2020届上海市金山中学高三上学期期中数学试题

2020届上海市金山中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．若a 为实数，则1a <成立的一个充分不必要条件是（） A ．2a <B ．1a ≤C ．0a <D ．31a <解：要求1a <成立的一个充分不必要条件即要找出它的一个充分不必要条件，只要找出由条件可以推出1a <. 反之不成立的条件即可.即要找出一个范围比不等式的范围{}|1a a <小的真子集即可. 只有选项C 满足．故选：C ．点评：本题主要考查了充分条件与必要条件与充要条件的判断，本题解题的关键是把命题之间的关系转化为集合之间的包含关系，本题是一个基础题． 2．如图所示为函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭的部分图像，点A 和点B 之间的距离为5，那么()1f -为（）A ．3-B ．-1C ．1D 3解：根据图像连接AB ，过点,A B 作y 轴的垂线和平行线，交于点H . 在直角三角形ABH 中，5,4AB BH ==，可得3AH =. 即函数()f x 的周期6T =，所以263ππω==. 所以()2sin()3f x x πϕ=+，又图像与轴交于点()0,1.即(0)2sin 1f ϕ==，且02πϕ≤≤，则6π=ϕ.所以()2sin()36f x x ππ=+，则(1)2sin 2sin 1366f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B点评：本题考查根据三角函数的图像求函数表达式，考察三角函数的图像性质，属于中档题.3．《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同，晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于10尺，一尺等于10寸），则秋分节气的晷长是（）A ．七尺五寸B ．二尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸【答案】A由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为{}n a ，则夏至晷长为首项，冬至晷长为第13项，利用等差数列的通项公式即可得出．解：由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为{}n a . 则115a =，13135a =,则公差131135151013112a a d --===-.秋分晷长为716156075a a d =+=+=. 所以秋分节气的晷长是七尺五寸故选：A ．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数()1212x x x x ≠、，有()()()1212123f x f x x x x x ->+-成立，函数(2()(2)12g x f x x =+，则以下说法中正确的是（）A ．函数()y f x =在[)1,+∞上可能单调递减 B ．函数()y f x =在(],1-∞-上不可能单调递增 C ．对于任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠，有()()()1212123g x g x x x x x -<-+-成立D ．对于任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠，有()()()1212123g x g x x x x x ->-+-成立解：A.当12,[1,)x x ∈+∞时，()()()12121230f x f x x x x x ->+>-，所以函数()y f x =在[)1,+∞的单调递增.所以A 不正确.B.当(]12,x x ∈-∞,-1时,120x x +<,若()y f x =在(],1-∞-上单调递增，则()()()12121203f x f x x x x x ->>+-成立，即()y f x =在(],1-∞-可能单调递增，故B 不正确.又当12,(1,)x x ∈+∞()()((221122121212[(2)12][(2)12]f x x f x xg x g x x x x x +-+-=--()22121212[(2)(2)]12f x f x x x x x --+-=--()2212121212121212(2)(2)x x f x f x x x x x -=----+()121212(2)(2)12f x f x x x x x ---=+由()()()1212123f x f x x x x x ->+-有()()()1212122232222f x f x x x x x ->+-即()()()1212122212f x f x x x x x ->+- ()()()()1212121233g x g x x x x x x x -++>+-当12,(1,)x x ∈+∞<0< .>此时()()()12121230g x g x x x x x -++>-. 若12,x x 中有一个为1，不妨设11x =，由以上过程有：()()()()121221222331g x g x x x x x x -++>+-+()22310x =++>成立.所以选项D 正确. 故选：D点评：本题考查函数的单调性的定义和性质的应用以及利用作差法证明不等式,考查计算能力，属于难题.二、填空题 5．函数()f x __________________.解：由函数()f x =(1)0x x -≥.解得：01x ≤≤.所以函数()f x =[]0,1.故答案为：[]0,1点评：本题考查具体函数的定义域问题，属于基础题. 6．函数的最小正周期为 .【答案】，其周期为.【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.7．若12a <<，23b <<，则ab的范围是__________________. 【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭先由23b <<求出11132b <<，然后用不等式的基本性质可求解. 解：由23b <<，得11132b <<.又12a <<，由不等式的性质有：1111232a b ⨯<⨯<⨯所以113a b<<故答案为：1,13⎛⎫⎪⎝⎭点评：本题考查不等式的性质的应用，由23b <<求得11132b <<，是解题的关键．属于基础题.8．方程lg(1)lg(4)1x x +++=的解为x =_________________. 【答案】1由lg(1)lg(4)1x x +++=有[]lg (1)(4)1x x ++=，则(1)(4)10x x ++=结合对数的真数为正，可得到答案. 解：根据题意有1040x x +>⎧⎨+>⎩，得1x >-.由lg(1)lg(4)1x x +++=得到[]lg (1)(4)1x x ++=. 即(1)(4)10x x ++=，解得：1x =或6x =-(舍). 故答案为：1点评：本题考查解对数方程，注意对数的真数为正，属于基础题.9．集合{|||,}A y y x x R ==∈，{}2|2,B y y x x R ==-∈，则A B I =_____________.【答案】[]0,2先分别求出集合,A B ，再求交集A B I . 解：由{}{|||,}|0A y y x x R y y ==∈=≥.{}{}2|2,|2B y y x x R y y ==-∈=≤所以[]0,2A B =I 故答案为：[]0,2点评：本题考查集合的表示方法和集合求交集,属于基础题.10．在等差数列{}n a 中，123936a a a a +++⋅⋅⋅+=，则222258a a a ++的最小值为________ 【答案】48根据等差数列的通项公式可由条件化简得144a d +=，代入222258a a a ++中即可求解.解：因为等差数列{}n a 中，123936a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以144a d +=，所以2222222258(43)4(43)184848a a a d d d ++=-+++=+≥，故222258a a a ++的最小值为48，故答案为：48点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查了学生的计算能力，属于容易题.11．已知函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，则不等式()2(2)f x f x >的解集为_________________. 【答案】(,0)(2,)-∞+∞U先分析出函数()f x 的单调性，然后根据单调性可得22x x >，从而解出答案· 解：作出函数()f x 的图像，如图.由函数的图像观察可得，函数()f x 在R 上是单调递增函数. 由()2(2)f xf x >有22xx >.解得：2x >或0x <. 故答案为：(,0)(2,)-∞+∞U点评：本题考查分段函数的单调性的判断，利用单调性解不等式，属于基础题. 12．已知函数()y f x x =-是偶函数，若()()g x x f x =⋅，则()()22g g +-=___________.【答案】8由()()()222(2)(2)g g f f +-=--，根据函数()y f x x =-是偶函数可求出(2)(2)f f --，从而得出答案.解：设()()h x f x x =-，由条件()h x 为偶函数. 所以(2)(2)h h =-，即(2)2(2)2f f -=-+. 则(2)(2)4f f --=.所以()()()()()222222g g f f +-=+--()2(2)(2)248f f =--=⨯=.故答案为：8点评：本题考查利用偶函数的性质求抽象函数的函数值，属于中档题.13．