初二数学专题二：平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质与判断技巧
平行四边形的性质与判断技巧平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和判断技巧。
在几何学中，熟练掌握这些性质和技巧能够帮助我们更好地理解和分析平行四边形的特点。
本文将介绍平行四边形的性质，并分享一些实用的判断技巧。
一、平行四边形的性质1. 对边平行性质：平行四边形的对边是两两并且只有两两平行的。
也就是说，平行四边形的相邻边是一对一对平行的，而且没有其他边与它们平行。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且交点之间的线段长相等。
也就是说，连接平行四边形的对角线会把它们平分为两个相等的三角形，并且交点之间的对角线长度相等。
3. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。
这是因为平行四边形的对边平行，并且对角线相互平分，所以可以得到对边长度相等的结论。
4. 内角和性质：平行四边形的内角和等于180度。
也就是说，平行四边形的四个内角之和等于180度。
5. 两组对角线交点连线平分性质：平行四边形的两组对角线交点连线平分对应的两组对边。
也就是说，连接平行四边形的两组对角线交点，并延长至边上，会把对边分成两个相等的线段。
二、平行四边形的判断技巧1. 边平行判断：当四边形的两组对边分别包含平行线段时，可以判断该四边形为平行四边形。
2. 对角线长度判断：当四边形的对角线长度相等时，可以判断该四边形为平行四边形。
3. 内角和判断：当四边形的四个内角和为180度时，可以判断该四边形为平行四边形。
4. 边长关系判断：当四边形的对边长度相等时，可以判断该四边形为平行四边形。
5. 交点连线平分判断：当四边形的两组对角线交点连线平分对应的两组对边时，可以判断该四边形为平行四边形。
以上是一些常见的判断技巧，通过观察和运用这些技巧，我们可以快速准确地判断一个四边形是否为平行四边形。
总结：平行四边形是几何学中重要的概念之一，熟练掌握平行四边形的性质和判断技巧对于解决几何问题非常有帮助。
通过理解平行四边形的对边平行性质、对角线性质、对边长度性质、内角和性质以及交点连线平分性质，我们可以快速判断一个四边形是否为平行四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
八年级数学平行四边形的判定
多种方法综合运用
在实际解题中，可以将上述特殊情况的判定方法综合运用。例如，如果一个四边形一组对边平行且相等，并且对角线互相平分，则可以判定该四边形为平行四边形。
此外，还可以结合其他数学知识进行判定，如利用三角形的全等、相似等性质来证明四边形的对边相等或平行。
思维拓展与创新尝试
尝试探索新的判定方法。例如，可以考虑利用向量的概念来判定平行四边形，通过向量的加法、数乘等运算来证明四边形的对边平行或相等。
常见平行四边形类型
01
02
03
既是矩形又是菱形的四边形叫做正方形。正方形具有矩形和菱形的所有性质。
平行四边形判定方法
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PART.02
两组对边分别平行
在四边形中，如果两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形。
在四边形ABCD中，如果AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
在复杂图形中应用
在解决复杂图形的问题时，可以通过寻找和构造平行四边形来简化问题。
此外，在解决与面积、周长等相关的问题时，也可以利用平行四边形的性质进行求解。
判定方法拓展与延伸
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PART.05
特殊情况下判定方法
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。这是平行四边形的一种特殊情况，可以直接根据对边的平行和相等关系进行判定。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。在这种情况下，可以通过比较两组对边的长度来判定四边形是否为平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。如果四边形的对角线互相平分，则可以根据这个性质判定该四边形为平行四边形。
两组对边分别相等
定义
在四边形中，如果两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中常见的一个几何图形，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍平行四边形的性质以及如何判定一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
它的定义可以简单地表述为：如果一个四边形的对边互相平行，则这个四边形就是平行四边形。
平行四边形具有以下几个重要的性质：1. 对边互相平行：平行四边形的两组对边都是平行的，这是平行四边形的最基本性质。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
也就是说，连接平行四边形的相邻顶点所得到的对角线，它们的交点将对角线平分。
3. 对边长度相等：平行四边形的对边长度相等。
也就是说，平行四边形的相对边长是相等的。
4. 内角和为180度：平行四边形的内角和等于180度。
也就是说，平行四边形的四个内角之和为180度。
这些性质是平行四边形的基本特征，我们可以根据这些性质来判定一个四边形是否为平行四边形。
二、判定平行四边形的方法1. 判定对边平行：如果一个四边形的对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
我们可以通过观察四边形的边是否平行来判断。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果AB和CD是平行的，同时AD和BC也是平行的，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
