高级中学数学必修一函数培优题

合集下载

专题06 函数：解析式归类高一数学热点培优练(人教A版2019必修第一册)(原卷版)

2
x
1
,
x
1
，若
f
a
f
a 1 ，则
f
(4a)
_____.
2.（2020·黑龙江·大庆四中高一阶段练习（文））函数
f (x)
x2 x, 0 x 2 2x 8, x 2 ，若
f (a)
f (a 2) ，则
f 2a __________.
3.．设函数
f
(x)
2x ,
x 2
,
x1 ，则满足
【题型二】分段函数代入计算
【典例分析】
（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习（理））函数
f
x
x x 1, x 0 x x 1, x 0 ，
g(x)
f
(x
2)
1，
若 g(a) 3 ，则 g(4 a) ________．
【提分秘籍】
基本规律
在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键在计算时要对自变量的取值范围进行分类讨论，并根据内层函数的值域选择合适的解析式进行计算，
D． f (x) 2x 3
2.（2023·全国·高一专题练习）若 f x 是 R 上单调递减的一次函数，若 f f x 4 x 1，则 f x __．
3.（2021·江西省靖安中学高一阶段练习）已知一次函数 y f (x) 满足 3 f (1 x) 2 f (1 x) 4x 3 ，则 f (x) ＝ ________.
专题 6 函数：解析式归类
目录【题型一】直接代入 .................................................................................................................................................. 1 【题型二】分段函数代入计算 .................................................................................................................................... 2 【题型三】代入求参（解方程） .............................................................................................................................. 2 【题型四】分段函数分类讨论解方程 ......................................................................................................................3 【题型五】复合函数求值 ............................................................................................................................................ 4 【题型六】求解析式 1：一元一次待定系数 .............................................................................................................4 【题型七】求解析式 2：一元二次待定系数 .............................................................................................................5 【题型八】求解析式 3：反比例函数 ......................................................................................................................... 6 【题型九】求解析式 4：换元法 ................................................................................................................................. 6 【题型十】求解析式 5：指数和对数换元型 .............................................................................................................7 【题型十一】求解析式 6：凑配型 ............................................................................................................................. 8 【题型十二】求解析式 7：函数方程型 .....................................................................................................................8 【题型十三】复合型换元计算（难点） ....................................................................................................................9 培优第一阶——基础过关练 ........................................................................................................................................ 9 培优第二阶——能力提升练 ...................................................................................................................................... 10 培优第三阶——培优拔尖练 ...................................................................................................................................... 11

高中数学培优讲义练习(人教A版2019必修一)专题4.7对数函数-重难点题型精讲

第五章第3讲[A 级基础达标]1．(2020年芜湖模拟)若tan ⎝⎛⎭⎫α＋7π4＝13，则tan α＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】C2．(2020年重庆模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝( ) A ．－55B ．55 C ．－255D ．255【答案】B3．(2020年郑州模拟)已知sin(α＋π)＝13，则cos 2αsin α＝( )A ．－37B ．－73C ．37D ．73【答案】B4．(2020年六安月考)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则cos θ的值为( )A ．－12B ．－32C ．12D ．32【答案】C5．(多选)已知函数f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下面结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π 【答案】ABC 【解析】因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x )，易知T ＝2π4＝π2，A 正确，D 错误；f (－x )＝f (x )，B 正确；f (x )的最大值为18×[1－(－1)]＝14，C 正确．6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 【答案】1 【解析】根据已知条件，得 cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α，β为锐角，则sin β＋cos β＞0，所以cos α－sin α＝0.所以tan α＝17．求值：cos 40°(1＋3tan 10°)＝________. 【答案】1 【解析】cos 40°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(cos 10°＋3sin 10°)cos 10°＝2sin 50°sin (30°＋10°)cos 10°＝2cos 40°sin 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝sin 80°sin 80°＝1．8．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________. 【答案】π4 【解析】因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22.所以β＝π4. 9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2.故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. [B 级能力提升]10．(2020年青岛模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，则cos α＝( ) A.2＋236B ．－2＋236C.22＋36D ．22－36【答案】D 【解析】由α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，可得α－π3∈⎝⎛⎭⎫0，π3.所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝223，则cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π3·cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3sin π3＝223×12－13×32＝22－36. 11．(多选)(2020年石家庄模拟)已知0＜θ＜π4，若sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，且m ≠n ，则下列选项中与tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ恒相等的有( )A.n1＋m B ．m 1＋nC ．1－n mD ．1－m n【答案】AD 【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos 2θ－sin 2θ(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ1＋sin 2θ＝n 1＋m .由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝(cos θ－sin θ)2cos 2θ－sin 2θ＝1－sin 2θcos 2θ＝1－m n .12．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 【答案】2－156 【解析】因为cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，所以sin 2α＝1－cos 22α＝53. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156.13．(2020年海口模拟)若A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )·(1＋tan B )＝____________，应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)的值为________．【答案】2 222 【解析】A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A ·tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A ·tan B )＋1＋tan A ·tan B ＝tan 45°·(1－tan A ·tan B )＋1＋tan A ·tan B ＝2.(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]·[(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]＝222.14．(2020年上海二模)设常数a ∈R ，函数f (x )＝3sin 2x ＋a cos 2x . (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，求方程f (x )＝2在区间[0，π]上的解．解：(1)当f (x )为奇函数时，由f (0)＝0⇒a ＝0.(2)f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin π3＋a cos 2π6＝32＋3a 4＝3⇒a ＝2，得f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1．由f (x )＝2⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝12⇒2x ＋π6＝π6＋2k π或2x ＋π6＝5π6＋2k π⇒x ＝k π或x ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以在区间[0，π]上的解为x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，π3，π.15．(2020年上海二模)设函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π6＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1． (1)当0<ω<1时，若函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，求函数f (x )的最小正周期； (2)若函数f (x )在区间()π，2π内不存在零点，求正实数ω的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π6＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1＝1－cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫ω·π2＋π6＝1，得ω＝4k ＋23，k ∈Z .又0<ω<1，则ω＝23，则函数f (x )的最小正周期为2πω＝3π.(2)因为函数f (x )在区间()π，2π内不存在零点，所以⎝⎛⎭⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6⊆()k π，k π＋π，k ∈Z .所以⎩⎨⎧ωπ＋π6≥k π，2ωπ＋π6≤k π＋π，则k －16≤ω≤k 2＋512，k ∈Z ，因为k －16≤k 2＋512，k ∈Z .所以k ≤76，k ∈Z ，即k ＝0或1，则所求的ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，512∪⎣⎡⎦⎤56，1112. [C 级创新突破]16．已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210，则β的值为________．【答案】3π4 【解析】因为tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43.由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去.所以cos α＝1－sin 2α＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，所以β－α∈(0，π)．而cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝7210.故sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22.又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4. 17．(2020年浙江调研)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋76π＋1在区间⎣⎡⎦⎤－π6，a 的值域为[－2,1]．(1)求实数a 的取值范围；(2)若f (x 0)＝－13，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋76π＋1 ＝－4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋16π＋1 ＝－4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋1＝－23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝－3sin 2x －cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a 时，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1．令u ＝2x ＋π6，则u ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2a ＋π6，所以π2≤2a ＋π6≤76π，解得π6≤a ≤π2.(2)由题意得sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝16<12，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则π2<2x 0＋π6<π. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－356. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6＝1－10512.。

专题11 函数性质综合大题-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(原卷版)

