2014高考数学一轮复习课件：平面向量的概念及其线性运算(精)
→ → → 2→ → 解：CD＝AD－AC＝ AB－AC 3 2 ＝ a－b， 3 1 → 1 AM＝2a＋2b， → → → → → → → ∴AC＝AP＋PC＝AP－CP＝λAM－μCD
1 2 1 ＝λ2a＋2b－μ3a－b
λ 2μ λ → ＝b， ＝2－ 3 a＋2＋μb.又AC
即 3e1－ke2＝λe1－4λe2 ∵e1、e2 不共线．
λ＝3 ∴ －k＝－4λ
，………………………………………10 分
解得 k＝12， ∴k＝12.……………………………………………… 12 分
•
共线向量定理的条件和结论是 充要条件，既可以证明向量共线，也可以由 向量共线求参数． • 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个 公共点．
b＝λa
• 2．如何用向量法证明三点A、B、C共线？
→ ＝λAC → (或AB → ＝λBC → 或AC → ＝λBC → )， →与 提示： 证明AB 即证明AB → 共线，又因为有一公共点，所以三点共线． AC
1．判断下列各命题的真假： → 的长度与向量BA → 的长度相等； (1)向量AB (2)向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； → 与向量CD → 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在 (5)向量AB 同一条直线上；
a ＋b ＝
加法
求两个 向量 和的 运算
. ＋c) a＋(b
(2)结合律：
(a＋b)＋c
向量运 算
定义 求a 与 b 的相 反向 量－b 的和 的运 算叫 做a与 b的差
法则(或几何意 义)
运算律
减法
相同 相反
a－b＝a＋( － b)μa λa＋
λa＋λb
λμa
0
• 三、共线向量定理 • 向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯 一一个实数λ，使 .
2014高考数学一轮复习课件
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节
平面向量的概念及其线性运算
考纲要求 考情分析 1.了解向量的实际背 1.本节是平面向量的 景． 2.理解平面向量的概念， 起始部分，从历 年的高考看，平 理解两个向量相等的 面向量的线性运 含义． 算、共线向量定 3.理解向量的几何表 理是考查的重点 示． 和热点． 4.掌握向量加法、减法 2.考查的题型多为选 的运算，并理解其几
→ → → → 4．化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________.
→ －CD → )－(AC → －BD →) 解析：(AB → ＋BD → )－(AC → ＋CD → )＝AD → －AD → ＝0. ＝(AB
答案：0
→ → 5．(理)已知 a，b 是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a ＋λ2b(λ1， λ2∈R)， 则 A、 B、 C 三点共线的充要条件为________．
→ 2.如图所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD等 于( )
1→ → A．－BC＋2BA 1→ → C.B→ → D．BC＋2BA
1→ → 解析：∵D 是 AB 的中点，∴BD＝2BA. 1→ → → → → ∴CD＝CB＋BD＝－BC＋2BA.
• 一、向量的有关概念
• 1．向量平行与直线平行有什么区别？ • 提示：向量平行包括向量共线(或重合)的情况， 而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向 量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两 条直线不重合．
法则(或几何 向量运 定义 • 二、向量的线性运算 意义) 算
运算律
b＋a (1)交换律：
• 解析：①正确；②数与向量的积为向量，而不 是数，故不正确；③当a＝b时，|a|＝|b|且a∥b， 反之不一定成立，故错误；④中，当a，b不同 向时不成立，故错误． • 答案：①
• 向量的线性运算
• 【考向探寻】 • 1．与平面向量线性运算及性质有关的命题． • 2．平面向量线性运算的几何意义的应用．
• (2)①不正确，当起点不在同一直线上时，虽然 终点相同，但向量不共线；②不正确，向量不 能比较大小；③不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可 为任意向量，不一定共线．综上①②③都不正 确． • 答案：①②③
•
涉及平面向量的有关概念的命 题真假判断，准确把握概念是关键；掌握向 量与数的区别，充分利用反例进行否定也是 行之有效的方法．
λ 2μ 2－ 3 ＝0， ∴ λ ＋μ＝1， 2 4 3 即 λ＝5，μ＝5.
