同济高等数学第六版上册第四章ppt

dx 2 (8) sec xdx tan x C 2 cos x dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
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(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求 解:
dx

a2 x2 x d( dx dx a) 2 2 x 2 x 2 a x a 1 ( a ) 1 ( a ) x arcsin C a
(a 0).
想到

du 1 u2

或 d F ( x) F ( x) C
利用逆向思维
二、 基本积分表 (P188)
(1) ( 2) kx C
1 x 1 1
( k 为常数)
x dx
C
( 1)
dx (3) ln x C x
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x
2) 设 ( x) 是 f ( x) 的任一原函数， 即
( x) f ( x)
又知 故
F ( x) f ( x)
wk.baidu.com
[ ( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数)
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
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第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
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dx arc cot x C ( 4) 或 arctan x C 1 x2 dx arcsin x C 或 arc cos x C (5) 1 x2 ( 6)
(7 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
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5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
m
1 1 m 1 1 du u C a a m 1
1 m 1 ( ax b) C a (m 1)
注: 当 m 1 时
注意换回原变量
1 dx a x b a ln a x b C
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dx 例2. 求 2 . 2 a x dx 1 dx 解: 2 x x 2 2 2 a 1 ( a ) a x a 1 x 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u x 1 arctan( ) C a a
它属于函数族 F ( x) C .
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定义 2. f ( x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 f ( x) d x , 其中

— 积分号;
f ( x) — 被积函数; f ( x)dx — 被积表达式.
(P185)
x — 积分变量; 若 F ( x) f ( x) , 则

f ( x ) e x C0 1 f (ln x) C0 x f (ln x) 1 C0 2 x x x
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4. 若 f ( x) 的导函数为 sin x , 则 f ( x) 的一个原函数 是( B ).
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
f ( x) dx 的图形
y
f ( x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
O
x0
x
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例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解:
y 2x
y 2xdx x C
2
y
(1,2)
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
例如,
f ( x)dx F ( x) C x x e e dx C 2 1 x3 C x d x 3 sin xdx cos x C
( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 !
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不定积分的几何意义:
f ( x) 的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线 .
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
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例5. 求 tan 2 xdx . 解: 原式 =
(sec x 1)dx sec 2 xdx dx
2
tan x x C
1 x x2 dx . 例6. 求 2 x (1 x ) x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 d x dx 2 x 1 x arctan x ln x C
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2. 若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数 , 则 f ( x) 的所有 原函数都在函数族 F ( x) C ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x)
F ( x) C 是 f ( x) 的原函数
提示: 已知 求 即
( B ) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
f ( x) sin x ( ? ) f ( x ) ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x) d x sin x C1x C2
思考与练习
x 1. 证明 arcsin(2 x 1), arccos(1 2 x) 和 2 arctan 1 x 1 (P193题7) 都是 的原函数 . x x2
2. 若 e
x
是 f ( x) 的原函数 , 则 1 2 x C 2 x f (ln x) d x 2
x
解: 原式=

1 sin 2
x dx 1 cos x C 2
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三、不定积分的性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x
n i 1
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
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从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
A 1 2 1 B 2
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , u ( x) 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)] ( x)dx f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求 (a x b) dx (m 1).
m
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
2 2 1 sin x cos x ( 2) 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
sec 2 x csc 2 x
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e3 x 1 6. 求不定积分 x dx . e 1 e3 x 1 dx 解： x e 1 (e 1) (e e 1) dx x e 1 ( e 2 x e x 1) dx 1 2x x e e xC 2
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x4 dx . 例7. 求 2 1 x ( x 4 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) dx 2 1 x 1 3 x x arctan x C 3
推论: 若 f ( x) ki f i ( x) , 则
ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1
n
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例4. 求 2 (e 5)dx .
x x
解: 原式 [(2 e) 5 2 ]dx
x x
x (2 e) x 2 C 5 ln(2 e) ln 2

f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C F (u ) C u ( x) f (u )du u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
f [ ( x)] ( x) dx
f (u ) du
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元 公式
x 2x x
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7. 已知 求A,B.

x2 1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 1 x
2
A 1 x
2
Ax 2 1 x
2

B 1 x2
( A B ) 2 Ax 2
1 x2 A B 0 2A 1
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
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dx 例2. 求 3 . x x
解: 原式 =
x
4 3
3 x
1 3
3 x dx 4 C 3 1
4 1
C
x cos x dx . 例3. 求 sin 2 2
x e 提示: f ( x) (e ) 1 ln x f (ln x) e x
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x 3. 若 f ( x) 是 e 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C x d x x
提示: 已知 f ( x) e x