第二章时间序列分析的基本概念
时间序列分析复习要点重点
一．导 论1. 计量经济学和时间序列分析的区别与联系2. 时间序列分析的概念:时间序列分析(T i m e s e r i e s a n a l y s i s ) 是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律性的统计方法，是统计学的一个分支。
3. 时间序列分析的研究对象：时间序列数据 4. 时间序列分析的基本思想：样本推断根据系统的有限长度的运行记录（样本数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来发展进行预报（时间序列预测）。
二．时间序列分析基础 1、随机过程（1）含义：在数学上，随机过程被定义为一组随机变量。
（2）特征：① 从顺序角度来看：随机过程是随机变量的集合；随机变量是随时间产生的，在任意时刻t ，总有随机变量X t 与之相对应;事物发展没有必然变化规律。
② 从数学角度看：不可用时间t 的函数确定的描述。
③ 从试验角度来看：不可重复。
（3）重要的随机过程 ①白噪声过程②随机游走过程：x t = x t -1 + u t 如果u t 为白噪声过程，则称x t 为随机游走过程。
（4）随机过程的平稳性随机过程的统计特征不随时间的推移而发生变化。
严平稳：随机过程中随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关。
宽平稳：∞<=+2),(k k t t x x Cov σ∞<=2)(σt x Var∞<=μ)(t x E直观的看，平稳的数据可以看作是一条围绕其均值上下波动的曲线。
（5）随机过程与时间序列:随机过程的一次实现称为时间序列随机过程的实现： 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{},t Y t T ∈，简记为Y t 。
其中，每一个元素Y t 都是随机变量。
将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。
2、差分方程的展开式子差分方程：变量当期值定义为它的前期和一个当期的随机扰动因素的函数。
时间序列分析的基本概念
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相应旳，严平稳序列旳自有关函数记为：
k
k 0
2.平稳序列旳自协方差序列和自有关函数 列旳性质
(1) k k k k
(2) k 0 k 1
四、白噪声序列和独立同分布序列
1.白噪声（White noise）序列 定义：若时间序列{Xt}满足下列性质：
(1)EX t 0
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3.时间序列旳线性与延迟联合运算
yt=a0xt+a1xt-1+ … +apXt-p t=0,1,2…为时
间序列线性与延迟联合运算。
当ai=1/p，i=0,1,2, …时，{Yt}即为对序列
{Xt}旳移动平均序列。
4.时间序列旳非线性运算 非线性运算旳形式是多种多样旳：如 yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。
假如我们能拟定出时间序列旳概率分布， 我们就能够对时间序列构造模型，并描 述时间序列旳全部随机特征，但因为拟 定时间序列旳分布函数一般不可能，人 们愈加注意使用时间序列旳多种特征量 旳描述，如均值函数、协方差函数、自 有关函数、偏自有关函数等，这些特征 量往往能代表随机变量旳主要特征。
2.均值函数 一种时间序列{Xt，t=0, ±1, ±2 ……}旳
5.平稳线性序列 设{at}为正态白 噪声序列，则称序列：
xt
j at j
j
2 j
j
为线性平稳序列。
注：能够证明，{Xt}为一宽平稳序列。
七、偏自有关函数
偏自有关函数：指扣除Xt和Xt+k之间旳随机
变量Xt+1,Xt+2, …Xt+k-1等影响之后旳Xt和
时间序列分析的基本概念
时间序列分析的基本概念时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究时间序列数据的规律和趋势。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列数据点，例如股票价格、气温、销售额等。
通过时间序列分析，可以揭示数据中的周期性、趋势性和随机性，从而帮助我们预测未来的发展趋势和制定决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念，包括时间序列数据的特点、时间序列分析的方法和应用。
一、时间序列数据的特点时间序列数据具有以下几个特点：1. 时间依赖性：时间序列数据中的各个数据点之间存在时间上的依赖关系，即当前时刻的数据受到过去时刻数据的影响。
2. 趋势性：时间序列数据通常会呈现出一定的趋势，可以是上升、下降或保持稳定。
3. 季节性：某些时间序列数据会呈现出周期性的波动，例如销售额在节假日前后会有明显的波动。
4. 随机性：除了趋势性和季节性之外，时间序列数据还包含一定程度的随机波动，这部分波动是不可预测的。
二、时间序列分析的方法时间序列分析主要包括以下几种方法：1. 描述性分析：通过绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图等，对时间序列数据的特点进行描述和初步分析。
2. 平稳性检验：时间序列数据在进行分析之前需要具有平稳性，即均值和方差在时间上保持不变。
可以通过单位根检验等方法来检验时间序列数据的平稳性。
3. 分解模型：将时间序列数据分解为趋势、季节性和残差三个部分，以便更好地理解数据的特点。
4. 预测方法：利用时间序列数据的历史信息，通过建立合适的模型来预测未来的发展趋势。
常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
5. 模型诊断：对建立的时间序列模型进行诊断，检验模型的拟合效果和预测准确性，确保模型的有效性。
三、时间序列分析的应用时间序列分析在各个领域都有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：用于预测经济指标的发展趋势，如GDP增长率、通货膨胀率等，帮助政府和企业制定经济政策和经营策略。