设函数()sin cos f x kx kx =+，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有{}()|1{()|}f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为_____________.【答案】7根据题意由函数()f x 的周期性和函数的最值，可得函数()f x 的最小正周期1T <，由此可求得答案.解：()sin cos 4f x kx kx kx π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.若对任意实数a ，均有{}()|1{()|}f x a x a f x x R <<+=∈即在任意一个长度为1的开区间上函数()f x 至少能取到一个最大值和最小值. 则函数()f x 的最小正周期1T <，即21T kπ=<,所以2k π>. 又k 是一个正整数，所以k 的最小值为7. 故答案为：7点评：本题考查正弦型函数的周期性和最值，属于中档题.14．已知非空集合M 满足{}0,1,2,3M ⊆，若存在非负整数k （3k ≤），使得对任意a M ∈，均有2k a M -∈，则称集合M 具有性质P ，则具有性质P 的集合M 的个数为______________. 【答案】8分k 的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合M ，从而得到答案. 解：当0k =时，M 为{0}. 当1k =时，M 为{1},{0,2},{0,1,2} 当2k =时，M 为{2},{1,3},{1,2,3} 当3k =时，M 为{3}. 所以满足条件的集合M 有8个. 故答案为：8点评：本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．15．如下图，数阵中每一个数分裂为下一行中的两个数，其中左侧的数为原数减去3，右侧的数为原数的相反数，若前n 行中不同数字的个数为()*n a n N ∈，则2019a =____________.【答案】8070列出前几行中的数据，可以分析归纳出前3行分别有1个，2个，3个不同的数字，从第4行起每行新增4个不同的数字，则可计算出2019a 的值.解：根据数阵中的规律可得，前3行分别有1个，2个，3个不同的数字可归纳出，从第4行起每行新增4个不同的数字（其余数字相同）所以前2019行中不同数字的个数为2019123201648070a =+++⨯= 故答案为：8070点评：本题考查归纳推理，考查观察分析能力，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足：对任意大于1正整数n 都有121n n n a a a +++⋯+=成立，若212a =，313a =，则192021510a a a a +++⋯+的值为_____________.【答案】143根据对任意大于1正整数n 都有121n n n a a a +++⋯+=成立，有5105092551a a a +++=L L ，这样一直算到题目所需要的项的和，即可求解.解：由对任意大于1正整数n 都有121n n n a a a +++⋯+=成立 . 所以5105092551a a a +++=L L .2542531271a a a +++=L L ,126125631a a a +++=L L . 6261311a a a +++=L L ,3029151a a a +++=L L .所以15218190215105a a a a a a ⋯+++⋯+++=…………①又()()23418234891811223a a a a a a a a a a ++++=+++++++=++L L L L ……② .()()23414236714122a a a a a a a a a ++++=++++++=+L L L L ………………③由②－③有 115813a a +=⋯+.………………④ 将①－④代入得：192021510a a a a +++⋯+=143故答案为：143点评：本题考查数列的特殊递推关系，根据关系和所求找出规律是关键，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，7cos 8A =. （1）若3b =，2c a =，求a ；（2）若4b c +=，求ABC V 的面积的最大值.【答案】（1）2a =或32a =（2直接由余弦定理将条件代入，得到关于a 的方程可解出边a . (2)由7cos 8A =，求出sin A ,由4b c +=利用均值不等式求出bc 的最大值，从而可得答案.解：（1）2222cos a b c bc A =+-，22794128a a a =+-⨯，2a =或32a =（2）sin A ==，242b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以1sin 2S bc A =≤，即ABC V 点评：本题考查余弦定理和利用均值不等式求三角形面积的最大值,属于基础题. 18．关于x 的不等式()220x a a R ++-<∈的解集为A ．（1）求集合A ；（2）设集合|sin 033B x x x ππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，a 恰好是B 中绝对值最小的元素，求集合A .【答案】（1）(4,)A a a =-- （2）131,43A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)将不等式220x a ++-<变形为|2|2x a +<-，然后对a 进行分离讨论解不等式. (2)先求出集合B 中元素满足2,3x k k Z =+∈，求出其中绝对值最小的值，即a 的值，再解不等式.解：（1）解：|2|2x a +<-，20a -≤，即2a ≥时, A φ=20a ->，即2a <时，222a x a -<+<-,即4a x a -<<-所以(4,)A a a =-- 综上：2a ≥时，A φ=.2a <时，(4,)A a a =--.（2）sin 033x x ππππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得tan 3x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,33x k k Z ππππ-=+∈，2,3x k k Z =+∈，于是13a =-，131,43A ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 点评：本题考查含绝对值不等式的解法和三角函数的化简求值，属于基础题. 19．已知：221()f x x t x=++. （1）利用单调性定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上是增函数；（2）若()y f x =的图像与()22g x x x=-的图像没有公共点，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）()1,-+∞(1)按照函数单调性的定义法证明的步骤进行证明即可. (2)设()()()h x f x g x =-，即()0h x ≠恒成立，代入化简可得211()22h x x x t x x ⎛⎫⎛⎫=---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过配方即可得到答案.解：解：（1）证明：任取12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，()()221212221211f x f x x t x t x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212221211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为121x x ≤<，所以22120x x -<，22121x x >得2212110x x ->，所以()22122212110x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x < ()f x 在区间[)1,+∞上增函数（2）解：()y f x =的图像与()22g x x x=-的图像没有公共点 . 所以对任意0x ≠有()()f x g x ≠恒成立，设()()()h x f x g x =-，即()0h x ≠恒成立2212()2h x x t x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则211()22h x x x t x x ⎛⎫⎛⎫=---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21()11h x x t x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，所以()[1,)h x t ∈++∞所以10t +>，实数t 的取值范围为()1,-+∞点评：本题考查利用定义法证明函数的单调性以及二次型函数的图像性质，考查构造法，属于中档题.20．定义：对于一个项数为()*2,m m m N≥∈的数列{}na ，若存在*k N∈且k m <，使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为321=+，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：（1）数列1，2，p ，4是“等和数列”，求实数p 的值；（2）项数为()*4t t N∈的等差数列{}n a 的前n 项和为()*,4n S n N n t ∈≤，0tS=，求证：{}n a 是“等和数列”.（3）{}n b 是公比为q 项数为()*,3m m N m ∈≥的等比数列{}n b ，其中2q ≥且()*0,n b n N n m >∈≤恒成立.