上海重点高中高一第一学期期末考试数学(带答案)
上海重点高中高一第一学期期末考试
一 ：填空题（每小题3分，共42分）
1 设函数 x x x f 1)(-=，x x
x g 21)(-=,则=+)()(x g x f __________ 2 若函数)(x f 的定义域是[]42，
，则函数)(2x f 的定义域是__________ 3 若a x f x +-=1
21)(是奇函数，则=a __________ 4 函数822+--=x x y 的单调递减区间是__________
5 已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，且)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，若)(x f 的最小值为2，则函数的解析式为__________
6 幂函数t x y =的图像，当），（10∈x 时，在直线x y =上方，当）
，（∞+∈1x 时在直线x y =下方，则实数t 的取值范围是__________
7 不等式1)1-2(2<x a 的解集为)0(，-∞，则实数a 的取值范围是__________
8 函数)(x f 的定义域为R ，对于任意的R x ∈，有)1()3(x f x f --=+，那么函数)(x f 的图像关于点_________对称
9 已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g __________
10 已知函数m x f x -=--|1|2
)( 的图像与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是_________ 11 化简6
log 18log 3log 2626+=_________ 12 已知函数[]),(2)(2b a x x x x f ∈-= 的值域为[]3,1-，则a b -的取值范围是_________
13 已知函数)(x f 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ,满足)(1)2(x f x f -=+ ，若当32<<x 时，x x f =)(，则=)5.2015(f _________
14 对于函数①1|2-x |)(+=x f ， ②2)2()(-=x x f ③2
1)(-=x x f 命题甲：)2(+x f 是个偶函数； 命题乙：)(x f 在)2(，-∞上是减函数，在),2(+∞上是增函数； 命题丙：
)()2(x f x f -+在）
，（∞+∞-上是增函数，能使命题甲，乙，丙均为真的所有函数的序号是_________
二 选择题（每题4分，共16分）
15 设)(x f y =和)(x g y =是两个不同的幂函数，集合{})()(|x g x f x M ==，则集合中的元素个数是 （ ）
A 1 或2或0
B 1或2或3
C 1或2或3或4
D 0或1或2或3
16 已知函数⎩⎨⎧-+=2244)(x
x x x x f 00<≥x x ， 若)()2(2a f a f >- ，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ),2(1-+∞∞- ），（ B
）（2,1- C )1,2(- D ),1()2,(+∞⋃--∞
17 在R 上定义的函数)(x f 是奇函数,且)2()(x f x f -= ,若)(x f 在区间)2,1( 是减函数,则函数)(x f ( )
A 在)1,2(--上增, 在)4,3(上增
B 在)1,2(--上减,在(3,4)上减
C 在(-2,-1)上减,在(3,4)上增
D 在(-2,-1)上增,在(3,4)上减
18 定义在R 的偶函数)(x f 满足:对任意的(]）（，
，21210x x x x ≠∞-∈ ,有[]0)()()(1212>--x f x f x x ,则当*N n ∈ 时,有( )
A )1()1()(+<-<-n f n f n f
B )1()()1(+<-<-n f n f n f
C )1()()1(-<-<+n f n f n f
D )()1()1(n f n f n f -<-<+
三 解答题
19 (本题8分,每小题4分)
已知)()(22Z k x x f k k
∈=++- 满足)3()2(f f <
（1)求k 的值
(2)是否存在正整数m ,使[]2,1,)12()(1)(-∈-+-=x x m x mf x g 为单调增函数?若存在,求出m 的范围,若不存在,说明理由.
20 (本题满分8分,每小题4分) 已知函数x
x x
x x f --10101010)(+-= (1)求)(x f 的定义域并判断函数的奇偶性; (2)求)(x f 的值域
21 (本题满分8分,每小题4分)
定义域为R 的函数a
b x f x x ++=+122-)(是奇函数. （1）求b a ,的值
（2）若对任意的R t ∈, 不等式0)-2()2-(2
2<+k t f t t f 恒成立,求k 的取值范围
22 (本题满分8分,每小题4分)
（1）已知二次函数)(x f 满足1)2(-=f ,1)1(-=-f ,且)(x f 的最大值是8, 试确定此二次函数;
（2）设函数22-)(2+=x ax x f ,对于满足41<<x 的一切x 值都有0)(>x f ,求实数a 的取值范围
23 (本题10分,第(1)小题2分,第(2),(3)题各4分)
函数x x f 2)(= 和 3
)(x x g = 的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点)(11y x A ， ，)(22y x B ，且21x x <
（1）请指出示意图中曲线1C ,2C 分别对应哪一个函数？
（2）若[]1,1+∈a a x ，[]12+∈b b x ， ，且{}12118107654321,，，，，，，，，，∈b a ，指出b a ,的值，
并说明理由
（3） 结合函数图像示意图，请把)6(),6(g f ，)2007(),2007(g f 四个数从小到大的顺序排列
答案 1 )0(>-x x , 2[][]2,22,2 --, 32
1, 4 []2,1-, 52)1()(2+-=x x f , 610<<t , 7 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,2222,1 , 8 ()0,2, 91-, 10 []1,0, 11 1, 12 []4,2, 13 5
2-, 14 2, 15 B, 16C, 17D, 18C, 19(1) 1,0==k k (2)不存在 20 （1） 定义域为R 奇函数； （2）()11,)(-∈x f
21 （1） 1,2==b a ，（2）1-<k 22 （1）744)(2++-=x x x f ；
（2）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈210，a 23 （1）1C 对应3)(x x g =，2C 对应x x f 2)(=
（2）91==b a ，
（3）)2007()2007()6()6(f g g f <<<。
2023-2024学年上海中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)
1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。
上海市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知全集，集合，则________．{}1,2,3,4,5U ={}4,5A =A =【答案】{}1,2,3【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】解：因为全集，集合，{}1,2,3,4,5U ={}4,5A =所以.{}1,2,3A =故答案为：{}1,2,32．不等式的解集为_________．2650x x ++≤【答案】{}51x x -<<【分析】转化为二次函数的函数值为负时，自变量的取值范围.265y x x =++x 【详解】2650x x ++≤()()150x x ∴++≤对应的二次函数为265y x x =++画出函数图像为：所以时2650y x x =++<51x -<<-不等式的解集为2650x x ++≤{}51x x -<<故答案为：{}51x x -<<3．函数_________．()f x 【答案】(][),11,-∞-⋃+∞【分析】根据二次根式的性质得到绝对值不等式，解出即可．【详解】由题意得：，解得：或,10x -≥1x ≥1x ≤-故函数的定义域是.()f x (][),11,-∞-⋃+∞故答案为: ．(][),11,-∞-⋃+∞4．已知，则的值为_________．2log 3,l 0(og ,1)a a m n a a ==>≠m n a +【答案】6【分析】由对数的运算法则可得，进而可得.log 6a m n +=log 66a m n a a +==【详解】解：因为，2log 3,l 0(og ,1)a a m n a a ==>≠所以，log 3log 2log 6a a a m n +=+=所以.log 66a m n a a +==故答案为：65．若一个奇函数的定义域为，则的值为______________．{},,2a b a b +【答案】2-【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，即可得的值.,a b a b +【详解】解：若奇函数的定义域为，则，必有{},,2a b {}2,,2a b ∈{}2,,2a b -∈故或；2a =-2b =-若，则，必有，则，所以；2a =-{},,2b a b ∈{},,2b a b -∈b b =-0b =若，则，必有，则，所以；2b =-{},,2a a b ∈{},,2a a b -∈a a =-0a =综上：.2a b +=-故答案为：.2-6．若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是_________．:13x α≤≤:x m β≥αβm 【答案】1m £【分析】依题意可得推得出，即可求出参数的取值范围.αβ【详解】解：因为，且是的充分条件，:13x α≤≤:x m β≥αβ即推得出，所以.αβ1m £故答案为：1m £7．已知,则的值为__________． e ,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩()5f 【答案】 1e【分析】由题意可得，再将代入计算即可.(5)(1)f f =-=1x -【详解】解：由题意可得，()5(53)(2)f f f =-=又因为. 1(2)(23)(1)f f f -=-=-==1e e 故答案为： 1e8．用列举法表示_________． 6,N,N x x a x a ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭【答案】{}6,3,2,1【分析】根据元素的特征用列举法表示即可.【详解】解：. {}6,N,N 6,3,2,1x x a x a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭故答案为：{}6,3,2,19．设方程解集为A ，解集为B ，解集为C ，且22210x mx m -+-=2680x x -+=2320x x -+=，，则_________．A B ⋂=∅A C ⋂≠∅m =【答案】4-【分析】先求出集合，根据题意和找到集合中有的元素和没有的元素,,A B A B ⋂=∅A C ⋂≠∅A 根据集合中有的元素求出参数的值，然后再检验是否符合和.m A B ⋂=∅A C ⋂≠∅【详解】2680x x -+= ，即或()()240x x ∴-⋅-=2x =4x ={}2,4B ∴=又2320x x -+= ，即或()()210x x ∴-⋅-=2x =1x ={}2,1C ∴=又因为A B ⋂=∅所以且2A ∉4A ∉又因为A C ⋂≠∅所以或1A ∈2A ∈所以只有成立，1A ∈所以是方程的根，即122210x mx m -+-=21210m m -+-=故，即2200m m --=()()540m m -⋅+=所以或5m =4m =-当时，方程变为5m =22210x mx m -+-=()()254140x x x x -+=--=所以不满足，故不符合题意舍去.{}1,4A =4A ∉当时，方程变为4m =-22210x mx m -+-=()()245510x x x x +-=+-=所以满足，和，满足题意.{}1,5A =-A B ⋂=∅{}1A C ⋂=≠∅故答案为：4-10．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数，，则不等式()f x R [)0,∞+()10f -=的解集为__________．()2log 0f x <【答案】 1(,2)2【分析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可．【详解】是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，()f x R [0,)+∞(1)0f -=，则不等式等价为不等式，(1)(1)0f f ∴=-=()2log 0f x <()()2log 1f x f <∴，即，可得，即不等式的解集为. 2|log |1x <21log 1x -<<122x <<1(,2)2故答案为：. 1(,2)211．已知，，若，则的最小值为__________． a b ∈R 2a b -=122a b+【答案】4【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，且，则，， a b ∈R 2a b -=20a >102b >所以，当且仅当，即，时取等号； 1242a b +≥==122a b =1a =1b =-所以的最小值为. 122a b +4故答案为：412．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3600元和5200元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省________元．【答案】800【分析】根据方案一先判断出两次实际付款元与元对应的原价，然后根据两次的原价可36005200计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱.【详解】解：因为且，所以实际付款元对应的原价为3600400050000.9=<36002000>36004000元，实际付款元对应的原价大于元，52005000设实际付款元对应的原价为元，5200()5000x +所以，解得，50000.90.75200x ⨯+⨯=1000x =所以实际付款元对应的原价为元，52006000所以两次付款的原价之和为元，4000600010000+=若按方案二付款，则实际付款为：元，50000.950000.78000⨯+⨯=所以节省的钱为元，()360052008000800+-=故答案为：.80013．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________． 2log 69a x x x <+-[]2,4x ∈a 【答案】()1,2【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.29l 6og a x x x <-+01a <<1a >【详解】解：因为不等式在上恒成立，2log 69a x x x <+-[]2,4x ∈所以在上恒成立，29l 6og a x x x <-+[]2,4x ∈令，，， ()log a f x x =()()22369x g x x x ==--+[]2,4x ∈则问题转化为在上恒成立，()()f x g x >[]2,4x ∈若，此时在上单调递减，，而当01a <<()log a f x x =[]2,4x ∈()log log 20a a f x x =<<[]2,4x ∈时，，显然不合题意；()[]0,1g x ∈当时，画出两个函数的图象，1a >要想满足在上恒成立，只需，即，解得()()f x g x >[]2,4x ∈()()22f g >log 21log a a a >=12a <<．综上：实数的取值范围是.a ()1,2故答案为：()1,214．已知函数，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同()223,,x x x a f x x x a⎧--<=⎨-≥⎩m x ()f x m =的实数根，则的取值范围是__________．a 【答案】14a <<【分析】在直角坐标系中画出，的图象，对分类讨论，结合函数图象即可2123y x x =--2y x =-a 判断.【详解】解：在直角坐标系中画出，的图象，2123y x x =--2y x =-由，解得， 223x x x --=-x =其中，对称轴为，，()2212314y x x x =--=--1x =()1min 4y =-对于，令，解得，2y x =-24y =-4x =当时，任意，恰有个实数根，如下图所示： a ≤m ()f x m =1时，任意，至多有2个实数根，如下图所示： 1a <≤m ()f x m =当时，存在使得恰好有3个实数根，如下图所示：14a <<m ()f x m =当时，任意，至多有2个实数根，如下图所示：4a ≤m ()f x m =综上可得：的取值范围为.a 14a <<故答案为：14a <<二、单选题15．已知是集合A 到集合B 的函数，若对于实数，在集合A 中没有实数与之,2x A B y ===R k B ∈对应，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(],0-∞()0,∞+(),0∞-[)0,∞+【答案】A【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案；y 【详解】，20,>===x A B y R 根据函数的定义可得. 0k ≤故选：A.16．下列命题是真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则 ac bc >a b >22a b >a b >C ．若，则D ．若，则 0a b >>11a b<,a b c d >>a c b d ->-【答案】C【分析】根据不等式的性质判断A 、C ，利用特殊值判断B 、D.【详解】解：对于A ：因为，当时，当时，故A 错误； ac bc >0c >a b >0c <a b <对于B ：因为，则，无法得到，如，，显然满足，但是22a b >a b >a b >1a =-0b =22a b >a b <，故B 错误； 对于C ：因为，所以，故C 正确； 0a b >>11a b<对于D ：因为，则，无法得到，,a b c d >>a c b d +>+a c b d ->-如，，，，满足，但是，，故D 错误； 10a =9b =8c =10d =-,a b c d >>2a c -=19b d -=故选：C17．函数的零点所在的大致区间是（ ） ()23log f x x x =-A ．B ．C ．D ． ()0,1()1,2()2,3()3,+∞【答案】C 【分析】根据零点存在性定理分析判断即可. 【详解】因为和在上单调递增， 2log y x =3y x=-(0,)+∞所以在上单调递增， ()23log f x x x =-(0,)+∞因为，， ()2312log 2022f =-=-<()2233log 3log 3103f =-=->所以在上有唯一零点，()f x ()2,3即的零点所在的大致区间是，()f x ()2,3故选：C18．已知函数，若对于任意，存在，使得()()()21lg 1,2xf x xg x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+-[]10,3x ∈[]21,2x ∈，则实数的取值范围为（ ）()()12f x g x ≤m A ． B ． C ． D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得()f x ()g x ()()12max max f x g x ≤，即可得到不等式，解得即可.【详解】解：因为，所以，所以，即，[]0,3x ∈[]211,10x +∈()[]2lg 10,1x +∈()[]0,1f x ∈由，则，即，[]1,2x ∈111,242xm m m ⎛⎫ ⎪⎥⎝⎭⎡⎤-∈--⎢⎣⎦()11,42g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦因为对于任意，存在，使得，[]10,3x ∈[]21,2x ∈()()12f x g x ≤所以，则，解得，即.()()12max max f x g x ≤112m -≥12m ≤-1,2m ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦故选：A三、解答题 19．解答下列问题：(1)用表示ln ,ln ,ln x y z (2)已知，且，求M 的值． 23xyM ==231x yxy+=【答案】(1)；11ln 4ln ln 32x y z +-(2). 72【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；(2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可23log ,log x M y M ==11log 2,log 3,M M x y ==231x yxy+=得，代入计算即可. 231y x+=【详解】（1）解：因为； 4411ln ln 4ln ln 32y x y z =-=-=+-（2）解：因为，所以， 23x y M ==23log ,log x M y M ==所以11log 2,log 3,M M x y==又因为， 231x yxy+=即， 231y x+=所以， 2log 33log 2log 721M M M +==所以.72M =20．设集合，集合，21,A x x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭R {}21,B x x x =-<∈R (1)求集合，集合； A B (2)求，．