4 λ＝5， 解得 μ＝3. 5
• 共线向量定理的应用
• 【考向探寻】 • 利用向量的共线定理判断三点共线、两条直 线平行．
【典例剖析】 → ＝a＋2b，BC → ＝－5a＋6b， (1)已知向量 a，b，且AB → CD ＝ 7a － 2b ，则 A 、 B 、 C 、 D 四点中，一定共线的三点是 ________． → ＝2e －8e ， (2)(12 分)设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 1 2 → ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e . CB 1 2 1 2 ①求证：A、B、D 三点共线． → ＝3e －ke ，且 B、D、F 三点共线，求 k 的值． ②若BF 1 2
答案：A、B、D
(2)①由已知得 → ＝CD → －CB → ＝(2e －e )－(e ＋3e )＝e －4e ，3 分 BD 1 2 1 2 1 2 → ＝2e －8e ，又AB → 与BD → 有公共点 B，∴AB → ＝2BD →， ∵AB 1 2 ∴A、B、D 三点共线.6 分 → → ②由①可知BD＝e1－4e2，又BF＝3e1－ke2， → ＝λBD → ，8 分 设BF
1 → → → 中点，求证：EF＝ (AB＋DC)． 2
•
(1)利用平面向量的线性运算并 结合图形可求． • (2)结合图形，利用向量加法的法则进行求解 可证得结论．
→ → → (1)解析：∵AB＋BC＋CA＝0， → ＋2BE → ＋2CF → ＝0， ∴2AD → ＋BE → ＋CF → ＝0. 即AD
• • • •
(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
• 解析：理解基本概念的内涵，按照定义逐个判 定． • (1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向 量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命 题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相 同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以 重合，也可以平行；(6)假命题，向量可用有向 线段来表示，但并不是有向线段． • 答案：C
【典例剖析】 (1)如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 → → → A.AD＋BE＋CF＝0 → －CF → ＋DF → ＝0 B.BD → ＋CE → －CF → ＝0 C.AD → －BE → －FC → ＝0 D.BD (2)已知：任意四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的
•
若a，b是两个不共线的非零向 量，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这 一结论的应用非常广泛．
• 【活学活用】 • 3．设两个非零向量a，b不共线，若向量ka＋b 和a＋kb共线反向，求k的值． • 解：∵ka＋b与a＋kb共线反向， • ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)， • 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方 法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；当 → 1 → → M 为 BC 中点时，AM＝2(AB＋AC)应作为公式记住．
【活学活用】 2→ → 2．如图，△ABC 中，AD＝3AB，M 为 BC 中点，过 CD 交 → → → → → → AM 于点 P，设AB＝a，AC＝b，若AP＝λAM，CP＝μCD，求 λ， μ.
答案：A
(2)解：如图所示，∵E、F 是 AD 与 BC 的中点， → ＋ED → ＝0，FB → ＋FC → ＝0， ∴EA → → → → 又∵AB＋BF＋FE＋EA＝0， → ＝AB → ＋BF → ＋EA → ，① ∴EF
→ → → → 同理EF＝ED＋DC＋CF，② → ＝AB → ＋DC → ＋(EA → ＋ED → )＋(BF → ＋CF → )＝AB → 由①＋②得，2EF → ＋DC， → 1 → → ∴EF＝ (AB＋DC)． 2
• (2)(2013·宜宾模拟)给出下列命题：
• • • • ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的序号为______．(写出所有错误 命题的序号)
题号
(1) (2)
分析 结合向量的基本概念逐一判断 即可． 根据共线向量的概念逐一判断.
→ ＝kAC → ，从而 λ a＋b 解析：由 A、B、C 三点共线可得AB 1 ＝k(a＋λ2b)，即(λ1－k)a＋(1－kλ2)b＝0. 由 a，b 不共线得
λ1－k＝0 1－kλ2＝0
，解得 λ1λ2＝1.
答案：λ1λ2－1＝0
• 5解析： ．(文由题意知 )设a，ba 是两个不共线向量，且向量 a ＋λb＝k(2a－b)， ＋λb与2a－b共线，则λ＝________.
