p-稳定群的特征p-子群
群的p-群与p-子群研究
群的p-群与p-子群研究引言在群论中，p-群和p-子群是两个重要的概念。
p-群是指阶为p的幂的群，其中p是一个素数。
p-子群是指一个群的子群，其阶是p的幂。
研究p-群和p-子群对于理解群的结构和性质具有重要意义。
p-群的研究p-群是一个经典的研究对象，已经取得了大量的重要成果。
其中比较著名的有：•Sylow定理：对于任何有限群G，对于每个素数p，G中存在一个阶为p的幂的子群，称为Sylow p-子群。
•Burnside定理：任何阶为p的幂的群都是可解的。
•Frobenius定理：任何阶为p^2的群都是可解的。
这些定理为研究p-群提供了重要的理论基础。
p-子群的研究p-子群的研究也是群论中的一个重要课题。
p-子群的一个重要性质是，它与群的中心化子是一致的。
也就是说，如果H是群G的p-子群，那么H的中心化子也是H。
这为研究p-子群提供了有效的工具。
p-子群的另一个重要性质是，它与群的特征子是一致的。
也就是说，如果H是群G 的p-子群，那么H的特征子也是H。
这为研究p-子群的结构提供了重要的信息。
p-群与p-子群的研究应用p-群和p-子群的研究在数学的各个领域都有着广泛的应用。
例如：•在数论中，p-群和p-子群被用来研究素数的性质。
•在代数中，p-群和p-子群被用来研究环和域的结构。
•在几何中，p-群和p-子群被用来研究多面体和对称群。
结论p-群和p-子群的研究是群论中的一个重要课题。
它们对于理解群的结构和性质具有重要意义。
p-群和p-子群的研究在数学的各个领域都有着广泛的应用。
关于循环群和交换群的等价刻画
关于循环群和交换群的等价刻画史江涛; 毕凌霄; 李娜【期刊名称】《《云南民族大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(028)006【总页数】3页(P563-565)【关键词】循环群; 交换群; 极小子群; 初等交换子群; 正规化子【作者】史江涛; 毕凌霄; 李娜【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院烟台264005【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言设G为有限群,A是G的子群.用NG(A)={g∈G|Ag=g-1Ag=A}表示A在G中的正规化子,CG(A)={g∈G|ag=ga,∀a∈A}表示A在G中的中心化子.Zassenhaus 在文献[1]定理7中证明了：如果有限群G的每个交换子群的正规化子皆等于它的中心化子,则G是交换群(亦可参考[2]定理3.6.6).在文献[3]定理0.3中,陈重穆进一步证明了:若G的每一个交换(Abel)p-子群的正规化子一致于其中心化子,则G为交换群(Abel).作为上述结果的改进,李世荣、史江涛和何宣丽在文献[4]推论2.1中,证明了：有限群G交换当且仅当对每个二元生成交换p-子群及初等交换p-子群A 均有CG(A)=NG(A),p为|G|的任一素因子.沈如林、史江涛和施武杰在文献[5]定理2.1中仅考虑子群的正规化子给出了循环群的一个刻画:设G为有限群,则G循环当且仅当对每个极小子群X均有NG(X)循环．在这个结论的证明中我们用到了内循环群的分类.在文献[6]中史江涛对这个刻画做了进一步讨论,但是在证明中用到了有限p-群的一个结构性质：其中心大于1. 在本文中,我们将不应用内循环群的分类以及有限p-群的中心大于1的特性,用初等的方法给出文献[5]定理2.1一个新的证明.我们将用初等方法证明交换群的一个等价刻画：定理1 有限群G交换当且仅当G的每个初等交换子群的正规化子皆是交换群.注记1 在定理1中,如果假设有限群G的每个循环子群的正规化子都是交换群,则得不到G是交换群.反例：在四次交错群A4中,2阶循环子群的正规化子是4阶的初等交换2-群,3阶循环子群的正规化子等于它自身,都是交换群,但A4是非交换的.1 引理引理1文献[2]例1.3.14 设G是有限群,H<G,则H的所有共轭子群的并集为G的真子集.引理2文献[2]命题1.4.7 若K是H的特征子群,H是G的正规子群,则K是G的正规子群.2 文献[5]定理2.1的初等证明证明只需证充分性.在证明G为循环群之前先证G是交换群.反证,假设G非交换.令A为G的任一极大交换子群,下证A=NG(A).首先,显然有A≤NG(A).取X为A的一个极小子群,有A≤NG(X).由题设条件知NG(X)循环.于是A也循环.由A为G的极大交换子群,有A=NG(X).