专题11函数性质综合大题目录【题型一】“分式型”1：分离常数反比例函数 (1)【题型二】“分式型”2：转化为“对勾” (2)【题型三】“分式型”3：转化为“双曲” (3)【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型 (4)【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型 (5)【题型六】“分式型”6：判别式法 (5)【题型七】“分式型”7：中心对称求和型 (6)【题型八】“分式型”8：保值函数 (6)【题型九】分式型结构不良型 (7)【题型十】含绝对值型 (8)培优第一阶——基础过关练 (8)培优第二阶——能力提升练 (9)培优第三阶——培优拔尖练 (10)【题型一】“分式型”1：分离常数反比例函数【典例分析】已知函数32kx y x +=+(常数k ∈Z ).(1)若1k =，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间[3,)+∞上是严格减函数，且在[3,)+∞上存在自变量，使得函数值为正，求整数k 的值.已知函数25()1x f x x +=+，()23g x x ax =+-．(1)若()0,x ∃∈+∞，使得()6g x x <-，求实数a 的取值范围；(2)若集合{|(),[0,2]}A y y f x x ==∈，对于x A ∀∈都有()0g x ≤，求实数a 的取值范围．【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”【典例分析】已知函数()2x 4xx a f x -+=，()g x x b =-，2()2h x x bx =+(1)当2a =时，求函数()()y f x g x =+的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当[]3,4a ∈时，函数()f x 在区间[]1,m 上的最大值为()f m ，试求实数m 的取值范围；(3)若不等式()()()()1212h x h x g x g x -<-对任意1x ，[]20,2x ∈（12x x <）恒成立，求实数b 的取值范围.已知函数t y x x =+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．(1)已知()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数()f x 和函数()2g x x a =--，[]0,1x ∈，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的值．【题型三】“分式型”3：转化为“双曲”【典例分析】已知函数()21mx f x x n -=+是奇函数，且()322f =.(1)求实数,m n 的值；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；(3)当0x >时，解关于x 的不等式：()()223f x f x >+.【变式训练】已知函数()110m x f x x+-=满足()23f =.(1)求()f x 的解析式，并判断其奇偶性；(2)若对任意[)5,x ∈+∞，不等式()30f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围.【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型【典例分析】已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤..已知函数2()1x m f x nx -=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且1(1)2f =.(1)求m ，n 的值；(2)判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；(3)设()52g x kx k =+-，若对任意的1[1,1]x ∈-，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型【典例分析】．已知22(4)2()1ax a x f x x +-⋅-=+．(1)若=4a 时，求()f x 的值域；(2)函数()25()1()2g x x f x =++，若函数()h x =[0,)+∞，求a 的取值范围．求函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与2f ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的大小．【题型六】“分式型”6：判别式法【典例分析】已知函数2221()1x x f x x x --=++．(1)解不等式：()1f x >；(2)求函数()f x 的值域．【变式训练】．已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；【题型七】“分式型”7：中心对称求和型【典例分析】已知函数()221x f x x =+．(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定值；(3)求()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【变式训练】已知函数3()1x f x x +=+.(1)求1(2)+2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：1()f a f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值；(3)求11112(1)+(2)+()+(3)+++(2021)++(2022)+2320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【题型八】“分式型”8：保值函数【典例分析】若函数()f x 在定义域的某个区间[],m n （m n <）上的值域恰为[],km kn （0k >），则称函数()f x 为[],m n 上的k 倍域函数，[],m n 称函数()f x 的一个k 倍域区间．已知函数()2h x x ax b =++，且关于x 的不等式()0h x <的解集为()2,2-．(1)求实数a ，b 的值；(2)若()()45x g x h x =+（[]0,1x ∈），是否存在k （k +∈N ），使得函数()g x 为定义域内的某个区间[],m n 上的k 倍域函数？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．对于定义域为I 的函数()f x ，如果存在区间[,]m n I ⊆，使得()f x 在区间[,]m n 上是单调函数.且函数(),[,]y f x x m n =∈的值域是[,]m n ，则称区间[,]m n 是函数()f x 的一个“优美区间”(1)判断函数2()y x x R =∈和函数43(0)y x x=->是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）(2)如果[,]m n 是函数22()1()(0)a a x f x a a x+-=≠的一个“优美区间”，求n m -的最大值；(3)如果函数2()g x x a =+在R 上存在“优美区间”，求实数a 的取值范围.【题型九】分式型结构不良型【典例分析】已知______，且函数()22x b g x x a +=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.【变式训练】已知函数2()2x b g x x a+=+，(1,1)x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出a ，b 的值，并解答后面的问题．（注：若选择多于一个，则按照第一个选择进行计分）①已知函数3()f x b x a =+-，满足(2)(2)0f x f x -++=；②已知函数()(0,1)a f x x b a a =+>≠在[1]2，上的值域为[14]，；③已知函数2()4f x x ax =-+，若(1)f x +在定义域[1,1]b b -+上为偶函数．(1)判断()g x 在(1,1)-上的单调性；(2)解不等式(1)(2)0g t g t -+<．【题型十】含绝对值型【典例分析】已知函数()234x bf x ax +=+是定义在()2,2-上的偶函数，且()315f =.（1）求,a b 的值；（2）判断函数()f x 在区间()0,2上的单调性，并证明；（3）解不等式()()2122f m f m +>-.已知函数1()a x f x x-=（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若()2f x x <在(1,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()y f x =在[,]m n 上值域是[,]()m n m n ≠，求实数a 的取值范围．分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.已知函数()21xf x x =+(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若当()1,2x ∈时，()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围.2．已知函数()2x b f x x a +=+，函数()f x 为R 上的奇函数，且()112f =.(1)求()f x 的解析式：(2)判断()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用定义给予证明：(3)若()f x 的定义域为()1,1-时，求关于x 的不等式()()2120f x f x -+<的解集.3．已知()21x f x x =+.(1)若函数()y h x =是偶函数，且当0x ≥时，()()h x f x =，当0x <时，求()h x 的表达式；(2)证明：函数()y f x =在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数.4．已知函数2212()1x f x x -=+.(1)判断()f x 的奇偶性，并证明；(2)证明：()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.5．已知定义在R 上的函数()412x x f x x -=+.(1)求证：()f x 是奇函数；(2)求证：()f x 在R 上单调递增；(3)求不等式()()22340f x f x -+-<的解集.培优第二阶——能力提升练1.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性．(3)解关于t 的不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤．2.已知函数()2142x a f x a x +-=-（x R ∈且2x a ≠）．(1)当()f x 的定义域为12,2a ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭时，求函数()f x 的值域；(2)设函数()()()22g x x a x f x =+-，求()g x 的最小值．3.已知函数2()1x f x x =+．(1)用定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；(2)对任意[2,4]x ∈都有()f x m ≤成立，求实数m 的取值范围．4.已知函数21()([1,1])1x b f x x x +-=∈-+是奇函数，2()(2)1g x x a x =+-+是偶函数.(1)求a b +.(2)判断函数()f x 在[1,1]-上的单调性并说明理由，再求函数()f x 在[1,1]-上的最值.(3)若函数()f x 满足不等式(1)(2)0f t f t -+<，求出t 的范围.培优第三阶——培优拔尖练1.已知函数21()ax f x x b +=+是奇函数，且()12f =．(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)若1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x ≠．求证12121([()()]22x x f f x f x +<+．2.已知函数()21x f x ax b+=+是其定义域内的奇函数，且()12f =，(1)求()f x 的表达式；(2)设()()(0)x F x x f x =>，求()()()()1111232021232021F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．3.已知定义在R 上的函数()()41R 2x x f x x a a =++∈为偶函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性（不用证明）；(3)已知函数()22g x x x m =--，[]1,4x ∈-，若对1x ∀∈R ，总有[]21,4x ∃∈-，使得()()12f x g x ≤成立，试求实数m 的取值范围.4.设()21f x x ax =--+，()22ax x a g x x ++=.(1)若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，求a 的取值范围；(2)若存在[]11,2x ∈，使得对任意的21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.。