•
判定两个向量的关系时，特别 注意以下两种特殊情况： • (1)零向量的方向及与其他向量的关系； • (2)单位向量的长度及方向．
【活学活用】 1．给出下列命题 → → ①若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ②0a＝0； ③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ④若 a 与 b 为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中所有正确命题的序号是________．
专题5.1 平面向量的概念及线性运算(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
【重点知识梳理】一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量,其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a＋＝＋(2)结合律：()() a b c a b c ＋＋＝＋＋减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时,λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0.2．运算律：设λ,μ是两个实数,则：①λ(μa)＝(λμ) a；②(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b＝λa.【特别提醒】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个．(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线；另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合．【高频考点突破】考点一向量的有关概念例1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量；②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b；④λ,μ为实数,若λa＝μb,则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4④不正确．当λ＝μ＝0时,a与b可以为任意向量,满足λa＝μb,但a与b不一定共线．【答案】C【变式探究】给出下列命题：①a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ②若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ；③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________．考点二 向量的线性运算例2、 (1)如图,正六边形ABCDEF 中,BA ＋CD ＋EF ＝( )A ．0B ．BEC ．ADD ．CF(2)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ＝2DB ,CD ＝13CA ＋λCB ,则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23【变式探究】平行四边形OADB 的对角线交点为C ,BM →＝13BC →,CN →＝13CD →,OA →＝a ,OB →＝b ,用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求,二是应用平行考点三、共线向量例3、设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b,BC＝2a＋8b,CD＝3(a－b)．求证：A,B,D三点共线；(2)试确定实数k,使k a＋b和a＋k b共线．∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k－λ＝λk－1＝0,即k2－1＝0.∴k ＝±1.【变式探究】设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值．考点四 考查综合应用例4、如图,在矩形OACB 中,E 和F 分别是边AC 和BC 的点,满足AC ＝3AE ,BC ＝3BF ,若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________.【变式探究】(2011·杭州模拟)已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB →＝λP A →＋PB →,其中λ∈R,则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【经典考题精析】（2013·江苏卷）设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD ＝12AB,BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1＋λ2的值为________．（2013·陕西卷）设a ,b 为向量,则“| a b ⋅|＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013·四川卷）在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB →＋AD →＝λAO →,则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则,AB →＋AD →＝AC →＝2AO →,故λ＝2.（2013·重庆卷）在平面上,AB 1→⊥AB 2→,|OB 1|＝|OB 2→|＝1,AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12,则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2 D.⎝⎛⎦⎤72，2（2012·浙江卷）设a ,b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |,则存在实数λ,使得b ＝λaD ．若存在实数λ,使得b ＝λa ,则|a ＋b |＝|a |－|b |【当堂巩固】1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】：选C a ＋(－a )＝0,故③错． 2．若a ＋b ＋c ＝0,则a ,b ,c ( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形【解析】：选A 当a ,b ,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a ,b ,c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．已知平面上不共线的四点O ,A ,B ,C .若OA ＋2OC ＝3OB ,则|BC ||AB |的值为( ) A.12B.13C.14D.16【解析】：选A 由OA ＋2OC ＝3OB ,得OA －OB ＝2OB －2 OC ,即BA ＝2CB ,所以|BC ||AB |＝12. 4．如图,正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点(靠近B ),那么EF ＝( )A.12 AB －13AD B.14 AB ＋12AD C.13 AB ＋12DAD.12 AB －23AD5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA ＋OB ＋CO ＝0,则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形,且∠CAO ＝60°,故A ＝30°.6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ,则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点7.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过G 作直线与AB ,AC 两边分别交于M ,N 两点,且AM ＝x AB ,AN ＝y AC ,则x ·yx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12【解析】：选B (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面BC 的直线,易得x ·y x ＋y ＝13. 8．若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AM ＝AB ＋3AC ,则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45故C ,M ,D 三点共线,且MD ＝35CD ,也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35,则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 9．已知e 1≠0,λ∈R ,a ＝e 1＋λe 2,b ＝2e 1,则a 与b 共线的条件是( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝010.如图,已知AB＝a,AC＝b,BD＝3DC,用a,b表示AD,则AD等于()A．a＋34b B.14a＋34bC. 14a＋14b D.34a＋14b【解析】：选B AD＝AB＋BD＝AB＋34BC＝a＋34(b－a)＝14a＋34b.11．