2. 判定对角线平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果AC和BD的交点O将两条对角线等分，即AO=OC和BO=OD，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
3. 判定对边长度相等：如果一个四边形的对边长度相等，那么这个四边形就是平行四边形。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果AB=CD，同时AD=BC，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
4. 判定内角和为180度：如果一个四边形的内角和等于180度，那么这个四边形就是平行四边形。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果∠A+∠B+∠C+∠D=180度，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
平行四边形的性质及判定方法
平行四边形的性质及判定方法平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍平行四边形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否是平行四边形。
一、平行四边形的性质1. 对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线的交点分割每条对角线成两等分部分。
这一性质使得对角线之间的长度和角度关系有一定的规律。
2. 边平行平行四边形的两对对边分别平行，即两条相邻边的引出线平行，而且对边的长度相等。
3. 对边相等平行四边形的对边长度相等，即两条相对边的长度一致。
4. 相对角相等平行四边形的对角线相交于一点，使得相对角相等，即两对相对的内角度数相等。
5. 连接线平分角平行四边形的边的连接线可以将相邻两个内角平分，即连接对边的线段将内角分成两等分。
二、判定平行四边形的方法1. 边平行判定法当一个四边形的对边分别平行时，可以判定这个四边形为平行四边形。
在判定时，需要通过测量各边的长度或者利用角度关系进行验证。
如果两对对边的引出线平行且对边长度相等，则可以确定四边形为平行四边形。
2. 角度关系判定法当一个四边形的相对角相等时，可以判定这个四边形为平行四边形。
通过测量各角的度数或者利用对角线等分角的性质进行验证，若四个相对角度数相等，则可以确立该四边形为平行四边形。
3. 对角线平分判定法当一个四边形的对角线互相平分时，可以判定这个四边形为平行四边形。
通过测量对角线的长度或者利用对角线等长的性质进行验证，若两条对角线分别平分，则可以确定该四边形为平行四边形。
三、实例分析下面以一个具体的例子来说明判定平行四边形的方法。
假设有一个四边形ABCD，已知AB平行于CD，BC平行于AD。
我们需要判定该四边形是否为平行四边形。
首先，我们可以进行边平行判定。
通过测量AB、CD与BC、AD的长度，如果它们相等，则可以判断边平行。
其次，我们可以进行角度关系判定。
通过测量∠A、∠B、∠C和∠D的度数，如果它们相等，则可以判断角度关系。
平行四边形的性质与判断方法
平行四边形的性质与判断方法平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和判断方法。
本文将详细介绍平行四边形的定义、性质和判断方法，并提供一些相关的例题。
一、平行四边形的定义平行四边形是指有四条边都两两平行的四边形。
具体而言，如果一个四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边相等，即对边AB和CD相等，对边AD和BC相等。
2. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即角A和角C相等，角D和角B相等。
3. 内角性质：平行四边形的内角和为180度，即角A+角B+角C+角D=180度。
4. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即对角线AC平分角B和角D，对角线BD平分角A和角C。
三、判断方法1. 判断对边平行：如果已知四边形的两条对边相等，那么可以判断这两条对边是平行的。
例如，如果AB=CD，AD=BC，那么可以判断AB和CD是平行的，AD和BC是平行的。
2. 判断同位角相等：如果已知四边形的对角线互相平分，那么可以判断同位角相等。
例如，如果对角线AC平分角B和角D，对角线BD 平分角A和角C，那么可以判断角A和角C相等，角D和角B相等。
3. 判断内角和：如果已知四边形的两组对边相等，那么可以通过计算内角和来判断是否为平行四边形。
例如，如果AB=CD，AD=BC，可以计算角A+角B+角C+角D的和，如果结果等于180度，则为平行四边形。
四、例题演练1. 已知四边形ABCD，AB平行于CD，AD平分角B和角C，如图所示。
判断四边形ABCD是否为平行四边形。
[示意图]解答：由已知条件可知，AB平行于CD，AD平分角B和角C。
根据平行四边形的性质，我们需要验证对边性质和同位角性质。
首先，对边性质：我们比较AB和CD之间的长度和AD和BC之间的长度是否相等。
如果AB=CD且AD=BC，那么就满足平行四边形的对边性质。
其次，同位角性质：我们比较角A和角C的大小，以及角D和角B的大小。
(完整版)初二平行四边形的性质和判定知识点整理
初二平行四边形的性质和判断专题1． 平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可以．(2)表示方法： 平行四边形用符号“ 四边形 ABCD ”．”表示．平行四边形ABCD记作“ ABCD ”，读作“平行 (3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判断方法．① 由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；② 由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．【例 1】关于平行四边形 ABCD ，AC 与 BD 订交于点 O ，以下说法正确的选项是(A ．平行四边形 ABCD 表示为“ ACDB ” B ．平行四边形 ABCD 表示为“ ABCD ”C ．AD ∥ BC ， AB ∥ CD D ．对角线为 AC ， BO)．解析： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，应选 C. AD答案： C2． 