BC AB OD BC ∴⋅=⋅+1683452OD OE OF ∴⨯⨯=++2OD ∴=，∴圆O 的半径为2，【答案】()5,1()8093,1【分析】作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB PB ，由A 、B 的坐标得出4OA =，3OB =，由勾股定理可得点A的坐标为()3,0，0,4，点B的坐标为()OA=，∴=，43OB2222∴=+=+=，AB OA OB435点P是Rt OAB内切圆的圆心，PD OA⊥⊥，PF OB【答案】3cm【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出1()2CD CF AC BC AB ==+-是解题关键．设易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：在Rt ABC △，90C ∠=︒，9cm BC =根据勾股定理2215(cm)AB AC BC =+=四边形OECF 中，OD OF =，ODC ∠∴四边形OFCD 是正方形，题型2圆外切四边形模型5．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆．若70AOB ∠=︒，则COD ∠=（）A ．110︒B ．125︒C ．140︒D ．145︒【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OAB OAD ∠=∠，ODA ODC ∠=∠，OCD OCB ∠=∠，OBC OBA ∠=∠，∵360OAB OAD ODA ODC OCD OCB OBC OBA ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180OAB OBA ODC OCD OAD ODA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，∵70AOB ∠=︒，180OAB OBA AOB ∠+∠+∠=︒，180ODC OCD DOC ∠+∠+∠=︒，∴18070110COD ∠=︒-︒=︒，故选：A ；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到180OAB OBA ODC OCD ∠+∠+∠+∠=︒．6．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．7．（2019上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形EBFI ，正方形MFCG 和正方形HLGD 都在正方形ABCD 内，且=BF HD ．O 分别与AE ，EI ，HL ，AH 相切，点M 恰好落在【答案】1682-【分析】连接AC ，由题意可知【详解】解：如图所示，连接∵正方形EBFI ，正方形MFCG ∴45ACD MCD DAC ∠=∠=∠=∵O 分别与AE ，EI ，HL ，∴四边形AQOP 是正方形，∴AC 过点O ，M ，四边形ABCD 为正方形，题型3三角形内心有关应用9．（2023上·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆A ．12B ．【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，【详解】解：过O 点作OD ∵O 是正ABC 的内切圆，A．100︒B．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出1【答案】52-/2-+【分析】在AB 的下方作等腰直角三角形过点K 作KT DB ⊥交DB ∵点P 是ACB △的内心，∠∴12PAB CAB ∠=∠，PBA ∠=∴(12PAB PBA CAB ∠+∠=∠∴18045135APB ∠=︒-︒=︒，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵2AB =，AK BK =，AKB ∠设这个三角形内切圆的半径为r ，则11145222S ar br cr =++=，即()1452r a b c ++=，∵三角形的三边a ，b ，c 分别为7，6，∴()1763452r ++=，则：DAC DBC ∠=∠，∵I 是ABC 内心，∴,ABD DBC CAI ∠=∠∠=∴DAC DBA ∠=∠，∴DAC CAI DBA ∠+∠=∠+则：222CH AC AH =-=即：(222141315x -=--解得：425x =，∴22CH AC AH =-=设AD x =，则2BD =-由勾股定理得：2CD AC =222243(2)x x ∴-=--．解得： 2.75x =．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接OD 、在Rt ABC △中，AC AB =设内切圆半径为r ，AB 、BC ∴OD AB ⊥，OE BC ⊥，∵AB BC ⊥，OD OE =，∴四边形ODBE 为正方形，∴OD OE BD BE r ====，由切线长定理得，8AF AD r ==-，6CE CF r ==-，MD MP =，NE NP =，∴8610AC AF CF r r =+=-+-=，解得2r =，则的周长为BM BN MN++BM BN MP NP=+++BM BN MD NE=+++BD BE=+2BD=2r=4=．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形ODBE 为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．题型5三角形内切圆与外接圆综合18．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知O 是ABC 的内心，70BAC ∠=︒，P 为平面上一点，点O 恰好又是BCP 的外心，则BPC ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．62.5︒D ．65︒【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得OB OC 、分别是ABC ACB ∠∠、的角平分线，进而求出BOC ∠的大小，再利用三角形外心的性质得出BPC ∠等于BOC ∠的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．∵O是ABC的内心，，∴12OBC ABC ∠=∠，∴12 OBC OCB∠+∠=∠【答案】65︒/65度【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接OB、OC，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得BOC∠，再根据圆周角定理得到∵80BAC ∠=︒，∴180ABC ACB ∠+∠=︒-∵O 是ABC 的内心，∴12OBC ABC ∠=∠，OCB ∠【答案】58【分析】作AD BC ⊥于点D ，作PF 且AD 垂直平分BC ，及BD CD ==得BQ 、PF 和DQ ，由PCF ≌ R R t 答案．