A B ⋂A B ⋃【答案】(1)， {}02,A x x x =<<∈R {}13,B x x x =<<∈R (2)， {}03,A B x x x ⋃=<<∈R {}12,A B x x x ⋂=<<∈R【分析】（1）解分式不等式求出集合，解绝对值不等式求出集合； A B （2）根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】（1）解：由，即，等价于，解得， 21x>2210xx x --=>()20x x ->02x <<所以，{}21,02,A x x x x x x ⎧⎫=>∈=<<∈⎨⎬⎩⎭R R 由，即，解得，所以 21x -<121x -<-<13x <<{}{}21,13,B x x x x x x =-<∈=<<∈R R （2）解：由，， {}02,A x x x =<<∈R {}13,B x x x =<<∈R 所以，.{}03,A B x x x ⋃=<<∈R {}12,A B x x x ⋂=<<∈R 21．已知函数为奇函数． ()122xxf x a =⋅-(1)求实数的值；a (2)判断并证明在上的单调性． ()f x R 【答案】(1)1a =(2)为上的增函数，证明见解析 ()f x R【分析】（1）首先求出函数的定义域，根据奇函数的性质，求出参数的值，再检验即可； ()00f =（2）根据题意，由（1）的结论可得函数的解析式，设，由作差法分析可得结论．()f x 12x x <【详解】（1）解：函数的定义域为，又函数为奇函数， ()122x xf x a =⋅-R所以，即，解得， ()00f =01202a ⋅-=1a =所以，则， ()122xxf x =-()()112222xx x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭故为奇函数，符合题意，所以. ()122xxf x =-1a =（2）解：由（1）可知，，则为上的增函数， ()12222xx x x f x -=-=-()f x R 证明如下：设，12x x <则， ()()()11221212121()()222222122x x x x x xx x f x f x --⎛⎫-=---=-+⎪⎝⎭又由，则，即，， 12x x <12022x x <<12220x x -<1211022x x +>则， 12())0(f x f x -<则函数在上为增函数．()f x R 22．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x 低于40万部时，每销售1万部手机的收入()0x x >万元；当年销售量x 不低于40万部时，每销售1万部手机的收入()4005R x x =-万元 ()2900040000R x x x =-(1)写出年利润y 万元关于年销售量x 万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．【答案】(1) 2538050,04040000208950,40x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)38万部时，最大利润为7170万元.【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；040x <<40x ≥（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润. 040x <<40x ≥【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），()0x x >5020x +故利润，而，()()5020y x R x x =⋅-+()24005,040900040000,40x x R x x xx -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩故，()()()240055020,0409000400005020,40x x x x y x x x x x ⎧-⋅-+<<⎪=⎨⎛⎫-⋅-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩整理得，；2538050,04040000208950,40x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利040x <<()225380505387170y x x x =--+-+-=38x =润最大值为；max 7170y =时，， 40x ≥4000040000208950208950y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭其中，在上单调递减，在上单调递增，因40000()20202000h x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭40,⎡⎣()+∞为 ，故时，4445<<4000040000(45)2045(44)20444544h h =+⨯<=+⨯45x =取得最小值 40000()20h x x x=+故在 时，y 取得最大值40000208950y x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭45x =max 400008000900895080507162459y =--+=-< 而，71627170<故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.23．已知定义域为R 的函数，，若对任意，均有()f x S ⊆R 1212,,x x x x S ∈-∈R ()()12f x f x S -∈，则称是S 关联． ()f x (1)判断函数是否是关联，并说明理由： ()()12112f x xg x x =-=-、[)1,+∞(2)若是关联，当时，，解不等式：；()f x {}2[)0,2x ∈()2f x x x =-()02f x ≤≤(3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． ()f x {}2()f x []1,2【答案】(1)函数是关联，函数不是关联，理由见解析 ()21f x x =-[)1,+∞1()12g x x =-[)1,+∞(2)或{|13x x ≤≤}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为时，求的取值区间即可判断作答. [)1,+∞12()()f x f x -（2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答. (2)()2f x f x +-=（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答. 【详解】（1）函数是关联，证明如下：()21f x x =-[)1,+∞任取R ，若，则，12,x x ∈12[1,)-∈+∞x x ()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数是关联； ()21f x x =-[)1,+∞函数不是关联，证明如下：： 1()12g x x =-[)1,+∞若，则， 12[1,)-∈+∞x x 121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x 所以函数不是关联； 1()12g x x =-[)1,+∞（2）因是关联，则，有，即，()f x {}2122x x -=12()()2f x f x -=(2)()2f x f x +-=当时，，而，[)0,2x ∈22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ()02f x ≤≤即，解得或，所以不等式的解集为或，202≤-≤x x 12x ≤≤10x -≤≤{|12x x ≤<}0x =当时，，[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭所以当时，，[2,4)x ∈2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x 而，得，解得，所以不等式的解集为，0()2f x ≤≤2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x 23x ≤≤{}|23x x ≤≤当时，或当时，，此时不等式无解； 0n <()0f x <2n ≥()2f x >0()2f x ≤≤综上得或，13x ≤≤0x =所以不等式的解集为或，.2()3f x ≤≤{|13x x ≤≤}0x =（3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下，()f x {}2()f x []1,2易得函数是关联，但时，所以函数不是,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩{}21 2.112≤-≤2)(2.1()0f f <-()f x 关联； [1,2]所以充分性不成立；当函数是关联时，即，，()f x [1,2]2112x x ≤-≤21)1(()2f x f x -≤≤则有，，即有， 1(2)(1)2f x f x -≤++≤)1(1()2f x f x -≤+≤)2(2()4f x f x -≤+≤又，则有，于是得，1(2)2x x ≤+-≤)1(2()2f x f x -≤+≤(2)()2f x f x +-=从而得，即函数是{2}关联； ()()21212,=2x x f x f x -=-()f x 所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件.()f x {}2()f x []1,2【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
上海市重点中学高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若，化简：________.0a >⎛= ⎪ ⎪⎝⎭【答案】2a 【解析】利用指数幂的运算法则计算即可．【详解】 313122222a a a a +⎛=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为： 2a 2．已知扇形的弧长为，半径为2，则此扇形的圆心角的弧度数是______． 5π3【答案】5π6【分析】由弧长的计算公式代入即可得出答案.【详解】此扇形的圆心角的弧度数是.5π5π326=故答案为：. 5π63．在年利率为5%，且按年计复利的条件下，1万元存款连本带利超过5万元需要_____年．()1.05log 532.98≈【答案】33【分析】设需要年，则，由对数函数的性质解不等式即可. x 1(15)5x ⋅+>％【详解】设需要年，则，所以， x 1(15)5x ⋅+>％ 1.05log 532.98x >≈故需要33年． 故答案为：334．已知，，用a 及b 表示______． 7log 3a =72b =7log 72=【答案】23a b +【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解．72b =7log 2b =【详解】因为，所以，所以．72b =7log 2b =()237777log 72log 322log 33log 223a b =⨯=+=+故答案为：． 23a b +5．若幂函数（m 为整数）的定义域为，则______．221m m y x -++=R m =【答案】，，012【分析】利用幂函数的单调性可以得出，求解即可得到答案. 2210m m -++>【详解】因为的定义域为221mm y x -++=R 所以， 2210m m -++>解得，11m <<又为整数， m 所以． 0,1,2m =故答案为：，，.0126．不等式的解集是______．22log 2xx +>【答案】(1,)+∞【分析】构造函数，根据函数的单调性即可求出解集. 【详解】令，显然为严格增函数， 2()2log x f x x =+()f x 又， (1)2f =故解集为． (1,)+∞故答案为：(1,)+∞7．用集合符号填空：______ Q ．{},,Q a a x x y =∈【答案】【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 0y =0y ≠【详解】当时，， 0y={}{},,Q ,Q Q a a x x y a a x x =∈==∈=当时,包含无理数， 0y≠{},,Q a a x x y =∈故 ，{},,Q a a x x y =∈Q 故答案为： .8．设为实数，函数是奇函数，则__．a ()(),02,01g x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪+⎩()g x =【答案】 221x ---【分析】根据可求，再由时可求解. ()00f =a 0x >()()g x f x =--【详解】因为是奇函数，所以，所以. ()f x ()020f a =+=2a =-当时，． 0x >220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭故答案为:. 221x ---9．实数a ，b 满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实222450a b a b ++-+=20ax bx c ++<数c 的取值范围是______． 【答案】{|1}c c <-【分析】先求出的值，再转化为对一切实数恒成立进行处理即可. ,a b 220x x c -->【详解】因为实数，满足， a b 222450a b a b ++-+=所以，得，， 22(1)(2)0a b ++-=1a =-2b =因为不等式的解为一切实数为真命题，20ax bx c ++<所以对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立， 220x x c -++<220x x c -->所以△，解得， 2(2)40c =-+<1c <-所以实数的取值范围为． c {|1}c c <-故答案为：{|1}c c <-10．已知是定义在上的函数且图像关于y 轴对称，在区间上是严格()2y f x =+R ()y f x =[)2,+∞增函数，则不等式的解集为______．()()3112xf f -+<【答案】(,1)-∞【分析】由题意可知的图像关于对称，且在上严格递减，在上是严格()y f x =2x =(,2)-∞[)2,+∞递增，所以与对称轴距离小的函数值小，依题意列出不等式求解.【详解】因为的图像关于轴对称，所以的图像关于对称， ()2y f x =+y ()y f x =2x =又在区间上是严格增函数， ()y f x =[)2,+∞所以在上严格递减，()y f x =(,2)-∞由得，1(31)(12)x f f +-+<1312122x +-<+--所以，解得，所以原不等式的解集为． 13110x +<+1x <(,1)-∞故答案为：(,1)-∞11．设函数满足：对任意的非零实数x ，均有．则在区间()y f x =()()()214f f x xf x=+-()y f x =上的最大值为______．(),0∞-【答案】4-【分析】原式当中代入，可解出，，从而写出表达式，结合基本不等式可1,2x x ==(1)f (2)f ()f x求出最大值.【详解】因为对任意非零实数，均有， x (2)()(1)4f f x f x x=+-所以，解得， (2)(1)(1)41f f f =+-(2)4f =所以，解得， (2)(2)2(1)42f f f =+-(1)3f =所以，()34444f x x x=+-≤-=-当且仅当时，即43x x=x =即在上的最大值为． ()f x (),0∞-4--故答案为：4-12．给定实数集合，，定义运算.设，A B {},,A B x x ab a b a A b B ⊗==++∈∈{}0,2,4,,18A =⋅⋅⋅，则中的所有元素之和为______.{}98,99,100B =A B ⊗【答案】29970【详解】由，(1)(1)1x a b =++-则可知所有元素之和为. (1319)30031029970+++⨯-⨯= 故答案为：29970.二、单选题13．设，“是偶数”是“n 是偶数”的（ ） Z n ∈2n A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件的判断即可选出答案. 【详解】是偶数等价于n 是偶数，故为充要条件， 2n 故选:C ．14．以下说法为真命题的个数是（ ）①当时，总有，则函数在区间上是严格增函数； 0x >()()0f x f >()y f x =[)0,∞+②当且时，总有，则是的最小值； n N ∈4n ¹()()4f n f >()4f ()()y f n n =∈N ③如果在区间上的图像是一段连续不断的曲线，如果，则函数()y f x =[],a b ()()0f a f b >在上没有零点．()y f x =(),a b A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】②可根据任意性可判断，①和③可根据举例来判断.【详解】对于①，当时， ，但不满足0x >()3(3)3(3)(4)218(0)f x x x f f =---≥=->-=()f x 在上单调递增，故①错误；[0,)+∞对于②，对任意且时，总有，才能得是的最小值；n N ∈4n ¹()()4f n f >()4f ()()y f n n =∈N 故②错误；对于③，,则满足，但，故在上()2y f x x ==()()11,11,f f =-=()()110f f ->()00f =()f x ()1,1-有零点，故③错误. 故选：A.15．函数的图象大致为（ ）222()1x xf x x --=-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项. 【详解】由得的定义域为，210x -¹()f x {}|1x x ≠±因为，所以函数为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----()f x 虚线的方程为，则当时，，排除C ，所以B 选项符合. 1x =±2x =5(2)04f =>故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.16．设函数的定义域为R ，满足，且当时，.若对任意()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-，都有，则m 的取值范围是(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-A ．B ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】时，，，，即右移1个单位，(0,1]x ∈ ()=(1)f x x x -(+1)= ()f x 2f x ()2(1)f x f x ∴=-()f x 图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：23x <≤()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---84(2)(3)9x x --=-，（舍），时，成2945560x x -+=1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(,]x m ∴∈-∞8()9f x ≥-立，即，，故选B ．73m ≤7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎝⎦【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．三、解答题17．已知全集为，集合，．R {A x y =={}11B x x m =-<<+(1)若，求，； 4m =A B ⋃A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围．B A ⊆【答案】(1)， [2,5)A B =-U (4,5)A B =I (2) (,3]-∞【分析】（1）求解集合，依据交集、并集、补集的定义逐一计算即可； A （2）讨论和两种情况下的范围，取并集得出结果. B =∅B ≠∅m【详解】（1）集合， {|{|24}A x y x x ===-≤≤当时，．4m =15{|}B x x =<<-所以，或，． [2,5)A B =-U {|2A x x =<-4}x >(4,5)A B =I （2）因为，B A ⊆当时，，成立；B =∅2m ≤-B A ⊆当时，，，解得：， B ≠∅2m >-114m -<+≤23m -<≤综上，，所以实数的取值范围是． 3m ≤m (,3]-∞18．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，求： （1）3x+4y 的最小值； （2）求xy 的最小值．【答案】（1）3x+4y 的最小值为5．（2）xy 的最小值为．【详解】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出． （2）正数x ，y 满足x+3y=5xy ，利用基本不等式的性质即可得出． 解：（1）∵正数x ，y 满足x+3y=5xy ，∴． 135y x+=∴ 1131312134(34)((13(135555x y x y x y y x y x +=++=++≥+=∴当x=1时，f （x ）取得最小值，f （1）=3+2=5． ∴3x+4y 的最小值为1． 当且仅当x=1，y=时取等号． ∴3x+4y 的最小值为5．（2）∵正数x ，y 满足x+3y=5xy ， ∴5xy≥，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy 的最小值为．【解析】基本不等式．19．某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与P Q 投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模x P ax b =+型为．（为参数，且）. Q b ax α=+,,a b α0a ≠x 20 40 60 80P33363942（1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数x 模型（2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于30075万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总m y 利润最大？