直线和圆的方程十年高考题(含答案)
直线和圆的方程
●考点阐释
解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究．
学习解析几何，要特别重视以下几方面：
（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用； （2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用． ●试题类编 一、选择题
1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）
A.是锐角三角形
B.是直角三角形
C.是钝角三角形
D.不存在
2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） －y =0
+y =0 C.|x |－y =0
D.|x |－|y |=0
4.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2
＋k π，
k ∈Z ）的位置关系是（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定的
5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ）
，－1
，－2
D.－1
6.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =
3
3
x 的距离是（ ） A.
2
1
B.
2
3
D.
3
7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（ ）
A.
2
1
B.
2
2 C.
2
3
8.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，
则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A.)3
,6[
π
π
B.)2
,6(
ππ C.)2
,3(
π
π
D.]2
,6[
π
π 9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +
＝1，③x 2＋4
2
y
＝1，④4
2x ＋y 2
＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）
A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4
B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4
C.（x －1）2＋（y －1）2＝4
D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4
11.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ） A.等于0
B.等于
4
π
C.等于
2
π D.不存在
12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（ ）
+y －5=0 －y －1=0 －x －4=0
+y －7=0
13.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（ ）
A.圆
B.两条平行直线
C.抛物线
D.双曲线
14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（ ） －x ＋y 2＝1 ＋xy 2＝1 －y =1
－y 2＝1
15.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关
系是（ ）
A.相交不垂直
B.垂直
C.平行
D.重合
16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
=
3x
=－
3x =
3
3
x =－
3
3x 17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，
12
π
）内变动时，a 的取值范围是（ ） A.（0，1）
B.（
3,3
3
） C.（
3
3
，1）∪（1，3） D.（1，
3）
18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ）
A.直线x =
2轴对称
B.直线y =－x 轴对称
C.点（－2，2）中心对称
D.点（－
2，0）中心对称
19.（1999上海，13）直线y =
3
3
x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆 （x －2）2+y 2=3的位置关系是（ ）
A.直线过圆心
B.直线与圆相交，但不过圆心
C.直线与圆相切
D.直线与圆没有公共点
20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为
（ ） A.
6
π B.
4
π C ．
3
π D.
2
π
21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ）
＋B 1B 2＝0 －B 1B 2＝0 C.
1212
1-=B B A A
D.
2
12
1A A B B =1 22.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（ ）
A.平行
B.重合
C.垂直
D.相交但不垂直
23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ）
24.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（ ） A.－3
B.－6
C.－
2
3
D.
3
2 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）
A.［0，2］
B.［0，1］
C.［0，
21
］
D.［0，
2
1） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ）
A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示
B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2
－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示
C.不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示 D.经过定点A （0，
b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示
27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）
＜k 2＜k 3 ＜k 1＜k 2
＜k 2＜k 1
＜k 3＜k 2
29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ） A.
2
5
B.
5 C.2
3
D.
2
5 二、填空题
30.（2003上海春，2）直线y =1与直线y =
3x +3的夹角为_____.
31.（2003上海春，7）若经过两点A （－1，0）、B （0，2）的直线l 与圆（x －1）2+ （y －a ）2=1相切，则a =_____.
32.（2002北京文，16）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ．
33.（2002北京理，16）已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为 ．
34.（2002上海文，6）已知圆x 2＋（y －1）2＝1的圆外一点P （－2，0），过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
35.（2002上海理，6）已知圆（x ＋1）2＋y 2＝1和圆外一点P （0，2），过点P 作圆的
图7—1
切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
36.（2002上海春，8）设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1（x ，y ）＝0和F 2（x ，y ）＝0，则点P （a ，b ） C 1∩C 2的一个充分条件为 ．
37.（2001上海，11）已知两个圆：x 2＋y 2＝1①与x 2＋（y －3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：
38.（2001上海春，6）圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为 . 39.（2000上海春，11）集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2
＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是_____.
40.（1997上海）设圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .
41.（1994上海）以点C （－2，3）为圆心且与y 轴相切的圆的方程是 . 三、解答题
42.（2003京春文，20）设A （－c ，0），B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.
43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程； （Ⅱ）设过点P ，且斜率为－
3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.
44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，
点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．
45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为
5
5
，求该圆的方程. 46.（1997全国理，25）设圆满足： （1）截y 轴所得弦长为2；
（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g 8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D两点.
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.
49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
答案解析
1.答案：B
解析：圆心坐标为（0，0），半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =
2
2||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.
评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.
2.答案：B 解析一：由y =10－
32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－3
2
x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.
解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.
因此所求△AOB 内部和边上的整点共有2
6
176+=91（个）
评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.
3.答案：D
解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C
解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为
2
2
，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1
sin 11
sin |1|2
2
+=
+=
θθd
图7—2
∵θ∈R ，θ≠
2
π＋k π，k ∈Z
∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞
2
2
∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2
π＋k π，k ∈Z ）的位置关系
是相离．
5.答案：D
解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1
∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r
∴
11
)1(|11|2
=++++a a ∴a ＝－1
6.答案：A
解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案．
7.答案：D
解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B
方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围
??????