2. 金融领域：用于股票价格、汇率、利率等金融数据的预测和分析，帮助投资者做出投资决策。
第2章 平稳时间序列分析
zt
(c1
c2t
cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
推导出
0
1 1 p
Green函数定义
设零均值平稳序列 {xt , t 0, 1, 2,...} 能够表示为
xt Gjt j t : WN (0, 2 ) j0
则称上式为平稳序列 {xt } 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为Green函数，其中 G0 1 。
Green函数的含义
几个例题
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
几个例题
(5) yt 1.6yt1 0.9yt2 (6) yt 1.6yt1 1.1yt2
有关。
2.时间序列的协方差函数与自相关函数
协方差函数：
(t, s) E( Xt t ) X s s
(x t ) y s dFt,s (x, y) 其中，Ft,s (x, y) 为 ( X t , X s )的二维联合分布。
自相关函数：
(t, s) (t, s) / (t,t) (s, s)
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内
2-2第二章时间序列分析法
（1）简单平均法
例2：设某电网2001-2004年个季度的发电量如表2-5所示，试
用简易计算法列出发电量的一次线性趋势方程，再用简单平
均法计算出季节指数，并以次预测2005年该电网全年及各季
度的发电量。
表2-5
年次 季节
2001
2002
一 二 三 四 全年
(1) 1206030 1283687 1211133 1328247 5029097
n
4
b ty 3213072 160653.6
t2
20
y=a+bt=5459952+160653.6t
2005年t=5，代入公式，得到y=6263220 根据表2－5的调整后季节指数，2005年各季度 发电量为： 一季度：6263220×0.9666/4=1513507 二季度：6263220×1.0081/4=1578488 三季度：6263220×0.9768/4=1529478 四季度：6263220×1.0485/4=1641747
2、指数的分类 （1）个体指数：反映某一具体经济现象动态变动的相
对数
（2）综合指数：反映全部经济现象动态变动的相对数
（3）数量指标指数：它是表明经济活动结果数量 多少的指数。
（4）质量指标指数：它是表明经济工作质量好坏 的指数。
（5）定基指数：它是指各个指数都是以某一个固 定时期为基期而进行计算的一系列指数。
季别平均 季节指数
(6) 1319460 1375988 1333301 1431204 1364988
(7) 0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000
调整后季 节指数 (8)
0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们了解数据的趋势、周期性和季节性，预测未来的变化趋势，并做出相应的决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常见的方法和应用领域。
一、时间序列的基本概念时间序列是按时间先后顺序排列的一组观察数据。
它可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售量。
时间序列的分析要求数据点之间存在一定的相关性和规律性。
二、时间序列的组成部分时间序列通常由三个主要组成部分构成：趋势、季节性和随机性。
趋势是时间序列在长期内呈现的整体变化趋势；季节性是时间序列在较短的时间内出现的重复周期性变化；随机性是时间序列中无法解释的随机波动。
三、时间序列分析的方法1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行可视化和概括的方法。
常用的方法包括绘制折线图、直方图和自相关图等，以帮助我们了解数据的分布和相关性。
2. 平稳性检验平稳性是时间序列分析的基本假设。
平稳序列的统计特性在时间上是不随时间变化的，包括均值、方差和自相关性等。
常见的平稳性检验方法有单位根检验和ADF检验。
3. 建立模型建立时间序列模型是对数据进行预测和分析的关键步骤。
常用的时间序列模型有ARIMA模型、AR模型和MA模型等。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数，从而进行未来值的预测。
4. 模型诊断与改进在建立模型之后，需要对其进行诊断和改进。
常见的诊断方法包括残差检验、模型稳定性检验和模型比较等。
根据诊断结果，我们可以对模型进行改进，提高预测的准确性。
四、时间序列分析的应用领域时间序列分析在许多领域都有广泛的应用，例如经济学、金融学、气象学和市场营销等。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长趋势和通货膨胀率。
在金融学中，它可以帮助我们预测股票价格和利率走势。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测天气变化和自然灾害。
在市场营销中，它可以帮助我们预测销售量和用户行为。
第二 时间序列分析的基本概念
特征统计量
均值
t EX t xdFt (x)
方差
DX t
E(Xt t )2
2
(x t ) dFt (x)
自协方差函数 (t, s) E( X t t )( X s s ) 自相关函数 (t, s) (t, s)
(t,t) (s, s)
由此可见，时间序列的自协方差函数是 随机变量间协方差推广差 时间序列自协方差函数具有对称性：
ˆ k 1,k 1
j 1 k
1 ˆkjˆ j
j 1
其中
ˆ11 ˆ1 ˆk 1, j ˆkj ˆ ˆ k 1,k 1 k ,k 1 j
j 1,2, k
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例如，根据上述递推公式，我们有：
ˆ11 ˆ1