并求出最大总利润．【答案】（1）；（2）当甲产品投入万元，乙产品投入330,020P x x =+≥400Q x =+≥200100万元时，总利润最大为万元130【分析】（1）根据题意,将数据分别代入甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模x 型中,解方程组,即可求出函数表达式.（2）根据题意,设对乙种产品投资,对甲种产品投资,代入两个利润公式,利用换元法求出m ()300m -函数的值域,然后求最大值即可.【详解】解：（1）由甲的数据表结合模型代入两点可得P ax b =+()20,33()40,36代入有 20334036a b a b +=⎧⎨+=⎩得, 320a =30b =即 330,020P x x =+≥由乙的数据图结合模型代入三个点可得,,可得Q b ax α=+()0,40()36,58()100,70, 040365810070b b a b a αα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得,, 3a =40b =12α=即400Q x =+≥（2）根据题意,对乙种产品投资（万元）,对甲种产品投资（万元）, m ()300m -那么总利润, ()3300304020y m =-+++311520m =-++由,解得, 7530075m m ≥⎧⎨-≥⎩75225m ≤≤所以, 311520y m =-+令,故, t =[]75,225m ∈t ⎡⎤∈⎣⎦则, 23311520y t t =-++()231013020t =--+所以当时,即时,,10t =100x =max 130y =答：当甲产品投入万元,乙产品投入万元时,总利润最大为万元200100130【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的应用,利用函数模型求出解析式,根据换元法换成二次函数求极值.20．已知函数．()2log g x x =(1)若关于x 的方程有两个不等根，，求的值； ()g x n =α()βαβ<αβ(2)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； R m ∈()()f x g x m =+()y f x =(3)是否存在实数，使得对任意，关于x 的方程在区间()2,4a ∈[]1,2p ∈()()244gx ag x -+31a p -=上总有3个不等根，，，若存在，求出实数a 与的取值范围；若不存在，说1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x ⋅⋅明理由．【答案】(1)1αβ=(2)非奇非偶函数，理由见解析(3)存在，实数的取值范围为，的范围为a 1411(,]53123x x x 12311[,)84x x x ∈【分析】（1）化简函数，建立方程直接运算即可 （2）根据奇偶函数的定义判断即可（3）利用换元法将方程转化为二次函数问题，再根据根的情况列出不等式组求解【详解】（1）， ()222log ,01log log ,1x x g x x x x -<<⎧==⎨≥⎩因为关于的方程有两个不等的实数根、，x ()g x n =αβ()αβ<所以，，所以，即， 2log n α-=2log n β=22log log αβ-=222log log log 0αβαβ+==所以；1αβ=（2），()()2|log ()|f x g x m x m =+=+由得，显然定义域不关于原点对称， 0x m +>x m >-故是非奇非偶函数；()f x （3）因为在上严格减，在上严格增，2()|log |g x x =1[,1]8[1,4]又，，，1(38g =(1)0g =(4)2g =令，则当时，方程有两个不等实数根， ()t g x =(0,2]t ∈()t g x =由（1）得两个根之积为1，当时，方程有且仅有一个根且此根在区间内或1，(2,3]{0}t ∈ ()t g x =11[,)84令，2()4431h t t at a =-+-所以原题目等价于，对任意，关于的方程在区间上总 [1,2]p ∈t ()h t p =[0,3]有2个不等根，且有两个不等根，只有一个根，1212,()t t t t <1()t g x =2()t g x =则必有，则，解得，12023t t <≤<≤()()()03122155133592h a h a h a ⎧=->⎪=-<⎨⎪=-≥⎩141153a <≤此时，则其根，所以，2()(2,3)t g x =∈11[,)84x ∈12311[,)84x x x ∈综上，实数的取值范围为，的范围为.a 1411(,]53123x x x 12311[,84x x x ∈21．已知函数、在数集D 上都有定义，对于任意的，，当时，()f x ()g x 1x 2x D ∈12x x >或成立，则称是在数集D 上()()()()121212f x f x g x g x x x -≤≤-()()()()122112f x f x g x g x x x -≤≤-()g x ()f x 的限定函数．(1)试判断函数是否是函数在上的限定函数； ()21g x x =-()1f x x=()0,D =+∞(2)设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数()g x ()f x ()11D D D ⊆()g x 1D ()f x 在区间上是严格减函数；1D (3)设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求()2f x x =()f x ()0,D =+∞在上的单调区间，并说明理由．()f x ()0,D =+∞【答案】(1)是，证明见解析(2)证明见解析(3)函数在上的限定函数为，的严格增区间是，()f x ()0,D =+∞()2g x x =-()f x ⎫+∞⎪⎭()f x 的严格减区间是，理由见解析. ⎡⎢⎣【分析】（1）根据限制函数的定义，即可得出结论；（2）对任意的，上恒为负值，所以，，根据限制函数的定义，推出1x 21x D D ∈⊆1()0g x <2()0g x <，进而证出函数的单调性； 1212()()0f x f x x x -<-（3）设，通过化简得，得到120x x <<121212()()()f x f x x x x x-=+-，然后推出，由，可得增区间，由122112()()22f x f x x xx x -<<-()2g x x =()0g x >，可得减区间．()0g x <【详解】（1）解：对任意， 120x x <<因为，1212221212221111()()111f x f x x x x x x x x x x x ---<==-<---所以在上的限制函数为． ()f x (0,)D =+∞21()g x x =-（2）证明：对任意的上恒为负值，所以，，121,x x D D ∈⊆1()0g x <2()0g x <由于或成立， 121212()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-122112()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-所以，不妨设，则， 1212()()0f x f x x x -<-12x x <12()()f x f x >所以在上是严格减函数；()f x 1D （3）解：设，120x x <<则，221212121212()()()f x f x x x x x x x x x --==-+--，即，122112()()22f x f x x x x x --<<--()2g x x =由，解得， ()20g xx =->x <因而当，，严格减， x ∞⎫∈+⎪⎭()0g x <()f x 即的严格增区间是．()f x ⎫+∞⎪⎭当时，，严格增， x ⎛∈ ⎝()0g x >()f x 即的严格减区间是．()f x ⎡⎢⎣故函数在上的限定函数为，的严格增区间是，()f x ()0,D =+∞()2g x x =()f x ⎫+∞⎪⎭()f x 的严格减区间是. ⎡⎢⎣。
上海高一高中数学期末考试带答案解析
上海高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知幂函数的图象过点，则的值为__________．2.设、是非空集合，定义，，，则________________。
3.关于的不等式（a）的解集为_____________。
4.函数的反函数是_______________________。
5.已知集合，，那么命题“若实数，则”可以用集合语言表述为“”。
则命题的逆否命题可以用关于的集合语言表述为_______________________。
6.已知关于的方程有一个正根，则实数的取值范围是_________。
7.定义在上的奇函数也是减函数，且，则实数的取值范围为_____________。
8.若偶函数在单调递减，则满足的取值范围是____。
9.作为对数运算法则：（）是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：.那么，对于所有使（）成立的应满足函数表达式为．10.已知函数的图像与函数及其反函数的图像分别交于、两点，若，则实数为____________。
11.若函数无零点，则的取值范围为_____________。
12.求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递减，且，所以原方程有唯一解。
类比上述解题思路，方程的解集为____________。
二、选择题1.设和是两个集合，定义集合，如果，，那么（）A．B．C．D．2.已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3.已知函数的定义域为，只有一个子集，则（）A．B．C．D．4.已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三、解答题1.已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值。
2.已知集合，，其中，全集R。
（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。
上海市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则____________. {}13A x x =-<<{}0,2,4B =A B = 【答案】{}0,2【分析】根据集合交集的定义计算． 【详解】由已知． {0,2}A B ⋂=故答案为：．{0,2}2．函数的定义域为_____ ()3()log 1f x x =-【答案】(,1)-∞【分析】由题意得，解出即可得答案.10x ->【详解】由题意得，解得，故定义域为. 10x ->1x <(,1)-∞故答案为：(,1)-∞3．若关于的不等式的解集为，则实数的值是_____ x 220x ax ++≤{}|12x x ≤≤a 【答案】3-【分析】由条件可得方程的两根为，然后根据韦达定理可得答案. 220x ax ++=1,2【详解】因为不等式的解集为， 220x ax ++≤{}|12x x ≤≤所以方程的两根为， 220x ax ++=1,2由韦达定理得，所以. 12a +=-3a =-故答案为：3-4．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____()21f x x ax =-+[)1,+∞a 【答案】2a ≤【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. a 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ()f x 2a x =因为在区间上是增函数，则，解得. ()f x [)1,+∞12a≤2a ≤故答案为：.2a ≤5．已知函数的图像过点，则_____()()101xf x a a a =->≠且()2,8(1)f =【答案】2【分析】根据条件求出的值即可.a 【详解】由题意得，所以，所以，所以.2(2)18f a =-=3a =()31x f x =-(1)2f =故答案为：26．已知，则“”是“”的_____条件.（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，x ∈R 50x -≤203x x +<-“充要”，“非充分非必要”） 【答案】必要非充分【分析】求出分式不等式的解集后即可得到答案. 【详解】的解集为，根据，故为必要非充分条件. 203x x +<-()2,3x ∈-()(]2,3,5x x ∈-⇒∈-∞故答案为：必要非充分 7．已知，则的值等于_____（用表示）.23a=4log 6a 【答案】12a+【分析】由指数式与对数式的互化，结合对数的运算求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 23a=2log 3a =()42211log 6log 2log 322a+=+=故答案为：12a+8．函数的最大值是_____()212log 46y x x =-+【答案】1-【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案.【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大246x x -+()212log 46y x x =-+值，所以当时，. 2x =max 1y =-故答案为：1-9．已知，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是____,R m n ∈()2f x x m =-+()2,n n ()f x m n +【答案】1-【分析】根据偶函数的知识解出的值即可.,m n 【详解】由题意得，所以. 20001m m n n n ==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩1m n +=-故答案为：1-10．已知，则的最小值为________________ 21x y +=24x y +【答案】【详解】，则，等号成立，21x y += 1222422x y y y -+=+≥=12222y y -=所以的最小值为故答案为24x y +【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. ≥≤11．已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值()223()mm f x x m Z --=∈y x y m 构成的集合是__________． 【答案】{}1,1,3-【分析】根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可. 【详解】由幂函数与轴及轴均无交点， ()f x x y 得， 2230m m -≤-解得，13m -≤≤又，即， m Z ∈{}1,0,1,2,3m ∈-的图像关于轴对称，()223()mm f x x m Z --=∈y 即函数为偶函数，故为偶数， 223m m --所以， {}1,1,3m ∈-故答案为：.{}1,1,3-12．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，()f x R 12,R x x ∈1212()()(22x x f x f x f ++=则称函数具有性质，那么下列函数： ()f x P ①；②；③；10()0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩2()f x x =2()1f x x =-具有性质的函数为_____（填写所以正确答案的序号）P 【答案】①③【分析】对于①取验证；对于②直接代入化简求值； 121,1x x =-=对于③取. 12x x ==【详解】①当时，得 121,1x x =-=()12(002x x f f +==，，则成立；12()()(1)(1)110222f x f x f f +-+-+===1212()()()22x x f x f x f ++=②假设成立，则， ()()22122221212121212(()()(2222222f x f x x x x x x x x x x x f +++⋅+==++==此时矛盾，故不成立； 120x x ==③当时， 12x x ==()12(012x x f f +==，，则成立. 12()()11122f x f x ++===1212()()()22x x f x f x f ++=故具有性质的函数为①③. P 故答案为：①③.二、单选题13．下列函数中，是奇函数又是严格增函数的为（ ） A ． B ．C ．D ．1y x =+13y x =1y x=3y x =-【答案】B【分析】逐一分析每个函数的性质，利用排除法选出答案.【详解】A 选项，记，，不是奇函数，A 选项错误； ()1y f x x ==+()()112f x f x x x -+=-+++=B 选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，B 选项正确； 13y x =C 选项，在上递减，不符题意，C 选项错误；1y x=()(),0,0,-∞+∞D 选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，故是严格递减的奇函数，D 选项错3y x =3y x =-误. 故选：B14．如果，那么下列不等式中错误的是 0a b <<A ． BC ．D ．a cbc +<+22ac bc <11a b>【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解.【详解】对于选项A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B,因为，所以该选项正确； 0a b <<<对于选项C,当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D, 所以，所以该选项正确.110,b aa b ab--=>11a b >故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．函数（且）在R 上单调递减，则实数的取值范围是（ ）(),03,0x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩0a >1a ≠a A ． B ．C ．D ．(1,)+∞(0,1)1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】根据函数单调递减，得到每段都单调递减，并注意分界点左右的函数值大小，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数（且）在R 上单调递减，(),03,0x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩0a >1a ≠所以，解得，00130a a a <<⎧⎨≥-⎩103a <≤即实数的取值范围是.a 10,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：D.16．对于函数，有以下3个命题： 21()21xf x a x =-++（1）对于任意的实数为偶函数；（2）存在实数，使得有两个零点；（3）的(),a f x a ()f x ()f x 最小值为.a 其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断（1），举例可判断（2），求出的单调性可判断（3）. ()f x 【详解】因为的定义域为，，故（1）成()f x R ()2211()22()11xxf x a a f x x x --=-+=-+=+-+立；当时，，由（1）得， 312a x =-=，1213(1)20112f =--=+(1)0f -=因为在上单调递增，在上单调递增， 2x y =()0+∞，21y x =+()0+∞，所以在上单调递增， 213()212xf x x =--+()0+∞，因为是偶函数，所以在上单调递减， ()f x 213()212xf x x =--+()0-∞，所以恰有两个零点，()f x 1±故存在实数，使得有两个零点，所以（2）成立；a ()f x 当时，， ()0x ∈+∞，21()21x f x a x =-++因为在上单调递增，在上单调递增， 2x y =()0+∞，21y x =+()0+∞，所以在上单调递增， 21()21xf x a x =-++()0+∞，因为是偶函数，所以在上单调递减， ()f x 21()21xf x a x =-++()0-∞，所以，所以（3）成立， ()()0f x f a ≥=故选：D.三、解答题17．已知集合. {}{}|12,|3A x x B x x m =-≥=-<(1)若，求；2m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围. A B = R m 【答案】(1) [)3,5(2) []0,2【分析】（1）分别先求出集合，直接根据交集的运算求解； ,A B （2）根据集合的结果，结合，利用并集的结果求参数范围.,A B A B = R 【详解】（1），； {}(][)|12,13,A x x =-≥=-∞-+∞ {}()|33,3B x x m m m =-<=-+时，，故2m =()1,5B =-[)3,5A B ⋂=（2）由于，故，解得，所以实数的取值范围为.A B = R 3133m m -≤-⎧⎨+≥⎩02m ≤≤m []0,218．已知是定义域为的奇函数，且当，（其中为常数，且()f x R 0x >()()log 1a f x x =+a 0a >）.1a ≠(1)求的值； ()()11f f +-(2)求函数的解析式. ()f x 【答案】(1)0(2)()()()log 1000log 10a a x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩，，，【分析】（1）函数在处有定义，利用奇函数性质求解即可；1x =（2）根据对称性，设，利用正数区间上函数的解析式和求解即可. 