则90ADB ADC ∠=∠=︒，∵5AB AC ==，∴AD 平分BAC ∠，且AD 垂直平分∵6BC =，∴1=32BD CD BC ==，【答案】40︒/40度【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出COB ∠的度数和OGE ∠【详解】解：连接,OD OE【答案】5【分析】连接OA 、OB 、OC 、33BE BD OE ===，进而得出【详解】解：如图，连接OA 、OB ∵ABC 的内切圆半径3r =，30ABO CBO ∴∠=∠=︒，33BE BD OE ∴===，8BC = ，A．72°【答案】A【分析】根据正n边形的中心角的度数为【答案】2【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、形的中心角36060AOB︒∠==︒，进而证明由题意，360 AOB∠=∴AOB为等边三角形，【答案】72︒/72度【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得解．【详解】∵五边形ABCDE1【答案】72︒/72【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，∴3605AOB BOC ︒∠=∠=∴7272144AOC ∠=︒+︒=∴1722AFC AOC ∠=∠=A．4B【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出60BOC ∠=︒，OB OC =∴BOC 是等边三角形，∴6OB BC ==，OM BC ⊥，1A ．2B ．确定，所以CMP S △的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出1S S =则2MN OM =，∵12COD S CD OM = ，PCM S ∴COD PCM S S = ，∵16COD ABCDEF S S = 正六边形，34．（2023上·浙江温州记ACE △的周长为1C ，正六边形为【答案】32【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含长为a ，利用含30︒角的直角三角形的性质求出【详解】解：设正六边形的边长为∵六边形ABCDEF 是∴DC DE a ==，CDE ∠∴60,EDH DEH ∠=︒∠∴12DH a =，(1)在方格纸中画出以AC为对角线的正方形小正方形的顶点上；∠为顶角的等腰三角形(2)在方格纸中画出以GFE格点上，连接AG，并直接写出线段【答案】(1)见详解；∠为顶角的等腰三角形（2）解：以GFE22AG=+=．5334【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．36．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知的内接正方形ABCD法，作出O【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙【详解】解：如图，正方形ABCD的直径，∵BD垂直平分AC，AC为O的直径，∴BD为O∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，的内接正方形．∴四边形ABCD是O【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．37．（2020下·山东青岛·九年级统考学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．38．（2022上·江西景德镇·九年级统考期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．39．（2023上·江苏盐城【答案】（1）3；（2）21316AN≤≤；（3）9373222r-≤≤【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果；（2）当MNA'的外接圆与线段DC相交，且点N与D重合时，此时AN外接圆与线段DC相切时，此时AN最小，利用勾股定理构建方程求解即可；由折叠的性质得：A D AD'=，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相交，且点N 与D 重合时，此时AN 最大，即3AN =，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相切时，设半径为r ，则3,OF r AO r =-=，则1924AF AM ==，∴()222934r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当N 与D 重合时r 最大，3,6,6A F r MF r MA ''∴=-=-=，Rt FA M ' 中，()()222366r r -+-=，1r =9372+（舍），29372r -=，故答案为：93732r -≤≤．。
2019年全国各地中考数学： 正多边形与圆(含解析)
正多边形与圆一.选择题1.(2019，四川成都，3分）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为»DE上的一点（点P 不与点D 重合），则∠CPD 的度数为（ ）A.30°B.36°C.60°D.72°【解析】此题考查正五边形及圆的相关概念，做辅助线：连接CO 、DO ，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD =72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD =︒=⨯︒3621722. (2019甘肃省陇南市)（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【分析】根据多边形内角和公式（n ﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C ．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．二.填空题 1. （2019•山东省滨州市 •5分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为． 【考点】正六边形和圆【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质和三角函数求解即可．【解答】解：如图，连接O A.OB ，作OG ⊥AB 于G ；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为：．【点评】本题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．2. （2019•山东省济宁市•3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是140°．【考点】多边形的内角和【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．三.解答题1. （2019•湖南怀化•12分）如图，A.B.C.D.E是⊙O上的5等分点，连接A C.CE.E B.B D.DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．【分析】（1）由题意可得∠COD＝70°，由圆周角的定理可得∠CAD＝36°；（2）由圆周角的定理可得∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，可求∠AME＝∠CAE＝72°，可得AE＝ME；（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2＝BE•NE，通过证明BM＝NE，即可得结论．