人教A版必修第一册高一数学4.5函数的增长率同步培优题典(含详细解析)

人教A版必修第一册高一数学4.5函数的增长率同步培优题典(原卷版)姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝a log3(x ＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬越冬白鹤有()A．4000只B．5000只C．6000只D．7000只3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()A．60安B．240安C．75安D．135安4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝a t.关于下列说法正确的是()A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2m 2,3m 2,6m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 35．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（）A ．76倍B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为94a .若一个新丸体积变为278a ，则需经过的天数为()A ．125B ．100C ．75D ．507．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e －0.25t 求得．把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)()A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.40二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）8．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m 2增加到了4800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是________．9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2000·ln )1(mM+.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为21T 现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：t (单位时间)0246810A (t )3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )＝________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p %，10年后森林面积变为3a ．已知到今年为止，森林面积为33a ．（1）求p %的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：mg/L）与过滤时间t （单位：h）间的关系为()0ktP t P e-=（0P ，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0P 为0t =时的污染物数量.若经过5h 过滤后还剩余90%的污染物.（1）求常数k 的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：ln 0.2 1.61≈-，ln 0.3 1.20≈-，ln 0.40.92≈-，ln 0.50.69≈-，ln 0.90.11≈-）15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数），日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：x /天10202530()Q x /件110120125120已知第10天的日销售收入为121元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，③()x Q x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.（3）求该小物品的日销售收入()f x （单位：元）的最小值.人教A版必修第一册高一数学4.5函数的增长率同步培优题典(解析版)姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x. 2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝a log3(x ＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬越冬白鹤有() A．4000只B．5000只C．6000只D．7000只【答案】C【解析】当x＝1时，由3000＝a log3(1＋2)得a＝3000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000.故选C.3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()A．60安B．240安C．75安D．135安【答案】D【解析】由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝5，所以I ＝5r 3.故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法正确的是()A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2m 2,3m 2,6m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3【答案】ABD【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a 1，即a ＝2，∴y ＝2t .∵12)12(22221=-=-+tt t t t ，∴每月的增长率为1，A 正确．当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，∴B 正确．∵第二个月比第一个月增加y 2－y 1＝22－2＝2(m 2)，第三个月比第二个月增加y 3－y 2＝23－22＝4(m 2)≠y 2－y 1，∴C 不正确．∵2＝12t，3＝22t，6＝32t，∴t 1＝log 22，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝log 22＋log 23＝log 26＝t 3，D 正确．故选A 、B 、D.5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（）A ．76倍B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍【答案】B【解析】因为010lgII η=⋅，代入170dB η=，260dB η=，得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lg lg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg 1I I =，即1210I I =，故选：B.6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为94a .若一个新丸体积变为278a ，则需经过的天数为()A ．125B ．100C ．75D ．50【答案】C【解析】由已知，得94a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝501)94(.设经过t 1天后，一个新丸体积变为278a ，则278a ＝a ·e －kt 1，∴278＝(e －k)t 1＝501)94(t，∴23501=t ，t 1＝75.7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e－0.25t求得．把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)()A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.40【答案】B【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e －0.25t ，整理得e －0.25t ＝21，即－0.25t ＝ln 21＝－ln 2＝－0.693，解得t ≈2.77.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）8．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m 2增加到了4800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是________．【答案】32－1【解析】设6年间平均年增长率为x ，则有1200(1＋x )6＝4800，解得x ＝32－1.9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2000·ln )1(mM+.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.【答案】e 6－1【解析】当v ＝12000m/s 时，2000·ln )1(m M +＝12000，所以ln )1(m M +＝6，所以mM＝e 6－1.10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．【答案】2ln 21024【解析】由题意知，当t ＝21时，y ＝2，即2＝21e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e 2×5×ln2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为21T 现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：t (单位时间)0246810A (t )3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )＝________．【答案】4320·2－4t(t ≥0)【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )＝A 0·21)21(T t ＝320·2－4t(t ≥0)．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【解析】(1)由题意知当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ；当x >8时，y ＝8×0.15＋log 5(2x －15)＝1.2＋log 5(2x －15)，所以⎩⎨⎧>-+≤≤=8).152(log 2.180,15.05x x x x y (2)当0≤x ≤8时，y max ＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x ＞8.由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20.所以小江的销售利润是20万元．13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p %，10年后森林面积变为3a ．已知到今年为止，森林面积为33a ．（1）求p %的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？【解析】（1）设砍伐n 年后的森林面积为f （n ），则f （n ）＝a （1﹣P %）n ．由题意可得f （10）3a =，即a （1﹣P %）103a=，解得：p %＝11013-．（2）由（1）可得f （n ）＝a •（1013）n ＝a •1013n（），令f （n ）33a =可得，1102131 333n==（）（），∴1102n =，即n ＝5．故到今年为止，该森林已砍伐5年14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：mg/L）与过滤时间t （单位：h）间的关系为()0ktP t P e-=（0P ，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0P 为0t =时的污染物数量.若经过5h 过滤后还剩余90%的污染物.（1）求常数k 的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：ln 0.2 1.61≈-，ln 0.3 1.20≈-，ln 0.40.92≈-，ln 0.50.69≈-，ln 0.90.11≈-）【解析】（1）由已知得，当0t =时，0P P =；当5t =时，090%P P =.于是有50090%k P P e -=，解得1ln 0.95k =-（或0.022k ≈）.（2）由（1）知1ln 0.950t P P e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，当040%P P =时，有1ln 0.95000.4t P P e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，解得()ln 0.40.92 4.6042110.11ln 0.90.1155t -=≈=≈⨯-.故污染物减少到40%至少需要42h.15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()1k P x x=+（k 为正常数），日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：x /天10202530()Q x /件110120125120已知第10天的日销售收入为121元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，③()x Q x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.（3）求该小物品的日销售收入()f x （单位：元）的最小值.【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⨯= ⎪⎝⎭，得1k =；（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，()|25|Q x a x b ∴=-+，从表中任意取两组值代入可得，30251202025120a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1125a b =-⎧⎨=⎩，()*()125|25|130,Q x x x x N ∴=--≤≤∈；（3）由（2）知))**100(125,()150(2530,x x x N Q x x x x N ⎧+≤<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩，所以))**100101(125,()()()150149(2530,x x x N x f x P x Q x x x x N x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩，当125x ≤<时，100y x x=+在[]1,10上是减函数，在[10,25)是增函数，所以min ()(10)121f x f ==.当2530x ≤≤时，150y x x=-为减函数，所以min ()(30)124f x f ==.综上所述，当10x =时，()f x 取得最小值，min ()121=f x。