0x <()()f x f x =--【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即. ()f x R ()()11f f -=-()()011f f +-=（2）设，则，所以， 0x <0x ->()()()log 1a f x f x x =--=--所以的解析式为 ()f x ()()()log 1000log 10a a x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩，，，19．已知函数()()2210f x x x x=-+>(1)判断函数的单调性，并证明； (2)用函数观点解不等式：. ()0f x >【答案】(1)增函数，证明见解析； (2). (1,)+∞【分析】（1）根据函数单调性的定义即得；（2）由题可得，结合函数的单调性即得. ()()1f x f >【详解】（1）任取，则 120x x << ()()222121212211f x f x x x x x -=-+-+-，()2121212x x x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为，120x x <<所以， 21212120,0x x x x x x ->++>所以，即，()()210f x f x ->()()12f x f x <所以在区间上是严格增函数；()221f x x x=-+()0,∞+（2）由（1）得在区间上是严格增函数，且，()221f x x x=-+()0,∞+()10f =所以由，可得， ()()01f x f >=1x >所以的解集为.()0f x >(1,)+∞20．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，x ()p x ;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通()21502p x x x =+()64001011860p x x x=+-过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1) 2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y 关于产量x 的不同对应关系即可求解.(2) 分别x 求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；060x <<2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时，. 60x ≥6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，；2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，， 060x <<()2211504005085022y x x x =-+-=--+当时，y 取得最大值，最大值为850万元；50x =当时，， 60x≥6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时，即时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 6400x x=80x =综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元. 21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足()y f x =[,]a b 00()x a x b <<，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.0()()()f b f a f x b a-=-()y f x =[,]a b 0x （1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； 4()f x x =[1,1]-（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；()21x g x m =⋅-[0,1]m （3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数2()4(1,)h x kx x k k N =+-≥∈[2,](1,)t t t N -≥∈1的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.()h x (,)k t 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）.(1,)+∞(4,2)【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结()00f x =0x 果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，001x <<()002143x xm ⋅-=-结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. ()()121f k t =-+43t k=-【详解】（1）由“平均值函数”的定义， 存在，满足，0(1,1)∈-(1)(1)(0)01(1)f f f --==--因此是区间上的“平均值函数”.4()f x x =[1,1]-（2）若函数是区间上的“平均值函数”，()21x g x m =⋅-[0,1]则存在，满足，(0,1)x ∈(1)(0)2110xg g m m -⋅-==-即关于的方程在区间内有解. x 21x m m ⋅-=(0,1)参变分离，将方程转化为， 1,(0,1)21xm x =∈-函数的值域为， 1,(0,1)21xy x =∈-(1,)+∞因此.(1,)m ∈+∞（3）若函数是区间上的“平均 2()4(1,)h x kx x k k =+-≥∈N [2,](1,)t t t -∈N ＞值函数”，且是函数的一个均值点，1()h x则，()(2)(1)(2)h t h h t --=--即，24(46)3(2)12kt t k k k t t +----==-++得到，其中，43k t=-1,,1,k k t t ≥∈∈N N ＞满足条件的解为，42k t =⎧⎨=⎩即所有满足条件的有序数对为. (,)k t (4,2)【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等()00x a x b <<()0()()f b f a f x b a-=-0x 式，化为常见函数，进行求解.。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．函数的定义域是______.()32lg 53y x x =+-【答案】50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】，()()32lg 53lg 53y x x x =+-=-所以，解得，0530x x ≥⎧⎨->⎩503x ≤<所以函数的定义域为.50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．函数的图象的对称中心是________． 3(1)2y x =-+【答案】()1,2【详解】的图象的对称中心是，将的图象向上平移 个单位，再向右平3y x =()0,03y x =2移 个单位，1即得的图象，所以对称中心为．()312y x =-+()1,23．函数的单调增区间是______. 55x y x =+【答案】(),-∞+∞【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】在上递增，在上递增， 5y x =R 5x y =R 所以函数的单调增区间是. 55x y x =+(),-∞+∞故答案为：(),-∞+∞4．函数的反函数为______.()2230y x x x =-+≤【答案】13)y x =≥【分析】根据函数解析式确定，配方后求得，根据反函数定义即可确定函3y ≥13)x y =≥数的反函数.【详解】由题意可得在上递减，故，2223(1)2y x x x =-+=-+(,0]-∞3y ≥则，13)x y =≥故函数的反函数为，()2230y x x x =-+≤13)y x =≥故答案为： 13)y x =≥5．若，则_________.sin cos 2sin cos θθθθ+=-sin cos θθ⋅=【答案】310【解析】由条件可得，然后，可算出答案.tan 3θ=222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ⋅⋅==++【详解】因为，所以，所以sin cos 2sin cos θθθθ+=-tan 12tan 1θθ+=-tan 3θ=所以222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110θθθθθθθθ⋅⋅====+++故答案为：3106．已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式()y f x =[]22-,()11f =-的解集是______.()21f x -≤【答案】[]1,4【分析】根据函数的奇偶性得到，从而得到，再根据定义域和单()()111f f -=-=()()21f x f -≤-调性列出不等式组，求出解集.【详解】因为是在定义域上的奇函数，， ()y f x =[]22-,()11f =-所以， ()()111f f -=-=故，()()211f x f -≤=-因为是在定义域上的严格减函数，()y f x =[]22-,所以，解得：，21222x x -≥-⎧⎨-≤-≤⎩14x ≤≤故答案为：[]1,47．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物1C θ 0C θt 体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大C θ ()010e ktθθθθ-=+-k 于0的常数，.现有的物体，放在的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是，则80C 20C o 60C______分钟后温度首次低于（保留到整数部分）. 40C o 【答案】11【分析】代入数据计算得到，再次带入数据得到，根据，得42e 3k-=21381t ⎛⎫< ⎪⎝⎭1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭到答案.【详解】根据题意：，解得； ()460208020ek-=+-⋅42e3k-=，即，即，即，()40208020ekt->+-⋅1e3kt-<()44421e 33ttk -⎛⎫=< ⎪⎝⎭21381t⎛⎫< ⎪⎝⎭，，故.1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭11t =故答案为：118．已知正数、满足，且，则________. a b 4a b =2log 3a b +=a b +=【答案】或45【分析】由，得出，由得出解出的值，进4a b =log 42log 2b b a ==2log 3a b +=22log 2log 3b b +=b 而得出的值，从而得出的值.a ab +【详解】，，由得出， 4a b =Q log 42log 2b b a ∴==2log 3a b +=22log 2log 3b b +=由换底公式可得，，可得或. 21log 2log b b=222log 3log b b ∴+=2log 1b =2log 2b =①当时，，此时，，则； 2log 1b =2b =22log 22a ==4a b +=②当时，，此时，，则. 2log 2b =4b =4log 41a ==5a b +=因此， 或，故答案为或.4a b +=545【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9．设为平面上一定点，为动点，则当由0变化到时，线段()2,0A ππsin 2,cos 233P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t π4扫过的面积是______.AP 【答案】π142-【分析】由题意点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可. 【详解】由可知，点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，22ππsin 2cos 2133t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，，点P 运动到，则，10,()2t P =π4t =1(2Q π2POQ ∠=扇形面积为,POQ 1ππ1144⨯⨯⨯=而， 11222AOQ Q S OA h =⋅=⨯=A ,111122222AOP P S OA h =⋅=⨯⨯=A 故线段扫过的面积为, AP π142故答案为：. π142+10．已知，函数，若函数的值域为，则的值为R λ∈()2221,01,0 1x x x f x x x x λλ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪+⎩()y f x =[)3,∞-+λ______. 【答案】2【分析】考虑，，三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到0λ>0λ=0λ<和，分别计算，再验证得到答案.()2min 1f x λ=-()1,12f x λ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭【详解】当时，时，，0λ>0x ≥()()222211f x x x x λλλ=-+=-+-，()()2min 1f x f λλ==-当时，，0x <()21111xf x x x xλλ=+=+++在上单调递增，在上单调递减，故，1y x x=+(),1-∞-()1,0-(]1,2y x x =+∈-∞-故， ()11,112f x x xλλ⎡⎫=+∈-+⎪⎢⎣⎭+当时，，此时满足值域. 213λ-=-2λ=当时，，此时，不满足，故.132λ-+=-8λ=21633λ-=-<-2λ=当时，时，，当时，，不满足；0λ=0x ≥()211f x x =+≥0x <()1f x =当时，时，，单调递增，，0λ<0x ≥()221f x x x λ=-+()()min 01f x f ==当时，，不成立；0x <()2111xf x x λ=+>+综上所述： 2λ=故答案为：211．设，，是实数，.若，则的值为______θx y 0xy ≠442222cos sin 1x y x y θθ+=+2024202420222022cos sin x y θθ+（用，表示）x y 【答案】()1011221xy +【分析】确定，展开利用均值不等式计算得到，结()442222cos sin 1x y x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2222cos sin y x θθ=合得到，代入计算得到答案. 22cos sin 1θθ+=22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩【详解】，即， 442222cos sin 1x y x y θθ+=+()442222cos sin 1x y xy θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即， 24244422cos sin cos sin 1y x x y θθθθ+++=而2424444422cos sin cos sin cos sin y x x y θθθθθθ+++≥++，()2442222cos sin 2cos sin cos sin 1θθθθθθ=++=+=当且仅当，即时等号成立， 242422cos sin y x x y θθ=2222cos sin y x θθ=又，解得， 222222cos sin cos sin 1y x θθθθ⎧=⎨+=⎩22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩()()()2024202420242024221012101210122022202220222220222222cos sin y y y x x y x y x x x y x y θθ++=+=+++.()1011221x y =+故答案为：()1011221x y +12．设表示，中的较小数.若函数至少有3个零{}min ,A B A B (){}2min 2,23f x x x ax a =--+-点，则实数的取值范围是______. a 【答案】[6,)+∞【分析】设，，根据函数的图象得出或.然后根据2()23g x x ax a =-+-()2h x x =-()h x 6a ≥2a ≤的取值讨论即可求解.a 【详解】设，， 2()23g x x ax a =-+-()2h x x =-由可得：.20x -=2x =±要使函数至少有3个零点，则函数至少有1个零点，则(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-()g x ，解得：或.24(23)0a a ∆=--≥6a ≥2a ≤(1)当时，，作出函数的图象如下图所示：2a =2()21g x x x =-+(),()g x h x此时函数只有两个零点，不满足题意；()f x (2)当时，设函数的两个零点分别为，2a <()g x 1212,()x x x x <要使得函数至少有3个零点，则，(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-22x ≤-所以，解得：；22(2)410ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≥⎩a ∈∅(3)当时，，作出函数的图象如下图所示：6a =2()69g x x x =-+(),()g x h x由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；()f x (4)当时，设函数的两个零点分别为，6a >()g x 3434,()x x x x <要使得函数至少有3个零点，则，(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-32x >所以，解得：，此时，()2224310a g ⎧>⎪⎨⎪=-=>⎩2a >6a >综上所述，实数的取值范围是， a [6,)+∞故答案为：.[6,)+∞二、单选题13．若，，则角的终边位于（ ）πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()sin 2π0θ->θA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】根据题意和诱导公式可得：且，利用任意角三角函数的定义即可求解. cos 0θ>sin 0θ<【详解】因为，，由诱导公式可得：，，根据任意角πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()sin 2π0θ->cos 0θ>sin 0θ<三角函数的定义可知：角位于第四象限， θ故选：.D 14．已知函数，则（ ） ()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x A ．是奇函数，且在上是增函数 (1,)+∞B ．是奇函数，且在上是减函数 (1,)+∞C ．是偶函数，且在上是增函数 (1,)+∞D ．是偶函数，且在上是减函数 (1,)+∞【答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++ ，()f x =是偶函数；()f x \当时，，1x >()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-设，则在上单增，()21t x x =-()t x (1,)+∞又为增函数，所以在上单增，()lg f t t =()2()lg 1f x x =-(1,)+∞是偶函数，且在上是增函数.()f x \(1,)+∞故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()f x f x -=±（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（ 为偶函数，()()0f x f x -±=()()1f x f x -=±1 为奇函数）.1-15．若都是实数，且，，则与的大小关系是 ,,,a b t x 1,0a b t <x a a t =+x b b t +A ． B ．C ．D ．不能确定x b b t >+x b b t =+x b b t <+【答案】A【详解】构造函数f (m )=mx ，g (m )=m +t .∵a ＞1，t ＞0，ax =a +t ＞a ＞1， ∴x ＞1.在同一坐标系内作出两函数图象.∵ax =a +t ，即两图象交点的横坐标为a . 若b ＞a ＞1，则f (b )＞g (b )，即bx ＞b +t . 本题选择A 选项.16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：3()13xxf x =+i x 1,2,3i =1230x x x ++=①若，则；1230x x x ⋅⋅>1233()()()2f x f x f x ++<②若，则． 1230x x x ⋅⋅<1233()()()2f x f x f x ++>其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设()1()2g x f x =-()g x ，结合，利用直线的方程得到，1230,0,0x x x <<>1212(,())A x x f x x ++OA ()()1212()g x g x g x x +<+进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点()()123()0g x g x g x ++<1230,0,0x x x <>>，利用直线的方程得到，进而得到2323(,())B x x f x x ++OB ()()2323()g x g x g x x +>+，可判定②正确.