12阶群的特征标表
特征标121
正交性定理
设D(i)(R)和D( j)(R)是群G的两个ni，nj维的不等价不可 约表示（R代表群G中的任一元）,则有
AP 可约 (gi )
L(gi ) S P AP (gi )
p 1
Hale Waihona Puke q正则表示含不等价不可约酉表示的次数，等于该表示的 维数。
群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标为 D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)=
i
a A ( g )
p
p
p, v
v
v
i
av S p ( Av | )
p
p
推论：
1、勃恩赛德（Burside)定理 有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和， 等于群的阶。即
2 2 S12 S2 ... S q n
2、正则表示L(gi)按不等价不可约酉表示 化为
i
2,...,q) A ( p 1,是有限群
p
G 的所有不等价不可 g ,..., g ,...g
生成的群函数
1
i
n
A
p
在群
1 p ( ) 函数集｛ A ｝是 的完备基。 是群函数空 ( ) A v g i g s v R G i 间的正交归一基。群G的任意复函数可展为：
p
p
(g )
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表12阶群有很多不同的特征标表。
在这个回答中，我将提供一个基于置换群和矩阵群的特征标表。
在给出特征标表之前，让我们先介绍一些必要的定义和结果。
定义1：置换群置换群是由有限个元素构成的群，其中每个元素是一个置换，即一种排列集合中元素的方式。
定义2：矩阵群矩阵群是由具有特定属性的矩阵组成的群，其中这些属性保证了群的封闭性、结合律、单位元和逆元等。
定义3：特征标现在让我们给出一个基于置换群和矩阵群的12阶群的特征标表。
特征标表：```群元素，置换表示，特征标-------------------------------------e，(1)(2)(3)...(12)，1a，(12)，1b，(13)，1c，(14)，1d，(15)，1f，(16)，1g，(17)，1h，(18)，1i，(19)，1j，(110)，1k，(111)，1l，(112)，1m，(12)(34)(56)(78)(910)(1112)，-1n，(12)(36)(48)(510)(712)(911)，a+b+c+d+f+g+h+i+j+k+l o，(12)(38)(44)(57)(69)(1011)，a+b^2+c^2+d^2+f^2+g^2+h^2+i^2+j^2+k^2+l^2p，(12)(310)(46)(512)(79)(811)，a+b^3+c^3+d^3+f^3+g^3+h^3+i^3+j^3+k^3+l^3q，(12)(312)(42)(511)(68)(710)，a+b^4+c^4+d^4+f^4+g^4+h^4+i^4+j^4+k^4+l^4r，(12)(311)(410)(59)(67)(812)，a+b^5+c^5+d^5+f^5+g^5+h^5+i^5+j^5+k^5+l^5s，(12)(39)(412)(58)(66)(711)，a+b^6+c^6+d^6+f^6+g^6+h^6+i^6+j^6+k^6+l^6t，(12)(37)(411)(56)(810)(912)，a+b^7+c^7+d^7+f^7+g^7+h^7+i^7+j^7+k^7+l^7u，(12)(35)(49)(610)(712)(86)，a+b^8+c^8+d^8+f^8+g^8+h^8+i^8+j^8+k^8+l^8v，(12)(33)(512)(611)(76)(89)，a+b^9+c^9+d^9+f^9+g^9+h^9+i^9+j^9+k^9+l^9w，(12)(311)(42)(67)(84)(95)，a+b^10+c^10+d^10+f^10+g^10+h^10+i^10+j^10+k^10+l^10x，(12)(36)(44)(510)(75)(97)，a+b^11+c^11+d^11+f^11+g^11+h^11+i^11+j^11+k^11+l^11y，(12)(34)(56)(78)(912)(1011)，a+b^12+c^12+d^12+f^12+g^12+h^12+i^12+j^12+k^12+l^12```在这个特征标表中，群元素列给出了群的所有元素，置换表示列给出了每个元素对应的置换表示，特征标列给出了每个元素对应的特征标。
特征标表(PPT文档)
RHale Waihona Puke h 12 1 12 2 (1)2 3 6
四.不可约表示的性质
3、对于每一类操作，其特征标的平方乘该类之阶，然后遍 及所有的不可约表示（l），就等于对称操作的总数h：
h g[R (l)]2
l
h 12 2 12 2 12 2 6
四.不可约表示的性质
4、除了全不对称的不可约表示A1外，对于其余每一个不可 约表示，每一类操作的特征标与此类之阶相乘，然后遍及所 有的类求和，其值为零。