判断{}n b 是不是“等和数列”，并证明你的结论.【答案】（1）5p =-或1p =-或1p = （2）证明见解析（3）{}n b 不是“等和数列”，证明见解析（1）对令1,2,3k =分别计算，得到答案. （2）由1(1)02t t t S ta d -=+=，得12(1) a t d =-，若{}n b 是“等和数列，存在k 使得4k t k S S S =-，即2()6k k t d t d -=.分0d =和0d ≠进行讨论即可.（3）假设{}n b 是“等和数列”, 则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立, 即21k m q q -=,由2q ≥会得到矛盾，从而判断处结论.解：（1）若1k =，即124p =++，则5p =-. 若2k =，即124p +=+，则1p =-. 若3k =，即124p ++=，则1p =. 所以5p =-或1p =-或1p = （2）证明方法一：1(1)02t t t S ta d -=+=，所以12(1) a t d =-. 假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，即4k t k S S S =-，所以42k t S S =.112(1) 4 2 (41) ka k k d ta t t d +-=+-，(1) (1)2(1)2(41)k t d k k d t t d t t d -+-=-+-，即2()6k k t d t d -=.当0d =时，0n a =，对任意()*,4k k N k t ∈<都有0k S =，40t S =，即4k t k S S S =-，所以此时{}n a 是“等和数列”；当0d ≠时，2()6k k t t -=，2260k kt t --=，此时3k t =或2k =-（舍去）. 即存在*3k t N =∈且4k t <，使得4k t k S S S =-成立，所以此时{}n a 是“等和数列”. 由上得：{}n a 是“等和数列” 证明方法二：设{}n a 公差为d ，112t t a a S t ++=，()1221222t t t t t t t a aS S a a a t ++++-=++⋯+=，同理：21332t t t t a a S S t ++-=，314432t t t t a aS S t ++-=，于是()21212222t t t t t t a a a a tdS S S t t t d ++----===，同理()()2322t t t t S S S S t d ---=，()()24332t t t t S S S S t d ---=，即t S ，2t t S S -，32t t S S -，43t t S S -成等差数列，所以()()()43232t t t t t t t S S S S S S S +-=-+-，因为0t S =，所以433t t t S S S -=，即存在3k t =，使得4k t k S S S =-，所以{}n a 是“等和数列” （3）{}n b 不是“等和数列” 证明方法一：设n B 为{}n b 的前n 项和反证法：假设结论不成立，即{}n b 是“等和数列”，则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即2k m B B =，于是()()1121111k m b q b q qq--=--成立，即21k mq q -=2q ≥时，1212k k k q q q +-<≤，m k >，即1m k ≥+，所以1k m q q +≤，所以21kmq q -<，与21kmq q -=产生矛盾.所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”.证明方法二：反证法：假设结论不成立，即{}n b 是“等和数列”，则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即2k m B B =. 于是()()1121111k m b q b q qq--=--成立，即21kmq q -=得到12m k k q q--=，这里122k q-<，1m k -≥得2m k q -≥产生矛盾.所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”.证明方法三：先证该数列满足：设n B 为{}n b 前n 项和，则对任意*n N ∈都有1n n B b +<成立.证明：()1111(2)111n n n n n b q b q q b B b q q q +⎡⎤--+⎣⎦-=-=--，因为2q ≥，所以10q ->，(2)10nq q -+>，10b >，所以1(2)101nb q q q ⎡⎤-+⎣⎦>-，所以1n n B b +<恒成立.由此得：对任意*k N ∈且k m <，112k k k k n B b b b b +++<≤++⋯+，即k m k B B B <-，所以不存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即{}n b 不是“等和数列”.点评：本题利用数列中的新定义考查等差数列和等比数列的前n 项和,考查计算能力和推理能力，属于中档题.21．定义：如果存在实常数a 和b ，使得函数()f x 总满足()(2)f x f a x x b --=+，我们称这样的函数()f x 是“(),a b 型函数”.请解答以下问题：（1）已知函数()()lg 1(0,1)xf x p p p =+>≠是“()0,b 型函数”，求p 和b 的值；（2）已知函数222555()(1)(3)(5)f x x x x kx =++++++是“(),a m 型函数”，求一组满足条件的k 、m 和a 的值，并说明理由.（3）已知函数()y f x =是一个“()0,0型函数”，且()00f =，()y f x =是增函数，若(),M x y 是()f x 在区间[]22-,上的图像上的点，求点M 随着()f x 变化可能到达的区域的面积的大小，并证明你的结论.【答案】（1）100p b =⎧⎨=⎩ （2）12k =，3m =，3a =-，理由见解析（3）M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内，面积为4，证明见解析 (1)由函数()()lg 1(0,1)xf x p p p =+>≠是“()0,b 型函数”，则有()()f x f x x b --=+，将函数表达式代入可求出,p b 的值.(2)先证明()y f x =的图像是关于3x =-对称的，然后根据()f x 是“(),a m 型函数”求出一组满足条件的k 、m 和a 的值即可.(3)由函数()y f x =是一个“()0,0型函数”，且()00f =，()y f x =是增函数，可得M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内，在证明其充要性.解：（1）解：()()()()lg 1lg 1lg (lg )xxx f x f x p pp p x x b ---=+-+===+，所以lg 10p b =⎧⎨=⎩，即100p b =⎧⎨=⎩（2）解：设222555()(1)(3)(5)g x x x x =+++++注意到()g x 的图像是轴对称图形，()g x 的对称轴是3x =-，证明如下，因为255522(6)(61)(63)(65)g x x x x --=--++--++--+222555(1)(3)(5)()x x x g x =+++++=，即(6)()g x g x --=；()(6)[()][(6)(6)]f x f x g x kx g x k x ---=+---+--26kx k x m =+=+，于是12k =，3m =，此时3a =-. （3）解：M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内；所以在[2,2]-的面积为12(22)42S =⨯⨯⨯= 下面证明：()A M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内； ()()f x f x x --=，(,)M x y ，0x =时，()0f x =，满足()0y y x -≤由()f x 单调递增，得到0x >时()()00f x f >=；当0x <时()()00f x f <=. 当0x >时，0x -<，所以()0f x -<，所以()()f x f x x x =-+<，此时0y x -<，0y >，所以满足()0y y x -<当0x <时，0x ->，所以()0f x ->，所以()()f x f x x x =-+> 此时0y x ->，0y <，所以满足()0y y x -<即M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内（B ）证明：M 点可为()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内任意点.存在函数,0()00(1),0kx x f x x k x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，此时(1),0()00,0k x x f x x kx x ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩，其中01k <<，此时()f x 是增函数，并满足()()f x f x x --=.让k 在区间()0,1变化，()f x 图像充满()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所在区域由A 、B 得：M 运动区域是()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所在区域.点评：本题考查函数的新定义，函数的对称性和函数图像上的点所在平面区域，属于难题.。