()()123()0g x g x g x ++>【详解】令函数，()()()13131112132213213x x x x x g x f x -=-=-==-+++可得函数为单调递增函数，()g x 又由，即， 3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--()()g x g x -=-所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示， ()g x (0,0)①中，因为，且，则，1230x x x ++=1230x x x ⋅⋅>312()x x x =-+不妨设，1230,0,0x x x <<>则点，此时直线的方程为，1212(,())A x x f x x ++OA 1212()f x x y x x x +=+可得，()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++则，()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++可得，()()1212()0g x g x g x x +-+<又由，所以，()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+()()123()0g x g x g x ++<即，即，所以①正确；()()123111()0222f x f x f x -+-+-<1233()()()2f x f x f x ++<②中，若，不妨设，则， 1230x x x ⋅⋅<1230x x x ⋅⋅>123()x x x =-+不妨设，1230,0,0x x x <>>则点，此时直线的方程为，2323(,())B x x f x x ++OB 2323()f x x y x x x +=+可得，()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++则，()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++可得，()()2323()0g x g x g x x +-+>又由，所以， ()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+()()123()0g x g x g x ++>即，即，()()123111()0222f x f x f x -+-+->1233()()()2f x f x f x ++>所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点()1()2g x f x =-()g x 和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答1212(,())A x x f x x ++2323(,())B x x f x x ++OA OB 的关键.三、解答题17．已知、是关于的方程的两个根.sin θcos θx ()20R x ax a a -+=∈(1)求实数的值，a (2)求的值. 221cos sin cos sin cos 1tan θθθθθθ-++--【答案】(1) 1a =(2)1-【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； 240a a ∆=-≥222sin cos 21a a θθ+=-=（2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可.sin cos θθ+【详解】（1）、是关于的方程的两个根，sin θcos θx ()20R x ax a a -+=∈，解得或，则，， 240a a ∆=-≥4a ≥0a ≤sin cos a θθ+=sin cos a θθ=， ()2222sin cos sin cos 2sin cos 21a a θθθθθθ+=+-=-=解得（舍），故1a =1a =1a =（2） ()222222sin cos cos 1cos sin cos sin cos 1tan sin cos si o i s n n s c θθθθθθθθθθθθθθ+-++=----- ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos sin co s n s i cos θθθθθθθθθθθθ-+=-=---.sin cos 1a θθ=+==18．设.()()22log 1f x x a x =-+-(1)判断函数的奇偶性； ()y f x =(2)若，求证：函数在内有且仅有一个零点. 12a =()y f x =()1,+∞【答案】(1)，为偶函数；时，为非奇非偶函数 0a =()f x 0a ≠()f x (2)证明见解析【分析】（1）考虑和两种情况，根据函数奇偶性的定义，计算和的关系，得0a =0a ≠()f x ()f x -到答案.（2）根据复合函数奇偶性确定函数单调递增，计算，，根据零点存在定理得0f >0f <到证明.【详解】（1）当时，，定义域关于原点对称，0a =()()22log 1f x x x =+-，函数为偶函数；()()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x -=-+--=+-=当时，，0a ≠()()22log 1f x x a x =-+-，()()()()2222log 1log 1f x x a x x a x -=--+--=++-，且，函数为非奇非偶函数；()()f x f x ≠-()()f x f x ≠--综上所述：，为偶函数；时，为非奇非偶函数. 0a =()f x 0a ≠()f x （2），当时，， ()()221log 12f x x x =-+-1x >()()221log 12f x x x =-+-为增函数，在上为增函数，在上为增函数.12y x =-21y x =-()1,+∞2log y x =()0,∞+故函数在上为增函数，()()221log 12f x x x =-+-()1,+∞，， 110022f=+=>152022f =-=<故函数在上有零点，函数单调递增，故函数在内有且仅有一个零点()y f x =()1,+∞19．一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课p时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当t (]0,14t ∈[]14,40t ∈时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于()log 583(0a y t a =-+>1)a ≠p 80时听课效果最佳.(1)求的函数关系式；()p f t =(2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.【答案】(1) 213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)能，理由见详解【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数14,81（）求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.()log 583a y t =-+(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后80p ≥t 对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断. 【详解】（1）当时，设， (0,14]t ∈2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<将点(14,81)代入得，14c =-∴当时，；(0,14]t ∈21()(12)824p f t t ==--+当时，将点代入，得.[14,40]t ∈(14,81)log (5)83a y t =-+13a =所以 213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（（2）当时， ，(0,14]t ∈2112)82804t --+≥（解得:1212t -≤≤+所以； [12t ∈-当时，，[14,40]t ∈13log (5)8380t -+≥解得，所以， 532t <≤[14,32]t ∈综上时学生听课效果最佳. [12t ∈-此时. (32122022t =--=+>A 所以，教师能够合理安排时间讲完题目.故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.20．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称()y f x =A ()()()22x xf x x A -∈在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函()f x A P I ()y f x =()()g x f x =x I ∈数在上的限制.()y f x =I (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； ()y f x =[]3,3-P []3,3x ∈-()32f x >(2)设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有()y f x =[]3,3-P x ()()220f x m f x +⋅<[]3,3-解，求实数的取值范围；m (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具()y f x =[]1,1-P [)(]2,11,2-- 有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成P []22-,1x 2x 3x ()()()1234f x f x mf x ++>立，求实数的取值范围. m 【答案】(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可.()()22xxf x a -=()122xxf x =-+（2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值()22xx a f x =+1a =12k m k <-域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ 0m >，三种情况，分别计算综合得到答案.0m =0m <【详解】（1）设，则，函数为奇函数，故，()()22xxf x a -=()22xxa f x =+()010f a =+=，则，， 1a =-()122xx f x =-+()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-函数为奇函数，满足，，设，，解得或（舍） 13222x x -+>2xt =132t t -+>2t >21t <-即，解得，故 22x >1x >(]1,3x ∈（2）设，则，函数为偶函数，()()22xxf x a -=()22xxa f x =+故，故，， ()()1222222x x x x x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+1a =()122x x f x =+，即，()()220f x m f x +⋅<2211222022x x x x m ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭设，，则，函数在上单调递减，在上单调递122xx k +=[]3,3x ∈-12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1y x x =+1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭[]1,8增，故， 16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦， 2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，函数在上单调递减，22122k k m k k -<=-12k y k =-652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故，故.max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭12m <-（3）根据（1）（2）知：，()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x x x f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩当时，，设，则，， []1,1x ∈-()122x x f x =-+2x b =1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1y b b =-+函数单调递增，，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦时，，设，则，单调递增， (]1,2x ∈()122x x f x =+2xc=(]2,4c ∈1y c c=+故，函数在上的偶函数， 1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦[)(]2,11,2-- 故， ()15172,224xx f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，()()()1234f x f x mf x ++>当时，即，即，解得； 0m >()()min max 24f x mf x +>17344m -+>417m <当时，即，即，成立；0m =()min 240f x +>340-+>当时，即，即，解得；0m <()()min min 24f x mf x +>3342m -+>-23m >-综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 21．若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的[],a b ()y f x =M ，都有成立，则称12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.()y f x =M ()y f x =(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差()()311f x x x =--≤≤()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ðQ 函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； ()()414g x x x x=+≤≤(3)证明：函数是上的有界变差函数. ()2log 4xh x x x=+[]1,4【答案】(1)是有界变差函数, 不是有界变差函数； 3()f x x =-()D x (2)2； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; （3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; 【详解】（1）由在上递减，3()f x x =-[1,1]-令，则121...1n x x x -=≤≤≤=23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=， 121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=显然，存在，使任意的，都有2M ≥12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=成立，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤所以为一个有界变差函数；3()f x x =-对于，令，所得中有理数、无理数都有可能为无限()D x 120...1n x x x =≤≤≤=i x *(1,N )i n n ≤≤∈个，若以无理数、有理数成对依次出现时12,,...,n x x x 12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大， 所以不是一个有界变差函数.()D x （2）对任意的，11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==在上单调递减，所以，()g x []1,2()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥即()()()()()()12231...m m g x g x g x g x g x g x --+-++-，()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-在上单调递增，所以，()g x []2,4()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ 即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-，()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-，()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=所以，存在使成立， 2M ≥()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤则称为一个有界变差函数，的最小值2称为的全变差. ()y g x =M ()y g x =（3）由（2）知：在上是一个有界变差函数， ()g x []1,4令，则，而在上， 1()()p x g x =111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=[]1,4()54g x ≥≥所以，即，故111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑()p x 是有界变差函数；又在上递增且值域为[0,2]，任意，则2()log q x x =[]1,41214n x x x =≤≤≤= ，()()()12...n q x q x q x ≤≤≤所以，故存在使，则12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=2M ≥12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑是有界变差函数，()q x 令，则()()()h x q x p x =⋅11122|()()||()()()()|nni i i i i i i i h x h x q x p x q x p x ---==-=-∑∑，1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑由上可设且均为常数，故1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤,N L ，而、均为有界变差函数，111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑()p x ()q x 所以为有界变差函数. ()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.。