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2＝16,|AB＋AC|＝|AB－AC|,则|AM|＝________.12．已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD,则四边形ABCD的形状为________．【解析】：∵OA＋OC＝OB＋OD,∴OA－OB＝OD－OC,∴BA＝CD.∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形13．设向量e1,e2不共线,AB＝3(e1＋e2),CB＝e2－e1,CD＝2e1＋e2,给出下列结论：①A,B,C共线；②A,B,D共线；③B,C,D共线；④A,C,D共线,其中所有正确结论的序号为________．14．设i,j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且OA＝－2i＋m j,OB＝n i＋j,OC＝5i－j,若点A,B,C在同一条直线上,且m＝2n,求实数m,n的值．15.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE＝23AD,AB＝a,AC＝b.(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；(2)求证：B,E,F三点共线．【解析】：(1)延长AD到G,使AD＝12 AG,连接BG,CG,得到▱ABGC,16．设e1,e2是两个不共线向量,已知AB＝2e1－8e2, CB＝e1＋3e2,CD＝2e1－e2.(1)求证：A,B,D三点共线；(2)若BF＝3e1－k e2,且B,D,F三点共线,求k的值．即3e1－k e2＝λe1－4λe2,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12, ∴k ＝12.17．已知O ,A ,B 三点不共线,且OP ＝m OA ＋n OB ,(m ,n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1,求证：A ,P ,B 三点共线； (2)若A ,P ,B 三点共线,求证：m ＋n ＝1.。
【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 平面向量的基本概念及线性运算学案课件 新人教A版
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高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
高考数学一轮复习第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算课件理
D.垂心
解析：作∠BAC 的平分线 AD. ∵O→P＝O→A＋λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|， ∴A→P＝λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|＝λ′·|AA→ →DD|[λ′∈[0，＋∞)]. ∴A→P＝|λA→′D|·A→D.∴A，P，D 三点共线. ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
向量 定义
运算
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相反向 减法 量－b 的和的运算
叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝___|λ_||_a_| __；(2)当
求实数 λ 与向量 a λ>0 时，λa 的方向与 a 的 λ(μa)＝__λ_μ_a___；
数乘
方向相同；当 λ<0 时，λa (λ＋μ)a＝λa＋μa；
零向量与任一向量平 行或共线
记作a＝b
第三页，共三十九页。
2.向量(xiàngliàng)的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量和的 加法
运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
第四页，共三十九页。
(续表)
第二十页，共三十九页。
【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，
但应注意向量共线与三点共线的区别与联系(liánxì)，当两向量共线且
有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a，b 共线是指存在不 全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当 且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
(4)×
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双 向 固 基 础
[解析] (1)不同于平面几何中的平行与共线的概念，向量 的平行与共线是同一个概念． (2)由相反向量的定义可知该说法正确． (3)λ>0 时，a 与 λa 方向相同． → 与向量CD → 共线， → 与向量CD → 所在的 (4)若向量AB 则向量AB 直线平行或重合，因此 A，B，C，D 不一定在一条直线上．
讲 考 向
[思考流程] (1)分析： 运用向量运算的三角形法则． 推理：
→ ，OB → 表示OM → ，在线段 OD 上用OC → 和CD →表 在△BOM 中用BM → .结论：经过运算得出向量表示． 示ON → ，AC → 作为基底向量．推理：用基底向量 (2)分析：将AB → ，得出 λ1，λ 2 的值．结论：求出 λ1＋λ2 的值． 表示出向量DE
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
►
探究点二
平面向量的线性运算
• 点 → ＝1BC → ，CN → ＝1CD → ，用a，b表示 面 作平行四边形OADB，BM 3 3 讲 考 OM → ＝________，ON → ＝________． 向
•
→ ＝a， OB → ＝b为边 例2 (1)如图5241所示，以向量 OA
• 双 向 固 基 础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．共线向量 (1)平行向量就是共线向量．( ) (2)相反向量一定是平行向量．( ) (3)a与λa共线，方向相同．( ) → 与 CD → 是共线向量，则A，B，C，D四点在 (4)若向量 AB 一条直线上．( )
[答案] (1)√
(2)√
(3)×Βιβλιοθήκη 返回目录第24讲平面向量的概念及其线性运算
高考数学一轮总复习 5.1 平面向量的概念及其线性运算精品课件 理 新人教版
(8)a=b
的充要条件是|a|=|b|且 a∥b.
(3)不正确;要看向量方向是否相同;
(4)不正确;
(5)不正确;(6)正确;(7)不正确;(8)不正确,a∥b,两向量方向不一定相同.
答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
2
2
=
-λ,
=
,
2
1
1
3
3
即- a+ b=λtb-λa,∴ 1
∴
∴
当
t=
时,三向量的终点在同一
1
3
3
2
= λt.
= .
条直线上.
(kǎo diǎn)一
3
2
答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第二十三页，共26页。
1
1.下列命题正确的是(
第五章
平面(píngmiàn)向量
第一页，共26页。
5.1 平面(píngmiàn)向量的概念及其
线性运算
第二页，共26页。
考纲要求
(yāoqiú)
考纲要求
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念和向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
第十九页，共26页。diǎn)三
探究
(tànjiū)突
2014高考一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算
•2．下列给出的命题正确的是( ) •A．零向量是唯一没有方向的向量 •B．平面内的单位向量有且仅有一个 •C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则 a与c是方向相同的向量 •D．相等的向量必是共线向量
•【解析】 零向量方向任意，而不是没有方 向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一 定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是 共线向量，故D正确． •【答案】 D
a b 【解析】 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向 |a| |b| a b 的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选择项易知 |a| |b| C满足题意．
•【答案】 C
给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
→ → → → 1．(人教A版教材习题改编)化简OP －QP ＋MS ＋QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS
【解析】
→ → → → → → → OP －QP ＋MS ＋QM ＝(OP ＋PQ )＋(QM ＋
→ → → → MS)＝OQ＋QS＝OS.
