信号与系统作业答案

)t t)](23--t δt解ttt1.27（a ）)2()2()(t x t x t y -+-=① 因为)2()2()0(x x y +-=，在0=t 的输出与前后时刻的输入都有关，所以系统是记忆的。

② 已知)2()2()(111t x t x t y -+-=，)2()2()(222t x t x t y -+-=。

当)()(012t t x t x -=时，)2()2()(01012t t x t t x t y --+--=，而)2()2()(010101t t x t t x t t y +-+--=-，所以：)()(012t t y t y -≠。

因而系统是时变的。

③已知)2()2()(111t x t x t y -+-=，)2()2()(222t x t x t y -+-=，)2()2()(333t x t x t y -+-=，当)()()(213t x t x t x +=时，)]2()2([)]2()2([)(21213t x t x t x t x t y -+-+-+-= 所以)()()(213t y t y t y +=，因而系统是可加的。

当)()(12t ax t x =时，)()2()2()(1112t ay t ax t ax t y =-+-=，因而系统是齐次的。

综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

④因为)2()2()0(x x y +-=，在0=t 的输出与2=t 的输入也有关，所以系统是非因果的。

⑤若+∞<≤B t x )(，即输入有界，则：+∞<≤-+-≤-+-=B t x t x t x t x t y 2)2()2()2()2()(，即输出有界。

所以系统是稳定的。

（d ）⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(t t x t x t t y①)2()0()0(-+=x x y ，即)0(y 与2,0-==t t 的输入有关， ∴系统是记忆系统。

②令)()(01t t x t x -=，则⎩⎨⎧≥--+-<=⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,00),2()(0,0)(00111t t t x t t x t t t x t x t t y而⎩⎨⎧≥--+-<=⎩⎨⎧≥---+-<-=-000000000),2()(,00),2()(0,0)(t t t t x t t x t t t t t t x t t x t t t t y)()(01t t y t y -≠∴，系统是时变的。

③令)()(1t ax t x =，则)(0),2()(0,0)(1t ay t t ax t ax t t y =⎩⎨⎧≥-+<=，所以，系统是齐次的。

已知⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(111t t x t x t t y ，⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(222t t x t x t t y当)()()(213t x t x t x +=时，)()(0),2()(0,00),2()(0,00),2()2()()(0,00),2()(0,0)(2122112121333t y t y t t x t x t t t x t x t t t x t x t x t x t t t x t x t t y +=⎩⎨⎧≥-+<+⎩⎨⎧≥-+<=⎩⎨⎧≥-+-++<=⎩⎨⎧≥-+<=综上，所以，系统是线性的。

④考察0t t=点，若00<t ，则0)(0=t y若00≥t ，则)2()()(000-+=t x t x t y ，满足因果的定义，所以系统是因果的。

⑤若∞<≤B t x )(，即输入有界，则：∞<≤⎩⎨⎧≥+<=B t t x t x t t y 20,)2()(0,0)(，有界，所以系统是稳定的。

2.23 解：∑∑∑+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=-=-=-==k k k kT t h kT t t h kT t t h t h t x t y )()(*)()(*)()(*)()(δδ(a) 当4=T 时，)2()()(112--=t x t x t x 解31.1.的系统是又LTI )2()()(112--=∴t y t y t y)()1()(113t x t x t x ++= .的系统是又LTI )()1()(113t y t y t y ++=∴)8()4()()4()8()4()(-+-++++++=-=∑+∞-∞=t h t h t h t h t h k t h t y k a(b) 当2=T 时，)4()2()()2()4()2()(-+-++++++=-=∑+∞-∞=t h t h t h t h t h k t h t y k b(c) 当23=T 时，)2()()()()2()()(2323232323⋅-+-++++⋅++=-=∑+∞t h t h t h t h t h k t h t y c(d) 当1=T 时，1)2()1()()1()2()()(=-+-++++++=-=∑+∞-∞= t h t h t h t h t h k t h t y k d2.40解：依题意)()(t y t x LTI −→−，⎰∞----=tt d x et y τττ)2()()(。

(a) 而)()()()(t h t y t t x LTI=−−→−=δ， ∴)2()2()2()()2()2()(-=-=-=--∞---∞---⎰⎰t u ed ed et h t tt tt ττδττδτ(b) )(t x )2()1()('--+=t t t x δδ波形如图。