上海重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知，则______.（用表示）2log 3k =12log 9=k 【答案】 22k k+【分析】利用换底公式求解即可.【详解】因为， 2lg 3log 3lg 2k ==所以. 122lg 3lg 92lg 32lg 32lg 2log 9lg 3lg12lg 4lg 32lg 2lg 322lg 2k k=====++++故答案为： 22k k+2．函数的定义域为________.()ln(1)f x x =-【答案】.(1,2]【分析】使表达式有意义，直接解不等式组可得.【详解】由 得：，2010x x -≥⎧⎨->⎩12x <≤故答案为： (1,2]【点睛】此题考函数定义域的求法，属于简单题.3．已知函数（其中且）的图像恒过定点，则点的坐标是______.12x y a -=+0a >1a ≠P P 【答案】(1,3)【分析】令即可求出的横坐标，进而可求出的坐标.10x -=P P 【详解】令，此时，，此时，所以图象恒过.10x -=1x =101x a a -==()13f =()1,3P 故答案为: .(1,3)4．函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为231y x x=-+()01,2x ∈()1,20x ______. 【答案】 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据二分法的定义求解.【详解】设，则， 23()1f x x x =-+33(1)31130,(2)41022f f =-+=>=-+=-<取区间的中点为，， ()1,232393()210244f =-+=>所以可确定所在的区间为， 0x 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为: . 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．“”是“”的______条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充1a =222a x x +≥分也不必要”）【答案】充分不必要【分析】利用充分不必要判断即可【详解】当时，， 1a =222212a x x x x +=+≥=当且仅当时，取等号，所以充分性成立， 2211x x x =⇒=±由， 222a x x +≥=≥所以，故必要性不成立，1a ≥所以“”是“”的充分不必要条件， 1a =222a x x +≥故答案为：充分不必要6．已知幂函数的图像关于轴对称，则______. ()231m y m m x =--y m =【答案】2【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据函数图像关于轴对称求得的值.m y m 【详解】因为为幂函数， ()231m y m m x =--所以，221120m m m m --=⇒--=解得或，2m =1m =-当时，轴对称，符合题意.2m =23y x ==y当时，. 1m =-13y x -==所以的值为，m 2故答案为：2.7．若函数是定义在上的奇函数，则______. ()21x x x f x b =++[]12,a a -22a b +=【答案】1【分析】根据奇函数的性质得到和，再解方程即可. 120a a -+=2211x x x bx x bx -=--+++【详解】因为函数是定义在上的奇函数 ()21x x x f x b =++[]12,a a -所以，解得.120a a -+=1a =因为，()()f x f x -=-所以，解得. 2211x x x bx x bx -=--+++0b =所以.221a b +=故答案为：18．若是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________.()f x R 0x >()21-=+x f x 0x <()f x =【答案】##21x --12x --【分析】根据奇函数的定义进行求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，()f x R 所以当时，，0x <()()()2121x x f x f x =--=-+=--故答案为：21x --9．若函数，则实数取值范围是_________.()f x =[0,)+∞m 【答案】 1[0,2【解析】根据二次函数的图象和性质，当时，检验即可，当时，不成立，当 时，0m =0m <0m >利用判别式法求解.【详解】当时，，0m =()f x =[0,)+∞当 时，的值域不可能为，0m <()f x [0,)+∞当时， 解得， 0m >140m m ∆=-⨯⨯≥102m <≤综上：实数取值范围是， m 1[0,]2故答案为： 1[0,2【点睛】本题主要考查函数的值域以及二次函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为______. ()2,131,14x a x f x x x --⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩()1f ()f x a 【答案】()3,+∞【分析】由，求得的范围及最大值，再分析的单调性，讨论时函数1x ≥()f x ||()2x a f x -=1,1a a <≥在的范围建立不等式所求范围．()f x 1x <【详解】因为，()2,131,14x a x f x x x --⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩当时函数单调递减且， 1x ≥()314f x x =-+()14f x ≤由是函数的最大值，()1f ()f x 所以的最大值为， ()f x 14当时， 1x <()2112x a x a f ---⎛⎫⎪⎝⎭== 可得在时函数单调递减，在单调递增，x a >x a <若，，则，不符题意； 1a <1x <()11124a a f a -⎛⎫==> ⎪⎝⎭若，，则，即， 1a ≥1x <11(1)412a f -⎛⎫⎪⎝⎭=< 3a >综上可得的范围是．a ()3,+∞故答案为：()3,+∞11．若关于的不等式的解集为R ，则实数能取到的最小值为______.x 4433222x x a x x a +++--≥a 【答案】3 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出()43f x x =()2g x x a =+()(){}max ,1f x g x ≥，求出实数的最小值.21a -+≥a 【详解】设，，则不等式变为，()43f x x =()2g x x a =+()()()()2f x g x f x g x ++-≥若，则，()()f x g x ≥()()()()()22f x g x f x g x f x ++-=≥若，则，()()f x g x <()()()()()22f x g x g x f x g x ++-=≥即，，()(){}2max ,2f x g x ≥()(){}max ,1f x g x ≥作出的图象，实线部分即为，()(),f x g x ()(){}max ,f x g x 要想保证，只需最小值大于等于1，()(){}max ,1f x g x ≥由图可知：，故只需即可，即，解得：.()11f -=()11g -≥21a -+≥3a≥故答案为：312．已知函数，对于任意的，都存在，使得()322x f x =⋅+[]10,1x ∈[]20,1x ∈成立，则实数的取值范围为______. ()()123202f x f x m ++=m 【答案】 24log ,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据求出，进而得到，即，由[]10,1x ∈()[]15,8f x ∈()2810f x m ≤+≤[]23228,10x m +⨯+∈函数单调性得到，由题干条件得到21322322,322x m m m ++⎡⎤⨯+∈⨯+⨯+⎣⎦，列出不等式组，求出答案.[]18,10322,322m m +⎡⎤⊆⨯+⨯+⎣⎦【详解】，故，[]10,1x ∈()[][]132,3225,8f x ∈+⨯+=故，解得：， ()()[]123205,82f x f x m =-+∈()2810f x m ≤+≤即，[]23228,10x m +⨯+∈因为，所以， []20,1x ∈21322322,322x m m m ++⎡⎤⨯+∈⨯+⨯+⎣⎦要想保证对于任意的，都存在，使得成立， []10,1x ∈[]20,1x ∈()()123202f x f x m ++=需要满足， []18,10322,322m m +⎡⎤⊆⨯+⨯+⎣⎦所以，解得：， 1322832210m m +⎧⨯+≤⎨⨯+≥⎩214log 3m m ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩故. 24log ,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为： 24log ,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、单选题13．已知，，则下列不等式中正确的是（ ）a<01b <-A ．B ． 2a ab ab >>2ab ab a >>C ．D ．2ab a ab >>2ab ab a >>【答案】C【分析】利用不等式的性质求解.【详解】因为，所以所以，1b <-1,b >21b >所以，又因为，所以，21b b >>a<02ab a ab >>故选:C.14．函数的单调减区间为（ ） ()()20.5log 815f x x x =-+-A ．B ．C ．D ．(),4-∞()4,+∞()3,4()4,5【答案】C 【分析】令，求出原函数定义域后，分别讨论函数与2815t x x =-+-()0.5log f x t =2815t x x =-+-，的单调性，再通过复合函数同增异减得出答案.()3,5x ∈【详解】函数定义域为，()()20.5log 815f x x x =-+-()3,5x ∈令，，则，2815t x x =-+-()3,5x ∈()05.log f t t =函数在定义域上为单调减函数，()05.log f t t =函数，，在上单调递增，在上单调递减，2815t x x =-+-()3,5x ∈()3,4()4,5则函数在上单调递减，在上单调递增，()()20.5log 815f x x x =-+-()3,4()4,5故选：C.15．设，，且，则的最小值为（ ） x ()0,y ∈+∞41x y +=11x y+A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】因为， ()911511445y x x x y y y x y x ⎛⎫+=++ =++≥+⎪⎝⎭=当且仅当，即，即时取得等号， 4y x x y =2x y =11,36x y ==故选:D.16．已知下列五个命题：①若为减函数，则为增函数；②若为增函数，则函数()f x ()f x -()f x 在其定义域内为减函数；③函数，在区间上都是奇函数，则()()1g x f x =()f x ()g x [],a a -在区间是偶函数；④一条曲线和直线的公共点个数是，()()f x g x [],a a -22y x =-()y a a =∈R m 则的值不可能是1；⑤函数的图像关于直线对称.其中真命题个数的是（ ） m ()11f x x =-1x =A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】根据函数的单调性，奇偶性，对称性等性质分别对五个命题进行分析判断从而得出结论.【详解】①任设定义域内的两个变量 , 若为减函数，则, 所以 12,x x ()f x ()()12f x f x -<-()f x -为增函数, 所以①正确.②因为 在其定义域内要求分母不为零, 所以若为增函数, 设 , 因为 1()()g x f x =()f x ()f x x =, 根据分式函数的性质可知, 无意义, 所以②错误.(0)0f =(0)g ③若在区间 上都是奇函数, 则 , 所以(),()f x g x [,]a a -()(),()()f x f x g x g x -=--=-, 所以 在区间 是偶函数, 所以③正确.()()()()f x g x f x g x --=()()f x g x ⋅[,]a a -④函数的图像如图，和直线的公共点个数是，则的值可能为2，3，22y x =-()y a a =∈R m m 4，不可能是1，所以④正确.⑤函数,则有，，由于，()11f x x =-()10101f ==--()12121f ==-(0)(2)f f ¹则函数的图像不关于直线对称.所以⑤错误. ()11f x x =-1x =故正确的是①③④.故选：B.【点睛】本题考查的函数的单调性，奇偶性，对称性等性质以及函数的零点，注重数形结合，函数与方程思想，属于较难题.三、解答题17．已知全集，集合，.U =R {}|3381x A x =<<{}|323B x m x m =-<<+(1)若，求；0m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.A B B ⋃=m 【答案】(1){}|34A B x x ⋂=≤<(2) 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据集合的运算性质求解即可.（2）首先根据题意得到，再根据包含关系得到，解不等式组即可. A B ⊆23431m m +≥⎧⎨-≤⎩【详解】（1）当时，0m =，{}{}{}4|3381|333|14x x A x x x x =<<=<<=<<，或，{}3|3B x x =-<<{|3B x x =≤-}3x ≥则.{}|34A B x x ⋂=≤<（2）因为，，{}|14A x x =<<{}|323B x m x m =-<<+因为，所以，A B B ⋃=A B ⊆所以. 23414312m m m +≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩故的取值范围为. m 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知函数的表达式为. ()y f x =()22f x x x=+(1)用定义证明函数在上是严格增函数；()y f x =()1,+∞(2)设函数，，求的值域.()()21g x f x =+[]0,2x ∈()g x 【答案】(1)证明见解析(2) 1273,5⎡⎤⎢⎣⎦【分析】(1)根据函数单调性的定义证明；(2)根据函数的单调性求最值，即可求值域.【详解】（1）()1212,1,,,x x x x ∀∈+∞< ()22211212121212122()22()()()x x f x f x x x x x x x x x x x --=+--=+-+， 1212122()()x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦因为所以()1212,1,,,x x x x ∈+∞<1212120,2,1,x x x x x x -<+>>所以，所以， 1222x x <12122()0x x x x +->所以，所以， 1212122()()0x x x x x x ⎡⎤-+-<⎢⎥⎣⎦()12()f x f x <所以函数在上是严格增函数.()y f x =()1,+∞（2）设，因为，所以，21t x =+[]0,2x ∈[]1,5t ∈由(1)得单调递增， ()[]21,52,f t tt t +∈=所以，即， ()(1)(5)f f t f ≤≤()12735f t ≤≤所以的值域为. ()()21g x f x =+1273,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数，.()22f x x x m =-++m R ∈(1)当时，解不等式；1m =()4f x ≤(2)若存在实数，使得不等式，求实数的取值范围.0x ()0023x f x -+<m 【答案】(1)[]1,1-(2)91m -<< 【分析】（1）分类讨论求解不等式组即可得到答案.（2）首先将题意转化为存在实数，使得不等式有解，再利用绝对值三角不0x 002423x x m -++<等式求解即可.【详解】（1）由题知：，()221f x x x =-++， ()()111222214x x x x ⎧<-⎪⇒-≤<-⎨⎪---+≤⎩， ()()1211222214x x x x ⎧-≤<⎪⇒-≤≤⎨⎪--++≤⎩， 22214x x x ≥⎧⇒∅⎨-++≤⎩综上：所求不等式解集为.{|11}x x -≤≤（2）存在实数，使得不等式，0x ()0023x f x -+<即存在实数，使得不等式有解， 0x 002423x x m -++<因为时取等()()000000002424224224,4220x x m x x m x x m m x x m -++=-++≥-++=+-+≥号， 所以，解得，即.45m +<45m -5<+<91m -<<20．已知函数. ()1lg 1x f x x+=-(1)判断并证明的奇偶性；()f x (2)判断并证明的单调性：()f x (3)求解不等式.()()()lg 20f f x f +>【答案】(1)奇函数 (2)单调递增(3) 19,311⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)根据奇偶性的定义判断证明；(2)根据单调性的定义结合复合函数的单调性证明；(3)根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】（1）判断为奇函数，证明如下，()f x 令得解得， 101x x+>-(1)(1)0x x +->11x -<<所以的定义域为，()f x ()1,1-又因为， ()1111lg lg lg ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭所以为奇函数.()f x（2）判断为增函数，证明如下，()f x 因为， ()1(1)22lglg lg(1)111x x f x x x x +--+===----设， 2()11g x x=--，1212,(1,1),x x x x ∀∈-<， ()()121212122()22()()111111x x g x g x x x x x --=--+=----因为，所以，1212,(1,1),x x x x ∈-<121210,10,0x x x x ->->-<所以，即，12()()0g x g x -<12()()<g x g x 所以在单调递增， 2()11g x x=--()1,1-又因为函数单调递增，lg y x =所以函数在单调递增. ()1lg 1x f x x+=-()1,1-（3）由可得，()()()lg 20f f x f +>()()()lg 2f f x f >-由（1）知为奇函数，所以，()f x ()()()lg 2f f x f >-则有， ()()1lg 2f f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭又因为为增函数，()f x 所以，即，也即， 1()111lg 12111()lg 2f x x f x -<<⎧⎪⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩11lg 1111lg 121111lg lg 12x x x x x+⎧-<<⎪-⎪⎪-<<⎪⎨⎪-<<⎪+⎪>⎪-⎩111010111lg 12111112x x x x x +⎧<<⎪-⎪⎪-<<⎪⎨⎪-<<⎪+⎪>⎪-⎩解得，所以原不等式的解集为. 19311x -<<19,311⎛⎫- ⎪⎝⎭21．已知函数在时有最大值和最小值，设. ()()22,0f x ax ax b a b =-+≥[]1,3x ∈40()()f x g x x=(1)求实数，的值；a b (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；()22log log 0g x k x -≤[]4,8x ∈k (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. x ()22131021x x m g m -+-+=-m 【答案】(1)，1a =1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解即可；0a >（2）由题知在上恒成立，设，进而得2221log 2log 0log x k x x+--≤[]4,8x ∈2log t x =，在上恒成立，再求最值即可得答案； 2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭[]2,3t ∈（3）用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图()22131021x x m g m -+-+=-象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.m 【详解】（1）解：， ()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-(),0a b ≥因为，当时，，为常函数，不满足题意；0a =()f x b =所以，，在上单调递增， 0a >()()21f x a x b a =-+-[]1,3x ∈因为函数在时有最大值和最小值，()()22,0f x ax ax b a b =-+≥[]1,3x ∈40所以，解得， ()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩1a b ==所以，.1a =1b =（2）解：由（1）知，， ()221f x x x =-+()()12f x g x x x x==+-因为不等式在上恒成立，()22log log 0g x k x -≤[]4,8x ∈所以在上恒成立， 2221log 2log 0log x k x x+--≤[]4,8x ∈设，则，2log t x =[]2,3t ∈所以，，在上恒成立， 120t kt t+--≤[]2,3t ∈所以，在上恒成立， 2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭[]2,3t ∈因为，所以， []2,3t ∈111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，当时，取得最大值，最大值为， 113t =211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以， ，在上恒成立，则， 2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭[]2,3t ∈49k ≥所以的取值范围是.k 4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）解：方程等价于， ()22131021x x m g m -+-+=-122123102121x x x m m -+-+-+=--即，， ()()2211321120x x m m --+-++=210x -≠令，则方程化为，，21x t -=()()213120t m t m -+++=()0t ≠因为方程有三个不同的实数解， ()22131021x x m g m -+-+=-所以，画出的图像如下图所示，21x t =-所以，，有两个根､，且或，.()()213120t m t m -+++=()0t ≠1t 2t 1201t t <<<101t <<21t =记，()()()21312h t t m t m =-+++所以，，即，此时 ()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩1m >或得，此时无解，()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩m 综上， ，即实数的取值范围1m >m ()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令，进而结合题意，数形结合得21x t -=，，有两个根､，且或，，再根据零()()213120t m t m -+++=()0t ≠1t 2t 1201t t <<<101t <<21t =点存在性定理求解即可.。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、填空题1化成有理数指数幂的形式为__________. 0)a >【答案】13a 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】. 0a >114111113333444()()()a a a a a +=⋅===故答案为：13a 2．不等式的解集是___________. |1|2x -<【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可. 