备战中考数学锐角三角函数综合题汇编及详细答案
备战中考数学锐角三角函数综合题汇编及详细答案
一、锐角三角函数
1.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,
∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,
∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,
理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,
∴∠EO′F=120°,
∴∠FO′A=∠CAO′=30°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.
2.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,
∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题:
(1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM;
(2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明;
(3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM=,CF=.
【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣
【解析】
【分析】
(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,
NC=NM=BM进而得出结论;
(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,
②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;
(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,
可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.
【详解】
(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠C=45°,
∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,
∴BM=MN,
在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,
∵∠ENF=135°,,
∴∠BME=∠NMF,
∴△BME≌△NMF,
∴BE=NF,
∵MN⊥AC,∠C=45°,
∴∠CMN=∠C=45°,
∴NC=NM=BM,
∵CN=CF+NF,
∴BE+CF=BM;
(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,
∴BE=NF,
∵MN⊥AC,∠C=45°,
∴∠CMN=∠C=45°,
∴NC=NM=BM,
∵NC=NF﹣CF,
∴BE﹣CF=BM;
针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,
∴BE=NF,
∵MN⊥AC,∠C=45°,
∴∠CMN=∠C=45°,
∴NC=NM=BM,
∵NC=CF﹣NF,
∴CF﹣BE=BM;
(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),
∴AB=AN=+1,
在Rt△ABC中,AC=AB=+1,
∴AC=AB=2+,
∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,
在Rt△CMN中,CM=CN=,
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,
在Rt△BME中,tan∠BEM===,
∴BE=,
∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,
∴此种情况不成立;
③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,
∴CF=BM+BE=1+,
故答案为1,1+或1﹣.
【点睛】
本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.
3.在Rt△ACB和△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.
特殊发现:
如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上,则结论:PC=PE成立(不要求证明).
问题探究:
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.
(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)记AC
BC
=k,当k为何值时,△CPE总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时,CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】
(1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有
EM FP
MC PB
=,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论.
(3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据AC k BC =,AC
BC
=tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是多少即可. 【详解】
解:(1)PC=PE 成立,理由如下:
如图2,过点P 作PM ⊥CE 于点M ,∵EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,∴EF ∥MP ∥CB ,∴
EM FP
MC PB
=,∵点P 是BF 的中点,∴EM=MC ,又∵PM ⊥CE ,∴PC=PE ;
(2)PC=PE 成立,理由如下:
如图3,过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF 和△EAF 中 ,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA ,AF=AF , ∴△DAF ≌△EAF (AAS ), ∴AD=AE ,在△DAP 和△EAP 中, ∵AD=AE ,∠DAP=∠EAP ,AP=AP , ∴△DAP ≌△EAP (SAS ), ∴PD=PE ,
∵FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,
∴FD ∥BC ∥PM , ∴
DM FP
MC PB
=, ∵点P 是BF 的中点, ∴DM=MC ,又∵PM ⊥AC , ∴PC=PD ,又∵PD=PE , ∴PC=PE ;
(3)如图4,∵△CPE 总是等边三角形, ∴∠CEP=60°, ∴∠CAB=60°, ∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°, ∵
AC k BC =,AC
BC
=tan30°, ∴k=tan30°=3
, ∴当k 为
3
3
时,△CPE 总是等边三角形.
【点睛】
考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.
4.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,以AB 的中点O 为圆心,OA 为半径的圆交AC 于点D ,E 是BC 的中点,连接DE ,OE .
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:BC2=2CD?OE;
(3)若
314
cos,
53
BAD BE
∠==,求OE的长.
【答案】(1)DE为⊙O的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =35
6
.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角,可得出△BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,从而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中两锐角互余,从而可得∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为⊙O的切线;
(2)由已知可得OE是△ABC的中位线,从而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.
试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:
连接OD,BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,
∴∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=AC?CD.
∴BC2=2CD?OE;
(3)解:∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,
∴AC=.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数
5.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.
(1)如图1,若m=.
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【解析】
试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C (0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;
②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;
(2)解题要点有3个:
i)判定△ABD为等边三角形;
ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;
iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.
试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵点C在抛物线C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).
假设存在满足条件的a值.
∵AP=BP,
∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,
∴OP⊥BC.
如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,
则OP⊥BC,OE=a.
∵点P在直线BC上,
∴P(a,a+),PE=a+.
∵tan∠EOP=tan∠BCO=,
∴,
解得:a=.
∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+m)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).
∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2.
如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.
∵tan∠ABD=,
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.
作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE?tan30°=×=1,
∴P1(﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.
在Rt△BEP2中,P2E=BE?tan60°=?=3,
∴P2(﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,
其坐标为:P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【考点】二次函数综合题.
6.如图,某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物,某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45°,此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上),求塔AB的高度.(结果精确到0.01米)
参考数据:sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan32°≈0.62492 1.4142
.
【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】 【分析】
过点D 作DH ⊥AB ,垂足为点H ,设AB =x ,则 AH =x ﹣3,解直角三角形即可得到结论. 【详解】
解:过点D 作DH ⊥AB ,垂足为点H .