因为A是循环群且而X≤A,得于是有NG(A)≤NG(X).从而NG(A)≤A.故A=NG(A).下证对于G的任意两个不同的极大交换子群A和B,有A∩B=1.反证,若A∩B≠1,由上面讨论知A和B皆是循环群.因为交换群的子群皆是正规子群,有且于是取X为A∩B的一个极小子群,因为A∩B是循环群,则说明〈A,B〉≤NG(X).由题设条件NG(X)循环,于是〈A,B〉也循环.但是〈A,B〉>A,与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.因为G非交换,对于极大交换子A有A<G,由引理1,知因此存在h∈G但h不包含在A的任一共轭子群内.设B为G的极大交换子群满足〈h〉≤B,这里B与A不共轭.由上面的讨论知,∀x,y∈G,Ax∩By=1.设|A|=m1,|B|=m2,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1,|G∶ NG(B)|=|G∶ B|=n2.于是有和因为所以有得注意这里m1≥2,m2≥2,于是得到矛盾.说明假设不成立,故G是交换群.又交换群的极小子群都是它的正规子群,进而由题设条件知G是循环群.3 定理1的初等证明证明同样只需要证明充分性.反证,假设G非交换.对于G的任一极大交换子群A,令Y为A的一个极大初等交换子群,则Y是A的特征子群.由知A≤NG(Y).由题设条件,NG(Y)是交换群A.考虑A的极大性,有A=NG(Y).因为Y是A的特征子群且A正规于NG(A),由引理2,得于是NG(A)≤NG(Y),又A=NG(Y),有NG(A)≤A，因此A=NG(A).设A和B是G的任两个不同的极大交换子群,如果A∩B≠1,令Y为A∩B的一个极大初等交换子群.由且知这里Y是A∩B的特征子群,于是由引理2,有于是〈A,B〉≤NG(Y).由题设知NG(Y)交换,说明〈A,B〉也是交换群.这里A和B是G的两个不同的子群,有〈A,B〉>A,这与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.对于G的任一极大交换子群A,因为A<G,由引理1,有则必存在G的极大交换子群B使得B不与A共轭.设|A|=m1,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1;设|B|=m2,则|G∶ NG(B)|=|G∶B|=n2.由于G的任两个不同的极大交换子群的交都是1,则分别有以及因此有移项整理得,又m1≥2,m2≥2,于是有这是矛盾的,由反证法知G是交换群.参考文献:【相关文献】[1] ZASSENHAUS H J.A group-theoretic proof of a theorem of MacLagan-Wedderburn [J].Glasgow Mathematical Journal,1952,1(2):53-63.[2] 徐明曜.有限群初步[M].北京:科学出版社,2014.[3] 陈重穆.内外-∑群与极小非∑群[M].重庆:西南师范大学出版社,1998.[4] 李世荣,史江涛,何宣丽.交换群和循环群的若干充分必要条件[J].广西科学,2006,13(1):1-3.[5] 沈如林,史江涛,施武杰.极小子群与有限群的结构研究[J].苏州大学学报(自然科学版),2009,25(1):1-3.[6] SHI Jiang-tao.A note on finite groups in which the normalizer of every minimal subgroup is cyclic or abelian [J].South Asian Journal of Mathematics,2012,2(2):119-121.。
p-群与Abel群的判定
p-群与Abel群的判定杨艳【摘要】-群是有限群中非常重要的一类群,这一点在sylow定理中就得以体现,而阶群总是幂零的,因此对阶群和交换群的关系可以从两个方面考虑:1)阶的群在什么情况下是交换的,并找出相应的类型,2)通过研究群的sylow子群以判断群的交换性.【期刊名称】《湖北文理学院学报》【年(卷),期】2010(031)011【总页数】3页(P17-19)【关键词】sylow子群;幂零群;p-群;Abel群【作者】杨艳【作者单位】襄樊学院,数学与计算机科学学院,湖北,襄樊,441053【正文语种】中文【中图分类】O157群论中，依照群的交换性对群进行分类是很自然也很重要的问题，因此可以把群分为Abel群和非Abel群. 