ˆ22
ˆ 2 ˆ12 1 ˆ12
(1)s
0
ts ts
则称此序列为白噪声序列。 上一页 下一页 返回本首页
白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也 是一种最简单的平稳序列，它在时间序 列分析中占有非常重要的地位。
2.独立同分布（iid）序列 定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，
t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变 量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩 时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立 同分布序列。
一、两种不同的平稳性定义
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常 难以满足，我们研究的通常是宽平稳序 列，在以后讨论中，若不作特别说明， 平稳序列即指宽平稳序列。
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二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布 随机过程是一族随机变量，类似于随机变
量，可以定义随机过程的概率分布函数 和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
时间序列分析的理论与应用
时间序列分析的理论与应用时间序列分析是指对时间序列数据的一种分析方法，它是一种探究随时间变化而发生的现象的分析方法。
时间序列分析可以帮助人们对这些数据进行深入研究并找到内在规律性，进而进行预测和决策。
本文主要介绍时间序列分析的理论与应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是具有一定时间顺序的一连串数据，通常是一定间隔的一系列数据，例如每日、每月、每年等等。
时间序列分析是指对时间序列数据进行统计分析、建模和预测的方法。
一般包括时间序列的描述性统计、时间序列的平稳性检验、时间序列的自回归模型、时间序列的移动平均模型、时间序列的ARMA模型、时间序列的ARIMA模型等。
二、时间序列分析的应用领域时间序列分析在经济学、金融学、工程学、自然科学等领域的应用非常广泛。
其中，最常见的应用场景是经济学领域的宏观经济预测和股票价格预测。
1、经济学在经济学中，时间序列分析可以预测经济学中的各种变量，如GDP、物价指数等。
时间序列分析还可以用来分析和预测销售数据、市场份额和客户需求等重要数据。
此外，时间序列分析也被广泛应用于宏观经济研究、金融预测和风险管理等方面。
2、金融学在金融学中，时间序列分析可以用来预测股票价格、商品价格和汇率等金融市场的变化。
时间序列分析也可以用来研究人类在市场中的行为和决策，包括市场价格的波动和交易量的变化等。
3、工程学在工程学中，时间序列分析可以用来分析和预测工业生产中的各种变量，如生产量、质量的变化等。
时间序列分析还可以应用于工业装备的维护和修理。
4、自然科学在自然科学中，时间序列分析可以用来预测气候变化和地震发生等自然现象。
时间序列分析可以在全球范围内追踪大气的变化，从而加强对环境变化的预测和管理。
三、时间序列分析的原理时间序列分析的统计方法涵盖了很多内容。
下面简单介绍几种常用的时间序列分析方法。
1、AR模型AR模型即自回归模型，是最简单的时间序列分析模型之一，它用时间序列的过去观测值来预测未来观测值。
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联系：
（1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷 的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序 列。
（2）若时间序列为正态序列（即它的任何 有限维分布都是正态分布），那么该序 列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等 价的。
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常 难以满足，我们研究的通常是宽平稳序 列，在以后讨论中，若不作特别说明， 平稳序列即指宽平稳序列。
平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关。二维概率密度函数只与时间 间隔S有关，而与时间的起点和终点无关。
2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二阶 矩，且Xt满足如下两个条件： (1)t EXt c (2) (t, s) E(Xt c)(Xs c) (t s,0)
则称该时间序列为宽平稳过程。
此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均值 为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间
间隔(t-s)有关。 （宽平稳过程只涉及一阶和二阶矩）
3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别
区别：
（1）严平稳的概率分布随时间的平移而不 变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间 的平移而不变。
（2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序 列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序 列。
随机过程是一族随机变量，类似于随机变 量，可以定义随机过程的概率分布函数 和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
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如：时间序列的所有一维分布是： 若给定时刻ti，随机过程就是一维随机变量X（ti)。
