方差分析
方差分析
方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。
在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。
一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。
随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。
而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。
1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。
其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。
最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。
如下表所示。
消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。
因素不同的表现称为水平或处理。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在显著差异的一种方法。
方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。
单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。
在单因素方差分析中，我们将样本数据按照因素的不同水平进行分类，然后比较各个水平之间的均值是否存在显著差异。
假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要建立以下假设： - 零假设（H0）：各个水平之间的均值没有显著差异。
- 备择假设（H1）：各个水平之间的均值存在显著差异。
方差分解方差分析的核心思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差。
组内方差反映了同一水平内个体之间的差异，而组间方差则反映了不同水平之间的差异。
通过比较组内方差和组间方差的大小，我们可以判断均值是否存在显著差异。
统计检验在单因素方差分析中，我们使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
F检验是通过计算组间均方与组内均方的比值来进行的。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各个水平之间的均值存在显著差异。
多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上引入了多个自变量（因素）的一种方法。
它可以同时考虑多个因素对样本均值的影响，并判断这些因素是否存在交互作用。
交互作用交互作用是指两个或多个因素同时对样本均值产生影响时所产生的效应。
在多因素方差分析中，我们需要考虑各个因素之间是否存在交互作用，以更准确地判断均值之间的差异。
二元因子设计二元因子设计是多因素方差分析中常用的一种设计方法。
它将两个因素进行组合，得到不同水平的组合，然后比较各个组合之间的均值是否存在显著差异。
统计检验在多因素方差分析中，我们同样使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
不同的是，多因素方差分析需要考虑组间方差的来源，包括主效应和交互效应。
方差分析
p p q 1 1 q 1 . j i 1 ij , i . j 1 ij , i 1 j 1 ij p q pq
因子A的水平效应: i i . , i 1, , p 因子B的水平效应:
j . j , j 1, , q
p r 2 p r j 1 i 1 p j 1 i 1 2
S A r X j X r j j
2 p j 1 j 1 p
2
r p 2 并且有：ES E E ij j r 1 2 n p 2 j 1 i 1 j 1 E S A p 1 r j
SE
2
~ n p ,
2
SA
2
~
2
p 1, 并且
SE
2
和
SA
2
相互独立。
当H0成立时，
SA F p 1 2
方差分析
SA SE ~ F p 1, n p 2 n p S E
14
3、方差分析表
方差来源 因子A的影响 误差 总和 平方和S SA SE ST 自由度f fA=p-1 fE=n-p fT=n-1 均方S SA=SA/(p-1) SE=SE/(n-p) F值 F=SA/SE 显著性
A1 B1 B2 平均 αi 100 130 115 -10 A2 120 150 135 10 平均 110 140 125 βj -15 15
μij=μ+αi+βj, α1+α2=0, β1+β2=0 Xij=μij+εij=μ+αi+βj+ εij
什么是方差分析
什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。
111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。
通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。
112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。
12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。
121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。
122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。
13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。
132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。
133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。
134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。