2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第五章函数应用第1节第2课时利用二分法求方程的近似解

第五章 §1 1.2A 组·素养自测一、选择题1．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )f (b )＜0，f (a )f (a ＋b2)＞0．则( B )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上一定有零点B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上一定有零点C ．f (x )在[a ，a ＋b2]上一定无零点D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上一定无零点[解析] a ＜a ＋b 2＜b ，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b 2，b 上有零点． 2．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是( B ) A ．(－∞，52)B ．(52，＋∞)C ．(52，3)D ．(1，52)[解析] 令f (x )＝x 2－2mx ＋4，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＜0，f (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2m ＋4＜0，4－4m ＋4＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞52，m ＞2，即m ＞52．3．以下每个图象表示的函数都有零点，能用二分法求函数零点近似值的是( ABD )[解析] 由二分法的定义，可知只有当函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )f (b ) ＜0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A ，B ，D 都符合，而选项C 不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选ABD ．4．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是__m ＜a ＜b ＜n __．[解析] 由题意知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图所示．所以m ＜a ＜b ＜n ．二、填空题5．若定义在[－1,1]上的函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围为__(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞__． [解析] 由题意可知f (－1)·f (1)＜0，即(－5a ＋1)(a ＋1)＜0，解得a ＜－1或a ＞15．∴a ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞．三、解答题6．求函数y ＝x 3－2x 2－3x 的零点，并作出它的图象．解：∵x 3－2x 2－3x ＝x (x 2－2x －3)＝x (x －3)(x ＋1)，∴函数的零点为－1,0,3．三个零点把x 轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,0]，(0,3]，(3，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表如下： x … －2 －1 －12 0 1 234 … y…－1078－4－620…B 组·素养提升一、选择题1．已知函数f (x )在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( C )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次[解析] 设对区间(1,2)二等分n 次，初始区间长度为1．第1次计算后区间长度为12；第2次计算后区间长度为122；第3次计算后区间长度为123；……；第5次计算后区间长度为125＞0.02；第6次计算后区间长度为126＜0.02；第7次计算区间长度为127＜0.01．故至少计算7次．故选C ．2．若函数f (x )的图象是连续的，且函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫54，32内，则与f (0)符号不同的是( ABD )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫32E ．f ⎝⎛⎭⎫54[解析] 由二分法的步骤可知：①零点在(0,4)内，则有f (0)·f (4)＜0，不妨设f (0)＞0，f (4)＜0，取中点2； ②零点在(0,2)内，则有f (0)·f (2)＜0，则f (0)＞0，f (2)＜0，取中点1； ③零点在(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，则f (1)＞0，f (2)＜0，取中点32；④零点在⎝⎛⎭⎫1，32内，则有f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，则f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＜0，取中点54；⑤零点在⎝⎛⎭⎫54，32内，则有f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，则f ⎝⎛⎭⎫54＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＜0．所以与f (0)符号不同的是f (4)，f (2)，f ⎝⎛⎭⎫32，故选ABD ．3．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出如下命题，其中正确的是( ABC ) A ．c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数B ．b ＝0，c ＞0时，方程f (x )＝0只有一个实数根C ．y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称D ．方程f (x )＝0最多有两个实根[解析] 当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，A 正确；当b ＝0，c ＞0时，f (x )＝x |x |＋c ，若x ≥0，f (x )＝0无解，若x ＜0，f (x )＝0有一解x ＝－c ，B 正确，结合图象(如图)知C 正确，D 不正确．故选ABC ．二、填空题4．给出以下结论，其中正确结论的序号是__②③__． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．解析：零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2 (x ＞0)，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是__3__．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝2，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 (x ≤0)，2 (x ＞0)，作图象如图所示．由图象可知f (x )＝x 的解的个数为3．三、解答题6．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0，证明a ＞0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．解析：∵f (1)＞0，∴3a ＋2b ＋c ＞0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c ＞0，∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c ＞0，则－b －c ＞c ，即a ＞c ． ∵f (0)＞0，∴c ＞0，则a ＞0．在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a ＜0． ∵f (0)＞0，f (1)＞0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

专题05-函数：定义域归类大全-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(原卷版)

