2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件新人教A版必修4
∴|a|＝ x2＋y2.
答案
思考2
→ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB 的模？
答案 → → → ∵AB＝OB－OA
＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)，
→ ∴|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
答案
梳理
向量 a＝(x，y) 模长
|a|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2＋y2
∴a(b· c)＝0a＝0，
(a· b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).
解答
反思与感悟
此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，
设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关
系设向量，还可以验证一般情况下 (a· b)· c≠a· (b· c) ，即向量运算结合
律一般不成立.
跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)· a等于 A.－1 C.1 B.0 D.2
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，
则(2a＋b)· a＝(1，0)· (1，－1)＝1，故选C.
解析
答案
类型二
∴∠OAB＝45°.
解答
反思与感悟
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤： (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|＝ x2＋y2 求两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.
跟踪训练2 取值范围. 解
已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的
类型三 例3
向量垂直的坐标形式
(1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则
实数λ的值为
1 A.7
1 B.－7
1 C.6
1 D.－6
解析 由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)· (a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以(－3λ－1，2λ)· (－1，2)＝0，
第二章 §2.4 平面向量的数量积
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
1. 理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积
的坐标表示进行向量数量积的运算.
2. 能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的 距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
内容索引
向量的模、夹角问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).
已知点A(16，12)，B(－5，15).
→ → (1)求|OA|，|AB|； 解 → 由OA＝(16，12)，
→ AB＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)， → 得|OA|＝ 162＋122＝20， → |AB|＝ －212＋32＝15 2.
答案
题型探究
类型一
平面向量数量积的坐标表示
例1 已知a与b同向，b＝(1，2)，a· b＝10. (1)求a的坐标； 解 设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a· b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).
(2)若c＝(2，－1)，求a(b· c)及(a· b)c.
解 ∵b· c＝1×2－2×1＝0，a· b＝10，
∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝ 2，|b|＝ 1＋λ2，a· b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
λ－1<0， λ<1， ∴ 即 2 2 λ ＋2λ＋1≠0. 2· 1＋λ ≠1－λ，
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
解答
→ |AB|＝ x2－x12＋y2－y12
→ 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量AB
知识点三
平面向量夹角的坐标表示
思考
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，
那么cos θ如何用坐标表示？
答案
x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
平面向量数量积的坐标表示
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.
思考1
i· i，j· j，i· j分别是多少？
答案 i· i＝1×1×cos 0＝1，j· j＝1×1×cos 0＝1，i· j＝0.
答案
思考2
取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 试将a，b用i，j表示，并计算a· b. 答案 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
1 即 3λ＋1＋4λ＝0，解得 λ＝－7.
解析 答案
→ → (2)在△ABC 中，AB＝(2，3)，AC＝(1，k)，若△ABC 是直角三角形，求 k 的值.
解 → → → → → ∵AB＝(2，3)，AC＝(1，k)，∴BC＝AC－AB＝(－1，k－3).
2 → → 若∠A＝90° ，则AB· AC＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－3；
∴a· b＝(x1i＋y1j)· (x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i· j＋y1y2j2＝x1x2＋
y1y2.
思考3
若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？
答案 a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
答案
梳理
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 向量垂直 x1x2＋y1y2 a· b＝_________ a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 ___________________
知识点二
平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1
若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a＝xi＋yj，x，y∈R， ∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy i· j＋(yj)2 ＝x2i2＋2xy i· j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i· j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，
解答
(2)求∠OAB.
解
cos ∠OAB＝
→ → AB → → AO· AO，AB＝ . → → |AO||AB|
→ → → → 其中AO· AB＝－OA· AB
＝－(16，12)· (－21，3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
300 2 故 cos ∠OAB＝ ＝2. 20×15 2
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高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
状元随笔 对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； (2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的 坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强； (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的 坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用 中将体现更多．
解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得 x＝ －1.
答案：A
4．已知 a＝(1， 3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
解析：因为 a＋b＝(－1, 3)，所以|a＋b|＝ －12＋ 32＝2. 答案：2
类型一 数量积的坐标运算
例 1 (1)设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(－3,4)，向量 c＝(3,2)，
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，
∴λ＝－1.
