23 2等差数列的前n项和

等差数列的前n项和公式第1课时课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册

Sn，解方程即可求得n.
解: (3)把a1=

,

,

(−)
Sn=+
中的a1，d和
(−)
Sn=-5代入Sn=+
d=, 得
1
n ( n -1)
1
-5 = n +
( ).
2
2
6
2
整理，得 n - 7 n - 60 = 0.
所以 n=12.
解得 n = 12 ，或 n = -5
方法二：拿出中间项，再首尾配对.
S101 =(1+101)+(2+100)+ ⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151.
方法三：先凑出偶数项，再首尾配对.
S101 =0+1+2+ ⋯+101
=(0+101)+(1+100)+ ⋯+(50+51)=101×51=5151.
将上述方法推广到一般，可以得到：

解: (2)因为a1=2，a2=，所以d= .
(−)
根据公式Sn=+
，可得
10 (10 -1) 1 85
S10 = 10 2 +
= .
2
2 2
例6 已知数列{an}是等差数列.
1
1
（3）若a1= ，d - ，Sn= -5，求n.
2
6
分析: 在(3)中，已知公式
)
例6 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求S50；
5
（2）若a1=2，a2= 2 ，求S10；

等差数列的前n项和课件

典例导悟
类型一等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)．在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n，－nS＝ n－11，，n≥2.

4.2.2等差数列的前n项和公式

( − 1)
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2

= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，

等差数列的前n项和公式(2)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

3
即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
(2)由等差数列前
5
n 项和的性质,得
5
=
9( 1 + 9 )
2
9( 1 + 9 )
=
9
9
=
7×9
9+3
=
21
.
4
练习巩固
方法技巧利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法
一、等差数列前n项和的函数特征
等差数列
的前n项
和公式转
移到二次
函数的过
程
等差数列
的前n项
①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项
和公式与
为0的常数列.
二次函数
②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为
的关系
各项非零的常数列.
2
2
(3)
课堂小结
课堂小结
等差数列 {an} 的通项公式
an dn (a1 d ).
等差数列 {an} 的前 n 项和公式
d 2
d
S n n (a1 ) n.
2
2
函
数
思
想
的和S3m为
.
解 (1)(方法1)在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
(方法
2 3
22
2)在等差数列中, ,

等差数列的求和公式

等差数列的求和公式
等差数列是指数列的相邻两项之差保持恒定的数列。

求和公式是用于计算等差数列的前n项和的公式。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

根据等差数列的性质，我们可以推导出等差数列的求和公式：
1. 等差数列通项公式
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an 为数列的第n项。

2. 等差数列前n项和的公式
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为前n项和。

由等差数列的通项公式和前n项和的公式，我们可以推导出等差数列的求和公式：
Sn = n * (a1 + a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (2a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (a1 + (a1 + (n - 1) * d)) / 2
使用等差数列的求和公式，我们可以方便地计算等差数列的前
n项和。

这个公式在实际问题中经常被使用，例如计算连续数的和、计算累进的收入等。

需要注意的是，在应用等差数列求和公式时，我们需要确保等
差数列的首项、公差和项数的值是正确的。

总之，等差数列的求和公式是计算等差数列前n项和的有效工具，通过简单的数学运算，我们可以快速得出结果。

在实际问题中，我们可以根据该公式进行求和计算，减少繁琐的手工计算工作，提
高工作效率。

参考文献：
[1] 王福高，初等数学学科发展史，人民教育出版社，1999年。

[2] 李四华，高中数学教育理念研究，教材报刊杂志社，2005年。

等差数列的前N项和公式

等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。

前N项和指的是数列前N项之和。

首先，我们来推导等差数列的通项公式。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。

我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。

因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。

为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。

首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。

等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。

通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。

在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。

方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。

这个方法适用于所有的等差数列。

2023版高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

100 27 <lg
1＝0，所以数列lg
1
an
的前 6 项和最大.
【规律方法】求等差数列前 n 项和 Sn 的最值的常用方法 (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.
(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而
若aa89＝1175，则SS1157＝(
)
A.2
B.－1
C.1
D.0.5
解析：设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，aa89＝1175， ∴SS1157＝112257aa11＋＋aa1157＝1157aa89＝1157×1175＝1.C 正确.
答案：C
【题后反思】利用等差数列的性质解题的两个关注点 (1)两项和的转换是最常用的性质，利用 2am＝am－n＋ am＋n 可实现项的合并与拆分，在 Sn＝na12＋an中，Sn 与 a1＋an 可相互转化. (2)利用 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列，可求 S2m 或 S3m.
A.6
B.12
C.24
D.48
解析：在等差数列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，
∴a1＋3(a1＋6d)＋(a1＋12d)＝120， ∴a1＋6d＝24，∴3a9－a13＝3(a1＋8d)－a1－12d＝ 2(a1＋6d)＝2×24＝48.D正确.
答案：D
考向 2 等差数列前 n 项和的性质
在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄为 an，则 a1＝( )
A.23
B.32
C.35
D.38
解析：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则 9a1＋9×2 8×(－3)＝207，解得 a1＝35.故选 C.