第五节 静电场的能量 能量密度

8-5 静电场的能量 能量密度

我们将以平行平板电容器的带电过程为例，讨论通过外力作功把其它形式的能量转变为电能的机理。在带电过程中，平板电容器内建立起电场，从而导出电场能量计算公式。

一、 电容器的电能

如图所示，有一电容为C 的平行平板电容器正处于充电过程中，设在某时刻两极板之间的电势差为U ，此时若继续把q d +电荷从带负电的极板移到带正电的极板时，外力因克服静电力而需作的功为

q q C q U W d 1d d ==

欲使电容器两极板分别带有Q ±的电荷，则外力作的总功为

2

2 0 21212d 1CU QU C Q q q C W Q ====⎰ （8-19）

从上述讨论可见，在电容器的带电过程中，外力通过克服静电场力作功，把非静电能转换为电容器的电能了。

二、静电场的能量 能量密度

对于极板面积为S ，间距为d 的平板电容器，若不计边缘效应，则电场所占有的空间体积为Sd ，于是此电容器贮存的能量也可以写成

Sd E Ed d S CU W 222e 21)(2121εε=== （8-20）

式（8-20）表明，在外力作功的情况下，使原来没有电场的电容器的两极板间建立了有确定电场强度的静电场，因此电容器能量的携带者应当是电场。

由此可知单位体积电场内所具有的电场能量为

2e 21E w ε= （8-21）

叫做电场的能量密度。式（8-21）虽是从平板电容器导出的，但它适用于一般情况。 讨论：能量的携带者是电场

仔细看来，式（8-19）和式（8-20）的物理意义是不同的。 式（8-19）表明，电容器之所以贮藏有能量，是因为在外力作用下将电荷Q 从一个极板移至另一极板，因此电容器能量的携带者是电荷。 而式（8-20）却表明，在外力做功的情况下，使原来没有电场的电容器的两极板间建立有确定电场强度的电场，因此电容器的能量携带者应当是电场。

我们知道，静电场总是伴随着静止电荷而产生，所以在静电学范围内，上述两种观点是等效的，没有区别。 但对于变化的电磁场来说，情况就不如此了。 我们知道电磁波是变化的电场和磁场在空间的传播。 电磁波不仅含有电场能量e W 而且含有磁场能量m W 。 理论和实验都确认，在电磁波的传播过程中，并没有电荷伴随着传播，所以不能说电磁波能量的携带者是电荷，而只能说电磁波能量的携带者是电场和磁场。 因此如果某一空间具有电场，那么该空间就具有电场能量。电场强度是描述电场性质的物理量，电场的能量应以电场强度来表述。 基于上述理由，我们说式（8-20）比式（8-19）更具有普遍的意义。

例 1 如图所示，球形电容器的内、外半径分别为21R R 和，所带电荷为Q ±。若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？

解 若球形电容器极板上的电荷是均匀分布的，则球壳间电场亦是对称分布的。由高斯定理可求得球壳间电场强度为

)( π41212R r R r Q r <<=e E ε

2222e π3221r Q E w εε==

取半径为r ，厚度为r d 的球壳，其体积元为r r d π4dV 2=。所以，在此体积元内电场的

能量为 r r Q V w W d π8d d 22

e e ε==

电场总能量为

)11( π8d π8d 212 22e e 21R R Q r r Q W W R R -===⎰⎰εε

121

22π421R R R R Q -=ε

此外，球形电容器的电容为)]/([41221R R R R C -=πε（参阅第8-2节），所以由电容

器所贮电能的式（8-19），

C Q W 2

21=，也能得到相同的答案。 如果∞→2R ，此带电系统即为一半径为1R 、电荷为Q 的孤立球形导体。由上述答案可知，它激发的电场所贮的能量为

12

e π8R Q W ε=

三、思考题 1. 平行板电容器的能量由谁提供，以什么形式储存？

2、点电荷周围的电场的总能量如何计算？