方法二 ∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即 λa2＝2a·b，
∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即 2λ＝－2，∴λ＝－1.
【答案】 (1)C (2)－1
(1)先求→a ·→b ，再由已知求→c ·→a 最后利用 cosθ＝|→→aa |·|→→cc |，求夹 角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参 数的方程，求解即可．
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对__应__坐__标__的__乘___积__ 的和，即 a·b＝_x_1x_2_＋__y_1_y2_
两个向量垂直 a⊥b⇔_x_1x_2_＋__y_1_y2_＝__0_
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
答案:(1)B (2)2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用坐标运算解决模的问题
【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(方法 1)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以 a-2b=(-5,4), 于是|a-2b|= (-5)2 + 42 = 41. (方法 2)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以|a|= 5,|b|= 10,a· b=1. 于是|a-2b|= (������-2������)2 = |������ |2 -4������· ������ + 4|������|2
)
解析:(1)因为������������=(2,3)-(1,2)=(1,1),������������=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),所以 ������������ ·������������=1×(-3)+1×3=0. (2)以点 B 为原点,以������������ , ������������的方向为 x 轴,y 轴的正方向建立平 面直角坐标系, 则 A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0), 所以������������=(2,-1),������������=(2,2),所以������������ ·������������=2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用坐标运算解决模的问题
【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)(方法 1)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以 a-2b=(-5,4), 于是|a-2b|= (-5)2 + 42 = 41. (方法 2)因为 a=(1,2),b=(3,-1), 所以|a|= 5,|b|= 10,a· b=1. 于是|a-2b|= (������-2������)2 = |������ |2 -4������· ������ + 4|������|2
)
解析:(1)因为������������=(2,3)-(1,2)=(1,1),������������=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),所以 ������������ ·������������=1×(-3)+1×3=0. (2)以点 B 为原点,以������������ , ������������的方向为 x 轴,y 轴的正方向建立平 面直角坐标系, 则 A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0), 所以������������=(2,-1),������������=(2,2),所以������������ ·������������=2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 复习
则 a 2 a a x 2 y 2 ,或 a x2y2
2 设 A x 1 ,y 1、 B x 2,y 2, 则 A B x 2 x 1 ,y 2 y 1
A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量
三、向量垂直和平行的坐标表示: 数量积的坐标表示、模、夹角 复习
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量
一、平面向量数量积的坐标表示: 数量积的坐标表示、模、夹角 复习
a x 1 ,y 1 ,b x 2 ,y 2 a 0 ,b 0
ax1iy1j, bx2iy2j
a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j )
2
2
证明： AB1,1 AC3,3 BC4,2
A B A C 3 3 0
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
想一想： 还有其他解法吗？
A B 2 ,A C 32 ,B C 25
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角 复习
例 3 : 已 知 a ( 4 , 3 ) , 求 与 a 垂 直 的 单 位 向 量 b
设ax1,y1,bx2,y2,
a与b夹角为 ， 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos a b x1x2 y1y2
| a || b |
x
2 1
y
2 1
.
x
2 2
y
2 2
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量
例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 数量积的坐标表示、模、夹角 复习 5)， 求证：△ABC是直角三角形
解：k a － b =(k－2, －1) a +3 b =(7, 3)
2 设 A x 1 ,y 1、 B x 2,y 2, 则 A B x 2 x 1 ,y 2 y 1
A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量
三、向量垂直和平行的坐标表示: 数量积的坐标表示、模、夹角 复习
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量
一、平面向量数量积的坐标表示: 数量积的坐标表示、模、夹角 复习
a x 1 ,y 1 ,b x 2 ,y 2 a 0 ,b 0
ax1iy1j, bx2iy2j
a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j )
2
2
证明： AB1,1 AC3,3 BC4,2
A B A C 3 3 0
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
想一想： 还有其他解法吗？
A B 2 ,A C 32 ,B C 25
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角 复习
例 3 : 已 知 a ( 4 , 3 ) , 求 与 a 垂 直 的 单 位 向 量 b
设ax1,y1,bx2,y2,
a与b夹角为 ， 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos a b x1x2 y1y2
| a || b |
x
2 1
y
2 1
.