专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域 (2)【题型二】解绝对值函数不等式求定义域 (3)【题型三】抽象函数定义域 1：f(x)→f(g(x))型 (4)【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型 (6)【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型 (7)【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）) (8)【题型七】抽象与具体函数混合型 (9)【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域 (11)【题型九】恒成立含参型 (12)【题型十】对数函数定义域 (14)【题型十一】定义域：解指数函数不等式 (15)【题型十二】正切函数定义域 (16)【题型十三】解正弦函数不等式求定义域 (17)【题型十四】解余弦函数不等式求定义域 (18)【题型十五】求分段函数定义域 (20)【题型十六】实际应用题中的定义域应用 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (26)培优第三阶——培优拔尖练 (30)综述：常考函数的定义域：1 . f (x )0 → f (x ) ≠ 0 ；②. →f →ff (x )→ f (x )> 0 ；④. loga⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】的定义域为 ( ) 例1（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数f(x)=√x(3−x)+√x−1A ．[0, 3]B ．[1, 3]C ．[3, +∞)D ．(1, 3]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为(−∞, 1] ，则实数a 的取值集合为 ( )A ．{1}B ．(∞, 1]C ．[1, +∞)D ．(∞,1) (1, +∞)的定义域是 ( )2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数y=√1−x2+1x3A ．(∞, 1]B ．(1, 0) U (0, 1)C ．[1, 0) U (0, 1]D ．(0, 1]3.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 ( )A．B.C． D .【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】例2函数y = 的定义域是 ( )A ．(0, +∞)B ．(∞, 0)C ．(0, 1) U (1, +∞)D ．(∞, 1) (1, 0 ) (0, +∞)【提分秘籍】基本规律绝对值不等式：| f(x) |< g(x) g(x) < f(x) < g(x)1.2. | f(x) |> g(x) f(x) > g(x)或者f(x) < g(x)【变式训练】1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y = 的定义域是.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数f(x)=√2−|1−2x|的定义域是.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数f(x)=√|2x−3|−1的定义域是.【题型三】抽象函数定义域1：f(x)→f(g(x))型【典例分析】例3（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x2 -1) 的定义域为 ( )A ．[0, 3]B ．[-3.3]C ．[−√3，√3]D ．[-3, 0]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知f的定义域为 ( )A ．(-∞, 1) (1, 3)B ．(-∞, 2) (2, 4)C ．(-∞, 0) u (0, 2 )D ．(-∞, 2)2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数y = f (x +1) 的定义域为[-2 ，3] ，则函数y = f (2|x|−1)的定义域为 ( )B ．[-1，4]D.3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[3, +∞) ，则函数f (+1) 的定义域为 ( )A ．B ．C ．D .【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】例4（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是[1, +∞) ，则函数y = f (x ) 的定义域是.【变式训练】1.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数f(x -1) 的定义域为[-1, 2] ，那么函数f(x) 中的x 的取值范围是.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数f(2x -1) 的定义域为[0, 1] ，则函数f(x) 的定义域为 ( )A ．[-1, 0]B ．[-3, 0]C ．[0, 1]D ．[-1, 1]3.（2023·全国·高一专题练习）已知f(x2 -1) 的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域为 ( )A ．[-2,2] B．[0, 2] C．[-1, 2] D .[−√3，√3]【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型【典例分析】例5（2022·全国·高一课时练习）函数y = f (x - 3) 的定义域为[4, 7 ] ，则y = f (x2 ) 的定义域为()A ．(1, 4)B ．[1, 2]C ．(-2, -1) (1, 2)D ．[-2, -1] U [1, 2]【变式训练】1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数f(|x|+1)的定义域为[-1, 2]，则函数f (2x ) 的定义域为 ( )B.D.2.（2022 ·全国·高一课时练习）若函数f (x2 - 2) 的定义域为[-1, 3] ，则函数f (x ) 的定义域为; 若函数f(2x - 3) 的定义域为[1, 3) ，则函数f (1- 3x ) 的定义域为.3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）f(2x -1) 的定义域为[0, 1) ，则f(1-3x) 的定义域为 ( )A ．(-2, 4]B ．C ．（0,D ．(0,【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】例6（2021·全国·高一单元测试）已知函数f (x ) 的定义域为，若c ∈则函数g (x ) = f (x + c )+ f (x - c )的定义域为 ( )A ．(-c, 1 - c )B ．(c, 1- c )C ．(1- c, c )D ．(c, 1+ c )【变式训练】1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数f (x )的定义域是[0, 2] ，则函数g(x)=f(x+12)+)的定义域是 ( )f(x−12B ．,C ．-,D ．[0, 2]2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[0, 4] ，求函数y = f(x + 3) + f(x2 )的定义域为 ( )A ．[-2, -1]B ．[1, 2]C ．[-2, 1]D ．[-1, 2]3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数y = f(x) 的定义域是[0, 1] ，则函数F(x) = f(x + a) + f(2x + a)(0 < a <1) 的定义域是( )B.【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】例7（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数f (2x - 2) 的定义域为{x | x < 1} ，则函数的定义域为 ( )A ．(-∞, 1)B ．(-∞, -1)C ．(-∞, -1) U (-1, 0)D ．(-∞, -1) U (-1, 1)【变式训练】1.（2021·河南·高一期中）已知函数y = f (2x -1) 的定义域是，则y = 的定义域是 ( )A ．[-2, 5]B ．(-2, 3]C ．[-1, 3]D ．(-2, 5]3.（2022·全国·高一专题练习则的定义域为（）.A.（-4,0）∪（0,4）B.（-4,-1）∪（1,4）C.（-2,-1）∪（1,2）D.（-4,-2）∪（2,4）3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数f (x +1) 的定义域为[-1, 15] ，则函数的定义域为 ( )A ．[1, 4]B ．(1, 4]C ．[1, 14]D ．(1, 14]【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】例8（2021·全国·高一课时练习）已知f的定义域为 ( )A ．{x | x ≠ -2}B ．{x | x ≠ -1}C ．{x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ．{x x ≠ 0 且x ≠ -1}【变式训练】1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1] ，g (x ) = x + 2 ，那么f(g (x )) 的定义域是 ( )A ．(2, 3]B ．[0, 1)C ．(0, 1]D ．(-2, -1]设f＝.【题型九】恒成立含参型【典例分析】例9（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax2+ax+1定义域为R，则a 的范围是 ( )A ．[0, 4]B ．[0, 4)C ．(0, 4]D ．(0 , 4)【变式训练】1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数f(x)=√2的定义域是 R ，则m的取值范围是 ( )A ． 0 ≤ m < 4B ． 0 ≤ m ≤1C ． m ≥ 4D ． 0 ≤ m ≤ 42.（2022·全国·高一专题练习）已知y =√ax +(a−1)x+14的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是() A ．(0，3+√52) B .C ．(−∞，3−√52)∪(3+√52，+∞)3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0, 4)B ． [0, 4)C ． [0, 4]D ． (0, 4]【题型十】对数函数定义域【典例分析】例10（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习）函数y =ln√a x 2+2x −1的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．[0, +∞)B ． [-1, 0) (0, +∞) 【变式训练】1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1) ，则的定义域为 .2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数f(x)=√12−log 4(x −1)的定义域为______.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合A ={x |x −1>0}，B ={x |y =log 2x −2x +1}，则 A ∩ (C R B ) = ( )A ． [0, 1)B ． (1, 2)C ． (1, 2]D ． [2, +∞)【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】例11（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )=√2x −a 的定义域为[2, +∞) ，则a =【变式训练】 1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数f (x )=lnx +√16−2x ，则f的定义域为 ( )A ．(0，1)B ．(1，2) C ． (0，4] D ． (0，2] 2.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 .3.（2022·全国·高一专题练习）函数y =√3x 2−2−9的定义域为 .