平行四边形的性质(1) 平行四边形的对边平行且相等．比方：如图①所示，在BC.ABCD 中， ABCD ，由上述 性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l 1∥ l 2.AB ， CD是夹在直线l 1， l 2 间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故ABCD. (2)平行四边形的对角相等，邻角互补．比方：如图①所示，在 ∠CDA ， ∠ BAD ＝ ∠ BCD .∠ ABC ＋ ∠ BAD ＝ 180°， ∠ ABC＋ ∠ BCD ABCD 中，∠ ABC ＝＝ 180°， ∠ BCD ＋∠CDA ＝ 180°，∠ BAD ＋∠ CDA ＝ 180°.(3)平行四边形的对角线互相均分．比方：如图①所示，在ABCD中， OA ＝ OC ， OB＝OD .图③(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，而且该直线均分平行四边形的面积．比方：如图③所示，在ABCD 中， EF 经过对角线的交点O，与 AD 和 BC 分别交于点E，F ，则 OE＝OF ，且 S 四边形ABFE＝ S 四边形EFCD .【例 2】ABCD 的周长为30 cm，它的对角线AC 和 BD 交于 O，且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大 5 cm，求 AB，AD 的长．解析：依题意画出图形，如图，△ AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，即 AO＋ AB＋BO－(BO＋OC＋ BC)＝ 5(cm) ．因为 OA ＝OC， OB 为公共边，因此 AB － BC＝5(cm) ．30由AB＋ BC＝2＝ 15(cm) 可求 AB ，BC，再由平行四边形的对边相等得AD 的长．解：∵△ AOB 的周长比△ BOC 的周长大 5 cm，∴AO＋ AB＋ BO－(BO＋OC＋ BC)＝ 5(cm) ．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO＝ OC，∴ AB－ BC＝ 5(cm) ．∵ABCD 的周长为 30 cm，∴ AB＋ BC＝ 15(cm)．AB－ BC＝ 5，AB＝ 10，∴得AB＋ BC＝ 15，BC＝ 5.∴AB＝ 10 cm， AD ＝BC＝ 5 cm.3．平行四边形的判断(1)方法一： (定义判断法 )两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义是判断平行四边形的根本方法，也是其他判断方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判判定理．(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图，连接BD ，由AD ＝BC ，AB ＝CD ，可证明△ABD ≌△CDB ，因此∠CDB ＝∠ABD ，∠ CBD ＝∠ ADB ，从而获取 AB∥ CD ， AD ∥BC.由定义获取四边形 ABCD 为平行四边形．其推理形式为：∵AB＝ DC ，AD ＝ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．如图，由∠ A=∠ C，∠ B=∠D ，∠ A+∠B+∠ C+∠ D=360°，可得∠ B +∠ C=180 °，∠ A+∠B=180° . 从而获取 AB∥DC ， AD∥BC .由定义获取四边形ABCD 为平行四边形，其推理形式为：∵∠ A=∠ C，∠ B=∠ D ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(4)方法四：对角线互相均分的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图，∵ OA=OC， OB=OD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图，∵ AD ∥ BC， AD ＝ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．(1)判断方法可作为“画平行四边形”的依照； (2) 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不用然是平行四边形．【例 3】已知，如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 订交于点 O， AB∥ CD ，AO＝ CO. 四边形 ABCD 是平行四边形，请说明原由．解：因为 AB ∥CD ，因此∠ BAC＝∠DCA .又因为 AO＝ CO，∠ AOB＝∠COD ，因此△ABO≌△ CDO .因此 BO＝ DO.因此四边形ABCD 是平行四边形．4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，而且等于第三边的一半．(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的地址关系和数量关系； (2) 三角形的中位线不同样于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对极点的线段．【例 4】以下列图，在△ ABC 中，点 D， E， F 分别是 AB，BC， CA 的中点，若△ ABC 的周长为 10 cm，则△ DEF 的周长是 __________cm.解析：由三角形的中位线性质得，11 1DF ＝2BC， EF ＝2AB，DE ＝2AC，1答案： 55．两条平行线间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另素来线的距离，叫做这两条平行线间的距离．以下列图， a∥ b，点 A 在直线 a 上，过 A 点作 AC⊥ b，垂足为 C，则线段 AC 的长是点 A到直线 b 的距离，也是两条平行线 a， b 之间的距离．(1)如图，过直线 a 上点 B 作 BD⊥ b，垂足为 D，则线段 BD 的长也是两条平行线a， b 之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离各处相等．