第2讲 常用逻辑用语 高中数学 北师大(2019) 必修 第一册 同步讲义

第2讲常用逻辑用语
模块1 必要条件与充分条件
一、知识梳理
1.命题
可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题，如p,q,r,···
一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫做作假命题．
2.充分条件与必要条件
一般地，当命题“若 p，则 q”是真命题时，我们就说由 p 可以推出 q，记作 p ⇒q，读作“p 推出 q”．此时称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
3.充要条件
当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 p ⇔ q．
p 是 q 的充要条件，又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价．
p 是 q 的充要条件时，q也是p的充要条件.
4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论
二、精讲讲练
考点 1：充分性与必要性的判断
例 1★★★
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空．
①在同一平面内，同位角相等是两直线平行的条件．
②设a∈R，则 a > 1 是a2> 1的条件．
③设a，b ∈R，则a+b > 4 是 a > 2 且b > 2 的条件．
④x > 1是1
x< 1的条件．
⑤若A，B 是两个集合，则A∩B ≠∅是A ⊆B 的条件．
⑥已知x，y∈R，则（x−1）2 +（y−2）2= 0是(x−1) (y−2) = 0 的条件．
例 2 ★★★
已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例 3 ★★★
设a，b ∈R ，则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的()
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
考点 5：充分条件和必要条件逆向求参问题
例 4★★★
若“条件α：2 ⩽ x ⩽4”是“条件β：3m−1 ⩽ x ⩽−m”的充分条件，则实数 m 的取值范围是．
例 5★★★
设α：−1 ⩽ x ⩽ 3，β：x ∈[m−1,2m+5]，若α是β的充分条件，则m∈．
模块2 全称量词与存在量词
一、知识梳理
1.全称量词与全称量词命题
在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.
在命题中，诸如“任意”“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”.
2.存在量词与存在量词命题
在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
在命题中，诸如“存在”、“有一个”、“至少有一个”“有些”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“对任意的”
量词的命题，称为存在量词命题.
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）命题的否定
一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非 p”或“p 的否定”．
若 p 是真命题，则¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则¬p 必是真命题．
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定
对于全称量词命题p：∀x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：
∃x∈M，不具有性质p(x)
对于存在量词命题p：∃x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：
∀x∈M，不具有性质p(x)
二、精讲讲练
考点 1：含量词的命题真假判断
例 1 ★★
下列命题中为存在量词命题的是 ( )
A. ∀x∈R, x2 > 0
B. ∃x∈R, x2⩽ 0
C. 所有平行四边形的对边平行
D. 矩形的任一组对边相等
例 2 ★★
下列四个命题中为全称量词命题的是 ( )
A. 有些实数是无理数
B. 至少有一个整数不能被3 整除
C. 任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称
D. 存在一个三角形不是直角三角形
例 3 ★★
用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：
（1）实数的平方大于等于0；
（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3 > 0 成立．
例 4 ★★
下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()
A. ∀x∈R，x2 +2x+1 > 0
B. 有一个素数不是奇数
C. 所有菱形的四条边都相等
D. π是无理数
考点 2：含量词的命题否定
例 5 ★★
已知命题p : ∃x，y∈Z，x2 + y2 = 2015，则¬p 为()
A. ∀x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015
B. ∃x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015
C. ∀x, y∈Z, x2 + y2 = 2015
D. 不存在x, y∈Z, x2 + y2 = 2015
例 6 ★★
命题“∀x∈R，|x|+ x2⩾0”的否定是()
A. ∀x∈R，|x|+ x2 < 0
B. ∀x∈R，|x|+ x2⩽ 0
C. ∃x∈R，|x|+ x2 < 0
D. ∃x∈R，|x|+ x2⩽ 0
考点 3：命题与量词的逆向求参问题
例7 ★★★
已知命题“∀x∈R, a x2+4x+1 > 0”是真命题，则实数a 的取值范围是()
A. (4, +∞)
B. (0, 4]
C. (−∞, 4]
D. [0, 4)
例8 ★★★
若命题“∃x∈R，x2+ (a−1)x+1 < 0”是真命题，则实数a 的取值范围是() A. [−1, 3] B. (−1, 3)
C. (−∞, −1]∪[3, +∞)
D. (−∞, −1)∪(3, +∞)
例9 ★★★
命题“∀x∈R，x2+mx+m > 0 恒成立”为真命题，则实数m 的取值范围为() A. [0, 4] B. (0, 4) C. [−4, 0] D. (−4, 0)。