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汕头市金山中学2020届高三第一学期期中考试(理数)

汕头市金山中学2020届高三第一学期期中考试数学（理科）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则等于（）A. B. C.D.2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数，，则下列说法正确的是（）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为 D.与都不是周期函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（）A ．2BC ．D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑ （）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点（2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<-其中正确结论的个数是（）A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂足为D ，则 AB AD ⋅的值为_____ 15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形；其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。

上海市金山中学高三数学上学期期中质量检测试题沪教版

（第6题图）上海市金山中学2012届高三数学上学期期中质量检测试题一、填空题：（本大题满分45分）本大题共有15题，考生应在空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律不得分。

1、不等式1|2|<-x 的解集为__________________。

2、已知}{n a 是等差数列，且11=a ，9321=++a a a ，则公差d =______________。

3、已知=∈-=2cos ),,2(,54cos αππαα则_________________。

4、设函数x x f -=)(的反函数为)(1x f -，则方程4)(1=-x f的解为____________。

5、若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为_________。

6、对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则32⊗=________。

7、D 为ABC ∆中BC 边的中点，若n m +=，则n m +=_________。

8、已知圆锥的母线长5=l cm ，高4=h cm ,则该圆锥的体积是________cm 3。

9、=++⋅⋅⋅++++∞→)122122122(lim 2n nn nn _________。

10、设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦长32||=AB ，则a =________。

11、在ABC ∆中，1,60==∠b A ο，三角形的面积3=S ，则a =_________。

12、无穷等比数列首项为1，公比q 为负数，且各项和为S ，则S 的取值范围是_________。

13、一个布袋中共有10个除了颜色之外完全相同的球，其中4个白球，6个黑球，则一次任意摸出两球中至少一个白球的概率是_______________。

14、设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，则实数m 的取值范围为________。

上海市金山中学2021届高三上学期期中数学试题(教师版)