【解答】解：（1）∵A.B.C.D.E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝70°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°（2）连接AE∵A.B.C.D.E是⊙O上的5等分点，∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°∴∠AME＝72°∴∠AME＝∠CAE∴AE＝ME（3）连接AB∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME∴ME2＝BE•NE∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°∴∠BAD＝∠BNA＝72°∴BA＝BN，且AE＝ME∴BN＝ME∴BM＝NE∴ME2＝BE•NE＝BM•BE【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN ∽△BEA是本题的关键．。
2019年中考数学专题复习30——圆与正多边形(含答案解析)
2019年中考数学专题复习30——圆与正多边形（含答案解析）一、选择题1. 如果一个正多边形的中心角为，那么这个多边形的边数是A. B. C. D.2. 如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么弦所对的圆周角等于A. B. C. 或 D. 或3. 如图，是的半径，弦，是上一点，若，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是A. B. C. D.5. 是一个正边形的外接圆，若的半径与这个正边形的边长相等，则的值为A. B. C. D.6. 在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是A. B. C. D.7. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和，则A. B. C. D.8. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，的长为A. B. C. D.9. 如图，有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是C.10. 若一个正六边形的周长为，则该正六边形的边心距为A. B. C. D.11. 如图，是等边的外接圆，其半径为．图中阴影部分的面积是A. B. C. D.12. 如图，已知正方形铁丝框边长为，现使其变形以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为A. B. C. D.13. 如图，在扇形中，，，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为A. B. C. D.14. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是．A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块15. 正六边形的边心距与边长之比为A. B. C. D.16. 如图，已知五边形是的内接正五边形，且的半径为．则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.二、填空题17. 如图，是直径延长线上的一点，与相切于点，若，则．18. 圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为．19. 如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为．（结果保留）20. 如图，是正方形的外接圆，点是上任意一点，则的度数为．21. 如图，分别以正六边形相间隔的个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案．若正六边形的边长为，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为．（结果保留）22. 如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积是（结果保留）．23. 如图，已知，是以为直径的半圆周上的两点，是圆心，半径，，则图中阴影部分图形的面积之和等于．24. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点顺时针旋转，使得点，，在同一条直线上，若，则点旋转到所经过的路线长为．25. 如图，是的直径，点在上，连接，，的平分线交于点，若的半径是，则的长是．26. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，无贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积等于．27. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，竹条的长为，贴纸部分的宽为，若纸扇两面贴纸，则一面贴纸的面积为．（结果保留）28. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为．母线长为．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为．29. 如图，半径为的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则图中阴影部分的面积是．30. 如图，在中，是弦，是上一点．若，，则的大小为度．31. 如图，已知的半径为，为外一点．过点作的一条切线，切点是，的延长线交于点．若，则劣弧的长为．32. 如图，圆内接正六边形中，、交于点，则．三、解答题33. 如图，是的直径，是弦，于，交于．（1）请写出个不同类型的正确结论；（2）若，．求的半径．34. 如图所示，为的直径，，垂足为，，垂足为，．（1）求的大小（2）求阴影部分的面积.35. 如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．36. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，且，的半径为，求的长．37. 如图，已知等腰三角形的底角为，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．（1）证明：为的切线；（2）连接，若，求的面积．38. 四边形的对角线交于点，有，，以为直径的半圆过点，圆心为．（1）利用图，求证：四边形是菱形．（2）如图，若的延长线与半圆相切于点，已知直径．①连接，求的面积．②求弧的长．39. 如图所示，点在的平分线上，与相切于点．（1）求证：直线与相切（2）的延长线与交于点，若的半径为，．求弦的长．40. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心的半圆与边相切于点，与，边分别交于点，，，连接，已知，，．（1）求的半径；（2）求证：是的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．41. 已知：是边长为的等边三角形，点在边上，过点且分别与边，相交于点，，，垂足为．