(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的地址确准时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的地址的改变而改变，是一个定值．【例 5】以下列图，若是 l 1∥ l2，那么△ ABC 的面积与△ DBC 的面积相等吗？由此你还能够得出哪些结论？解：△ ABC 的面积与△ DBC 的面积相等．因为 l1∥ l2，因此它们之间的距离是一个定值．因此△ABC 与△ DBC 是同底等高的两个三角形．因此S ABC＝S DBC.△△结论： l1上任意一点与 B， C 连接，构成三角形的面积都等于△ ABC 的面积，这样的三角形有无数个．6．平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用特别广泛，能够利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的要点．【例 6】如图，ABCD 的对角线订交于点O，过 O 作直线 EF，并与线段AB， CD 的反向延长线交于E， F ， OE 与 OF 可否相等，阐述你的原由．解： OE 与 OF 相等．原由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BE∥ DF ， OB＝OD，∴∠ FDO ＝∠ EBO，∠ E＝∠ F .∴△ BOE≌△ DOF .∴OE＝ OF .7．平行四边形的判断的应用熟练掌握判判定理是平行四边形的判断的要点．已学了平行四边形的五种判断方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边相关：(1)一种关于对边的地址关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；(2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；(3 )一种关于对边的数量与地址关系 ( 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )．平行四边形的判断方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握．判断平行四边形的一般思路：①考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；②考虑对角关系：证明两组对角分别相等；③考虑对角线关系：证明两条对角线互相均分．【例7】如图，请在以下四个关系中，选出两个合适的关系作为条件，推出四边形．．．．ABCD 是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：① AD ∥ BC，② AB＝ CD ，③∠ A＝∠ C，④∠ B＋∠ C＝ 180°.已知：在四边形ABCD 中， __________ ，__________ ；求证：四边形ABCD 是平行四边形．解析：采纳①③ 关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；采纳①④ 关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；采纳②④ 关系时，证明一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形；采纳③④ 关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形．解：已知：①③ ，①④ ，②④ ，③④ 均可，其他均不可以够．举比以下：已知：在四边形ABCD 中，① AD∥BC，③∠ A＝∠ C，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵ AD ∥ BC，∴∠ A＋∠B＝ 180 °.∵∠ A＝∠ C，∴∠ C＋∠ B＝ 180°.∴ AB∥ CD .∴四边形 ABCD 是平行四边形．8．平行四边形的性质和判断的综合应用平行四边形的性质和判断的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判断一个四边形为平行四边形，从而获取两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判断一个四边形是平行四边形，尔后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质获取线段平行、角相等等，再判断一个四边四边形．【例 8】以下列图，在ABCD 中， E， F 分别是AD ， BC 上的点，且形是平行AE＝ CF， AF与 BE 交于 G， DF 与 CE 交于 H，连接 EF， GH，试问 EF 与 GH 可否互相均分？为什么？解： EF 与 GH 互相均分．原由：在∵ ADABCD 中，BC， AE＝ CF，∴ AE CF.∴DE BF.∴四边形 AFCE ， BEDF 都是平行四边形． (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )∴AF∥ CE， BE∥ DF .∴四边形 EGFH 是平行四边形． (平行四边形的定义 )∴EF 与 GH 互相均分．9．三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不但反响了线段间的地址关系，而且还揭穿了线段间的数量关系，借助三角形中位线的性质能够进行几何求值 (计算角度、求线段的长度 )、证明 (证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等 )、作图，且能解决生活实责问题．应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中经常给出两其中点，若已知条件只给出一其中点，必定要证明另一个点也是中点，才能运用此定理．【例 9】在△ ABC 中， AB＝ 12， AC＝ 10， BC＝ 9， AD 是 BC 边上的高．将△ABC图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为EF，则△ DEF 的周长为 ()．按如A ．B ．C． 11 D．解析：∵△ EDF 是△EAF 折叠而形成的图形，∴△ EDF ≌△ EAF .∴∠ AEF ＝∠DEF .∵ AD 是 BC 边上的高，由折叠可知AD ⊥ EF ，∴EF∥ CB.