金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020.1一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接墳写结果，否则一律得零分．1. 已知集合{2,1,0,1}A =--，{|(2)0}B x x x =+<，则A B =_____．【答案】{}1- 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，再求交集即可. 【详解】{}{|(2)0}20B x x x x x =+<=-<<A B ∴={}1-故答案为：{}1- 2. 复数1iz i =-的虚部为______．【答案】12- 【解析】【分析】首先化简复数z 得到1122zi ，再求复数z 的虚部即可. 【详解】()()()2211111111222i i i i i i z i i i i i ++-+=====---+--. 所以复数z 的虚部为12- 故答案为：12-3. 若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于________ 【答案】36π 【解析】【分析】根据球的三视图都相当于过球心的截面圆，由题中数据可得球的半径，从而可求出结果. 【详解】设球的半径为R ，因为球主视图的面积为9π，所以29R ππ=，故3R =，所以该球的体积为34V 363R ππ==. 故答案为36π【点睛】本题主要考查球的体积，熟记球的三视图以及球的体积公式即可，属于基础题型.4. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率_____．【答案】38【解析】【分析】先算任取一卦的所有等可能的结果，再计算恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】任取一卦的所有可能的结果有8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件有3卦，所以恰有2根阳线和1根阴线的概率为38P =，故答案为：385. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()2,0，且它的一条渐近线与直线l ：30x +=垂直，则双曲线C 的标准方程为____.【答案】2213y x -=【解析】由题意，先求得2c =，再由它的一条渐近线与直线:0l x =垂直可得b =，根据222c a b =+，求得,a b 的值，即可得出双曲线的方程．【详解】由题意知，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点的坐标为(2,0)，所以2c =，又由它的一条渐近线与直线:0l x +=垂直，所以(1b a ⋅=-，即b =，又因为222c a b =+，解得1,a b ==2213y x -=．故答案为2213y x -=．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，及两直线的位置关系的应用，其中解答中根据两直线垂直和双曲线的几何性质，列出方程求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．6. 在ABC 中，若3,4b c C π===，则角B 的大小为______．【答案】13π或23π 【解析】【分析】利用正弦定理sin sin b cB C=，即可得到答案.【详解】由正弦定理sin sin b c B C=得：3sin B =解得sin 2B =，又因为0B π<<，所以13B π=或23π.故答案：13π或23π 7. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，则sin α=______________.【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sin α的值. 【详解】角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，tan 61πα⎛⎫∴+== ⎪-⎝⎭，22,63k k Z ππαπ+=+∈，所以2,2k k Z παπ=+∈，sin sin(2)12k παπ=+=.故答案为：1.【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题. 8. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________．【答案】30 【解析】【分析】先将问题转化为二项式6(1)x +的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第1r +项，令x 的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．【详解】由题可得：()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数等于二项式6(1)x +展开式中x 的指数为2和4时的系数之和，由于二项式6(1)x +的通项公式为16r r r T C x +=，令2r，得6(1)x +展开式的2x 的系数为2615C =，令4r =，得6(1)x +展开式的4x 的系数为4615C =，所以()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数151530+=，故答案为30.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．9. 已知数列{}n a 满足()231233333nn a a a a n n N *++++=∈，则数列3311log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S 为______．【答案】1n nS n =+ 【解析】【分析】由()231233333n n a a a a n n N *++++=∈与231123133331n n a a a a n --++++=-两式相减，得出13n n a =，进而得出3311log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项公式，再由裂项相消法求和即可.【详解】当2n ≥时，由()231233333n n a a a a n n N *++++=∈，得231123133331n n a a a a n --++++=-，两式相减，得13n n a =，又113a =，适合，所以13nna = 所以3311111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++所以11111111223111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：1n n S n =+ 10. 在ABC 中,已知·9AB AC =,sin cos sin B A C =,6ABCS=,P 为线段AB 上的点,且CA CB CP xyCACB=+,则xy 的最大值为________.【答案】3 【解析】【详解】由sin cos sin B A C =得2222221622ABC b c a b c a b c S ab bc ∆+-=⇒+=⇒==所以由·9AB AC =得29,3,4AC b a =∴== 又P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+,所以1,1,1334x y x y xy b a +=∴+=∴≥≤ ，当且仅当3,22x y ==时，等号成立即xy 的最大值为3.11. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】15- 【解析】【分析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=，因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-.【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N**⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．【答案】101031- 【解析】【分析】先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解.【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031-【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则( ) A. x μ= B. x μ≈C.μ是x估计值D. x 是μ的估计值【答案】D 【解析】样本平均数为x ，总体平均数为μ，统计学中，利用样本数据估计总体数据，∴样本平均数x 是总体平均数μ的估计值，故选D .14. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（lg30.477≈） A. 3710- B. 3610- C. 3510- D. 3410-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈，分析选项即可得答案．【详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈ 分析选项：B 中3610-与其最接近，故选B.【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质． 15. 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b ”成立的（）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：当0a b >≥时，22a b a b a a b b >⇔>⇔>，当,a b 一正一负时，0a b a b >⇔>>0a a b b ⇔>>，当0a b ≥>时，220a b a b a a b b a a b b ≥>⇔<⇔--⇔，所以a b a a b b >⇔>，故选C ．考点：充分必要条件．16. 在直角坐标系xOy 中,对于点(,)x y ,定义变换σ:将点(,)x y 变换为点(,)a b ,使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-.这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线.则四个函数12(0)y x x =>,22(0)y x x =>,3e (0)x y x =>,4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象,变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）依次是A. ②,③,①,④B. ③,②,④,①C. ②,③,④,①D. ③,②,①,④【答案】A 【解析】【分析】用x ，y 表示出a ，b ，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a ，b 的范围及大小关系，从而得出答案．【详解】解：由x tana y tanb =⎧⎨=⎩可得a arctanxb arctany=⎧⎨=⎩，对于y 3＝e x （x ＞0），显然y 3＞1，∴b ＝arctan y 34π＞，∴y 3对应的图象为①；对于y 4＝lnx （x ＞1），a ＝arctan x ＞arctan14π=，∴y 4对应的图象为④；对于y 1和y 2，当0＜x ＜2时，2x ＞x 2，∴arctan2x ＞arctan x 2，即当0＜a ＜arctan2时，∴arctan y 1＞arctan y 2， ∴y 1对应的图象为②，y 2对应的图象为③．故选A ．【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =.（1）求证：面PAD ⊥面PBD ；（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h . 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】【分析】（1）证明BD ⊥平面PAD 得到答案. （2）利用等体积法13D PBC PBC P BCD V S h V -∆-=⋅=，计算得到答案. 【详解】（1）∵1AD =，2AB =，60DAB ∠=︒，根据余弦定理可得：2222cos60BD AB AD AB AD =+-⋅⋅︒.∴3BD =222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥.∵PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴PD BD ⊥，又AD PD D =，∴BD ⊥平面PAD ，∵BD ⊂平面PBD ，∴面PAD ⊥面PBD . （2）由（1）可知BC BD ⊥，∴1322BCD S BC BD =⨯⨯=△， ∵45PCD ∠=︒，可得：2PD CD ==，∴13323P BCD V -==， ∵222PC CD ==227PB PD DB +=1BC =，∴222BC PB PC +=，∴PB BC ⊥，∴122BCP S BC PB =⋅=△，∴1326D BCP V h -=⨯=，又∵P BCD D BCP V V --=，∴63=，解得：7h =. 【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18. 已知函数()cos()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为－1.（1）求函数()f x的解析式.（2）若()f x 在区间,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围. 【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25,918ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由最值求得A ，由周期求得ω，由点的坐标及ϕ的范围可求得ϕ，得解析式；（2）由,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得533633x m πππ≤+≤+，结合余弦函数性质可得结论．【详解】（1）由函数的最小值为－1，可得A =1，因为最小正周期为23π，所以ω=3. 可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=，故()cos(3)3f x x π=+. （2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+，因为5()cos 66f ππ==，且cos π=－1，7cos 6π=，由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. 【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查余弦型三角函数的值域问题，掌握余弦函数性质是解题关键． 19. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816x x+元来计算）（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）()163601y m m m =--≥+；（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】【分析】（1）根据题意0m =时，2x =，求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解.（2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+. （2）当0m ≥时，10m +>，16(181)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）.故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,1),(2,1),(,)A B C m n ---为三个不同的定点.以原点O 为圆心的圆与线段,,AB AC BC 都相切.（Ⅰ）求圆O 的方程及,m n 的值；（Ⅱ）若直线:()l y x t t R =-+∈与圆O 相交于,M N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值；（Ⅲ）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数)？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）221x y +=,1,m =- 3n =；（Ⅱ）t =（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解；（Ⅱ）用坐标表示向量积，再联立直线与圆方程，消元代入向量积求解；（Ⅲ）假设A 、P 的坐标，根据两点距离公式与PA PQ λ=建立等式，再根据A 、P 分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解.【详解】（Ⅰ）由于圆O 与线段AB 相切，所以半径1r =.即圆O 的方程为221x y +=.又由题221x y +=与线段AC 相切，所以线段AC 方程为1x =-.即1m =-.故直线BC 的方程为(1)3210n x y n ++-+=.由直线BC 和圆O 1=，解得3n =或1n =-.由于,A C 为不同的点，所以3n =.（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=-.由22,1,y x t x y =-+⎧⎨+=⎩可得222210x tx t -+-=， 2248(1)0t t ∆=-->，解得t <<所以212121,2t x x t x x -+==. 故222221212121211()()()22t t y y x t x t x x x x t t t t --=-+-+=-++=-+=. 所以22212121111222t t x x y y t --+=+=-=-.所以212t =.故t = （Ⅲ）设00(,),(,)Q x y P x y .则PA =PQ =.若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数),λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立.即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-.整理得222222220000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=.因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =.由于P 在圆O 上，所以221x y +=.故222200(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立. 所以202220220,320.x x λλλ⎧+=⎨--=⎩显然0λ≠，所以021x λ=-. 故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11(,)22Q --，综上，存在满足条件的定点11(,)22Q --，此时λ=【点睛】本题考查直线与圆的综合应用.主要知识点有：点到直线的距离公式及应用，向量数量积的坐标表示，两点距离公式.21. 已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N . （1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020n b ≤，求n 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题意直接书写即可；（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）首先证明n a n =时，()()112t j i i j +-++=不成立，次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.详解】（1）由题意，集合{}1(,)|(,),1,i i j T S i j S i j a a a i j j N *+==+++≤<∈，可得{3,5,7,9,10}T =.（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在,i j N *∈，使得(,)1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的m N *∈都有2,t m b t N *≠∈，若,i j N *∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==，由于1j i -+与i j +均大于2且奇偶性不同，所有()()112t j i i j +-++=不成立.其次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2(21)th k =+，其中t N *∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有： (21)(21)+(2+1)=(2-)++(2-1)+2(21)(2)t t t t t h k k k k k =+++++++++此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =+++++(21)(1)(1)(2)(2)t t k k k k k k -+++-++++++++，此时结论成立. 对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ,其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项. 由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论思的想，计算量比较大，属于难题.。