【题型十二】正切函数定义域【典例分析】例12（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数f (x )=√1−tan 2x 的定义域为 .【提分秘籍】基本规律正切函数，形如tan f (x )【变式训练】1.（2022 ·云南昭通 · 高一期末）函数y = -tan的定义域为 .2.（2022·全国·高一课时练习）函数y = tan 的定义域为 .【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】例13（2022·北京八中高一期中）函数f (x ) = lg (1- 4sin 2x )的定义域为 .【变式训练】1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =的定义域为____________.2.（2023 ·全国 · 高一专题练习）函数f (x )=√sinx +1√16−x 2的定义域为 .3..（2023·全国·高一专题练习）函数f (x )=√1−√2sinx 的定义域为【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】例14（2022·陕西省安康中学高一期末）函数f的定义域为.【变式训练】1.（2022·广西·钦州一中高一期中）函数f(x)=lg(√2cosx −1)的定义域为 . 2.（2021·江苏·高一专题练习）函数f(x)=√cos 2x −sin 2x 的定义域为 . 3.（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）函数y =√2cosx −1 的定义域为 .____________【题型十五】求分段函数定义域【典例分析】例15（2021·广东·佛山市第三中学高一阶段练习）函数f 1的定义域是_______.【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知函数求这个函数的定义域与值域.2.（2020·辽宁省建昌县高级中学高一阶段练习）已知函数求f (x )的定义域，值域；3.（2022 全国高一课时练习）函数y={x2，x>0−2，x<0的定义域为，值域为【题型十六】实际应用题中的定义域应用【典例分析】例16（2020·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为定值a ，设它的一条边长为x ，则矩形面积的函数S = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(0, +∞)B ．(0, a )C ．[0, +∞)D ．(0,)【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形ABC 的周长为10,且底边长y 关于腰长x的函数关系为y= 10-2x,则函数的定义域为( )A ．{x|x∈R}B ．{x|x>0}2.（2019·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长l 为常数，底边长为y ，腰长为x ，则函数y = g(x) 的定义域为 ( )A ．(0, )B ．C ．D .3.（2022·全国·高一专题练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h（单位：m ）与时间t（单位：s）的关系为h = 130t - 5t2 .①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数f(x)=1√x−1+√2−x的定义域为 ( )A ．[1, 2]B ．(1, 2)C ．(1, 2]D ．[1, 2)2.（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）函数y = 的定义域是.3.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )的定义域为(3, 5) ，则函数f(2x +1) 的定义域为 ( )A ．(1, 2)B ．(7, 11)C ．(4, 16)D ．(3, 5)4.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2 ，3] ，则y=f(x)的定义域是 ( )A ．[0 ，5]B ．[-1 ，4]C ．[-3 ，2]D ．[-2 ，3]5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x +1) 的定义域为[1, 5]，则f(2x) 的定义域为 ( )A ．[1, 3]B ．[1, 4]C ．[2, 5]D ．[2, 6]6..（2021·安徽·芜湖一中高一期中）已知函数y = f(x) 的定义域为(-1, 1) ，则函数g(x) =f(x - 2) + f(1- x)的定义域为( )A ．(1, 2)B ．(-1, 1)C ．(0, 2)D ．(1, 3)7.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x + 2) 的定义域为(-3, 4) ，则函数的定义域为( )A ．B ．C ．D .8.（2023·全国·高一专题练习）已知f的定义域为( )A ． {x | x ≠ -2}B ． {x | x ≠ -1}C ． {x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ． {x x ≠ 0 且x ≠ -1} 9.（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为 R ，则 a 的范围是 ( ) A ．(0, 4) B ． [0, 4) C ． (0, 4] D ． [0, 4]10.（2022·北京·清华附中高一阶段练习）函数f (x ) = lg (x 2-1)的定义域为 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为.12.（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数f = tan的定义域_______13.（2018·黑龙江·鸡西市第十九中学高一期中（理））函数f(x)=log 12sinx 的定义域为( )14.（2022·上海市进才中学高一期中）函数y =lg (2cosx −√3)的定义域为 . 15.已知等腰三角形的周长为40cm ，设其底边长为y cm ，腰长为 x cm.则函数y = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(10, 20) B ． (5, 10) C ． [5, 10) D ． (0, 20) 培优第二阶——能力提升练1.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）函数f的定义域是 ( )D B..2.（2021·宁夏·银川一中高一期中）f(x)=√|x −1|−2的定义域为 ( ) A ．(-1, 3) B ． [-1, 3] C ． (-∞, -1) (3, +∞) D ． (-∞, -1]U [3, +∞)3.（2021·黑龙江·哈九中高一阶段练习）若函数y = f (x ) 的定义域是[1, 2] ，则函数y =f (√x)的定义域是 ( )A ．[1, 2]B ． [1, 4]C ．[1，,√2] D ． [2,4]4..（2023·全国·高一专题练习）已知函数f (3x +1) 的定义域为[1, 7] ，求函数f (x ) 的定义域.5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x +1) 的定义域为(-1, 1) ，则f(|x |)的定义域为( ) A ．(-2, 2) B ． (-2, 0)U (0, 2)C ． (-1, 0) U (0, 1)D ． (−12，0)6.（2021·全国·高一课时练习）函数f (x ) 的定义域为[一2, 2]，则函数g (x ) = f (x 一 2) . f (x 一 3) 的定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 5]C ． [0, 20]D ． [1, 9] 7.（2020·江西·宜春九中高一阶段练习）已知函数f (x +1) 的定义域为[一2, 1] ，则函数的定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 3]C ． [1, 2)U (2, 4]D ． [1, 2 ) (2, 3] 8.（2016 ·安徽合肥 · 高一阶段练习）函数，则y =f (f (x))的定义域是A ．B .C ．D .9.（2021·全国·高一专题练习）函数f(x)=√−mx 2−2x +1定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是 ( )A ．（0 ，1）B . ( ﹣∞ , ﹣ 1]C ．[1 ，+∞ )D . ( ﹣∞ , ﹣ 1）10.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=1√log 2(2x 2−9x +14）−2的定义域为 .11.（2016·河北保定·高一）已知函数y = x ) 的定义域为则函数y = f (2x ) 的定义域为A ． [-1, 0]B ． [0, 2]C ． [-1, 2]D ．[0, 1] 12.（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）函数y =√1+tanx 的定义域是 . 13.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为 .14.（2021·河南·高一阶段练习）函数y =1lgsinx+√cosx −12的定义域为 .15.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长y (cm ) 是腰长x (cm ) 的函数，则函数的定义域为( )A ．(10, 20)B ．(0, 10) C ． (5, 10) D ． [5, 10)培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数f (x )=√−x 2+x +6+|x |x −1的定义域为 ( )A ．(-∞,- 2] [3，+∞) B ． [-3，1) (1，2 ] C ． [-2，1) (1，3] D ． (-2，1) (1，3)2.（2021·江苏·高一单元测试）关于函数f(x)=√x 2−x 4|x−1|−1 ，描述不正确的是 ( ) A ． f (x ) 的定义域为[-1，0)(0，1] B ． f (x ) 的值域为(-1，1)C ． f (x )在定义域上是增函数D ． f (x )的图像关于原点对称3.（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x 2 -1)的定义域为 ( )A ．[0, 3] B ． [-3.3] C ．[−√3，√3] D ． [-3, 0] 4.（2021·全国·高一课时练习）已知f (x 2 -1)的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域为 ( )A ． [-2,2]B ． [0, 2]C ． [-1, 2 ]D ．[−√3，√3]s .（2021·新疆师范大学附属中学高一阶段练习）已知f (x +1) = , 则f (2x -1) 的定义域为 ( )B ．C ．D .6.（2019·黑龙江·哈师大青冈实验中学高一阶段练习）若函数f (x )定义域为[0, 1] ，则C ． [a , 1 - a ]D ． [0, 1 - a ]7.（2020·安徽·六安一中高一阶段练习）已知f (x ) 的定义域为[-2, 2] ，且函数A ．(-1, 1] B ． (-1, 5) C ． (-1, 3] D ． [-1, 3] 8.（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高一阶段练习）设函数则函数f (f (x )) 的定义域为A ．(-9, +∞) B ． (-9, 1) C ． [-9, +∞) D ． [-9, 1) 9.（2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )D B ..10.（2022·全国·高一课时练习）已知函数y = lg 的定义域是 R ，则实数 a的取值范围是 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=√x +1lg [(13)x −1]的定义域为 .12.（2022·全国·高一专题练习）函数y = lg (1+ tan πx ) +的定义域为 .13.（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=log x (6−x)+√1−2sinx 定义域为 .14.（2022·全国·高一专题练习）函数f(x)=lgcosx−√25−x2的定义域为.15.（2020·上海·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为10 ，设底边长为y ，腰长为x ，求y 关于x 的函数解析式.。

苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件分层作业第8章函数应用培优练2 函数零点的综合问题

即൝
解得 < < .

−(−) + ⋅ (−) + > ,
9.定义在上的奇函数()，当 ≥ 0时，() = ቐ
log 1 ( + 1), ∈ [0,1),
2
1 −∣ − 3 ∣, ∈ [1, +∞),
函数() = () − (0 < < 1)的所有零点之和为() B
所以 − = − ( − ) = − < ,所以 < ，故B错误；
又() = + − = − < ，

( ) = + − = + − > . + − = ,
所以 < < ，则 = ( − ) = ,
ቐ
= < ,

这时 < 是方程 + + = ( ≠ )有一个正实数根和一个负实数根的充要条
件，
由题意可知只有C选项： < −是 < 的充分不必要条件.故选C.
4.（多选题）下列说法正确的是( AC
)
A.已知方程e = 8 − 的解在(, + 1)( ∈ )内，则 = 1
可得 = − ，即 + = ，故A正确；
由基本不等式，得 + ≥ + = ，而 ≠ ，
所以等号不成立，故 + > ，故C正确；
因为() = − < ,

( )

=

+

高一数学-函数应用培优专练-北师大版(含答案)

函数应用一、选择题1.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对于任意的x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[0,2]时,f(x)=2-|2x-2|.记φ(x)=f(x)-|U(x∈[-8,8]).根据以上信息,可以得到函数φ(x)的零点个数为()A.15B.10C.9D.82.[2020全国Ⅲ卷理]Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=1+e−0.23(K53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)()A.60B.63C.66D.693.已知函数y=f(x)和y=g(x)的定义域及值域均为[-a,a](a>0),它们的图象如图所示,则函数y=f(g(x))的零点的个数为()A.2B.3C.5D.64.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T 近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天5.函数f(x)=1|U−1的图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,则下列关于函数f(x)的说法中正确的个数为()①函数f(x)的定义域为{x|x≠1};②f(f(2022))=-20212020;③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;④当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1;⑤函数g(x)=f(x)-x2+4有四个零点.A.2B.3C.4D.56.对于定义在R上的函数y=f(x),若f(m)·f(n)>0(m,n∈R,且m<n),则函数y=f(x)在(m,n)上()A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法确定有无零点7.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上()A.至少有一个实数根B.至多有一个实数根C.没有实数根D.必有唯一的实数根8.定义运算:x⊗y=|U,≥s<,已知函数f(x)=(x2-3)⊗(x-1),若函数y=f(x)-c恰有两个零点,则实数c 的取值范围是()A.[-3,-2)B.[-3,-2]∪[2,+∞)C.[-2,2]D.(-3,-2)∪[2,+∞)9.[2022辽宁重点高中协作体高一上期末考试]已知函数f(x)=−2−6−5,<0|(12)−1|,≥0,若关于x 的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,则实数a的取值范围为()A.(-1,1]B.(-1,0]C.[0,1]D.[-1,1]二、非选择题10.如图,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地,使其四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上.已知|AB|=a(a>2),|BC|=2,且|AE|=|AH|=|CF|=|CG|,设|AE|=x,绿地EFGH的面积为y.(1)写出y关于x的函数解析式,并求出它的定义域.(2)当|AE|为何值时,绿地面积y最大?并求出最大值.11.已知函数f(x)=ax2-2x+1.(1)当a=34时,求f(x)在区间[1,2]上的值域.(2)当a≤12时,是否存在这样的实数a,使得关于x的方程f(x)-log24=0在区间[1,2]上有且只有一个根?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.12.已知函数f(x)=2x2-8x+m+3(m∈R)为R上的连续函数.(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围.(2)若m=-4,判断函数f(x)在区间(-1,1)上是否存在零点.若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出该零点x0存在的区间;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题1.B2.C3.D4.B5.B6.D7.D 8.D 9.A 二、非选择题10.(1)由题意,得S △AEH =S △CFG =12x 2,S △BEF =S △DGH =12(a -x )(2-x ),所以y =S 矩形ABCD -2S △AEH -2S △BEF =-2x 2+(a +2)x .由>0−>02−≥0>2,得0<x ≤2.故y =-2x 2+(a +2)x ,定义域为(0,2].(2)y =-2x 2+(a +2)x =-2(x -r24)2+(r2)28.当r24<2且a >2,即2<a <6时,当x =r24时,y max =(r2)28;当r24≥2,即a ≥6时,y =-2x 2+(a +2)x 在(0,2]上单调递增,则当x =2时,y max =2a -4.综上所述,当2<a <6时,|AE |=r24时绿地面积最大,最大值为(r2)28;当a ≥6时,|AE |=2时绿地面积最大,最大值为2a -4.11.(1)当a =34时,f (x )=34x 2-2x +1,f (x )图象的对称轴方程为x =43,易知43∈[1,2],又f (43)=-13,f (1)=-14<f (2)=0,所以f (x )在区间[1,2]上的值域为[-13,0].(2)存在实数a ∈[-1,12],使方程f (x )-log 24=0在区间[1,2]上有且只有一个根.当a =0时,函数f (x )=-2x +1在区间[1,2]上单调递减;当0<a ≤12时,1≥2,函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1,2]上单调递减;当a <0时,1<0,函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1,2]上单调递减.综上所述,当a ≤12时,函数f (x )在区间[1,2]上单调递减.令h (x )=log 24,x ∈[1,2],则h (x )在区间[1,2]上单调递增,原命题等价于函数f (x )与h (x )的图象在区间[1,2]上有唯一交点,则o1)≥ℎ(1)o2)≤ℎ(2),即−1≥log2144−3≤log224,解得a∈[-1,12].所以存在实数a∈[-1,12],使得关于x的方程f(x)-log24=0在区间[1,2]上有且只有一个根.12.(1)易知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,∴o−1)≥0o1)≤0,即2+8++3≥02−8++3≤0,∴-13≤m≤3.∴实数m的取值范围是[-13,3].(2)当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,易求出f(-1)=9,f(1)=-7.∵f(-1)·f(1)<0,f(x)在区间(-1,1)上单调递减,∴函数f(x)在区间(-1,1)上存在唯一零点x0.∵f(0)=-1<0,∴f(-1)·f(0)<0,∴x0∈(-1,0).∵f(-12)=72>0,∴f(-12)·f(0)<0,∴x0∈(-12,0).∵f(-14)=98>0,∴f(-14)·f(0)<0,∴x0∈(-14,0).∵f(-18)=132>0,∴f(-18)·f(0)<0,∴x0∈(-18,0).∵|-18-0|=18<15=0.2,∴所求区间为(-18,0).。