而Abel群的理论作为群论的一个分支本身也具有相当丰富的内容，就像Laszlo Fuchs说过的，群论中很少有性质能够像交换性这样具有深远的影响. 事实上，群论中非常重要的一些概念，如可解、幂零等都是由交换性衍生而来的[1-3].国内外对于Abel群的研究一直没有停止过，这其中包括对交换性的判定、Abel 群的自同构、自由群、有限p-群、可解群、幂零群等诸多问题. Hall. P、Higman.G、Kulikov. L. Ya、Robison. D. J. S等人对这些问题就进行过深入的研究，并取得了很好的结果[4-5].给出一个群G，判断它是否为Abel群甚至是循环群、有限生成Abel群等是很基础也是很重要的理论.对于不同形式的群，因为它所具有的性质的独特性，通常会找出一些相对应的特别的方法. 同时，也可以从不同的角度对其进行判断，比如它的一些特殊子群、有限群的阶、它的自同构群的结构等. 这部分内容在Abel群理论中是很丰富的.引理1 非平凡的有限p-群的中心是非平凡的.定理1 有限p-群是幂零的.证明：令G是一个有限p-群，且|G|>1，则由引理1可知Z(G)>1，因此我们可以对群的阶作归纳，即知G/Z(G)是幂零的.然后做一个自然同态，这样可以找到一个G的一个中心列：其中，的一个中心列.定理2 若|G|=p2，则G是Abel群，其中p是素数.证明：由引理1可知|Z(G)|=p或p2，因此|G/Z(G)|=p或1，即G/Z(G)是循环群，设G/Z(G)=gZ(G)，由此G=g,Z(G)，即G是Abel的.但当|G|=pn,n≥3时，此定理不一定成立.例：对称群D8={T,T2,T3,T4,ST,ST2,ST3,ST4}，其中T4=1,S2=1,ST=T−1S，显然|D8|=23，但不是交换群.接下来重点考察p3阶群的情形.若群G的阶为p3且G为交换群，则G一定与以下群同构1) G≅Zp3，此时G为循环群；2) G≅Zp2⊕Zp;3) G≅Zp⊕Zp⊕Zp定理3 若群G的阶为p3且G为非交换群，则G一定与以下群同构：1) 当p=2时证明：任取G的正规子群N，则因为|G/N|≤p2，G/N为交换群，得再注意到G中必无p3阶元素，可以分下面两种情形.设G中有p2阶元素a，这时a是G的极大子群，即aG，因为ap是a的特征子群，所以apG，由前面的分析知G'=ap在a外取一元b1，再分两种情形：b的阶为p. 因为G=a,b，换位子[a,b]≠1，但因G'=ap，故可设[a,b]=akp，这里(k,p)=1.1111取i满足ik≡1(mod p)，令b=b1i，则有于是G有关系b1的阶不为p. 因为b1p∈a，可令b1p=akp，如果p≠2，则由知a外有p阶元b1a−k，因此可化为上一种情形.而如果p=2，则有这时以b代b1，得G有如下关系式G中无p2阶元素.若p=2，由G的指数为2可知G一定是交换群.若p≠2.则假定G/G'=aG',bG'，于是G=a,b,G'，但由G非交换，必有令c=[a,b]，这时有引理2 设G为有限群，A为G的极大交换子群，则A=CG(A).证明：若CG(A)>A，取x∈CG(A)，令B=x,A，则B交换且B>A，，矛盾于A的选取，故A=CG(A).引理3 G为幂零群，若H<G，则H<NG(H).定理4 设G幂零，则G交换当且仅当对每个sylow子群的极大子群A有CG(A)=NG(A)证明：必要性显然成立，下面证明充分性.设P为G的任一sylow子群，A为P的极大子群.则由CG(A)=NG(A)，可知A交换. 若P不交换，则A为P的极大交换子群，由引理2，A=CP(A)=NP(A). 再由引理3，知P=A，矛盾，故P交换，又G幂零，由P的任意性，G交换.【相关文献】[1] ROSE JOHN S. A Course on Group Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1978.[2] DEREK J S ROBINSON, GEHRING F W, AXLER SHELDON. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer, 1995.[3] WARFIELD R B. Nilpotent Groups[M]. Berlin: Springer, 1976.[4] LASZLO FUCHS. .Abelian groups in Hungary [J]. Rocky Mountain J. Math., 2002,32(4):1181-1195.[5] CURRAN M J. The automorphism group of a non split metacyclic p-group[J]. Arch. Math. (Basel), 2008, 90(6): 483–489.。