事件x(ti)<=x的概率为 F (x,ti) P[x(ti) x]
《随机过程导论》周萌清
该定义蕴涵的四种情况：
1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它 表示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时， x(t)是一个时间t的函数， 称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时， x(t)是一个随机变量。 4、当e、t均给定时， x(t) 是一个标量或者矢量。
如果我们能确定出时间序列的概率分布， 我们就可以对时间序列构造模型，并描 述时间序列的全部随机特征，但由于确 定时间序列的分布函数一般不可能，人 们更加注意使用时间序列的各种特征量 的描述，如均值函数、协方差函数、自 相关函数、偏自相关函数等，这些特征 量往往能代表随机变量的主要特征。
例1、设随机过程X（t）=At，A为均匀分布于[0，1]上 的随机变量。试问X（t）是否平稳？
例2、设随机过程Z（t）=Xcost+Ysint , t
其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、 1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z（t）的平稳性。
二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布
t T
第二节 平稳时间序列
一、两种不同的平稳性定义 二、时间序列的分布、均值和协方差函数 三、平稳序列的自协方差和自相关函数 四、白噪声序列和独立同分布序列 五、独立增量随机过程、二阶矩过程 六、线性平稳序列 七、偏自相关函数
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一、两种不同的平稳性定义
1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关， 即有：
X(t)
t
当T ,,则随机过程可表示成 {X t , t }
当t {0,1,2, }时随机过程可写为 {X t ,t 0,1,2, }
《经济时间序列 》王耀东
此类随机过程又称随机序列（random sequence)或时间序列（time series)。对于一个连 续时间的随机过程，通过等间隔采样，也是一个 随机序列。
第一节 随机过程
一、随机过程的定义 二、随机过程与随机变量之间的关
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一、随机过程
1.引：事物的变化过程可分为两类：对于 每一个固定的时刻t，变化的结果，一类 是确定的，这个结果可用t的某个确定性 函数来描述；另一类结果是随机的，即 以某种可能性出现多个（有限多个或无 限多个）结果之一。
F-1(X-1)，F-2(X-2)，F0(X0)，F1(X1)，F2(X2) …… 其中Fi(Xi)表示Xi的分布函数。对其关于x求偏导，
即X（t）的一维概率密度函数f(x,ti).
时间序列的所有二维分布是： Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1, ±2, ±3 …… 其中Fij(Xi,Xj)是二元随机变量(Xi,Xj)的联合概率分布。 …… ……
Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s, Xt2+s, …,Xtn+s)
则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称 为狭义平稳或强平稳过程。
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此定义表明，严平稳的概率分布与时 间的平移无关。
一般来说，若所研究的随机过程，前 后的环境和主要条件都不随时间变化，就 可以认为它是平稳随机过程。
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联系：
1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通 函数的特性。
2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视 为参数集为单元素集的随机过程。
3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机 变量。
4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，来自它是随机变量X(t)的集
我们所要讨论的时间序列分析，只
是对平稳序序列及其有关的随机序列进 行统计分析，而不是对所有的随机序列 进行统计分析。
二、随机过程与随机变量之间的关系
区别： 1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数， 随机过程是一族时间t的函数。 2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时 间t无关，而随机过程与时间密切相关。 3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随 机过程描述事物发展变化的动态。
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2.定义：
设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每
一个e s ，我们总可以依某种规则确定一时
间t的函数
X (e,t),t T
与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于
所有的的e s 来说，就得到这族时间t的函
数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过 程的样本函数（或一次实现）。