14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。
142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。
143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。
15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。
152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。
153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
方差分析
k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k
( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08
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方差分析专题单因素试验的方差分析（一）单因素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备及操作人员的水平等因素。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。
有些因素影响较大，有些较小。
为了使生产过程得以稳定，保证优质、高产，就有必要找出对产品质量有显着影响的那些因素。
为此，我们需进行试验。
方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。
在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。
影响试验指标的条件称为因素。
因素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控因素）；一类是人们不能控制的。
例如，反应温度、原料剂量、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的。
以下我们所说的因素都是指可控因素。
因素所处的状态，称为该因素的水平（见下述各例）。
如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。
例1设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。
取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。
得结果如表9.1所示。
水平。
我们假定除机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其它条件都相同。
这是单因素试验。
试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显着的差异。
即考察机器这一因素对厚度有无显着的影响。
例2下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。
4个水平。
这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察各种类型电路的响应时间有无显着差异。
即考察电路类型这一因素对响应时间有无显着的影响。
例3一火箭使用了四种燃料，三种推进器作射程试验。
每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，得结果如下（射程以海里计）。
4个水平。
这是一个双因素的试验。
试验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有无显着的差异，即考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显着的差异。
本节限于讨论单因素试验，我们就例1来讨论。
在例1中，我们在因素的每一水平下进行了独立实验，其结果是一个随机变量。
表中数据可看成来自三个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值。
将各个总体的均值依次记为1μ，2μ，3μ。
按题意需要检验假设3210:μμμ==H 3211,,:μμμH 不全相等现在进而假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题。
下面所要讨论的方差分析法，就是解决这类问题的一种统计方法。
现在开始讨论单因素试验的方差分析。
设因素有s 个水平s A A A ,,,21 ，在水平j A （s j ,,2,1 =）下，进行j n （2≥j n ）次独立实验，得到如下表的结果。
我们假定：各个水平j A （s j ,,2,1 =）下的样本12,,,j j j n j x x x 来自具有相同方差2σ，均值分别为j μ（s j ,,2,1 =）的正态总体),(2σμj N ，j μ与2σ未知。
且设不同水平j A 下的样本之间相互独立。
由于),(~2σμj ij N x ，即有),0(~2σμN x j ij -，故j ij x μ-可看成是随机误差。
记ij j ij x εμ=-，则ij x 可写成2,1,2,,;1,2,,,~(0,),,ij j ij j ij ij x i n j s N μεεσε=+==⎫⎪⎬⎪⎭各独立（1.1）其中j μ与2σ均为未知参数。
（1.1）式称为单因素试验方差分析的数学模型。
这是本节的研究对象。
方差分析的任务是对于模型（1.1），01检验s 个总体),(,),,(),,(22221σμσμσμs N N N 的均值是否相等，即检验假设s H μμμ=== 210:s H μμμ,,,:211 不全相等。
（1.2）02作出未知参数221,,,,σμμμs 的估计。
为了将问题（1.2）写成便于讨论的形式，我们将s μμμ,,,21 的加权平均值∑=sj j j n n 11μ记为μ，即∑==sj j j n n 11μμ（1.3）其中∑==sj j n n 1。
μ称为总平均。