由题意,得 HB = CD = 3,EC = 15,HD = BC ,∠ABC =∠AHD = 90°, ∠ADH = 32°.
设AB = x ,则 AH = x – 3.
在Rt △ABE 中,由 ∠AEB = 45°,得 tan tan451AB
AEB EB
∠=?==. ∴ EB = AB = x .∴ HD = BC = BE + EC = x + 15. 在Rt △AHD 中,由 ∠AHD = 90°,得 tan AH
ADH HD
∠=. 即得 3
tan3215
x x -?=+. 解得 15tan323
32.991tan32x ??+=
≈-?
.
∴ 塔高AB 约为32.99米. 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点P 是⊙C 外一点,连接CP 交⊙C 于点Q ,点P 关于点Q 的对称点为P ′,当点P ′在线段CQ 上时,称点P 为⊙C “友好点”.已知A (1,0),B (0,2),C (3,3) (1)当⊙O 的半径为1时,
①点A,B,C中是⊙O“友好点”的是;
②已知点M在直线y=﹣3
x+2 上,且点M是⊙O“友好点”,求点M的横坐标m的取值
范围;
(2)已知点D(23,0),连接BC,BD,CD,⊙T的圆心为T(t,﹣1),半径为1,若在△BCD 上存在一点N,使点N是⊙T“友好点”,求圆心T的横坐标t的取值范围.
【答案】(1)①B;②0≤m3(2)﹣3t<3
【解析】
【分析】
(1))①根据“友好点”的定义,OB=<2r=2,所以点B是⊙O“友好点”;
②设M(m,﹣
3
3
m+2 ),根据“友好点”的定义,OM
2
2
3
22
2
m m
??
+-+≤
?
?
??
,由此
求解即可;
(2)B(0,2),C(3,3),D30),⊙T的圆心为T(t,﹣1),点N是⊙T“友好点”,NT≤2r=2,所以点N只能在线段BD上运动,过点T作TN⊥BD于N,作TH∥y轴,与BD交于点
H.易知∠BDO=30°,∠OBD=60°,NT 3
,直线BD:y
3
x+2,可知H(t,﹣
3 3t+2),继而可得NT=﹣
1
2
t+
33
2
,由此可得关于t的不等式,解出t的范围即可.
【详解】
(1)①∵r=1,
∴根据“友好点”的定义,OB=<2r=2,
∴点B是⊙O“友好点”,
∵OC22
33
+2>2r=2,∴点C不是⊙O“友好点”,A(1,0)在⊙O上,不是⊙O“友好点”,
故答案为B;
②如图,
设M (m ,﹣
3
m +2 ),根据“友好点”的定义, ∴OM =2
23
22
2m m ??+-+≤ ? ???
, 整理,得2m 2﹣23m ≤0, 解得0≤m ≤3;
∴点M 的横坐标m 的取值范围:0≤m ≤3;
(2)∵B (0,2),C (3,3),D (23,0),⊙T 的圆心为T (t ,﹣1),点N 是⊙T “友好点”, ∴NT ≤2r =2,
∴点N 只能在线段BD 上运动,过点T 作TN ⊥BD 于N ,作TH ∥y 轴,与BD 交于点H .
∵tan ∠BDO =
3
3
23OB OD ==
∴∠BDO=30°, ∴∠OBD =60°, ∴∠THN=∠OBD=60°, ∴NT =HT?sin ∠3
,
∵B(0,2),D(23,0),∴直线BD:y=﹣3
3
x+2,∵H点BD上,
∵H(t,﹣3t+2),
∴HT=﹣3
3t+2﹣(﹣1)=﹣
3
3
t+3,
∴NT=3HT=3(﹣3t+3)=﹣1
2t+
33
,
∴﹣1
2t+
33
≤2,
∴t≥﹣4+33,
当H与点D重合时,点T的横坐标等于点D的横坐标,即t=33,
此时点N不是“友好点”,
∴t<33,
故圆心T的横坐标t的取值范围:﹣4+33≤t<33.
【点睛】
本题是圆的综合题,正确理解“友好点”的意义,熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,连接BD,将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′(B′与B重合),且点D′刚好落在BC的延长上,A′D′与CD相交于点E.(1)求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分(如图1中阴影部分A′B′CE)的面积;
(2)将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移,如图2,当B′移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y,移动的时间为x,请你直接写出y关于x 的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x,使得△AA′B′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x的值,若不存在,请你说明理由.
【答案】(1)45
2
;(2)详见解析;(3)使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有:0
秒、
32 秒、95- . 【解析】 【分析】
(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′=
'''''
=A B CE
A D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤
115时和当11
5
<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】
解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm , ∴BD =10cm ,
根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm , ∵tan ∠B ′D ′A ′=
'''''
=A B CE A D CD ∴
682
=CE ∴CE =3
2
cm ,
∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=86345
22222
?-?÷=(cm 2); (2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =3
2
(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32
, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当
115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =4
3
(8﹣2x ) ∴()2
14y 8223x =
?-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒;
②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245
, ∵AN 2+A ′N 2=36, ∴(6﹣
245)2+(2x +18
5
)2=36,
解得:x=669
5
-
,x=
669
5
--
(舍去);
③如图2,当AB′=AA′时,A′N=BM=BB′+B′M=2x+18
5
,A′M=NB=
24
5
,
∵AB2+BB′2=AN2+A′N2
∴36+4x2=(6﹣24
5)2+(2x+
18
5
)2
解得:x=3
2
.