【详解】, |1|2x -< ,212x ∴-<-<解得，13x -<<所以不等式的解集为. (1,3)-故答案为：(1,3)-3．已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】4【分析】直接利用韦达定理代入计算即可.【详解】由韦达定理可得，41,33a b ab +==4113413a b a b ab++===故答案为：4.4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________． 54︒10cm 2cm 【答案】15π【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 3π10α=【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为3π5410α=︒=. 213π1015π210⨯⨯=2cm 故答案为： 15π5．已知，则角属于第____________象限． sin 0tan θθ<θ【答案】二或三【分析】根据题意，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到结果. 【详解】因为，即与的符号相反， sin 0tan θθ<sin θtan θ所以为第二或第三象限， θ故答案为: 二或三6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. ()y f x =R 0x >()21x f x =-(2)f -=【答案】3-【详解】 由题意得，函数为奇函数，所以.()y f x =()2(2)2(21)3f f -=-=--=-7．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a 的()3x f x a =+1()y f x -=1()y f x -=(3,2)值为__________． 【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入1()y f x -=(3,2)()y f x =(2,3)(2,3)()y f x =的解析式求得的值．a 【详解】解：的图象过点，1()y f x -= (3,2)函数的图象过点，∴()y f x =(2,3)又，()3x f x a =+，即．233a ∴+=6a =-故答案为：． 6-8．已知，则____________． cos )ααβ=-=π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(2)αβ-=【分析】根据，得到，求出π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭sin )ααβ=-=法，结合余弦的和角公式求出答案.【详解】，故，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为，所以，sin()0αβ-=>π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，sin )ααβ==-==故()()()()2cos cos cos sin sin cos αβααβααβααβ⎡⎤-=+--⎦=--⎣. ==9．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若1x yxy+-，则________.sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-b a =【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. cos5a πba【详解】由已知分子分母同时除以得，sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-cos 5a π. tan85tan 151tan 5ba b a πππ+=-又，所以. tantan853tantan()15531tan tan 35πππππππ+=+=-tan 3b a π=【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.10．若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 【分析】画出的图像，分，，，，讨()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩2a ≤-20a -<≤01a <≤12a <≤2a >论观察图像可得答案.【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点2a ≤-()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合；20a -<≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点；01a <≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，有2个零点；12a <≤()2,1,x x x x af x x x a⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点；2a >()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩综上：实数a 的取值范围是 (](]2,01,2- 故答案为：.(](]2,01,2- 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行.二、单选题11．以下命题正确的是（ ） A ．终边重合的两个角相等 B ．小于 的角都是锐角 90 C ．第二象限的角是钝角 D ．锐角是第一象限的角【答案】D【分析】根据象限角的定义判断求解即可.【详解】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A 错误；30 390对于B,例如，但不是锐角，故B 错误；090< 0 对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C 错误； 210- 210- 因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D 正确. 0 90 故选:D.12．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：32()22f x x x x =+-- (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =-(1.4375)0.162f =(1.40625)0.054f =-那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2 B ．1.4 C ．1.3 D ．1.5 32220x x x +--=【答案】B【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1)0,(1.5)0f f <>(1)(1.5)0f f <(1,1.5)，所以不满足精确度；1.510.50.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.25)0f <(1.25)(1.5)0f f <(1.25,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.250.250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.375)0f <(1.375)(1.5)0f f <(1.375,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.3750.1250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.4375)0f >(1.4375)(1.375)0f f <(1.375,1.4375)，所以满足精确度；1.4375 1.3750.06250.1-=<0.1所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包32220x x x +--=0.05(1.375,1.4375)括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B13．已知全集及集合，，则的U =R 2128,4aA a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，A B 元素个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个A B A B A B 数．【详解】解：，2128,4a A a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，，，，1，2，3，，或，且{|223A a a ∴=--<…}{|14a Z a a ∈=-<…}{0a Z ∈=4}{|5B b b =<-2}b >，U =R ，， ∴{|52}B b b =-……{0,1,2}A B = 的元素个数为：3．∴A B 故选：． B 14．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为1()||1f x x =-（ ）①函数的定义域为； ②； ()f x {}1x x ≠2022((2023))2021f f =-③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ()f x 1x =(1,1)x ∈-()f x 1-⑤方程有四个不同的实根． 2()40f x x -+=A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断()f x ()()2023f f ②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用()()20f f ≠(]1,0x ∈-[)0,1x ∈()max f x 数形结合判断⑤.【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；10x -≠1x ≠±()f x \{}1x x ≠±对于②，，，②正确；()120232022f = ()()112022202312022202112022f f f ⎛⎫∴===-⎪⎝⎭-对于③，，，， ()12121f ==- ()10101f ==--()()20f f ∴≠不关于直线对称，③错误；()f x \1x =对于④，当时，，此时； (]1,0x ∈-()1111f x x x ==---+()()01f x f ≤=-当时，，此时； [)0,1x ∈()11f x x =-()()01f x f ≤=-综上所述：当时，，④正确；()1,1x ∈-()max 1f x =-对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，()f x 24y x =-由图象可知与有四个不同交点，()f x 24y x =-方程有四个不同的根，⑤正确.∴()240f x x -+=所以正确的个数为3. 故选：B.三、解答题15．已知，求下列各式的值：1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭(1)；tan α(2)． sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++【答案】(1)13(2) 1-【分析】(1)两角和的正切展开求解.(2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解.【详解】（1） πtantan π1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅1tan 3α∴=（2）()()sin sin cos cos sin ,cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=⋅+⋅+=⋅-⋅sin()2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin 2sin cos cos s c s in o sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-∴=++⋅+⋅-⋅⋅-+⋅ ()()()sin cos sin sin cos tan sin sin cos cos cos βααβαββααβαββα-⋅-⋅===-⋅+⋅-又 ()11tan tan 523tan 1111tan tan 61132βαβααβ-----====-+⋅-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭sin()2sin cos 12sin sin cos()αβαβαβαβ+-∴=-++16．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平()0x x ≥方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司2x每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司10年的燃料费与安装太阳能板1040kx +0x ≥的费用之和．(1)求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =(2)求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】(1)，()； 800k =80042xy x =++0x ≥(2)38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k 值，进而写出函数的表达式. ()y f x =(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x 值. 【详解】（1）依题意，当时，，解得， 0x =2040k=800k =于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，800800101040242x xy x x =⋅+=+++0x ≥所以，函数的表达式为，. 800k =()y f x =80042xy x =++0x ≥（2）由(1)知，，， 0x ≥8004223842x y x +=+-≥=+当且仅当，即时取“=”， 800442x x +=+36x =所以y 的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米. 17．已知函数的表达式为.()y f x =()9233x x f x a =-⋅+(1)若，求函数的值域； 1,[0,1]a x =∈()y f x =(2)当时，求函数的最小值；[1,1]x ∈-()y f x =()h a (3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i ）；（ii ）()h a ,m n 3n m >>当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ()h a [,]m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦,m n 【答案】(1)[]2,6(2)22821,9331()3,33126,3aa h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由，利用的范围可得的范围，进而可得答案；()2312x y =-+x 3x （2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答3x t =()f x ()()223g t t a a =-+-13a <133a ≤≤3a >案；（3）假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列m n ()h a ()3,+∞()h a 出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【详解】（1）当时，由，得，1a =9233x x y =-⨯+()2312x y =-+因为，所以，，[]0,1x ∈[]31,3x∈[]2,6y ∈所以函数的值域为.()y f x =[]2,6（2）令，因为，故，函数可转化为3x t =[]1,1x ∈-1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ， ()()222233g t t at t a a =-+=-+-①当时，；13a <()1282393ah a g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭②当时，；133a ≤≤()()23h a g a a ==-③当时，．3a >()()3126h a g a ==-综上所述，. ()22821,93313,33126,3a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（3）假设满足题意的，存在，m n 因为，，3n m >>()126h a a =-所以在上是严格减函数，()y h a =()3,+∞所以在上的值域为，()y h a =[],m n ()(),⎡⎤⎣⎦h n h m 又在上的值域为，所以，即， ()y h a =[],m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦()()22h n m h m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩两式相减，得，()()()226m n m n m n m n -=-=+-因为，所以，3n m >>6m n +=而由，可得，与矛盾．3n m >>6m n +>6m n +=所以，不存在满足条件的实数，．m n 18．已知函数的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数()f x 值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数是“正函数”； ()()2lg 11f x x =++（2）如果函数不是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()11a f x x x =+-+（3）如果函数是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+【答案】（1）证明见解析，（2）（3）(,1]-∞(){}6,13- 【解析】（1）有题知：，即证.()1f x ≥（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设0a ≤()11a f x x x =+-+0a >是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可.()f x a （3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+【详解】（1）.2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=函数值恒为正数，故函数是“正函数”.2()lg(1)1f x x =++（2）当时，，0a ≤(0)10f a =-<显然不是“正函数”. ()11a f x x x =+-+当时0a >假设为“正函数”.则恒大于零. ()11a f x x x =+-+()f x. ()1221a f x x x =++-≥+所以，即20->1a >所以不是“正函数”时， ()11a f x x x =+-+.01a <≤综上：.1a ≤（3）有题知：若函数是“正函数”， ()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+则或. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+解得：或.61a -<<3a =【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
上海市上海中学2025届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
16．用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时，第一次经计算
，可得其中一个零点 x0∈(0，1)，那
么经过下一次计算可得 x0∈___________(填区间). 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f x 3 sin 2x 2cos2 x 2
6 ②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位
6
18．某校食堂需定期购买大米 .已知该食堂每天需用大米 0.6 吨，每吨大米的价格为 6000 元，大米的保管费用 z( 单位：
元 ) 与购买天数 x( 单位：天 ) 的关系为 z 9x x 1 x N* ，每次购买大米需支付其他固定费用 900 元
因为 x1 x2 ，所以 x1 x2 (或 x1 x2 )
由函数 y f x 在区间 I 上单调知： f (x1) f x2 ，(或 f (x1) f x2 )，这与 f x1 f x2 矛盾．因此在 I 中有
唯一的 x 值与之对应．由反函数的定义知：
函数 y f x 在区间 I 上存在反函数 反之“函数 y f x 在 I 上有反函数”则不一定有“函数 y f x 在区间 I 上单调”，例如：函数
f
x
x2 1, (0
x2
,
(1
x
x 1) 0)
，就存在反函数：
f
1
x
x 1, (1 x x, (0 x 1)
0)
易知函数 y f x 在区间1,1 上并不单调
综上，“函数 y f x 在区间 I 上严格单调”是“函数 y f x 在 I 上有反函数”的充分不必要条件.