∴∠ AEF ＝∠ B，∠ BDE ＝∠ DEF .∴∠ B＝∠ BDE.∴ BE＝ DE ＝ AE.∴ E 为 AB 的中点．同理点 F 是 AC 的中点．∴ EF 是△ ABC 的中位线．∴△ DEF 的周长为△ EAF 的周长，即AE＋ EF＋ AF ＝1× (AB＋ BC＋ AC)＝1× (12＋ 9＋ 10)＝ 15.5.22答案： D10．平行四边形的性质研究题平行四边形是一类特其他四边形，它的特别性表现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相均分几方面，因此，由平行四边形能够获取很多相等线段、相等角．因此，要学会利用比较的方法正确区分平行四边形的判判定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题．平行四边形的研究型问题，要点是依照平行四边形的性质和判断，构造出平行四边形．【例 10】如图，已知等边△ ABC 的边长为 a， P 是△ ABC 内一点， PD ∥ AB， PE∥ BC，PF ∥ AC，点 D ，E， F 分别在 AC ，AB， BC 上，试试究 PD ＋ PE＋ PF 与 a 的关系．解：如图，作DG∥ BC 交 AB 于点 G，因为△ABC 为等边三角形，因此∠ A＝∠ B＝∠ C＝60°.因此∠A＝∠AGD ＝∠ ADG＝ 60 °.因此 GD＝ AG.又可得 EP ＝GD ，因此 EP ＝AG， DP ＝ GE.同理可得 PF ＝ EB，因此 PD ＋PE＋ PF ＝a.11．平行四边形的判断的研究题平行四边形是一类特其他四边形，而且它是学习矩形、菱形、正方形和梯形的基础．在相关平行四边形判断的研究型问题中，要会判断一个四边形是平行四边形，运动型问题的要点是把运动的问题转变成静止的问题．运动变化题，这类题的解决技巧是把“ 运动” 的“ 静止” 下来，以静制动，同时注意不同样的情况．【例 11】以下列图，已知在四边形A 点以 1 cm/s 的速度向 D 点出发，同时点ABCDQ 从中， AD∥ BC(AD ＞ BC)， BC＝ 6 cm，点 P 从C 点以 2 cm/s 的速度向 B 点出发，设运动时间为 t 秒，问 t 为什么值时，四边形ABQP 是平行四边形？解：由题意知， AP＝ t， QC＝ 2t，则 BQ＝ 6－ 2t，若四边形 ABQP 为平行四边形，因为AD ∥ BC，只要 AP ＝ BQ 即可，即t＝ 6－ 2t ，解得 t＝ 2.答：当 t 为 2 秒时，四边形ABQP 是平行四边形．。
初二平行四边形知识点归纳
初二平行四边形知识点归纳平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它具有许多特性和性质。
在初二学习阶段，我们需要对平行四边形进行深入了解和掌握。
本文将对初二平行四边形知识点进行归纳和总结。
一、定义和性质1. 平行四边形的定义：具有两对对边平行的四边形称为平行四边形。
平行四边形的对边相等且对角线互相平分。
2. 平行四边形的性质：两对对边分别平行且相等；两对对角线互相平分；相邻角互补、对角角互补；对角线长度之积等于平行四边形边长之积。
二、判断平行四边形的方法1. 判断对边是否平行：通过观察四边形的边是否平行，若两对边都平行，则为平行四边形。
2. 判断对边是否相等：通过测量四边形的边长，若两对边相等，则为平行四边形。
三、平行四边形的特殊情况1. 矩形：具有四个直角的平行四边形称为矩形。
矩形的对边相等且平行，对角线相等。
2. 正方形：具有四个直角且对边相等的平行四边形称为正方形。
正方形的对边相等且平行，对角线相等，且对角线互相垂直。
四、平行四边形的性质应用1. 利用平行四边形的性质求解问题：根据平行四边形的性质可以解决许多几何问题，如计算对边的长度、对角线的长度等。
2. 平行四边形的周长和面积：平行四边形的周长等于四条边长之和，面积等于底边长度乘以高。
3. 平行四边形的变形：平行四边形可以通过平移、旋转、缩放等变形操作得到其他形状的四边形。
五、与平行四边形相关的定理和推论1. 反向定理：如果一个四边形的两对对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
2. 副对角线平分定理：平行四边形的副对角线互相平分。
3. 对角线长度定理：平行四边形的对角线长度之积等于平行四边形边长之积。
4. 三角形面积定理：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成两个相等的三角形，它们的面积相等。
六、解题技巧和注意事项1. 观察图形特征：通过观察平行四边形的边长、角度、对边关系等特征，可以快速判断和解决问题。
2. 利用性质和公式：熟练掌握平行四边形的性质和公式，灵活运用于解题过程中。
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定初中数学知识归纳：平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中常见的基础几何形状之一。
它具有一些独特的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行归纳，并介绍相关的判定方法。
1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
其中，相对平行的边两两平行且长度相等。
平行四边形具有四个内角和四个外角。
2. 平行四边形的性质2.1 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，并且两条对角线的交点是对角线的中点。
这意味着平行四边形具有对称性质，对称轴为对角线。
2.2 内角性质平行四边形的内角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对内角相等，则另外一对内角也相等。
可以通过证明对顶角相等来推导内角对应相等的性质。
2.3 外角性质平行四边形的外角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对外角相等，则另外一对外角也相等。
外角的度数等于其对应的内角的补角。
3. 平行四边形的判定方法3.1 对边判定若一条边与另外一条边平行，则这两条边所在的四边形就是平行四边形。
这种判定方法是最简单和直观的。
3.2 对角线判定若一条对角线平分另外一条对角线，并且这条平分线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