•【答案】 D
•从近两年高考试题来看，平面向量的概念， 线性运算及向量共线是高考命题的重点，常 与平面向量基本定理、平面向量的数量积交 汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程 中，不要忽视零向量的特殊性．
易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ， 使b＝λa → → → B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能 同时成立 D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 1平面向量的概念及线性运算课件
√
√
【拓广探索】
13.设点在的内部,且,则的面积与 的面积之比为 ( )
A.3 B. C.2 D.
解：如图，取的中点D，在上取点，使 ，连接， .
第五章 平面向量与复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
解：存在实数 ，使得，说明向量,共线，则, 同向或反向；，则,同向.故“存在实数 ，使得”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
10.在中，为边上的动点（不含两端），且满足，则 ( )
A.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2
解：由题意，知,, .所以 ，当且仅当 时取等号.故选A.
三角形法则
平行四边形法则
方向相同
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
数乘
3.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使________.
相同
相反
续表
常用结论
1.加法运算的推广 （1）加法运算的推广： . （2）向量三角不等式： .两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“ ”成立；两向量共线时，可得出“ ”成立（分同向、反向两种不同情形）.
A.单位向量都相等 B.若，则 C.若，则 D.若，则
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义5.1平面向量的概念及其线性运算
第1讲平面向量的概念及其线性运算【2014年高考会这样考】1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．对应学生70考点梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法与减法平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【助学·微博】 一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 一个结论在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD→＝12(AB →＋AC →)． 一个区别向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．考点自测1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )． A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析 因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C 正确． 答案 C2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )． A ．共线 B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线解析 当n ＝0时，k 与m 不共线，故选D. 答案 D3．(2012·全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )． A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b解析 由题可知|AB |2＝22＋12＝5，因为AC 2＝AD ·AB ，所以AD ＝AC 2AB ＝455，∴AD→＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b . 答案 D4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC→＋12BA → B ．－BC →－12BA → C.BC→－12BA → D.BC →＋12BA →解析 如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12. 答案 －12对应学生71考向一 平面向量的有关概念【例1】►给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ] ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案 ②③准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．【训练1】 给出下列四个命题：①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中所有正确命题的序号是________．解析 由于零向量与任一向量都共线，命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确．综上所述，正确命题的序号是③.答案 ③ 考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，在梯形ABCD 中，|AB→|＝2|DC →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．若AB →＝e 1，AD →＝e 2，用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →. [审题视点] 结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算． 解 DC→＝12AB →＝e 12； BC→＝BA →＋AC →＝－AB →＋AC →＝AD →＋DC →－AB →＝AD →－12AB →＝e 2－12e 1；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14AB →－AD →＋12AB → ＝14AB →－AD →＝14e 1－e 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或平行四边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【训练2】在△ABC 中，AD→＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解⎩⎨⎧DE→∥BC →，AD →＝23AB→⇒AE→＝23AC →＝23b ， BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE→＝23BC →＝23(b －a )．又AM 是△ABC 的边BC 上的中线，DE ∥BC ， ∴DN→＝12DE →＝13(b －a )．AM→＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．由⎩⎪⎨⎪⎧△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →⇒AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．考向三 共线向量定理的应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC→＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC→＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .又a 与b 为不共线的非零向量 ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．对应学生72方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．【真题探究】►(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[教你审题] 思路1 根据选项逐个进行排除．思路2 将模的运算转化为数量积的形式进行分析．[一般解法] (排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a ⊥b不成立；选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．综上，A，B，D都不正确，故选C.[优美解法] (数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．[答案] C[反思] 在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论．【试一试】 在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝( )． A.a ·(a －b )|a －b | B.a ·(b －a )|a －b |C.a ·(a －b )|a －b |2D.a ·(b －a )|a －b |2解析 由AD→＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|. 又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||b －a |＝a ·(a －b )|b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·(a －b )|b －a |2＝a ·(a －b )|a －b |2.故选C. 答案 C对应学生265A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD→.答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A. 答案 A4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD →|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4. 答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a－b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2.又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →，又因为AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC→＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM→＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
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2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
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向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.