行阶梯形矩阵方法总结
行阶梯形矩阵方法总结
导读：行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。
阶梯形矩阵
如果：
所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。
非零行的首项系数（leading coefficient），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。
首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。
这个矩阵是行阶梯形矩阵：
化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：
注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵：
因为第3列并不包含任何行的首项系数。
矩阵变换到行阶梯形
通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由
于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。
行阶梯形的.结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。
一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。
【行阶梯形矩阵方法总结】
1.数学线性代数之矩阵学习总结
2.线性代数矩阵课件
3.银行工作总结的写作方法
4.矩阵检测试题
5.琵琶行描写音乐的方法
6.学习方法的总结
7.新人银行柜员个人总结
8.银行后勤总结
上文是关于行阶梯形矩阵方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢
矩阵的标准阶梯型的唯一性s
矩阵的标准阶梯型的唯一性 对矩阵的列数n 进行归纳. 首先, n=1时 A 的最简型T 是 ????????????0...01或者???? ? ???????0...00. 由于初等行变换非退化, 所以 T 是唯一的. 其次, 对于自然数n>1, 设具有少于n 列的矩阵A, 最简型惟一. 则当A 具有n 列时, 记T 、T ′是A 的任意两个最简型. 仅观察A 、T 、T ′前n-1列, 仍然得到相应的最简型, 根据归纳法假设, T 、T ′的前n-1列相等, 记其非0行数为r. T 、T ′前n-1列的角点所在列构成 r 阶单位阵, 第n 列 r+1行以后的元素为0. 故有初等行变换矩阵R, 使得 R ??????αa 0E =?? ????'α'a 0E 其中a 、a ′分别是 T 、T ′ 的 (r+1,n)元素, α、α′分别是 T 、T ′ 的第n 列前r 行构成的列向量. 对R 进行相应分块, R=?? ????σb 0p , 则 ??????σb 0p ??????αa 0E =?? ????'α'a 0E , 即 ??????σ+αba 0a p p =?? ????'α'a 0E , 故 p=E, p α+σa=α′, ba=a ′. 即 p=E, α+σa=α′, ba=a ′. 若a=0, 则 α =α′, a=a ′=0. 此时 T ′ =T. 若 a ≠0, 则 a=1, α=0. 由于 ba=a ′, 而R 非退化, 故 b ≠0, 因此 a ′ ≠0, 于是 a ′ =1. 进而α′=0. 故 α′=α=0, a ′ =a=1. 故 T 、T ′ 的第 n 列也相等, 所以T ′ =T 也成立. 综上所述, 矩阵的标准阶梯型唯一. *最简型, 即标准阶梯型
数学复习(矩阵)
数学复习： 一、矩阵定义 当一个矩阵的行数 与列数 相等时，该矩阵称为一个n 阶方阵square matrix 。对于 方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线main diagonal 。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵identity matrix ，记为E n 或I n ，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称 为下（上）三角矩阵，例如，是一个 阶下三角矩阵，而 则是一个 阶上三角矩阵。 二、矩阵运算 1、矩阵的加法addition matrix 设有两个m ?n 的矩阵A=(aij)，B=(bij)，则矩阵A 和B 的和记作A+B 。即： 矩阵的加法满足下列运算律： （1）交换律： ； （2）结合律： ； （3）存在零元： ； （4）存在负元： 。 2、数与矩阵相乘 scalar multiplication 11111212112121 2222 2211 22 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++????+++?? +=???? +++????