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表李德乐【摘要】通过群的同构分类的观点,分析了12阶群的生成关系,再利用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表.【期刊名称】《四川职业技术学院学报》【年(卷),期】2011(021)001【总页数】3页(P90-91,113)【关键词】12阶群;生成关系;特征标【作者】李德乐【作者单位】福建水利电力职业技术学院,福建,永安,366000【正文语种】中文【中图分类】G712群表示论是代数学的一个重要分支,它除用于研究群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学领域中也有着重要的应用。
对于12阶群的生成关系和特征标表零散分布在各类文献中，本文通过12阶群的生成关系来构造其特征标表。
1.1 定义定义1[1]置换群：Cn=<a│an=1>。
定义2[1]狄利克雷群（二面体群）：D2n=<a,b│an=b2=1, b-1ab=a-1>。
定义3[1]n次交代群：置换群Sn中全体偶置换作成一个阶的群。
定义4[1]双循环群（四元数群）：Q2n=<a,b│a2n=1,an=b2, b-1ab=a-1>。
定义5[1]（共轭（元素、子群）类）若我们称元素x与y共轭。
若，我们称子群H与K共轭。
由此可知群G之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，属于异类中的子群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类（简称共轭类）。
定义6[2]（群的子集的正规化子与中心化子）：设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足H=g-1Hg，则g称正规化H，而称G中所有正规化H的元的集合为H在G中的正规化子。
设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足h=g-1hg对一切h∈H，则称g中心化H，而称G中所有中心化H的元的集合为H在G中的中心化子。
定义7[3]（特征标）设(ρ,V)∈RF（G）+，在G上定义F值函数：这里trρ(g)是V上线性变换ρ(g)的迹。
称为G上的表示ρ的特征标。
如则称为不可约特征标，如F=C，则称复特征标。
pq3阶群的完全分类
pq3阶群的完全分类陈松良;欧阳建新;李惊雷【摘要】设P,q均为素数,且P>q,对pq3阶群进行了完全分类并获得了其全部构造:1)当q不整除P-1且P不整除(q2+q+1)时,G恰有5个彼此不同构的类型;2)当q不整除P-1但P整除(q2+q+1)时,G恰有6个彼此不同构的类型;3)当q整除P-1但q2不整除P-1且P不整除(q2+q+1)时,G恰有12个彼此不同构的类型;4)当q整除P-1且P整除(q2+q+1)但q2不整除p-1时,G恰有13个彼此不同构的类型;5)当q2整除P-1但q3不整除P-1时,G恰有14个彼此不同构的类型;6)当q3整除P-1时,G恰有15个彼此不同构的类型.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】4页(P253-255,263)【关键词】有限群;同构分类;群的表写【作者】陈松良;欧阳建新;李惊雷【作者单位】贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018;贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018;贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018【正文语种】中文【中图分类】O152.1设p，q是奇素数，p＞q.文献 [1]用了不少篇幅，经过繁杂的计算与推理，得到了23p阶群的全部构造.本文将用不同于文[1]的方法来研究pq3阶群，并决定pq3阶群的全部构造.利用本文的方法，也不难重新确定23p阶群的全部构造.以下恒设G是pq3阶群，P是 G的一个Sylow p-子群，Q是G的一个Sylow q-子群.显然，P是p阶循环群，设.由[1]之定理 7.1，Q必为下列5种类型之一：下面我们来讨论G的构造.