上海市金山中学2022届高三上学期期中数学试题(解析版)

【解析】
【分析】（1）由为等腰梯形中位线，根据对称性易知，进而可求 .
（2）结合（1）可得的大小，由正弦定理有，即可求，在△ 中即可求 .
【详解】（1）由为等腰梯形中位线，
∴根据对称性有，
∴ .
（2）由，由（1）知，则 .
∴在△ 中，由正弦定理，即，则，
∴结合（1）可得：，
【详解】由题意知，“返回家乡”则可推得“攻破楼兰”，即必要条件成立，
反之“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，即充分条件不成立，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：A.
16.已知函数，各项均不相等的数列满足，记 .①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）
14.下列函数中不能用二分法求零点的是（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
【答案】
【解析】
【分析】先求的值域，再反解，最后互换的位置，给出其定义域.
【详解】因为f（x）＝x2（x＜0），所以的值域为，
由，解得，
所以 =
故答案为：
6.若＝，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式即解．
【详解】∵ ＝，
∴ .
故答案为： .
15.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷期中考试试卷

上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷期中考试试卷第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数)421sin(2π+=x y 的周期是（）A ． 4π B ．π4 C ．π2D ．2π2．函数)10lg(1)(22x x x x f -+-=的定义域为（）A ．RB ．[1，10]C ．（1，10）D ．)10,1()1,(⋃--∞3．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 120的扇形，则圆锥的体积等于 A.π322 B.π22 C.π324 D.π4835 4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．3x y -=)(R x ∈B ．x y sin =)(R x ∈C ．x y tan -=D ．xy )21(=)(R x ∈5.若向量)2,1(=，)4,3(-=，则)()(+⋅⋅等于（）y xO6π 2 512π A ．20 B ．），（3010- C ．54 D ．），（248- 6.如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足（） A ． 0,0>>b a . B. 0,0<>b a . C ． 0,0><b a . D. 0,0<<b a .7．在ABC ∆中,角2120,tan tan 33C A B =+=,则tan tan A B 的值为( )A ．41B ．13C ．21 D ．538.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为( ) A ．)621sin(2)(π+=x x f B ．)621sin(2)(π-=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x fD ．()2sin(2)6f x x π=+9．在ABC ∆中，有命题 ①BCAC AB =-；②=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②③④10．已知02≠=b a ，且关于x 的方程02=⋅++b a x a x 有实数根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[,]3ππ B.[0,]6π C.2[,]33ππD.[,]6ππ第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 把答案填在答卷的相应位置．11．=- 57sin 333cos 33sin 27sin ；12.已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为；13．将函数x y 2sin =的图象按向量)0,6(π-=a 平移后的图象的函数解析式为；14．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．15．对于任意向量a 、b ，定义新运算“※”：a ※b =||||sin a b θ⋅⋅（其中 θ为a 与b 所的角）。

上海市金山中学高三数学上学期期中试题

金山中学2016学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1、已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{26}B x x =<<，且AB =___________。

2、已知不等式250ax x b ++>的解集是{|23}x x <<，则不等式250bx x a -+>的解集是___________。

3、若2tan sin 2cos 42ππααααπ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tan α=___________。

4、在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是___________。

5、()111lim 382n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦＝___________。

6、若将函数()cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的函数对称轴为___________。

7、在ABC ∆中,5,8,60a b C ===︒,则BC CA ⋅的值为___________。

8、关于x 的方程0)5(6241=-+⋅-⋅+k k k x x 在区间]1,0[上有解，则实数k 的取值范围是___________。

9、若函数)(x f y =存在反函数()x f y 1-=，且函数)(6tan x f x y -=π图像过)313,2(-，则函数()12y fx π-=-的图像一定过___________。

10、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若546S S S 、、成等差数列，则数列{}n a 的公比q 的值等于___________。

11、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对于任意0xy >恒成立，求正实数a 的范围___________。

12、将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …… ……其中第i 行，第j 列的那个数记为ji a ，则数表中的2015应记为___________。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试卷数学理科一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B={x|2x＜4}，则A∪B＝ ( )A.RB. ∅C. {x|x≤1}D. {x|x＞2}2.,点在( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.）A BC D4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.22log 4,log 3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD中，AB BC⊥，AD CD⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( )A.B. C. D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.有）12.的值为（）ABC第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.a=b =b=14的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：（甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若62DE =,求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当EDCBAEDA时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a=-+-（）0a >.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分）函数()()23sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由. 22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--．（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．答案一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.．7 15．67.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得3=，又，得3分=……………6，……………11分分18.(本小题满分12分）2S1分2分3分等差数列，且首项为，公差为25分6分7分，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅ (9)分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x ≤ 8 3}. ....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2. .................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21.（本小题满分12分）:2分所而且有两个………8分.，由及分和不足.)法三：由得，即11分零点存在定理得:12分22.解：210分11 12分。