数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ，规定为 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 为m ?n 矩阵，λ、μ为数）： (i) (μλ)A=λ(μA)； (ii) (λ+μ)A=λA+μA ； (iii) λ(A+B)=λA+λB ； 3、矩阵与矩阵相乘matrix multiplication 1）只有当乘号左边的矩阵（称为左矩阵）的列数和乘号右边的矩阵（右矩阵）的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列=右行才能相乘。 2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。这条可记为：积的行=左矩阵的行，积的列=右矩阵的列 3）乘积矩阵的元素（i,j ）等于左矩阵的第i 行和右矩阵的第j 列的对应元素的乘积之和。这条可记为i ：积=（左矩阵行×右矩阵列）之和。 乘法满足下列 运算律 （ 1）结合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）数与矩阵乘法的结合律： ； ( 5 ) AI n =I n A=A 若 为阶方阵，则对任意正整数，我们定义： ，并规定： 由 于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， 。 注意： （1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义，也未必有意义；倘使 都有意义，二者也未必相等，即AB 未必一定等于BA 111212122212n n m m mn a a a a a a A A a a a ??????==???????? λλλλλλλλλλλ
计算行简化阶梯形矩阵
#include 行阶梯形矩阵方法总结 在线性代数的学习中，利用矩阵的初等行变换，把一个矩阵化 为行阶梯形矩阵，是一种很重要的运算。以下是整理ID 行阶梯形矩阵方法总结，欢迎阅读！ 行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。 阶梯形矩阵 如果： 所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零 行的上面。即全零行都在矩阵的底部。 非零行的首项系数（leading coefficient ），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。 首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。 这个矩阵是行阶梯形矩阵： 化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form ），如果满足额外的条件：每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如： 注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单 位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵： 因为第3列并不包含任何行的首项系数。 矩阵变换到行阶梯形 通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。 行阶梯形的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个 标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。 一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯 形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。 行阶梯形矩阵方法总结 导读：行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。 阶梯形矩阵 如果： 所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。 非零行的首项系数（leading coefficient），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。 首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。 这个矩阵是行阶梯形矩阵： 化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如： 注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵： 因为第3列并不包含任何行的首项系数。 矩阵变换到行阶梯形 通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由 于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。 行阶梯形的.结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。 一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。 【行阶梯形矩阵方法总结】 1.数学线性代数之矩阵学习总结 2.线性代数矩阵课件 3.银行工作总结的写作方法 4.矩阵检测试题 5.琵琶行描写音乐的方法 6.学习方法的总结 7.新人银行柜员个人总结 8.银行后勤总结 上文是关于行阶梯形矩阵方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢 求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T.T 用初等行变换化行最简形的技巧 1. 一般是从左到右,一列一列处理 2. 尽量避免分数的运算 具体操作: 1. 看本列中非零行的首非零元 若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零. 2. 否则, 化出一个公因子 给你个例子看看吧. 例: 2 -1 -1 1 2 1 1 - 2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 --a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*) r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得 0 -3 3 -1 -6 1 1 - 2 1 4 0 -10 10 -6 -12 0 3 -3 4 -3 --第1列处理完毕 --第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3 -- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子 -- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样: -- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1 -- 这样会很辛苦的^_^ r1+r4,r3+3r4 (**) 0 0 0 3 -9 1 1 - 2 1 4 0 -1 1 6 -21 0 3 -3 4 -3 --用a32把第2列中其余数化成0 --顺便把a14(下次要处理第4列)化成1 r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3) 0 0 0 1 -3 1 0 -1 7 -17 0 -1 1 6 -21 0 0 0 22 -66 --用a14=1将第4列其余数化为0 r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1 0 0 0 1 -3 1 0 -1 0 4 0 -1 1 0 -3 0 0 0 0 0 --首非零元化为1 r3*(-1), 交换一下行即得 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0 注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0 关键是要看这样处理有什么好处 若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了. 注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12. 总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理. 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9 §1 矩阵的初等变换 1. 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换 把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换。 矩阵的初等变换-----矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。 例，对三阶单位矩阵??? ?? ??=100010001E 做初等变换。 ?? ? ? ? ??=100010001E 2 1~ r r ???? ? ? ??100001010=E (1,2), ?? ?? ? ??=100010001E 2 3~ r ???? ? ??100030001= E (2(3)), ?? ?? ? ??=100010001E 2 13~ r r +???? ? ??100010031=E (1，2(3)), 初等方阵 有三种初等方阵：E( i, j ), E(i(k)), E(i, j(k)) 2. 等价矩阵 （P59） 等价矩阵的定义 如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 行等价:B A r ~ 如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 列等价: B A c ~ 如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 等价：A ~ B 等价矩阵的性质 (1)反身性 A~ A (2)对称性 若A~ B, 则 B ~ A (3)传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 3. 阶梯形矩阵 阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加. 下面矩阵是阶梯形： 下面矩阵不是阶梯形： 4. 行最简形矩阵 在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是1，且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。 例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。 ?? ?? ? ? ? ? ?------=347320382 34202 173132A 方法： 先化为阶梯形矩阵： 方法：用初等变换（行初等变换） 目标：上三角形 再化非零行第一个非零元素为1，并把所在列的其他元素化为0。 。。。。。。 矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。 二、阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大； 2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。 例如 重要定理一 任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。 例题 注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如： 三、矩阵的秩 矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4 ????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题 求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解 ??????? ? ?----=35 222232111201107033A ()?????? ? ? ?----??→?35 2222321107033120 11,②① ??????? ? ?--????→?-+-+-+11200112003100012011) 2() 1()3(①④①③①② ????? ?? ? ?--???→?-+00000112003100012 011) 1(③④ ()????? ?? ? ?--??→?00000310001120012 011,③② 所以，秩(A)=3 ??? ????? ? ?----=32105327 220021132113A T ??????? ? ??????→?-?++32101101220000002113)2(①④① ②行阶梯形矩阵方法总结
行阶梯形矩阵方法总结
求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T
矩阵的--线性方程组
矩阵初等行变换矩阵秩