五年级奥数等差数列、三阶幻方、分数的拆分专题

选讲1 等差数列求和

一、知识要点

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项＋(项数－1)×公差

项数公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1

二、精讲精练

【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？

练习1：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=

2.这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？

【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？

练习2：

1.一等差数列，首项=3.公差=

2.项数=10，它的末项是多少？

2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。

练习3：

计算下面各题。

(1)1＋2＋3＋…＋49＋50 (2)6＋7＋8＋…＋74＋75

(3)100＋99＋98＋…＋61＋60

【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

(1)2＋6＋10＋14＋18＋22 (2)5＋10＋15＋20＋…＋195＋200

(3)9＋18＋27＋36＋…＋261＋270

【例题5】计算(2＋4＋6＋...＋100)－(1＋3＋5＋ (99)

练习5：

用简便方法计算下面各题。

(1)(2001＋1999＋1997＋1995)－(2000＋1998＋1996＋1994)

(2)(2＋4＋6＋...＋2000)－(1＋3＋5＋ (1999)

(3)(1＋3＋5＋...＋1999)－(2＋4＋6＋ (1998)

三、课后作业

1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？

2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？

3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈(一圈套一圈)做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？

选讲2 三阶幻方的性质

一、知识点整理：

性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；

性质2：幻方的中心数为数列的中间数；

性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；

性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；

性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；

性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；

性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

二、精讲精练

例1：请你将2---10这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。

练习1

在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数(其中已填好一个数)，使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.

例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。 (1)如下左图所示，求x ；

(2)如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在(1)的基础上完成填图。

练习2

下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少？

选讲3 分数的拆分

1.概念

单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。

分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆

2．解题方法与技巧。

(1)把单位分数拆分成单位分数相加的和

方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和

再拆分：拆分成约数作分子的分数。

后约分：约分成最简分数

方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树

(2)把真分数分拆成单位分数相加的和。

把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。

(3)把假分数分拆成单位分数相加的和

方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。

例题一

在的括号里填入适当的自然数，使等式成立。

分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。

分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍(16)的自然数分别求解。

解析一：8的约数有1、2、4、8。

①

②