显然 G=PQ，且 G/CG（P）同构于 Aut（P）的一个子群.众所周知Aut（P）是p－1阶循环群，并且P ≤ CG（P）.于是 G/CG（P）同构于（G/P）/（CG（P）/P）≌ Q/CQ（P），由此知 Q/CQ（P）是一个循环群.1）若 q不整除 p－1，则必有 CQ（P）=Q，于是G是循环群，它的构造如下：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则除了有CQ（P） =Q 外，还可能 CQ （P）是 q2阶群.即 G 除了是循环群外，还可能是如下的构造其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.3）若 q2整除 p－1，但 q3不整除 p－1，则除了有CQ（P） =Q 或〈aq〉外，还可能 CQ（P） = 〈aq2〉.即 G除了有构造（1）与（2）外，还可能是如下的构造其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.4） q3整除 p－1，则除了有 CQ（P）=Q 或〈aq〉或〈aq2外，还可能CQ（P）=1.即 G 除了有构造（1）、（2）、（3）外，还可能是如下的构造其中t= α（p－1）/q3，而α 是模p的一个原根.1）若 q不整除 p－1，则必有 CQ（P） =Q，于是G是一交换群，它的构造如下：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则除了有 CQ（P） =Q 外，还可能 CQ （P） = 〈a〉或〈aq，b〉.所以G除为交换群（5）外，还有如下两种构造：在（6）、（7）中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.3）若 q2整除 p－1，则 CQ（P）除了可为 2）中的情形外，还可为〈b〉(注意Q/CQ（P）是一个循环群，从而CQ（P）不可能是〈aq〉.所以 G 除为构造（5）、（6）、（7）外，还有如下构造：其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.不难证明（5）、（6）、（7）、（8）是互不同构的.1）若 q不整除 p－1，则显然有 CQ（P） =Q，于是G必是一交换群，其构造是：2）若 q 整除 p－1，则因为 Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P）=Q 外，CQ（P）还可以且仅可以是一个p2阶初等交换群，不妨设CQ（P）= 〈b，c〉，从而G有如下构造：其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.1）若q不整除p－1，则显然G是一幂零群，其构造是：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则因为Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P） =Q 外，CQ（P）还可以是〈a〉或〈aq，b〉.所以 G 除为幂零群（11）外，还有如下两种构造：在（12）、（13）中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.不难证明（12）、（13）是互不同构的.3）若 q2整除 p－1，则CQ（P）除了可为 2）中的情形外，还可为〈b〉（注意Q/CQ（P）是一个循环群，从而CQ（P）不可能是〈aq〉）.所以 C 除为构造（11）、（12）、（13）外，还可能有如下构造：其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.但此时由（a-1ga）b=gs易得，s1+q≡ s m od p，从而sq≡ 1 mod p，这不可能.因此G不可能有构造（14）.1）若q不整除p－1，则显然G是一幂零群，其构造是：2）若 q 整除 p－1，则因为 Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P） =Q 外，CQ（P）还可以且仅可以是一个 p2阶初等交换群，不妨设 CQ（P）= 〈b，c〉，从而G有如下构造：其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.