x
2 2
y
2 2
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.2 平面向量
例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 数量积的坐标表示、模、夹角 复习 5)， 求证：△ABC是直角三角形
解：k a － b =(k－2, －1) a +3 b =(7, 3)
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
新课引入
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
2016/10/11
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学业分层测评 新人教A版必
2018版高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学业分层测评新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学业分层测评新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学业分层测评新人教A版必修4的全部内容。
2.4。
2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．已知向量a＝(3，1），b＝（x,－2）,c＝(0，2)，若a⊥(b－c),则实数x的值为( ) A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!【解析】b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0,∴x＝错误!。
故选A．【答案】A2．已知向量a＝（1，－2）,b＝（x，4)，且a∥b，则|a－b|＝（)A．5错误!B．3错误!C．2 5 D．2错误!【解析】∵a∥b，∴4＋2x＝0,∴x＝－2，a－b＝(1，－2）－(－2,4）＝（3，－6）,∴|a－b|＝35。
故选B．【答案】B3．已知向量a＝（1，3），b＝(－2,2错误!），则a与b的夹角是( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【解析】设a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!,解得θ＝错误!.故选C．【答案】C4．若a＝（2，3），b＝（－4,7)，则a在b方向上的投影为( ) 【导学号：00680059】A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【解析】a在b方向上的投影为|a|cos<a，b〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面
探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝
3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件1新人教A版必修4
此时k a b 1 (a 3b). 3
所以k a b与a 3b方向相反.
注意(zhù yì)反向 时系数为负数，正
向时系数为正数
第二十三页，共25页。
数
向量数量积公式
量
积
的
坐
标
两点间距离公式
(zu
òbi
āo)
表
示
向量的模、夹角、垂直公式
第二十四页，共25页。
有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍 耐精神的人，是非常(fēicháng)幸运的. ——塞涅卡
第三页，共25页。
探究一：平面向量(xiàngliàng)数量积的 坐标表示
已知两个向量a = (x1, y1), b = (x 2 , y2 )，
如 何 用 a与 b的 坐 标 表 示 a b呢 ？
y A(x1,y1)
B(x2,y2) a
bj
oi x
第四页，共25页。
提示(tíshì):
因为a x1i y1 j ，b x2i y2 j ，
边形ABCD的形状(xíngzh矩uà形n)是
.
(jǔxíng)
第十二页，共25页。
探究二：平面向量夹角(jiā jiǎo)的坐标表示
设 a （ x1, y1 ), b (x 2 , y 2 ), 且 a与 b夹 角 为 (0 180 )， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？
提示(tíshì):
答案 : | a | 5,| b | 29,a b=-7.
第十页，共25页。
例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断
△ABC的形状(xíngzhuàn)，并给出证明y .
C(-2,5)
解 :因为AB =(2 - 1,3 - 2)=(1,1)，
所以k a b与a 3b方向相反.
注意(zhù yì)反向 时系数为负数，正
向时系数为正数
第二十三页，共25页。
数
向量数量积公式
量
积
的
坐
标
两点间距离公式
(zu
òbi
āo)
表
示
向量的模、夹角、垂直公式
第二十四页，共25页。
有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍 耐精神的人，是非常(fēicháng)幸运的. ——塞涅卡
第三页，共25页。
探究一：平面向量(xiàngliàng)数量积的 坐标表示
已知两个向量a = (x1, y1), b = (x 2 , y2 )，
如 何 用 a与 b的 坐 标 表 示 a b呢 ？
y A(x1,y1)
B(x2,y2) a
bj
oi x
第四页，共25页。
提示(tíshì):
因为a x1i y1 j ，b x2i y2 j ，
边形ABCD的形状(xíngzh矩uà形n)是
.
(jǔxíng)
第十二页，共25页。
探究二：平面向量夹角(jiā jiǎo)的坐标表示
设 a （ x1, y1 ), b (x 2 , y 2 ), 且 a与 b夹 角 为 (0 180 )， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？
提示(tíshì):
答案 : | a | 5,| b | 29,a b=-7.
第十页，共25页。
例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断
△ABC的形状(xíngzhuàn)，并给出证明y .
C(-2,5)
解 :因为AB =(2 - 1,3 - 2)=(1,1)，
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222