对于E不可约表示
h 21 (1) 2 03 0
四.不可约表示的性质
5、任何两个不可约表示（i, j）的相应特征标之积，再乘此类 之阶，其加和为零：
§ 2-2 特征标表
复习：原子轨道
§ 2-2 特征标表 Character Tables
四.不可约表示的性质
1、每个点群中不可约表示的数目与群中对称操作的类的数 目相等。 2、对于每一个不可约表示，每一类操作（R）的特征标（χ） 的平方乘该类之阶（g），然后遍及所有的类求和，就等于此 群之阶（即对称操作的总数h）
也即任意两 个不可约表 示是正交的
12阶循环群的运算表
12阶循环群的运算表
摘要：
1.循环群的定义与性质
2.12 阶循环群的概念
3.12 阶循环群的运算表
4.12 阶循环群的运算规则
5.总结
正文：
一、循环群的定义与性质
循环群是数学中的一个基本概念，它是由一个元素生成的群。
设G 为一个群，a 是G 中的一个元素，如果对G 中的任意元素x，都有a^n*x=x，则称G 为循环群，并称a 为循环群的生成元，n 为循环群的阶。
循环群具有以下性质：
1.循环群的阶为生成元的最小正幂次；
2.循环群中的元素都可以表示为生成元的某个正整数次幂；
3.循环群中的子群只有它本身和单位子群。
二、12 阶循环群的概念
12 阶循环群是指由一个元素生成，且元素个数为12 的循环群。
设G 为一个12 阶循环群，a 为生成元，则G 中的元素可以表示为：{a, a^2,
a^3,..., a^11, a^12}。
三、12 阶循环群的运算表
在12 阶循环群中，元素之间的运算遵循以下规则：
1.a^i * a^j = a^(i+j)，其中i, j 为0 到11 之间的整数；
2.a^i * a^k = a^(i+k)，其中i 为0 到11 之间的整数，k 为0 到11 之间的整数；
3.a^j * a^k = a^(j+k)，其中j, k 为0 到11 之间的整数。
特征标表
对任意 a, b ∈V ，有
并且
∑ a = α ju j j
∑ b = βkuk k
∑ ∑ ⎛
a⋅b = ⎜ ⎝
j
α
j
u
j
⎞ ⎟ ⎠
⋅
⎛ ⎜⎝
k
β k uk
⎞ ⎟⎠
∑ = α j βku j ⋅ uk jk
∑ ∑ =
jk
α jβk
⎛ ⎜⎝
A
ν
A jk
uA
⎞ ⎟⎠
∑ ∑ =
⎛ ⎜
α
j βkν
A jk
⎞ ⎟uA
6
4）第一正交关系（行正交关系）
∑ 1
|G|
ν
nν Χ(α ) (Kν )Χ(β ) (Kν ) = δαβ
(α , β = 1, 2,", q)
α =1 时 Χ(1) (Kν ) = 1 (Kν ∈ KG )
故
（第一行）
∑ nν Χ(β ) (Kν ) = 0
ν
5）第二正交关系（列正交关系）
(β = 2,3,", q)
14
由 12 + s22 + s32 + s42 + s52 = 8
解得 s2 = s3 = s4 = 1
s5 = 2
故 C4v 的类特征标表示及第一行第一列就求出来了
剩下 16 个未知数，由第一，第二正交关系可以建立 16 个方程，只有 8 个 是线性的，
1）τ (2) ，τ (3) ，τ (4) 都是一维的， 特征标就是矩阵元
11
1）τ (2) 是 1 维的， χ (2) (g) 就是矩阵元, 故
所以
(χ (2) (c2′))2 = χ (2) (c2′ ⋅ c2′) = χ (2) (e) ，
12阶群的特征标表
称 子 群 日 与 共 轭 ． 此可 知 群 Ｇ之一 切 子 群 能 分类 ， 属 由 使 于 同类 中的 子 群互 为共 轭 ， 属 于异 类 中 的 子群 互 不 共 轭 ， 这 样 的每 个 类 叫共 轭 子 群类 （ 称 共轭 类 ） 简 ．
定义 ６ ［（ 的 子 集 的正 规 化 子 与 中 心化 子） 设 Ｇ是 ２群 ：
２１ ０ １年 ２月
Ｆ ｂ２ ｅ ．０１ １
１ ２阶群 的特 征标 表
李德 乐
（ 建水 利 电力职 业 技 术 学 院 ， 福 福建 永安 ３ ６ ０） ６０ ０
摘要 ： 通过群的同构分类的观点 ， 了 １ 分析 ２阶群的生成关 系， 再利 用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表 。
由此可知群g之一切子群能分类使属于同类中的子群互为共轭属于异类中的子群互不共轭这样的每个类叫共轭子群类简称共轭类
第 ２ 卷第 １ １ 期
ｖ１ ｏ ．２１ Ｎｏ １ ．
四川职业技术学院学报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＳｃ ｕ ｎ Ｖｏ ａｉｎ ｌａ ｄ Ｔ ｃ ｎｃｌ ｏ ｒａ ｉｈ ａ ｃｔ ａ ｎ ｅ ｈ ｉａ Ｃｏｌｇ ｏ ｏ ｌｅｅ
为 日 在 Ｇ 中的 中 心化 子 ． 定义 ７ 特 征 标 ） （ Ｖ ∈Ｒ（）， Ｇ 定 义 Ｆ 函 （ 设 Ｐ，） Ｆ 在 上 Ｇ 值
关键 词 ：２阶群 ； 成 关 系 ； 标 １ 生 特征
中图分类号 ： ７ ２ Ｇ １
文献标识码 ： Ａ