综上所述,使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有:0秒、3
2
秒、
669
5
-
.
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.
9.在正方形ABCD中,AC是一条对角线,点E是边BC上的一点(不与点C重合),连接AE,将△ABE沿BC方向平移,使点B与点C重合,得到△DCF,过点E作EG⊥AC于点G,连接DG,FG.
(1)如图,①依题意补全图;②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系,并证明;
(2)已知正方形的边长为6,当∠AGD=60°时,求BE的长.
【答案】(1)①见解析,②FG=DG,FG⊥DG,见解析;(2
)BE=
【解析】
【分析】
(1)①补全图形即可,
②连接BG,由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出∠DGF=90°,得出FG⊥DG即可,(2)过点D作DH⊥AC,交AC于
点H.由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=
FG=DG=
2GH=
,得出DF
DG=
Rt△DCF中,由勾股定理得出CF=
得出结果.
【详解】
解:(1)①补全图形如图1所示,
②FG=DG,FG⊥DG,理由如下,
连接BG,如图2所示,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,
∵EG⊥AC,
∴∠EGC=90°,
∴△CEG是等腰直角三角形,EG=GC,∴∠GEC=∠GCE=45°,
∴∠BEG=∠GCF=135°,
由平移的性质得:BE=CF,
在△BEG和△GCF中,
BE CF
BEG GCF EG CG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△BEG≌△GCF(SAS),
∴BG=GF,
∵G在正方形ABCD对角线上,
∴BG=DG,
∴FG=DG,
∵∠CGF=∠BGE,∠BGE+∠AGB=90°,∴∠CGF+∠AGB=90°,
∴∠AGD+∠CGF=90°,
∴∠DGF=90°,
∴FG⊥DG.
(2)过点D 作DH ⊥AC ,交AC 于点H .如图3所示, 在Rt △ADG 中, ∵∠DAC =45°, ∴DH =AH =32,
在Rt △DHG 中,∵∠AGD =60°, ∴GH =
3
=
323
=6,
∴DG =2GH =26, ∴DF =2DG =43, 在Rt △DCF 中,CF =(
)
2
243
6-=23,
∴BE =CF =23.
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识;本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键.
10.如图,AB 是⊙O 的直径,PA 、PC 与⊙O 分别相切于点A ,C ,PC 交AB 的延长线于点D ,DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E . (1)求证:∠EPD=∠EDO ; (2)若PC=3,tan ∠PDA=
3
4
,求OE 的长.
【答案】(1)见解析;(25.【解析】
【分析】
(1)由切线的性质即可得证.(2)连接OC,利用tan∠PDA=3
4
,可求出CD=2,进而求得
OC=3
2
,再证明△OED∽△DEP,根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.
【详解】
(1)证明:∵PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO,
∵DE⊥PO,
∴∠PAO=∠E=90°,
∵∠AOP=∠EOD,
∴∠APO=∠EDO,
∴∠EPD=∠EDO.
(2)连接OC,
∴PA=PC=3,
∵tan∠PDA=3
4
,
∴在Rt△PAD中,
AD=4,22
PA AD
+,∴CD=PD-PC=5-3=2,
∵tan∠PDA=3
4
,
∴在Rt△OCD中,
OC=3
2
,
22
OC CD
+
5
2
,
∵∠EPD=∠ODE,∠OCP=∠E=90°,∴△OED∽△DEP,
∴PD
DO =
PE
DE
=
DE
OE
=2,
∴DE=2OE,
中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
中考数学圆综合题汇编
25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙ O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O
4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan = F ,求DE 的长。 5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A
7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E 。 求证:(1)AC 平分∠DAB ; (2)若∠B=60°,32 CD ,求AE 的长。 8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 是⊙O 的直径,弦BD=BA ,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)求DE 的长。 9. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ,且AG=4,将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 (1)求证:DE 为⊙F 的切线; (2)求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
2019年最新中考数学专题复习:锐角三角函数
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说:“来吧,你也该工作了。可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。” “天哪!三千两百万次。”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?办不到,办不到!”另一支旧钟说:“别 听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情?”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。 成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。 例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosB的值是() A.B.C.D. 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为() A.1 B.C.3 D.
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中考数学专题复习圆的综合的综合题
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∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
锐角三角函数专题
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2018年中考数学《锐角三角函数》专题练习含答案
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡,数据如图1所示,则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中,A ∠,B ∠都是锐角,且1 sin 2 A = ,cos 2B =,则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2,在R t A B C ?中,90A ∠=?,AD BC ⊥于点D ,:3:2BD CD =,则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点C 作⊙O 的切线,交AB 的延长 线于点E ,30A ∠=?,则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
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