3.3 紧凑型判定若一组相邻边的对角线互相平分，并且这条对角线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
4. 平行四边形的应用平行四边形在解决实际问题时有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用场景：4.1 面积计算由于平行四边形的性质，可以利用其高度和底边长来计算面积。
通过将平行四边形分割成三角形或矩形，再进行相应的计算，得到平行四边形的面积。
4.2 相似性判断在解决相似性的问题时，平行四边形也经常被用到。
通过观察两个或多个图形的边长比例，结合平行四边形的性质，可以判断它们的相似性。
4.3 平行线问题平行四边形的平行性质可用于解决平行线问题。
通过观察平行四边形的边之间的关系，并结合对应角等于内角对应的性质，可以推导出平行线之间的关系。
北师大版八下数学《平行四边形》知识总结
第六章 平行四边形
一、平行四边形的性质
1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形的邻角互补
（3）平行四边形的对角相等
（4）平行四边形的对角线互相平分。
二、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
3、平行四边形的面积：S 平行四边形=底×高=ah
三、三角形的中位线
1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）
2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
四、多边形的内角和与外角和
1、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于∙-)2(n 180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、正多边形的每个内角都等于n
n 0
180)2(∙-。
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【例1】如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.求证：四边形MQNP是平行四边形。
变式1：□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,求证：FM=NE ME=NF
专题二：平行四边形的性质和判定---2月16日
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、平行四边形的性质：（得出平行四边形的边、角、对角线的关系）
①平行四边形两组对边相等。
②平行四边形两组对角相等。（邻角互补）
③平行四边形对角线互分平分。
④平行四边形一组对边平行且相等。
3、平行四边形判定：（证明判断四边形是平行四边形）
5
【例2】如图， 是平行四边形 的对角线 上的点， ．
请你猜想： 与 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明。
猜想：
证明：
变式1：已知，在□ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF交AB于G，BE交CD于H。求证：EH=FG。
变式2：如图，在 ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH。
10、如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
8
【例5】在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【例6】如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．
变式1：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。
6、在 ABCD中， ，则 ____°
7、已知 ABCD的周长为30cm， ，则 ____cm。
8、在平面直角坐标系XOY中，有A（3，2），B（﹣1，﹣4），P是X轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是_________．
9、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E、F,连接ED，BF.求证：∠1=∠2
求证：EF与GH互相平分。
【例3】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。
6
【例4】如图，在 中， 是 边的中点， 分别是 及其延长线上的点， ．
（1）求证： ．
（2）请连结 ，试判断四边形 是何种特殊四边形，并说明理由．
定理1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
定理4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、证明平行四边形的五种方法：判定定理1/2/3/4，平行四边形的定义。
5、三角形的中位线：经过三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
71Leabharlann 点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB=CD，（2）AB∥CD，（3）BC=AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
2、下列能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A、一组对边平行，另一组对边相等 B、一组对边平行，一组对角相等
C、一组对边平行，一组邻角互补 D、一组对边相等，一组邻角相等
3、如图所示，在▱ABCD中，AB=5，AD=8，DE平分∠ADC，则BE=
4、如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE=3cm，则AD的长是cm．
5、从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，如果这两条高线的夹角是135°，这个平行四边形的锐角的度数是．