这时，因为p＞ q，所以（p，q2－1） =1，再据Sylow定理得p整除q3－1，从而p整除（q2+q+1），且必有（p－1，q3） =1或 q.又由[2]之定理 8.5.3知G是可解群，所以存在G的正规q-子群B＞1.若，则P在PB中必正规，从而P char PB.然而G/B的Sylow p-子群又显然正规，所以PB是G的正规子群，因而P是G的正规子群，矛盾.因此B只能是q3阶初等交换群，即B=Q且Q是G的唯一极小正规子群.将Q看成是q元域Fq上的3维向量空间，则g可看成是Fq上的3阶矩阵，不妨记其行列式为.因为gp=1，所以又显然，再由（p，q－1）=1 得.故g的特征多项式可设为f（λ）=λ3－βλ2－γλ－1.由Q 的极小正规性可知，f（λ）必是Fq上的3次不可约多项式.从而G有如下的构造：其中β，γ 使得λ3－βλ2－γλ－1是 Fq上多项式λp－1的一个不可约因式.反之，若p整除（q2+q+1）且p＞q，则（p，q2－1） =1，从而（λp－1，λq2-1－1）= λ－1.于是（λp－1）/（λ－1）无1次和2次不可约因式.再由（p，q3－1）=（p，q2+q+1）=p可见（λp－1）/（λ－1）全是3次不可约因式之积，所以必有p≡1 mod 3.记gi的特征多项式为 fi（λ），i=1，2，…，p－1，则fi（λ）都不可约，且都是λp－1的因式.又对任何i：1≤ i≤ p－1，易见 i，qi，q2i模 p是互不同余的.但，所以 fi（λ）=fqi（λ） =fq2i（λ）.从而 fi（λ），i=1，2，…，p－1，中恰有（p－1）/3 个是不同的.显然取λp－1的不同的不可约3次因式得到的G的构造是彼此同构的.因此，当p整除（q2+q+1）且p＞q时，如果G的Sylow p-子群不正规，那么必有p≡1 mod 3，且在同构意义下G只有一种构造（17）.综上所述，我们得到下面的定理：定理 1 设p，q为奇素数，且p＞q，而G是pq3阶群.则：（i）当 q不整除p－1且p不整除（q2+q+1）时，G恰有5个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（5），（9），（11），（15）；（ii）当 q不整除 p－1但 p整除（q2+q+1）时，G恰有6个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（5），（9），（11），（15），（17）；（iii）当q整除p－1但q2不整除p－1且p不整除（q2+q+1）时，G恰有12个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（2），（5）～（7），（9）～（13），（15），（16）；（iv）当q整除p－1且p整除（q2+q+1）但q2不整除p－1时，G恰有13个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（2），（5）～（7），（9）～（13），（15）～（17）；（v）当q2整除p－1但q3不整除p－1时（这时必有p不整除（q2+q+1）），G恰有14个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1）～（3），（5）～（13），（15），（16）；（vi）当q3整除p－1时（这时必有p不整除（q2+q+1）），G 恰有 15个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1）～（13），（15），（16）.对于23p（p≠ 3）阶群，类似于以上讨论（但应注意在1.5中，Q5要用8阶四元数群代替，且8阶四元数群没有循环的4阶商群，从而Sylow2-子群是四元数群且Sylow p-子群正规的23p阶非幂零群恰有一个），我们立即得到文[1]中的相同结果.如果p=3，即G是24阶群，则当G的Sylow3-子群正规时，类似于以上讨论，可知G有12个互不同构的类型.如果G的Sylow3-子群（用P表示）不正规，则由Sylow定理可知，NG（P）必是6阶群.如果NG（P）是交换群，则NG（P）=CG（P），于是由Burnside定理（文[3]之定理）得，G是3-幂零的，从而Q是G的正规子群，因而Q有一个3阶自同构.不难证明，有3阶自同构的8阶群只有Z2×Z2×Z2与四元数群Q8.若Q≌Z2×Z2×Z2，则易见 CQ（P）是2阶群，不妨设CQ（P）=〈c〉.又由[4]之定理知，〈c〉在Q中有补子群，不妨设其为〈a，b〉.因为P不正规，于是不难证明〈a，b〉P≌A4，故必有G≌Z2×A4；若Q≌Q8，则CQ（P）是Q的唯一2阶元，从而Z（G） =Z（Q8）是2阶群.