再引入s j j j ,,2,1, =-=μμδ（1.4）此时有02211=+++s s n n n δδδ ，j δ表示水平j A 下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将j δ称为水平j A 的效应。
利用这些记号，模型（1.1）可改写成 而假设（1.2）等价于假设0:210====s H δδδ s H δδδ,,,:211 不全为零。
)2.1('这是因为当且仅当s μμμ=== 21时μμ=j ，即0=j δ，（s j ,,2,1 =）。
（二）平方和的分解下面我们从平方和的分解着手，导出假设检验)2.1('的检验统计量。
引入总平方和∑∑==-=sj n i ij T jx x S 112)(（1.5）其中∑∑===s i nj ij jx n x 111（1.6）是数据的总平均。
T S 能反映全部试验数据之间的差异，因此T S 又称为总变差。
又记水平j A 下的样本平均值为j x ⋅，即∑=⋅=jn i ijjj xn x 11 （1.7）我们将T S 写成注意到上式第三项（即交叉项） 于是我们就将T S 分解成为A E T S S S +=，（1.8） 其中∑∑==⋅-=sj n i j ij E jx x S 112)(,（1.9）21212112)()(x n x n x x n x x S sj jj sj j j sj n i j A j-=-=-=∑∑∑∑=⋅=⋅==⋅（1.10）上述E S 的各项2)(j ij x x ⋅-表示在水平j A 下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差所引起的。
E S 叫做误差平方和。
A S 的各项2)(x x j -⋅表示j A 水平下的样本平均值与数据总平均的差异，这是由水平j A 引起的。
A S 叫做因素A 的效应平方和。
（1.8）式就是我们所需要的平方和分解式。
（三）E S ，A S 的统计特性为了引出)2.1('的检验统计量，我们依次来讨论E S ，A S 的一些统计特性。
（1）E S 的统计特性 将E S 写成∑∑∑=⋅=⋅=⋅-++-+-=sn i s is n i i n i i E x x x x x x S 1212221211)()()(21（1.11）注意到∑=⋅-jn i j ij x x 12)(是总体),(2σμj N 的样本方差的1-j n 倍，于是有因各ij x 独立，故（1.11）式中各平方和独立。
由2χ分布的可加性知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=s j j En S 122)1(~χσ，即 )(~22s n S E-χσ，（1.12）由（1.12）式还可知，E S 的自由度为s n -。
且有2)()(σs n S E E -=（1.13）（2）A S 的统计特性我们看到∑∑∑=⋅==⋅-=-=sj j j sj n i j A x x n x x S j12112)()(是s 个变量)(x x n j j -⋅（s j ,,2,1 =）的平方和，它们之间仅有一个线性约束条件 故知A S 的自由度为1-s 。
再由（1.3），（1.6）及ij x 的独立性，知),(~2nN x σμ （1.14）即得由)1.1('式，知01=∑=sj j j n δ，故有∑=+-=sj j j A n s S E 122)1()(δσ（1.15）进一步还可以证明A S 与E S 独立，且当0H 为真时)1(~22-s S Aχσ（1.16）证略。
思考：当0H 为真时，整个样本来自什么总体？ （四）假设检验问题的拒绝域现在我们可以来确定假设检验问题)2.1('的拒绝域了。
由（1.15）式知，当0H 为真时2)1(σ=-s S E A（1.17）即1-s S A 是2σ的无偏估计。
而当1H 为真时，012>∑=sj j j n δ，此时 21221)1(σδσ>-+=-∑=s n s S E sj jj A（1.18）又由（1.13）式知2)(σ=-sn S E E（1.19）即不管0H 是否为真，sn S E-都是2σ的无偏估计。
综上所述，分式的分子与分母独立，E S 的分布与0H 无关，分母的数学期望总是2σ。
当0H 为真时，分子的数学期望为2σ，而当1H 为真时，由（1.18）式分子的取值有偏大的趋势。
故知检验问题)2.1('的拒绝域具有形式其中k 由预先给定的显着性水平α确定。
由（1.12），（1.16）式及E S 与A S 的独立性知，当0H 为真时，由此得检验问题)2.1('的拒绝域为),1(1s n s F sn S s S F E A--≥--=α （1.20）上述分析的结果可排成表9.5的形式，称为方差分析表。
表中1-=∆s S S A A ，sn SS E E -=∆分别称为A S ，E S 的均方。
思考：当0H 为真时，均方的数学期望分别是什么？因此均方又可以称什么？另外，由于在T S 中n 个变量x x ij -之间仅满足一个约束条件（1.6），故T S 的自由度为1-n 。
例4如上所述，在例1中需要检验假设3210:μμμ==H 3211,,:μμμH 不全相等试取05.0=α，完成这一假设检验。
解：因92.3289.3)12,2(05.0<=F ，故在水平0.05下拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显着的差异。
例5设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态，且各总体的方差相同。
又设各样本相互独立。
试取05.0=α，检验各类型电路的响应时间是否有显着差异。
解：我们需检验假设43210:μμμμ===H 43211,,,:μμμμH 不全相等因76.334.3)14,3(05.0<=F ，故在水平0.05下拒绝0H ，认为各类型电路的响应时间有显着差异。
（五）未知参数的估计上面已讲到过，不管0H 是否为真，sn S E-都是2σ的无偏估计，因此 又由（1.14），（1.7）式知，μ=)(x E ，j n i ijjj jxE n x E μ==∑=⋅1)(1)(，s j ,,2,1 =，故x =μˆ，j j x ⋅=μˆ 分别是μ，j μ的无偏估计。
又若拒绝0H ，这意味着s δδδ,,,21 不全为零。
由于s j j j ,,2,1, =-=μμδ，知x x j j-=⋅δˆ是j δ的无偏估计。
当拒绝0H 时，常需要作出两总体),(2σμj N 和),(2σμk N ，k j ≠的均值差k j k j δδμμ-=-的区间估计。