?+-=++=????=-+-=k k y k
x y x kx y 323
2632)
32(306323 ∵交点在第一象限，∴???>>0
y x
∴???????>+->++0
32326032)
32(3k
k k
∴k ∈（33，＋∞）
∴倾斜角范围为（
2,
6π
π）
图7—3
方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－
3）
，当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.
评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，
而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.
9.答案：D
解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C
解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.
∴选C.
解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4
评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视. 11.答案：C
解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A
解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B
解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1
解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t
·
x
y
=－1，得x +ty =0 ①
∵|OP |=|OQ |，∴
2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1
②
由①得t =－y x ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21
y
）=0.
图7—4
∵x 2+y 2≠0，∴1－
21
y
=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B
解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的
斜率k 2＝
23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．
16.答案：C
解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.
由
1
|2|2+-k k ＝1，解得k =±
33
，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =
3
3x ． 解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =
3
3x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美
结合，可迅速、准确得到结果.
17.答案：C
解析：直线l 1的倾斜角为
4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（
4
π
－12π，4π
）∪（
4
π，
4π+12
π
）即:（6π，
4π）∪（
4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:
（3
3，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力. 图7—5
18.答案：B 解析：由方程（x +
2）2+（y －2）2=4
如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称 故选B.
评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴. 19.答案：C 解析：直线y =
3
3
x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =
3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.
评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C
解析：如图7—7所示，
由?????=+=-+4
032322y x y x
消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）
∴|AB |=
22)30()12(-+-=2
又|OB |＝|OA |=2
∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =
3
π
，故选C.
评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.
21.答案：A
解法一：当两直线的斜率都存在时，－
11B A ·（2
2B A
-）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 图7—7
当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，??
?==???==0
001221B A B A 或， 同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.
如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.
评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.
22.答案：C
解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－
a A sin ，k 2=B
b
sin . 由正弦定理知k 1·k 2=－
a A sin ·B
b
sin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理. 23.答案：C
解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.
评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B
解析一：若两直线平行，则2
2123-≠-=a ， 解得a ＝－6，故选B.
解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.
评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A
解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不
通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限. 图7—8
当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0， 当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.
评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B
解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程
b
y
a x +=1表示；D 中过A （0，
b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C
解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又
1＝r 2－r 1＜
5＜r 1
＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.
评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D
解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.
评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B
解析：直线方程可化为2x －y =0，d =
55
|
5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.
30.答案：60° 解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，
而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.
评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想. 31.答案：a =4±5
解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =
5
|
22|+-a =1，解得a =4±5. 评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2
解析：圆心到直线的距离d ＝5
|
843|++＝3
∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：2
2
解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，4
32-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2·
2
1
·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1
∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋
4
3x ）2＝9)145(1025
162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形P ACB 面积的最小值为2
2．
解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=
5
|
843|++=3，S P ACD =22. 34.答案：
3
4 解法一：圆的圆心为（0，1）
设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为
1
|12|2
+-k k ＝1
图7—9
图7—10
∴解得k ＝
3
4
或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为
3
4． 解法二：设两切线的交角为α
∵tan
21
2
=
α
，∴tan α＝3
44
1112tan 12tan
22=-
=-αα
． 35.答案：
3
4 解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为
1
|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝
4
3
， 即tan α＝
4
3 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为
3
4 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=?或P ?C 1等
解析：点P （a ，b ）?C 1∩C 2，则 可能点P 不在曲线C 1上； 可能点P 不在曲线C 2上；
可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上； 可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.
37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0
图7—11
解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2 ① （x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2 ②
（a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为： （x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0， 即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.
评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.
38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1
解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.
∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2
又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°.
又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.
评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7
解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．
评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0
解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2
30
1--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.
解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：
（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=2
2
14
26k
k k ++-=6，解得k =1.
解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则
①
有?????=+-=+-9
)2(9)2(222
2212
1y x y x
②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴
1
21
2x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.
评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4
解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.
42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）
由||||PB PA =a （a >0），得2
222)()(y
c x y c x +-++=a ，化简，
得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.
当a ≠1时，得x 2+2
2
1)1(2a
a c -+x +c 2+y 2
=0.整理， 得：（x －1
122
-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2
当a =1时，化简得x =0.
所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1
1
22-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；
当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.
评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.
43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .
解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |， 所以|x +1|=
22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .
（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.
由?????=--=.
4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，
解得x 1=
3
1
，x 2=3. 所以A 点坐标为（
3
3
2,
31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=
3
16. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即
????
??
?=-++=+++.)316()32()13
1()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +2
3）2=（
34）2+（y －3
32）2
， 解得y =－
9
3
14. 但y =－
9
3
14不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.
（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由???-=--=.
1),
1(3x x y 得y =23，
即当点C 的坐标为（－1，2
3）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.
又|AC |2=（－1－
31）2+（y －332）2=3
34928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，
|AB |2=（
316）2=9
256. ① ②