由此不难证明G≌SL（2，3）.如果NG（P）不是交换群，则显然NG（P）不是G的正规子群.事实上，P char NG（P），如果NG（P）是G的正规子群，那么P将是G的正规子群，矛盾.众所周知，G是可解群，所以G的极小正规子群N是2阶或4阶的.若N是2阶的，则PN是6阶循环群，这与NG（P）不是交换群矛盾.记 H=NG（P），则HG=1，令为H的全体右陪集的集合，则规定G在Ω上的一个作用ρ：显然作用ρ是忠实的，因而G≌S4.综上所述，可知Sylow3-子群不正规的24阶群恰有3个不同构的类型，从而24阶群共有15个互不同构的类型.这与文[1]在10.4中的结果是一致的，但值得一提的是我们的方法比文[1]要简单明了得多.【相关文献】［1］张远达.有限群构造[M].北京:科学出版社,1982.［2］Robinson D J S.A course in the theory of groups[M].Graduate Texts in Mathematics 80,Springer-Verlag,New York,Heidelberg,Berlin,1982.［3］徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,1999.［4］Kurzweil H,Stellmacher B.The Theory of Finite Groups[M].Springer-Verlag,New York,Inc.,2004.。
稳定子群
子群
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子 群H≠G，则称H为G的真子群，记为H G或简记为H<G。任何一个非单位元群G至少有两个子群，G自身以及由单位 元e作成的单位元群{e}(或用{1}或1表示)，称它们为G的平凡子群。不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群G的 非空子集H为G的子群的充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一 个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。
稳定子群
群论概念
01 定义
03 群 05 的概念
目录
02 性质 04 子群
基本信息
稳定子群亦称稳定化子。一种特殊的子群。设群G作用在集合X上，x∈X，G中作用在x上使x不变的元素的全 体，即{g∈G|xg=x}，它是G的一个子群，称为x的稳定子群，记为SG(x)，或StG(x)。
稳定子群的概念还可以推广。设Δ是Ω的一个子集合，可自然地得到两个子群。第一个子群由G中那些把Δ中 每个元素都不变的元素组成，这个子群称为子集Δ的点不变稳定子群。第二个子群由G中那些把Δ作为整体还变成 Δ的元素组成，这个子群称为Δ的集不变稳定子群，分别记为GΔ和G{Δ}。
的概念
的概念
稳定子群置换群内的一种特殊子群。置换群G中把某点α保持不动的全体元素组成的子群。它记为Gα，称为 α在G内的稳定子群。若β是G中另外一个点，而G中有元素g使α=β，则。所以同一轨道内的各点有相互共轭的 稳定子群。若Δ={α1，α2，…，αr}为G的轨道，取xi∈G (i=1，2，…，r)，使α1=αi，则陪集Gα1xi就是 G中把α1变成αi的全部元素所成的子集。于是，Δ中的元素和Gα1在G内的各陪集之间可以建立一一对应。因此 Δ的长度r就是Gα1在G内的指数。
p可解群中子群的相互作用及有关论题
有关定义及常用结论
定义１ １称群Ｇ的子群Ｈ为Ｇ的极大子群，如果日＜Ｇ，并且由Ｈ≤Ⅳ≤Ｇ 可推出日一Ｋ或Ｋ＝Ｇ．
定义１．２我们常以＊表示一个由素数组成的集合，而以”’表示”在全体 素数集合中的补集．称Ｇ为一个”．群，如果｝Ｇｊ。＝吲．称Ｇ的子群Ｈ为Ｇ 的一个”～Ｈ。“子群，如果ｌＨｆ＝ＩＧＩ。．而称日为Ｇ的Ｈｎ“子群，如果对某个 素数集合”来说，Ｈ是Ｇ的”一日。“子群．
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｒ。ｐｅｒｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ａ乩ｉｏｎ。Ｈ ｓｕｂｇｒ。ｕｐ。ｆ ８。ｈ。ａｂｌｅ