文献编号 ：６ ２ ２ ９ （ １）１ ０９ － ３ １７ — ０ ４２ １ － ００ ０ ０ ０
群表示论是代数学的一个重要 分支， 它除用于研究群 的
结构 以外 ， 在众 多 的数 学 分支 和 其 他 自然 科 学领 域 中也 有着 重 要 的应 用 ． 对 于 １ 群 的生 成 关 系和 特 征 标 表 零 散 分布 ２阶 在 各 类文 献 中 ，本 文通 过 １ 群 的 生成 关 系 来 构 造其 特 征 ２阶 标表． １主要 定义 与 引理
第1部分第3章 特征标理论(2)
第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(2)(七) 不可约表示特征标表的计算 2一, 正交法(1) 将群分类, 并由此可确定类数 C.再根据不可约表示数定理( r = C ), 可得不可约表示数 r 值.从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ).(2) 由维度定理 ( ∑i n i2 = h ) 和不可约表示数定理 ( r = C ),可求得所有不可约表示的维度 { n i },(3) 如此, 可确定不可约表示特征标表的第一行 ( 都是“ 1 ” )和第一列( { n i } )例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 )分类: C1 C2 C3 ( r = C = 3 )由∑i n i2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *D3 E 3C2 2C3 3D1 1 1 1D2 1 a bD3 2 c d(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数正交性定理: ∑C ( h C /h )χi *( C ) χj ( C ) = δij( 行间正交 ) 完全性定理: ∑j ( h m /h ) χi*( C m ) χi ( C n ) = δmn( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2的 a 和 b, 有1 • 1 • 1 + 3 • 1 • a +2 • 1 • b = 0 ( 第1, 2 行正交 )1 + 3 a +2 b = 0 ---------------------------- (13)对于一维(么正)表示, 只有一个矩阵元, 其模为1[ 提问: 其模可以大于或小于 1 吗? 为什么? ][ 答案: 不可, 否则不能满足群的封闭性 ] *尝试法: 不妨取 “+1” 或 “-1” ( 其正确性需通过下面的检验 ) 4由 (13) 式可得 a = -1, b = 12, 利用完全性定理确定二维表示D3的 c 和 d,1) 1 • 1 + 1 • a + 2 • c = 0 ( 第 1, 2 列正交 )1 + a + 2c = 0 , 则 c = 02) 1 • 1 + 1 • b + 2 • d = 0 ( 第 1, 3 列正交 )1 + b + 2d = 0, 则 d = -1因此有 D3 E 3C2 2C3D1 1 1 1D2 1 -1 1D3 2 0 -1其结果满足正交性和完全性关系的要求, 是正确的. *5二, 利用商群和母群的同态关系• 当群元较多时, 因未知数较多, 直接利用正交法有困难.• 有时可利用商群Ｇ/ H和大群Ｇ的同态关系G ~ Ｇ/ H ( H为不变子群 )• 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同态 )• 商群的不可约表示也是大群的不可约表示 [ 提问: 为什么? ] [ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ]• 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标*6例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表 D3群 ( 大群 ) C2群 ( 商群）E, D, F (不变子群 H ) ↔ EA, B, C ↔ C2D3 E D F A B C C2 E C2D1 1 1 1 D1 1 1D2 1 1 -1 D2 1 -1D3 2 a b(1) 由C2 群不可约表示D1 和D2 的特征标可得D3 群不可约表示D1 和 D2 的特征标 ( 注意两群间群元的对应关系 )(2) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得a = -1,b = 0 *7 [ 思考题: 一般说来, 不可约表示是唯一确定的吗? ][ 答案: 不是, 可作相似变换, 彼此等价 ][ 思考题: 不可约表示的特征标是唯一确定的吗? ][ 答案; 是, 矩阵相似变换特征标不变 ]习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系: S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )S3 : 1C1,3C2 , 2C3 ( h3 = 6 )( 注：要求不用尝试法）*习题: 试用类和法求D2d 群的二维不可约表示特征标. 