（1）求证：直线是的切线；（2）当直线与相切时，求的半径．42. 已知：如图，为的直径，，是的切线，，为切点，．（1）求的大小；（2）若，求的长．43. 如图，点，分别在扇形的半径，的延长线上，且，，，并与相交于点，．（1）求线段的长；（2）若，求弦的长．（3）在（）的条件下，求的长度．44. 如图，将一含锐角的直角三角板的直角边落在半圆的直径上，直角顶点恰好与直径端点重合，已知的直角边与半圆的半径的长均为．现将直角三角板沿直径的方向向右平移，移至斜边与半圆相切于点时停止，此时将的位置记为．（1）试求弧的长度（结果保留）；（2）从点平移至的平移距离是多少?45. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，平分．（1）求证：；（2）已知，，求的半径．46. 如图，在中，，的平分线交于，过点作交于，以为直径作．（1）求证：点在上；（2）求证：是的切线；（3）若，，求的面积．答案第一部分1. B2. D3. C4. B5. D6. C7. B8. C9. B10. A11. D12. B13. A14. B 【解析】任取圆上不重合的三点，两点连线作垂直平分线的交点为圆心，随之确定了半径即圆的大小．15. D【解析】如图：设正六边形的边长是，则半径长也是；经过正六边形的中心作边的垂线段，则，于是，所以正六边形的边心距与边长之比为：．16. B第二部分17.18.19.【解析】连接、，易证，．20.21.22.【解析】过点作于点．，，，，，阴影部分的面积：23.24.25.26.27.28.【解析】要把立体图形还原成符合题意的平面图形，然后根据题中所给条件把已知线段标注在图中，从而利用特殊图形，如：直角三角形计算所求线段长．【解析】如图，连接交于点，连接、，由题意知，，且 .在中，，，， .， ..30.【解析】，，，，，，，，．32.【解析】提示：，，．同理．，．．第三部分33. （1）；；．（答案不唯一）（2）因为在中，于，所以，设的半径为，则，因为在中，，所以由勾股定理，得，解得，所以的半径为．34. （1）连接 .直径于，， .，.为等边三角形..（2）．35. （1）连接，，，平分，，，，，，，，点在圆上，为圆的半径，是圆的切线；（2）在中，，，，在中，，，，，，，，，，，，，阴影部分的面积为 .36. （1）连接．是的直径，，．，．，，即，是的切线．（2）的半径为，，．，．又，，，即，．37. （1）连接．，．，，．，．为的切线．（2）连接，过点作，交的延长线于点．，．，为等边三角形．，．，，．，．．38. （1）因为，，所以四边形是平行四边形．因为为直径，且过点，所以，即．因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形．（2）①连接．因为的延长线与半圆相切于点，所以．因为，所以即为中边上的高．所以，因为点是中点，点是的中点，所以．②过点作于点．因为，，所以，所以．所以四边形为矩形，即．因为在中，，所以．因为点，分别为，中点，所以，所以．所以．所以．39. （1）如图，过点作垂足为，连接．与相切，．又平分，．是的切线．（2）如图，过作于点．在中，．，．在中，，在中，根据勾股定理，得．40. （1）与圆相切，，在中，，，．（2）连接，，，四边形为平行四边形，，，，为圆的半径，为圆的切线；（3），，即，，，41. （1）连接．是等边三角形，．，，．，．与边相交于点，点在圆上．是的切线．（2）连接，．是的切线，．设的半径为，则．，．，，．，，．、分别是的切线，．在中，，．解得．42. （1）是的切线，为的直径，．．，．，切于点，，．是等边三角形．．（2）如图，连接．是直径，．在中，，，．是等边三角形，．43. （1），，，，，．（2）如图所示，过作，连接，则，，即，，在中，，即，解得，由垂径定理得．（3）连接，如图所示，由（）可得在中，，，是等边三角形，，的长度．44. （1）如图，连接．因为与半圆相切于点，所以．因为，所以，所以．因为，所以弧的长度为．（2）因为，所以．由（1）可知，又，所以．又，所以．所以，，．所以．所以．所以从点平移至的平移距离是．45. （1）连接．是切线，，，，，，，，，；（2）过点作，垂足为点．，四边形是矩形．．又，．在中，，即的半径为．46. （1）连接．是直角三角形，，．点在上．（2）是的角平分线，．，．．，，是的切线．（3）在中，，，根据勾股定理得．设，则．，，，即．解得．，．，即．．过作．，．，即．．．。
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2019年中考数学：正多边形与圆
真题汇编
(名师精选全国真题实战训练+答案，值得下载练习)
一.选择题
1. （2018?资阳?3分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．（）a2 C．2D．（）a2
【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×，即可得出结果．
【解答】解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
2=πａ2，
∴⊙O的面积为π×ａ
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2，
∴正六边形面积为a2，
∴阴影面积为（πａ2﹣a2）×=（﹣）a2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×是解答此题的关键．
2. （2018?湖州?3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规
作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（）
A. r
B. （1+）r
C. （1+）r
D. r
【答案】D
【解析】分析：如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
详解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG=r，
故选：D．
点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3. （2018·黑龙江大庆·3分）一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解．
【解答】解：∵一个正n边形的每一个外角都是36°，
∴n=360°÷36°=10．
故选：D．
二.填空题
1.（2018?山东烟台市?3分）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，
将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=：2．
【分析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出
扇形半径即可．
【解答】解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为： a
则r1= a
同理：扇形DEF的弧长为：
则r2=
r1：r2=
故答案为：：2
【点评】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的
半径．
2. （2018?广西玉林?3分）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2=9+4．。