ｇｒ。ｕｐｓ，ｉｎ Ｐ８０１ｖａｂｌｅ ｇｒ。ｕｐｓ ｗｅ ｅｓｐｅｃｉ出ｌｙ∞ｎｇ试ｅｒ ｉｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ（砖，（Ｇ）＝１协Ｐ８。１７８ｂ１８ ｇｒｏｕｐｓ Ａｎｄ ｗｅ ｓｅ雒幽ｔｈｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｎ。ｒｍ胡ｅｄ ｂｙ ｐ８ｕｂｇｒｏｕｐ ｉｎ ８ ｇ。。ｕｐ·Ｉｎ
Ｐ＜ＪⅣ。（Ｐ）．
命题１ １０设Ｇ是有限群，Ⅳ旦Ｇ，Ｈ≤Ｇ．若Ⅳ冬≠（Ｈ），则Ⅳ曼≯（Ｇ）． 命题１．１１（Ｆｒａｔｃｉｎｉ论断）设Ⅳ塑Ｇ，Ｐ∈ｓ妈（Ⅳ），则Ｇ＝％（尸）Ａ，， 定义１．１６群Ｇ的所有幂零正规子群的乘积Ｆ（Ｇ），叫做Ｇ的Ｆｉｔｔｊｎｇ子群． 显然， Ｆ（Ｇ）ｃ＾ｎ７’Ｇ． 定义ｌ １７群Ｇ称为完全的，若Ｇ＝Ｇ７．群Ｇ称为亚单的，若Ｇ完全，且 Ｇ／ｚ（Ｇ）为单群．Ｎ茎Ｇ说是Ｇ的一个成分，若Ⅳ亚单且Ⅳ鱼望Ｇ． 命题１．１２设Ｋ为Ｇ的一个成分，￡，９笪Ｇ．则成立Ｋ ｓⅣ或夥吲＝１． 命题ｌ １３设Ｋ１，Ｋ。为Ｇ的成分，则成立甄＝Ｋ。或【确Ｋｔ】；１．特别 地，成分之积为子群． 定义¨８令Ｅ（Ｇ）＝＜Ｋ１Ｎ为Ｇ的成分＞，显然Ｅ（Ｇ）曲ｗＧ． 定义１ １９令Ｆ＋（Ｇ）＝Ｆ（Ｇ）Ｅ（Ｇ），称，＋（ｇ）为Ｇ的广义Ｆｉｔｃｊ”ｇ子群，显然
p-换位子的几个性质
（ ）［ｂＣ ４ ａ ，］＝ ［ ，］［ ，］＝［ ，］ ａ ｃｂ ［ ，］ ａ ｃ ｂＣ ａｃ ［ ，， ］ ｂＣ ；
（ ）［ ， ］＝ ［ ，］ ａ ｂ 。＝［ ，］ ａ ６ ［ ，，］ ５ ａｂ ｃ ａ ｃ ［ ，］ ａｃ ［ ，］ ａ ｂＣ． 下 面利用 Ｐ一导 群 和特 征子群 的定 义 以及 引理 １ 到 Ｐ一导群 和特 征子 群 的性质 ： 得
证 设 Ｖｏ Ｅ ｕ （ ） 由引 理 １ ｔ Ｇ ， ｒＡ ，
Ｂ ．
定 理 ２ 设 Ｇ为群 ， 均 为 Ｇ的正 规 子 群 ， Ａ ｃａ Ｂ ｃａ 则 ［ ］ 也 是 Ｇ 的正 规 子群 ， Ａ， 若 ｈ ｒ Ｂ， ｈ ｒＧ， Ａ， 。 且
日， 则称子群 日为 Ｇ的特征 子群 ， 记作
Ｈｃａ ， 中 ｒ 其 ｈ Ｇ
引理 １４ 设 Ｇ是群 ，，， 则 ［ ］ ａ ｂＣＥＧ，
（ ）ａ １ ＝ａ ａ ｂ ； ［ ， ］
（ ）［ ，］ ＝ ［。ｂ］ ２ ａ６ ａ，。 ；
（ ）［ ，］ ＝［ ，］＝［ ，一］ ＝［ 一，］ ； ３ ａｂ 一 ｂａ ａ ｂ ａ ｂ
（） ３ 由于 Ｂ 冬 ＮＧＡ 甘 ６ ｂ Ａ， ＥＢ， （ ） Ａ Ｖｂ 可得 Ｖ口ＥＡ， ｂＥＢ，ｎ ａ ｉｅ ，０ ｂ ＥＡ 因此 ， ３ ｂ ｂＥＡ，，． ［ ，］ ． ［ Ｂ］ Ａ， Ａ， 结合 （ ）的证 明过 程 ， 论 得证． ２ 结 同理 可得 ： Ａ ≤ ＮＧＢ） 则 ［ Ｂ］ 若 （ ， ４， ［ Ｂ］ｃａ ． Ａ， 。ｈ ｒ Ｇ
本文 中约定有记号 ： 。Ａ Ⅳ （ ）＝｛ ｇ ， ＝Ａ ，ｕ（ ） ｇＩ Ｇ Ａ Ｅ ｝Ａ ｔＧ 是群 Ｇ的全体 自同构组成的集合 ； １ 用 代表单
位元 ． 文献 ［ 受 １—３ ］的启发 ， 文 围绕 Ｐ一换 位子 研究 得 到 了Ｐ一导群 、 本 特征 子群 、 零群 及 Ｐ一中心群 列 的 幂
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
p-稳定群的特征p-子群
焦文洁;靳平
【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(034)005
【摘要】对任意有限p-群S定义了一个新的特征子群W(S),证明了类似的Glauberman-Solomon定理亦成立,即当G为p-稳定群时,如果S为其一个Sylow p-子群,则在适当条件下W(S)恰为G的一个非平凡特征子群.
【总页数】3页(P493-495)
【作者】焦文洁;靳平
【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.Sylow p-子群的非平凡子群与有限群的p-超可解性 [J], 韦华全;李娜;周宇珍
2.p-子群皆p-拟正规或自正规的有限群 [J], 王坤仁
3.Frattini子群循环的有限p-群中的非交换集和极大Abel子群 [J], 王玉雷; 刘合国; 吴佐慧
4.p-子群的局部性质与有限群的p-幂零性 [J], 韩玲玲; 郭秀云
5.Sylow p-子群为循环群的10pn阶非交换群的 Coleman自同构群 [J], 依火阿呷;海进科
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。