上海市金山中学高三数学上学期期中试题(含解析)苏教版

金山中学2013学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.设{}3,2,1,0=U ，{}U mx x x A ⊆=+=0|2，若{}2,1=A C U ，则实数=m _______.2.如果31cos =α，且α是第四象限的角，那么=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα________．3.函数()02)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f _____________．4.在ABC ∆中，若ο120=∠A ，5=AB ，7=BC ，则三角形ABC 的面积=S ________．【答案】4315 【解析】试题分析：根据题意可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即21492525()2AC AC =+-⨯⨯⨯-，25240,3AC AC AC +⨯-==，由面积公式可得113153sin 532224S ABC AB AC A ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 考点：1.余弦定理的应用;2.三角形面积公式5.已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 的极限存在，且43=a ，725=-S S ，则数列{}n a 各项的和为______________．6.若函数)0(sin 2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan)(x x g =的最小正周期相等，则正实数ω的值为_____________．7.若12332lim 21112=⋅+⋅-++-∞→n n n n n a a ，则=a ．【答案】21 【解析】试题分析：由已知可得121211211212211312302312222lim lim lim 33232022n n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a ++-++++→∞→∞→∞⨯-⋅-⋅-⋅-⋅====+⋅+⋅++，所以112a =，解得12a =．考点：极限的计算8.若kk k k S k 211212111+-+++++=Λ，则=-+k k S S 1 _________________ ． 9.已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为()0,6，则实数c 的值为 . 10.设αcos =x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,6ππα，则x arcsin 的取值范围为___________．【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ 【解析】试题分析：由αcos =x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,6ππα，可得112x -≤≤，由反正弦函数的定义域可得arcsin 62x ππ-≤≤．考点：反三角函数的运用11.方程1|2sin |-=x xπ的实数解的个数为___________．考点：1.函数的图象;2.函数与方程的关系12.在等差数列{}n a 中，01>a ，01110<a a ，若此数列的前10项和p S =10，前18项和q S =18，则数列{}n a 的前18项和=18T ___________．【答案】q p -2【解析】试题分析：根据题意1101100a a a >⎧⎨<⎩可知数列{}n a 是递减数列且10110,0a a ><，又1012310S a a a a p =++++=L ， 1812318S a a a a q =++++=L ，则1812318||||||||T a a a a =++++L12310111218123181210()2()2a a a a a a a a a a a a a a q p =++++----=-++++++++=-+L L L L 考点：等差数列的求和13.已知函数)1(1)(>-=a a a x f x x ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ变化时，0)1()sin (≥-+m f m f θ 恒成立，则实数m 的取值范围是___________．14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+，且当20≤≤x 时x x f =)(．令)()(1x g x g =，))(()(1x g g x g n n -=，其中*N n ∈，函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=2124102)(x x x x x g 。