培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x=-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c =，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．(3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是()1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t tg t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t + 时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高中数学必修一函数培优题集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．62．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是．63．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=⨯，例如343412⊕=⨯=．在上述定义中，集合(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有个．154．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有个．35．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=；③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-；则0*2= ．26．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．或7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ．已知对所有的有序正整数对()m n ，满足下述条件：① ()11f m =，； ② 若m n <，()0f m n =，；③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-⎡⎤⎣⎦则()3,2f 的值是；68．已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=．给出以下三个结论：（1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ A ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）09．下图展示了一个由区间()01，到实数集R 的映射过程： ⑴ 区间()01，中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1； ⑵ 将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；⑶ 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()01，，如图3．图3中直线AM与x 轴交于点()0N n ，，则m 的象就是n ，记作()f m n =．⑴ 方程()0f x =的解是x = ；12⑵ 下列说法中正确命题的序号是．③④（填出所有正确命题的序号）①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．10．若集合A 具有以下性质：① A ∈0，A ∈1； ② 若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1．则称集合A 是“好集”．分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由． 11．若集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥L ，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z L ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,),,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．12．已知数集{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅（121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，2n ≥）具有性质P ：对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由．BA (B )图 1图 2图 3初等函数及其性质部分1．求下列函数的定义域（1）3y x =-；（2）ln(1)y x =- （3）y = 2．给出下列三个等式：①()()()f xy f x f y =+； ②()()()f x y f x f y +=⋅； ③()()()f x y f x f y +=+．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）（A ）()3xf x = （B ）()2f x x = （C ）()lg f x x = （D ）1()f x x=3．设232555322(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ A ）（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）c a b >> （D ）b c a >>4．设2544log 4,(log 3),log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ D ）（A ）a c b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）b a c << 5．设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则,,a b c 的大小关系是（ B ）（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）b a c <<6．设,,a b c 均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b a c <<7．下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是（ B ）（A ）21xy =-+ （B ）1x y x =- （C ）2(1)y x =-- （D ）12log (1)y x =-8．给定函数：①12y x =； ②12log (1)y x =+； ③|1|y x =-； ④12x y +=其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ B ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 9．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有点（ C ）（A ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（B ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（C ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是（ C ）（A ）)1,0( （B ）)2,0( （C ）)2,1( （D ）),2(+∞11．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是（ C ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦（D ）]1,17⎡⎢⎣12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2xf x -=，当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为（ C ）（A ）(,0)-∞ （B ）(0,)+∞ （C ）(,1)-∞- （D ）(1,)+∞ 13．设25abm ==，且112a b+=，则m = ．14．若2log 13a<，则a 的取值范围是． 15．已知(1)log (23)1k k +-<，则实数k 的取值范围是．16．偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)(lg )f f x -<，则实数x 的取值范围是． 17．函数()()2log 31x f x =+的值域为． 18．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.（1）若函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为．【1】（2）若函数12log y x =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为．【3】19．对于函数()f x 定义域中的任意1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③1212()()0f x f x x x ->-； ④1212()()()22x x f x f x f ++<．当()xf x e =时，上述结论中正确结论的序号是（将你认为正确结论的序号都填上）；当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（将你认为正确结论的序号都填上）．函数的零点与方程的根部分1．已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（ B ）（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32 （C ）1(,1)2（D ）(1,2)2．已知21,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ A ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13．已知31()()log 5xf x x =-，若0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则1()f x 的值为（ A ）（A ）恒为正值（B ）等于0 （C ）恒为负值（D ）不大于04．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12(()log )3f f x x +=，则方程()2f x =+的解的个数是（ B ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）05．已知1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(2log 3)f += ．【124】6．已知1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式1()3f x ≥的解集为．7．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．8．用max{}a b ，表示a ，b 两数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是．【(0,4)】定义函数及其满足某性质部分1．定义：如果对于函数()f x 定义域内的任意x ，都有()f x M ≥（M 为常数），那么称M 为()f x 的下界，下界M 中的最大值叫做()f x 的下确界．现给出下列函数，其中所有有下确界的函数是（ D ）①()2log f x x =； ②()3x f x =； ③()1(0)0(0)1(0)x f x x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩（A ）②（B ）④（C ）②③④（D ）③④2．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =；③()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ C ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②3．集合M 由满足以下条件的函数()f x 组成：对任意[]12,1,1x x ∈-时，都有1212()()4f x f x x x --≤．对于两个函数212()25,()f x x x f x x =-+=，以下关系成立的是（ D ）（A ）12(),()f x M f x M ∈∈ （B ）12(),()f x M f x M ∉∉ （C ）12(),()f x M f x M ∉∈ （D ）12(),()f x M f x M ∈∉4．若函数()f x 满足条件：当12,[1,1]x x ∈-时，有1212()()3f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω．对于函数31(),()2g x x h x x ==+，有（ C ）（A ）()()g x h x ∈Ω∉Ω且（B ）()()g x h x ∉Ω∈Ω且（C ）()()g x h x ∈Ω∈Ω且（D ）()()g x h x ∉Ω∉Ω且5．已知三个函数：①31y x =-；②12x y +=；③lg y x =．其中满足性质：对于任意1x 、2x ∈R ，若102x x x <<，102x x α+=，022x x β+=，则有12()()()()f f f x f x αβ-<-成立的函数是．①②（写出全部正确结论的序号）6．平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数： ①12()f x x =； ②2()π(1)3f x x =-+； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④0.6()log (1)f x x =+； ⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有．②④（填上所有满足题意的函数的序号）7．设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一一个2x D ∈，使得12()()f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上“与常数c 关联”．给出下列函数： ① 11y x =-；② 3y x =-；③ ||1()2x y =；④ ln()y x =-．其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是．（填上所有满足题意的函数的序号）8．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是．2m ≥如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是．11a -≤≤9．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.8]1=．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ② 函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③ 函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④ 函数()y f x =上是增函数．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）③10．定义：若1122m x m -<+≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；② 函数()y f x =的图像关于直线2kx =()k Z ∈对称；③ 函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④ 函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．其中正确的命题的序号是．①②③（写出所有正确命题的序号）函数的奇偶性、单调性等性质部分1．设函数()3xf x =，且函数()f x 与()g x 互为反函数．（Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）将函数3log (3)2y x =+-的图象经过怎样的平移后，可以得到函数()g x 的图象？2．已知函数()(0x f x a a =>且1)a ≠．（Ⅰ）若0()4f x =，求0(2)f x 的值；（Ⅱ）若22(231)(25)f x x f x x -+>+-，求x 的取值范围．3．已知函数2()2f x x x =-与()3xg x =．（Ⅰ）求函数[()]y f g x =，[1,2]x ∈的值域；（Ⅱ）求函数[()]y g f x =，[1,2]x ∈的值域．4．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（Ⅰ）求,a b 的值；【1,2】（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.【13k <-】5．若函数22()log (29)f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的定义域与值域；（Ⅱ）求()f x 的单调增区间．6．若函数21()log 1xf x x+=-．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性与单调性；（Ⅲ）求()0f x >的解集；（Ⅳ）函数()f x 在其定义域上是否存在反函数？若存在，求出反函数1()f x -；若不存在，说明理由．7．已知函数1()f x x x=+．（Ⅰ）求证：函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅲ）在右侧直角角标系中，画出函数的图象；并由函数的图象归纳出函数的性质（例如：奇偶性、单调性、值域等）；．（Ⅳ）由前述问题归纳出函数()ag x x x=+(0)a >的性质．抽象函数及其性质部分1．设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ∈R ，恒有1212()()()f x x f x f x +=+成立．（Ⅰ）求证：()f x 是奇函数；（Ⅱ）当0x >时，有()0f x <，证明()f x 是R 上的减函数．2．设函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，有0()1f x <<，且对于任意实数m 、n 均有()()()f m n f m f n +=⋅成立．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求证：当0x <时，()1f x >．3．已知函数()f x 对任意的实数,x y 满足：()()()2f x y f x f y +=+-，且0,()2x f x >>时，（Ⅰ）求(0)f ；（Ⅱ）求证：()f x 是R 上的增函数；（Ⅲ）当(3)5f =，解不等式2(22)3f a a --<.4．已知函数()f x 的定义域为{0}D x x =?且满足对于任意的12,x x D Î，有1212()()()f x x f x f x ?+.（Ⅰ）求(1)f ；（Ⅱ）判断并证明()f x 的奇偶性；（Ⅲ）如果(4)1,(31)(26)3f f x f x =++-?，且()f x 在(0,)+?上是增函数，求x 的取值范围.5．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=?，且当0x >时，0()1f x <<．（Ⅰ）判断()f x 的单调性；（Ⅱ）设22{()|()()(1)}A x y f x f y f ，=?，{()|(1}B x y f ax y a R ，，=-+=?，若A B I =?，试确定a 的取值范围．,.6．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足:①(2)1f =；②()()()f xy f x f y =+；③()()0f x f y x y->-．（Ⅰ）求(1)f ，(4)f 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围.7．函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m 、n ，总有()()22n m f m f n mf nf ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立；（Ⅲ）求所有满足条件的函数()f x ．2m n x ==()()22(2)422x f x xf x f x xf ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭令22m n x ==∴()()()222x f x f x xf x f x ⎛⎫⋅=+⋅⎪⎝⎭()()2f x xf x =+ 当()0f x =时恒成立，当()0f x ≠时有，∴()()()24f x f x x xf x =+=∴()41x f x x =-8．定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b ∈R ，有()()()f a b f a f b +=成立．（Ⅰ）求证：(0)1f =；（Ⅱ）求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >；（Ⅲ）求证：()f x 是R 上的增函数；（Ⅳ）若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．。