中考数学专题分类复习： 旋转变换(解析版)

中考数学专题分类复习：旋转变换

旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系，线段与线段之间的位置关系与数量关系，经常作为作为中等偏难一点的题型出现．

旋转的性质有：①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角；②旋转前后的图形全等；③对应点到旋转中心的距离相等．

如图，△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置，则①旋转角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；

②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．

1.注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角；

2.抓住旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后的图形全等；

3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段，这个公共端点往往会是旋转中心．

例1.如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )

A. 55°

B. 70°

C. 125°

D. 155°

【答案】C

例2.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转

的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON 的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【答案】B

【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征，故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线，再结合旋转的性质求解．

如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

例3.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点.

（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、

A、E，连接CE.

①依题意，请在图2中补全图形；

②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长．

（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接P A、PB、PC，当AC＝3，AB ＝6时，根据此图求P A＋PB＋PC的最小值．

【答案】（1）33（2）37

∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，

∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，

∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中，22

CE=CD DE=369=27=33

--；

（2）证明：如图所示，

1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是( )

A. 6

B. 6

C. 3

D. 3＋3

【答案】A

【解析】试题解析：连接BC′，

∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，

∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′＝，∴BC′＝3－3，

在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3－3，

在直角三角形OBC′中，OC′＝（3－3）＝6－3，∴OD′＝3－OC′＝3－3，

∴四边形ABOD′的周长是：2AD′＋OB＋OD′＝6＋3－3＋3－3＝6．

故选A．

2.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF ＝_________cm．

【答案】3

3.如图，菱形ABCD中，边长为2，∠B＝60°，将△ACD绕点C旋转，当AC（即A′C）与AB交于一点E，CD（即CD′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.

【答案】2＋3

1.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（）

A. 130°

B. 150°

C. 160°

D. 170°

【答案】C

【解析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，

∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°，

∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE＝30°，

∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，

∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°．

故选C．

2.如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下面结论：①为等腰三角形；②；

③；④中，正确的是（）

A. ①③④

B. ①②④

C. ②③④

D. ①②③④

【答案】B

3.三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）

A. 3

2

πB.

4

3

3

πC. 2πD. 3π

【答案】C

4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，且BC＝2，那么CC′的长是___________.

【答案】2 ；

【解析】试题解析：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，

∴BC＝BC′＝2，∠CBC′＝60°，

∴△BCC′为等边三角形，

∴CC′＝BC＝BC′＝2.

5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．

【答案】36π

6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA＋OB＋OC＝__________．

【答案】7

【解析】试题解析：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，

∴A′B⊥CB，

∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，

∴△BOO′是等边三角形，

∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，

∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，

∴C、O、A′、O′四点共线，

在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC＝A′C＝．

7.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为____．

【答案】9π

8.如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，

若AF＝4，AB＝7.

（1）旋转中心为______；旋转角度为______；

（2）DE的长度为______；

（3）指出BE与DF的位置关系如何？并说明理由.

【答案】（1）A，90°；（2）3；（3）BE⊥DF，理由见解析.

9.如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E

（1）试说明：BD＝DE＋CE．

（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？

请直接写出结果；

（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）DE ＝BD ＋CE ．

10.（1）探究：如图，四边形ABCD 中，已知AB AD =， 90BAD ∠=?，点E F 、分别在边BC CD 、上， 45EAF ∠=?；

①如图1，若B ADC ∠∠、都是直角，把ABE 绕点A 逆时针旋转90?至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；

②如图2，若B D ∠∠、不是直角，则当B D ∠∠、满足数量关系 时，仍有EF BE DF =+；

（2）拓展：如图3，在ABC 中， 90BAC ∠=?， 22AB AC ==，点D E 、均在边BC 上，且45DAE ∠=?，若1BD =，求DE 的长．

【答案】（1）①证明见解析； ②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；(2) DE ＝53

. 【解析】试题分析: （1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；

②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；

（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠F AD ＝∠DAE ＝45°，证△F AD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3?x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．

②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；

把△ACE 旋转到ABF 的位置，连接DF ，则∠F AB ＝∠CAE .

∵∠BAC ＝90°，∠DAE ＝45°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝45°，

又∵∠F AB ＝∠CAE ，∴∠F AD ＝∠DAE ＝45°，

则在△ADF 和△ADE 中， AD AD

FAD DAE AF AE

=??∠=∠??=?，∴△ADF ≌△ADE ，

∴DF ＝DE ，∠C ＝∠ABF ＝45°，∴∠BDF ＝90°，

∴△BDF 是直角三角形，

∴222BD BF DF +=，∴222BD CE DE +=．

∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2

2，∴BC ＝4，

∵BD ＝1，∴DC ＝3，EC ＝3－DE ，∴()2213DE DE +-=，解得DE ＝5

3

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