上海市金山区金山中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题

金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020．11（时间120分钟满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．已知集合{}2,1,0,1A =--，(){}|20B x x x =+<，则AB = ．2．复数1iz i =-的虚部为． 3．若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于．4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为2,0，且它的一条渐近线与直线:30l x y +=垂直，则双曲线C 的标准方程为．6．在ABC ∆中，若3b =，6c =，4C π=，则角B 的大小为．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点()1,3-，则sin α= ． 8．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为．9．已知数列{}n a 满足()23*1233333n n a a a a n n N ++++=∈，则数列3311log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S 为．10．在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+，则xy 的最大值为．11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩当都是正整数，是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．12．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()**,,p q p q p N q N ⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则（）.A x μ= .B x μ≈ .C μ是x 的估计值 .D x 是μ的估计值14．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”，“空”三种情况，因此有种3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（）.A 3710- .B 3610- .C 3510- .D 3410-15．设a ，b R ∈，命题:p a b >，命题:q a a b b >，则p 是q 的（） .A 充分不必要条件.B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件 16．在直角坐标系xOy 中，对于点(),x y ，定义变换σ：将点(),x y 变换为点(),a b ，使得tan tan x a y b=⎧⎨=⎩，其中,,22a b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()120y x x =>，()220y x x =>，()30x y e x =>，()4ln 1y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（） .A ②，②，②，②.B ②，②，②，② .C ②，②，②，②.D ②，②，②，②三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =．（1）求证：PA BD ⊥；（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h ．ABCDP18．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()()cos 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围．19．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20.（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，()2,1B -，(),C m n 为三个不同的定点．以原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切．（1）求圆O 的方程及,m n 的值；（2）若直线():l y x t t R =-+∈与圆O 相交于M ，N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值；（3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有PA PQλ=（λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分）已知数列{}n a ，记集合．{}*1(,)(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j N +==+++≤<∈∣（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由．（3）22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，n b ，，若2020m b ≤，求m 的最大值．金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020．11（时间120分钟满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．已知集合{}2,1,0,1A =--，(){}|20B x x x =+<，则A B = ．【答案】{}1-2．复数1iz i =-的虚部为．【答案】12-3．若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于．【答案】36π4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．【答案】385．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为2,0，且它的一条渐近线与直线:30l x y +=垂直，则双曲线C 的标准方程为．【答案】22113x y -= 6．在ABC ∆中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为．【答案】13π或23π 7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，则sin α= ．【答案】18．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为．【答案】309．已知数列{}n a 满足()23*1233333n n a a a a n n N ++++=∈，则数列3311log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S 为．【解析】当2n ≥时，由()23*1233333n n a a a a n n N ++++=∈，得231123133331n n a a a a n --++++=-，两式相减，得13n n a =，又113a =，适合，所以13n na =，所以3311111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以11111111223111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 10．在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+，则xy 的最大值为．【答案】设,,AB c BC a AC b ===，因为sin cos sin B A C =⋅，所以sin()cos sin A C A C +=，所以sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0,90C C ︒==，因为9,6ABC AB AC S ∆⋅==，所以1cos 9,sin 62bc A bc A ==，所以4tan 3A =，所以43sin ,cos ,1555A A bc ===，所以5,3,4c b a ===，以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(3,0),(0,4)C A B ，因为P 为线段AB 上的点，所以存在实数λ，使得(1)(3,44)(01)CP λCA λCB λλλ=+-=-≤≤，又12(1,0),(0,1)||||CA CB e e CA CB ====，所以(,0)(0,)(,)||||CA CBCP x y x y x y CA CB =⋅+⋅=+=，所以3,44x λy λ==-，则4312x y +=，所以12433x y xy =+≥⇒≤，故xy 的最大值为3.11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩当都是正整数，是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)0f x f x -+-=，又(2)()0f x f x -+=，所以()(2)f x f x =-，即()f x 是周期为2的周期函数，因为()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩当都是正整数，是既约真分数当或上的无理数，且当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，所以1818222122555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(lg30)(lg3lg10)(lg31)(lg312)(lg31)(1lg3)f f f f f f =+=+=+-=-=--，因为lg1lg3lg10<<，即0lg31<<，所以01lg31<-<，所以(lg30)(1lg3)(1lg3)0f f R =--=--=，所以1811(lg30)0555f f ⎛⎫+=-+=-⎪⎝⎭. 12．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()**,,p q p q p N q N ⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为．【解析】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则（ D ）.A x μ=.B x μ≈ .C μ是x 的估计值 .D x 是μ的估计值14．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”，“空”三种情况，因此有种3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（ B ） .A 3710- .B 3610- .C 3510- .D 3410-15．设a ，b R ∈，命题:p a b >，命题:q a a b b >，则p 是q 的（ C ） .A 充分不必要条件.B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件 16．在直角坐标系xOy 中，对于点(),x y ，定义变换σ：将点(),x y 变换为点(),a b ，使得tan tan x a y b =⎧⎨=⎩，其中,,22a b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()120y x x =>，()220y x x =>，()30x y e x =>，()4ln 1y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ A ） .A ②，③，①，④.B ③，②，④，① .C ②，③，④，①.D ③，②，①，④【解析】因为tan tan x a y b =⎧⎨=⎩，所以arctan arctan a xb y =⎧⎨=⎩，对于函数3(0)xy e x =>，显然31y >，故3arctan 4πb y =>，故函数3(0)xy e x =>对应的图像是①；对于函数4ln (1)y x x =>，arctan arctan14πa x =>=，故函数4ln (1)y x x =>对应的图像是④；对于函数12(0)y x x =>和22(0)y x x =>，当02x <<时，22x x >，即当0arctan2a <<时，12arctan arctan y y >，所以函数12(0)y x x =>对应的图像是②，函数22(0)y x x =>对应的图像是③；故选A.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =．（1）求证：PA BD ⊥；（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h ．【解析】（1）因为1,2,60AD AB DAB ︒==∠=，所以2222cos603BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅=，所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又ADPD D =，所以BD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；（2）由（1）得BC BD ⊥，所以132BCD S BC BD ∆=⨯⨯=，因为45PCD ︒∠=，所以2PD CD ==，所以13323P BCD V -==，因为22222,7,1PC CD PB PD DB BC ===+==，所以222BC PB PC +=，所以PB BC ⊥，所以12BCP S BC PB ∆=⋅=，由等体积法，得P BCD D BCP V V --==，解得h =. 18．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()()cos 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围．【解析】（1）因为函数的最小值为1,0A ->，所以1A =，因为最小正周期为23π，所以2323πωπ==，所以()cos(3)f x x φ=+，因为图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1cos 2φ=，因为02πφ<<，所以3πφ=，所以()cos 33πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）因为,6πx m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以533633πππx m ≤+≤+，因为5cos 66ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，且7cos 1,cos 6ππ=-=，由余弦函数的性质得7336πππm ≤+≤，所以25918ππm ≤≤，即25,918ππm ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 19．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解析】（1）由题意得当0m =时，2x =（万件），所以24k =-，解得2k =，所以241x m =-+，所以每件产品的销售价格定位8161.5xx+⨯（元），所以利润816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+；（2）16163637(1)11y m m m m =--=--+++，因为16(1)81m m ++≥=+，所以83729y ≤-+=（万元），当且仅当3m =时取等号，所以促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 20.（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，()2,1B -，(),C m n 为三个不同的定点．以原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切．（1）求圆O 的方程及,m n 的值；（2）若直线():l y x t t R =-+∈与圆O 相交于M ，N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值；（3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有PA PQλ=（λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由于圆O 与线段AB 相切，所以半径1r =，故圆O 的方程为221x y +=，又圆O 与线段AC 相切，所以:1AC x =-，所以1m =-，此时直线BC 的方程为(1)3210n x y n ++-+=，因为圆O 与线段BC1=，解得3n =或1n =-，由于点,A C 是不同的点，所以3n =；（2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=-，由221y x t x y =-+⎧⎨+=⎩得222210x tx t -+-=，由()224810t t ∆=-->得t <<所以212121,2t x x t x x -+==，所以()()()212121212y y x t x t x x x x t t =-+-+=-++，所以22212121111222t t x x y y t --+=+=-=-，所以212t =，故t =；法二：因为1,12OM ON OM ON ⋅=-==，所以23πMON ∠=，所以圆心到直线的距离1cos32πd r ==，12=，故2t =；（3）设()00,,(,)Q x y P x y ，则||||PA PQ ==若在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有PA PQ=λλ=对任意P 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y λx x λy y +++=-+-，整理得()()()()()2222222200001222220λxy λx x λy y λx y -++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，因为点P 在圆O 上，所以221x y +=，故()22220022()320λx x y λλx +++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320λx λλx ⎧+=⎨--=⎩显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q--与点A 重合，舍去，当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足题意，此时λ=21．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分）已知数列{}n a ，记集合．{}*1(,)(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j N +==+++≤<∈∣（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由．（3）22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，n b ，，若2020m b ≤，求m 的最大值．【解析】（1）{3,5,6,7,9,10}T =；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +和j i -奇偶性相同，所以i j +和1j i -+奇偶性不同，因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于3的奇因子，矛盾，故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =；（3）首先证明：当n a n =时，对任意的*m N ∈，都有*2,t m b t N ≠∈，若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22j i i j i i j -++++++==，由于i j +和1j i -+均大于2且奇偶性不同，所以1(1)()2t j i i j +-++=不成立，其次证明：除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，若正整数2(21)t h k =+，其中*,t N t N ∈∈，当1221t k +>+时，由等差数列的性质，有(21)(21)(21)h k k k =++++++()()()()2212212tt t t t k k =-++-++++++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质，有(21)(21)(21)h k k k =++++++()()21(1)(1)(2)2t k k k k k k '=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项？由上述证明可知，正整数2,4,8,16,32,64,128,256,512不是集合T 中的项，故n 的最大值为1001.。