令)()(t u e t w t-=，则)2(*)()2()(-=-=t t w t w t h δ，21tx'(t)-1 -1而)()1()()()()(0)1(t u e t u d e d u ed w t wtttt--∞--∞---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰⎰λλλλλλλ，所以)4(]1[)]1()1[)4()1()]4()1([*)()2(*)]2()1([*)()2(*)('*)()2(*)(*)()(*)()()4()1()1()1()1()1()1(-----=---=---=---+=-=-==---------t u e t u et wt wt t t w t t t t w t t x t wt t w t x t h t x t y t t δδδδδδδ3.34解：168)()(,)(2||4+==∴=⎰+∞∞---ωωωdt et h j H et h tj t (a)ππωδω22,)()(00==∑=-∑=-+∞-∞=+∞-∞=Tea n t t x tjk k k n1)(10==⎰dt et x Ta tjk Tk ωtjk k et x 0)(ω+∞-∞=∑=∴则ktj k ktj k tjk k k ek ek ejk H a t y ππωππω2222204216)2(8)()(0+∑=+∑=∑=+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=。

(b)tjk k k nk e a n t t x 0)()1()(ωδ+∞-∞=+∞-∞=∑=--∑=，ππω==T20 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎰⎰-5.15.0)1()(21)(10dt e t t dt et x Ta tjk tjk Tk πωδδ⎩⎨⎧±±=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±===--=-=......2,1,0,12,12,1,0,2,0])1(1[21)1(21m m k m m k ekjk πtm j m m tm j m m tjk k k em j H a em j H a ejk H a t y ππωππω22)12(120)2(])12([)()(0+∞-∞=+++∞-∞=+∞-∞=∑++∑=∑=∴tk j k tm j m ek em ππππ)12(2)12(216])12[(816])12[(8++∞-∞=++∞-∞=++∑=++∑=(c)tjk k k ea t x 0)(ω+∞-∞=∑=，ππω220==T)2(21sin][21)(1222414120k Sa kkeekj dt edt e t x Ta kjkjktj tjk Tk πππππππω==--===----⎰⎰ktj k ktj k tjk k k ek k k ek kk ejk H a t y ππππωππππω22222220)4()sin(416)2(8)sin()()(0+∑=+∑=∑=∴+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=3.35解：ktj k k tjk k k ea ea t x 140)(+∞-∞=+∞-∞=∑=∑=ω，142270===πππωT，⎩⎨⎧≥=otherj H ,0250||,1)(ωωktj k k ktj k k tjk k k ea ek j H a ejk H a t y 1418||140)14()()(0≥+∞-∞=+∞-∞=∑=∑=∑=∴ωω 要使)()()(t x t y t x S=−→−，则要求k a 满足：⎩⎨⎧≥=other k a a k k ,018,4.21解： (a)[]0),(cos )(0>=-a t u t et x atωωj a FTatt u e +-−→←1)( ；)()(cos 000ωωπδωωπδω-++−−→←FTt ()20200][)]()([)()(1)(12100121ωωωωωωωωπωωπδωωπδω+++-++++=+=-++*=∴j a j a j a j a j a j X(h))(1t x 如图所示：则2111)(==−→←Tk FSa t x ；∑∑+∞-∞=+∞-∞=-=-=−−→←k k TkFTk kaj X t x )()(2)()(211πωδπωδπωπ而)1()(2)(11-+=t x t x t x∑∑+∞-∞=+∞-∞=----+=-+=+=∴k kk j j k k eej X j X j X )(])1(2[)()2()()(2)(11πωδππωδπωωωωω4.22解：（c ）令: )()()(11ωωj X j X t x FT=−→←，则：⎰⎰⎰⎰=+-==-+∞∞-11111)cos(1][21)(21)(ωωωπωωωωπωωπωωωd t d ed ed ej X t x tj tj tj211101cos sin ]cos 1[sin 1])sin()sin([1tt ttt tt td t t tππωπωωωωπ-+=+=-=⎰而)3(1)()()()(ωωωωω-∠⋅==j j X j ej X e j X j X ，21)3(1)3cos()3()3sin()3()(---+--=-=∴t t t t t x t x ππ（d ）)]2()2([3)]1()1([2)(πωδπωδωδωδω++-++--=j X)]}2()2([{3)]}1()1([{2πωδπωδππωδωδππ-+++--+=j jtt jt x πππ2cos 3sin 2)(+=∴4.25 解：（a ）令)(1t x 如图所示，)(1111)()()(ωωωj X j FTe j X j X t x ∠=−→←。