17已知D2d群的乘积表(可不用)和一维不可约表示特征标为:D2d E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1E E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1C2 C2 E C2y’ C2x’ σd2 σd1 iC4-1 iC4C2x’ C2x’ C2y’ E C2 iC4 iC4-1 σd1 σd2C2y’ C2y’ C2x’ C2 E iC4-1 iC4σd2 σd1σd1 σd1 σd2 iC4-1iC4 E C2 C2y’ C2x’σd2 σd2 σd1 iC4iC4-1 C2E C2x’ C2y’iC4 iC4 iC4-1 σd2 σd1 C2y’ C2x’ C2 EiC4-1 iC4-1 iC4σd1 σd2 C2x’ C2y’ E C2D2d E C2 2C2 ’ 2σd 2iC4 D1 1 1 1 1 1D2 1 1 -1 -1 1D3 1 1 1 -1 -1D4 1 1 -1 1 -1 *。
三 群论基本知识
C2v群特征表表：
C2v
E C2
A1
11
A2
11
B1
1 -1
B2
Г2φ
1 -1 20
(xz) (yz ) 基
11
z
x2, y2, z2
-1 -1 1 -1 -1 1
Rz xy x, Ry xz y, Rx yz
02
C3v群特征表表：
C2v
E
2C3
A1
1
1
A2
1
1
E
2
-1
3v 1 -1 0
基
z
x2 + y2, z2
x、y、z
分别代表原子的三个坐标以及在轴上的平移运动，由 于px、py、pz轨道的变换性质和偶极矩向量的变换性
质相似，故也可用x、y、z表示
Rq
代表绕q轴进行旋转的转动向量
xy，xz，yz，x2- y2 ，z2
分别代表各个d轨道和判断拉曼光谱活性的极化率的不 可约表示
将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1 变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的Г1(xyz)表示在C2v 群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化 公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式
A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC
几种矩阵：
a1
a2
列矢量 {A}= a3
在n维空间中，一个矢量可由一个n×1阶的列矢量所决定。这 个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定 它的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（ 例如直角坐标系）。
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12阶群的特征标表
特征标是指一个群在其自身上的不可约表示的特征函数，它们是复值函数。
而特征标表则展示了一个群的所有特征标。
以下是12阶群的特征标表：
设群G是一个12阶群，它有几个不同的特征标，我们可以逐一计算它们的值。
1.平凡特征标：
群的单位元素的特征标为1，即ε(g)=1，对于群中的所有其他元素g有ε(g)=0。
2.一维特征标：
由于群G是12阶的，根据拉格朗日定理，它有一个正规子群H，其阶数为2、3、4或6，这个子群H是G的唯一正规子群。
我们可以以这个正规子群与一个余群N的乘积形式表示整个群G，即G=HN。
由于H是正规子群，所以任意两个元素h1和h2属于H，则它们的乘积h1h2也属于H。
正规子群H是一个循环群，根据循环群的性质，它有一个生成元a，其中a的幂次为H的阶p（p为2、3、4或6）的最小公倍数。
我们可以利用这个生成元a来定义一个一维特征标φ，它的定义如下：φ(h) = λ，其中h = an，a是生成元，n是群G中除单位元之外的元素。
该一维特征标表示的表示空间是复数域上的一维线性空间。
3.单位特征标：
4.不可约特征标：
群的特征标可以表示为多个不可约特征标的直和。
不可约特征标是指在特征标矩阵中不能进一步分解的最小单位。
每个不可约特征标表示一个不变的子空间。
关于12阶群的特征标表很长，以下是一个简化的示例表：
群元素单位特征标不可约特征标1 不可约特征标2 不可约特征标
3 ...
e 1 1 1 1 ...
g1 1 λ1λ2λ3...
g2 1 λ1λ2λ3...
g3 1 λ1λ2λ3...
... ... ...... ... ...
需要注意的是，由于12阶群有多种构造方式，其特征标矩阵的形式可能会有所不同。
上述特征标表只是一个简化示例，实际的特征标表可能更加复杂。