y ， cos x2 y2
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学一、填空题（本题满分40分，每题4分，共10题）1. 函数的定义域是_________ ．y =【答案】()1,-+∞【解析】【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为10x +>()1,-+∞考点：求函数定义域2. 已知幂函数的图象过点，则______.()y f x=(()3f =【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．()y f x =()3f 【详解】由题意设， ()y f x x α==∵函数的图象过点，()y fx =(∴， 1222α==∴， 12α=∴，()12f x x =∴．()1233f ==【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．3. 已知函数的两个零点分别为，则___________. ()21f x x x =+-12,x x 221212x x x x +=【答案】1【解析】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；210x x +-=1x 2x 【详解】解：依题意令，即，()0f x =210x x +-=所以方程有两个不相等实数根、，210x x +-=1x 2x 所以，，121x x +=-121x x ⋅=-所以； ()()2212121212111x x x x x x x x +=+--=⨯=故答案为：14. 已知函数是奇函数，则实数______． ()22f x ax x =+a =【答案】0【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，()f x ∴，()()f x f x -=-即，2222ax x ax x -=--整理得在R 上恒成立，20ax =∴．0a =故答案为．0也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．5. 若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-a 【答案】 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题知，再解不等式组即可得答案. 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-所以，即，解得, 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩0105a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩105a <≤所以，实数的取值范围是 a 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为： 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦6. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形60cm 20cm 18cm 的中心角的弧度数为____________．【答案】209【解析】 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心α9cm OC =角的弧度数.【详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为AB 60cm CD 20cm α则，则，即． A A ,AB OA CD OC αα=⋅=⋅60320OA OC ==3OA OC =因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数． 18cm AC =9cm OC =A 209CD OC α==故答案为：. 2097. 已知函数，且，那么=_________. 331()5f x ax bx x =+--(2)2f -=(2)f 【答案】-12【解析】【分析】代入，整体代换求值即可.2,2x x =-=【详解】由题意，，即， 33)(21(2)(2(2)52)f a b -=+--⨯--=-3317222a b +⨯-⨯=-故, 331(2)22575122f a b =+⨯--=--=-故答案为：-128. 已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的()14f x x x =+-x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 取值范围为________．【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. ()2max 2m f x m ≥-+【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12y x x =+≥1x =因为当时，； 16x =1137666y x x =+=+=当时， 3x =1133y x x =+=+=所以，根据对勾函数性质，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11342,6y x x ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦所以，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()11340,6f x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦因为关于的不等式在区间上总有解， x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，， 21326m m -+≤m ≤≤所以，实数的取值范围为 m故答案为：9. 已知函数，函数，如果恰好有两个零点，()22,2()2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()(2)g x b f x =--()()y f x g x =-则实数的取值范围是________．b 【答案】7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形()()y f x g x =-()()(2)h x f x f x =+-()h x 结合进行求解即可.【详解】，()(2)g x b f x =-- ，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-由，()(2)0f x b f x -+-=得，()(2)b f x f x =+-设，()()(2)h x f x f x =+-若，则，，0x ≤0x -≥22x -≥则，2()()(2)2h x f x f x x =+-=++若，则，，02x <≤20x -≤-<022x ≤-<则，()()(2)2222222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=若，则，，2x >2x -<-20x -<则， 22()()(2)(2)2258h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+即，222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩作出的图象如图，()h x当时，， 0x ≤22177()2()244h x x x x =++=++≥当时，， 2x >22577()58()244h x x x x =-+=-+≥由图象知要使有两个零点，即有四个根，()()y f x g x =-()h x b =则满足或， 74b =2b >故答案为： 7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 设，，若存在，使得()1f x x =-4()g x x =-121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈12()()f x f x ++⋅⋅⋅+成立，则正整数的最大值为________1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++n 【答案】6【解析】【分析】由题设且上有，所以，使得()()3n n f x g x -≥1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈成立，只需即可，进1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-而求得正整数的最大值.n 【详解】由题意知：，使成121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-立，而当且仅当时等号成立， 4()()113n n n n f x g x x x -=-+≥-=12[,4]4n x =∈∴，而，即， ()()3(1)n n f x g x n -≥-1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为. 653(1)4n -≤7712n ≤n 6故答案为：. 6【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即1111()()...()()3(1)n n f x g x f x g x n ---++-≥-，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要()()3(1)n n f x g x n -≥-即可求最值.max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-二、选择题（本题满分16分，每题4分，共4题）11. 已知为实数，若，则是的（ ）a b 、2:0,:0ab a αβ=+=αβA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；0ab =1,0a b ==20a +=当，则，有，满足必要性；20a =0a b ==0ab =所以是的必要不充分条件．αβ故选:B ．12. 已知实数，，则的最小值为（ ） ,0,191a b a b >+=119a b +A. 100B. 300C. 800D. 400【答案】D【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等1919362b a a b++号成立的条件.【详解】由， ,0,191a b a b >+=∴，当且仅当时等号成1191191919()(19)362362400b a a b a b a b a b +=++=++≥+=a b =立. ∴的最小值为400. 119a b+故选：D13. 设函数的定义域为，对于下列命题：()f x R ①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；M x ∈R ()f x M ≥M ()f x ②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有； ()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥④若是函数的最小值，则存在，使得．()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥则下列为真命题的选项是（ ）A. ①②都正确B. ①③都错误C. ③正确④错误D. ②错误④正确 【答案】D【解析】【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误； M ()f x ()f x M 对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥误；对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有()f x 0R x ∈x ∈R ，故正确；()()0f x f x ≥对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故错误；.()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥故真命题的选项是②错误④正确.14. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-1a >129x x +范围是（） A.B. C. D. [)6,+∞()6,+∞[)10,+∞()10,+∞【答案】D【解析】【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数1x 2x 1x a x =1log a x x =1x 2x 与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为1y x =x y a =log a y x =101x <<21x >x y a =log a y x =反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为121x x ⋅=12x x +129x x +,即可得解.1228x x x ++【详解】因为,分别是函数和的零点 1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-则,分别是和的解 1x 2x 1x a x =1log a x x=所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标1x 2x 1y x =x y a =log a y x =所以交点分别为 121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以,101x <<21x >由于函数与函数和函数都关于对称1y x =x y a =log a y x =y x =所以点与点关于对称A B y x =因为关于对称的点坐标为 111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以 121x x =即,且121x x ⋅=12x x ≠所以129x x +1228x x x =++28x ≥+,由于,所以不能取等号228x >+12x x ≠因为21x >所以2282810x +>+=即()12910,x x +∈+∞故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.三、解答题（本题满分44分，共4题）15. 已知．sin 2cos αα=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求的值． ()2i 2n sin 1s πcos ααα+-【答案】（1）3-（2） 132【解析】【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可；tan 2α=（2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可.【小问1详解】解：由知，sin 2cos αα=tan 2α=所以， πtan 121tan 341tan 12ααα++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭【小问2详解】解：由知；sin 2cos αα=tan 2α=所以. ()22222213sin πcos s s sin 13sin co 3t in cos t 1an an ααααααααα+++===-16. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元满足（k 为常数），如果(0)m ≥41k x m =-+不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） 816x x+（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） 1636(0)1y m m m =--≥+（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. 16(1)1m m +++16361m m --+【小问1详解】由题意知，当时，（万件），0m =2x =则，解得，∴． 24k =-2k =241x m =-+所以每件产品的销售价格为（元）， 8161.5x x +⨯∴2020年的利润． 816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+【小问2详解】∵当时，， 0m ≥10m +>∴， 16(1)81m m ++≥=+当且仅当即时等号成立． 16(1)1m m =++3m =∴，83729y ≤-+=即万元时，（万元）．3m =max 29=y 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．17. 已知函数.()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠（1）当时，求不等式的解集；2a =()3f x <（2）当时，设，且，求（用表示）；10a =()()1g x f x =-(3),(4)==g m g n 6log 45,m n （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存k 22(1)lg()+>g x kx []3,5在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.k 【答案】（1）；（2）；（3）存在，3. 37,22⎛⎫⎪⎝⎭21m n m n +-+【解析】【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；2a =2log (23)2x -<（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； lg3,lg5m n ==（3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <求得的最大值即可求得结果.()h x 【详解】（1）当时，2a =()()2log 2313f x x =-+<故 ，所以不等式的解集为； 0234x <-<()3f x <37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）当时，，10a =()()()1lg 23g x f x x =-=-， ()()3lg3,4lg5m g n g ∴====. 6lg45lg9lg52log 45lg6lg3lg21m n m n ++∴===+-+（3）在（2）的条件下，不等式化为， ()()221lg g x kx +>()()22lg 21lg x kx ->即在区间上有解. 令，则，()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <，， ()()2222112x h x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭111,53⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，又是正整数，故的最大值为3. ()()max 81525k h x h ∴<==k k18. 若函数对定义域内的任意x 都满足，则称具有性质． ()f x ()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()f x M （1）判断是否具有性质M ，并证明在上是严格减函数； ()1f x x x=+()f x ()0,1（2）已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左()ln g x x =()1,0A ()0y t t =>()g x B C 、B 边），验证函数具有性质并证明；()g x M AB AC <（3）已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为()1h x x x=-m n k ，，()h x [],m n ，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．[],km kn k 【答案】（1）具有，证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可；M （2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式M |ln |x t =,e e t t C B x x -==作差法比较即可；（3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可.01m n <<<1m n <<【小问1详解】 解：因为，所以函数具有性质， ()11111f x f x xx x x⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭()f x M 任取，1201x x <<<则， 121212121212121211111()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，1201x x <<<121210,0x x x x >>-<所以，即，12())0(f x f x ->12()()f x f x >所以，在区间上单调递减.()f x ()0,1【小问2详解】 解：因为，所以具有性质， 11ln ln ln ()g x x g x x x ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭()g x M由性质得或，解得或，|ln |x t =ln x t =-ln x t =e t x -=e =t x 因为，，所以，0t >e e t t -<,e e t t C B x x -==所以，||AB ==||AC ==所以，2222||||(1e )(1e )2(e e )(e e )t t t t t t AB AC ---⎡⎤-=---=-+-⎣⎦当，，当且仅当时取等号，且， ()0,x ∈+∞1()2f x x x =+≥1x =10e 1e et t t -<=<<所以，2(e e )0,e e 0t t t t ---+<->所以，即.22||||2(e e )(e e )0t t t t AB AC --⎡⎤-=-+-<⎣⎦AB AC <【小问3详解】解：注意到，由于均为正整数，(1)0h =,,m n k 所以，要使存在正数，当的定义域为时，其值域为，则或m n k ，，()h x [],m n [],km kn 01m n <<<，1m n <<当，01m n <<<因为为单调递减函数， 1101,()||x h x x x x x<<=-=-所以，其值域为，((),())h n h m 所以，(),()h n km h m kn ==所以，即，整理得，即，与定义域为矛盾； ()()h n m h m n =11n m nn mm -=-2211n m -=-m n =[],m n 当时，1m n <<因为为增函数， 111,()||x h x x x x x>=-=-所以，其值域为， ((),())h m h n 所以，即 (),()h m km h n kn ==11,m km n kn m n-=-=所以，即，与定义域为矛盾； 22221(1)1,(1)1,1k m k n m n k -=-===-m n =[],m n 综上，不存在正数满足条件.m n k ，，【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合函数，均为正整数得到(1)0h =,,m n k或，进而分类讨论求解即可. 01m n <<<1m n <<。