2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试数学(理)试题(一卷)及答案
绝密★启用前
2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试
数学(理)试题(一卷)
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝
A.Φ
B.{0，1}
C.{0，1，2}
D.{－2，0，1，2}
2.若(2＋i)z ＝5，则z 的虚部为
A.－1
B.1
C.－i
D.i
3.已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的两条渐近线互相垂直,则b ＝ A.1 B.2 C.3 D.2
4.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.3π
B.2
π C.π D.2π 5.函数f(x)＝(x 2－2x)e x 的图象可能是
6.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a<0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是
A.3⎛
-∞ ⎝⎭ B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.3⎫+∞⎪⎪⎝⎭
D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
7.已知a,b 为实数,则0<b<a<1是log a b>log b a 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知随机变量ξ,η的分布列如下表所示。
则
A.,E E D D ξηξη<<
B.,E E D D ξηξη<>
C.,E E D D ξηξη<=
D.,E E D D ξηξη==
9.在△ABC 中,若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AB BC
=u u u r u u u r A.1 B.2 C.3 D.6 10.在矩形ABCD 中,已知AB ＝3,AD ＝4,E 是边BC 上的点,EC ＝1,EF//CD,将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α,直线AB 绕AE 旋转一周,则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是
A.圆
B.双曲线
C.椭圆
D.抛物线
11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i －m(i ＝1,2),e 是自然对数的底数,存在m ∈R
A.当i ＝1时,f(x)零点个数可能有3个
B.当i ＝1时,f(x)零点个数可能有4个
C.当i ＝2时,f(x)零点个数可能有3个
D.当i ＝2时,f(x)零点个数可能有4个
12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n (2S n －a n )＝1,则下列结论中
①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n < ③a n a n ＋1<1
A.仅有①②正确
B.仅有①③正确
C.仅有②③正确
D.①②③均正确
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}23100,{33}A xx x B x x =+-<=-<<∣∣，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}x x -<<∣C.{33}x x -<<∣D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i + C.1i-+ D.1i --3.设函数()()()121log 2(1)31x x x f x x +⎧-<⎪=⎨⎪⎩，则()()32log 8f f -+=（）A.8B.9C.22D.264.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）A.560B.35C.－35D.－5605.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.76.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G 功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为2ˆ0.4ˆyx a =+，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为()3,1.0 B.由表中数据可知，变量y 与x 呈正相关C.ˆ0.28a =D.预测7x =时华为手机销量约为1.86（万部）7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.数列{}n a 是等差数列C.数列{}n S 是等比数列D.数列{}n S 是等差数列8.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）9.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11310.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A.12 B.715C.713D.111511.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x 的图像关于1x =对称，且()22g x +为奇函数，()()()11,31g f x g x ==-+，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.14.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.15.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.16.正方体1111ABCD A B C D -的校长为1，点P 为线段1CC 的中点，则三棱锥1P BDD -外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值.19.（12分）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布(65,100)X N ~，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y ，求随机变量Y 的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()6827.0≈+<<-σμσμX P ，()9545.022≈+<<-σμσμX P ，()9973.033≈+<<-σμσμX P .20.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知()ln 1f x x x x =--，记()f x 在1ex =处的切线方程为()g x .（1）证明：()()g x f x（2）若方程()f x m =有两个不相等的实根()1212,x x x x <，证明：12122x x m e e->+--.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：∵{}{}2501032<<-=<-+=x x x x x A ，∴{}23<<-=x x B A .2.B解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.C 解析：()()[]222log 221-=--=-f .∵18log 3>，∴()243338log 24log 3log 8log 18log 33333====++f ，∴()()222428log 23=+-=+-f f .4.D 解析：由题意知712⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式()()rr r r rr rr xC x x C T 27777712112---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令127=-r ，得3=r ，∴x 的系数为()5602137373-=--C .5.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .6.D解析：由表格数据可以计算出3554321=++++=x ，0.155.12.10.18.05.0=++++=y ，则样本中心点为()0.1,3，即A 说法正确；从表格数据可得：y 随着x 的增加而增加，∴变量y 与x 正相关，即B 说法正确；将样本中心点为()0.1,3代入a x yˆ24.0ˆ+=，可得28.0ˆ=a ，即C 说法正确；由C 可知线性回归方程为28.024.0ˆ+=x y，将7=x 代入可得96.128.0724.0ˆ=+⨯=y，则D 说法不正确.7.C解析：因121+=n n a S ①可得，当2≥n 时，n n a S 211=-②，①－②得：n n n n a a S S 212111-=-+-，即n n n a a a 21211-=+，可得31=+n n a a ，因11=a ，在121+=n n a S 中，取1=n ，可得2212==S a ，即3212≠=a a ，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*∈N n 时，都有n n n S S a -=++11，代入121+=n n a S 中，可得()n n n S S S -=+121，整理得：31=+nn S S ，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.8.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xexx x f ，故排除B.9.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.10.B解析：用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”，B 表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为()A B P .∴()30333437=--=C C C A n ，()1468241412=+=+=C C C AB n ，∴()()()1573014===A n AB n A B P .11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()22+x g 为奇函数，∴()()2222+-=+-x g x g ，则()()22+-=+-x g x g ，∴()x g 对称中心为()0,2，又∵()x g 对的图象关于1=x 对称，则()()x g x g =+-2，∴()()x g x g =+-2，则()()()x g x g x g =+-=+24，∴()x g 的周期4=T ，①()()()5833g g g =+-=-，∴①正确；②∵()11=g ，()()x g x g =+-2，()x g 对称中心为()0,2，∴()()020==g g ，∴()()002024==g g ，∴②正确；③∵()()13+-=x g x f ，∴()()2112=+=g f ，∵()()x g x g =+-2，∴()()11g g -=-，则()()()011114=+-=+-=g g f ，∴()()242=+f f ，∴③错误；④∵()()13+-=x g x f 且()x g 周期4=T ，∴()()()()x f x g x g x f =+-=++-=+131434，则()x f 的周期为4=T ，∵()()1121=+=g f ，()22=f ，()()1103=+=g f ，()04=f ，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()()()()[]20244506432150620241=⨯=+++=∑=f f f f n f n ，∴④正确.二、选择题13.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .14.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .15.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .16.825π解析：以D 为坐标原点，DA ,DC ,1DD 方向分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛21101000110001，，，，，，，，，，，P D B D ，M 为线段1BD 的中点，则⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21M ，显然点M 为1BDD ∆的外接圆圆心.则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===0,21,210111001PM DB DD ，，，，，，，∴，，0212101=-=⋅=⋅DB PM DD PM 即PM 为平面1BDD 的一个法向量，即⊥PM 平面1BDD .则三棱锥1BDD P -外接球的球心O 在直线PM 行，连接OD ，则设R OP OD ==.设⎪⎭⎫⎝⎛-==0,2,2λλλPM OP ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=21,21,20,2,22110λλλλ，，OP DP DO .=，即222222121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ，解得45-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,83,85DO ，∴32252183852222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=R .则三棱锥1BDD P -外接球的表面积为82542ππ=R .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+nn n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）延长ED 、AC 相交于点N ，连接BN ，则BN 为平面BDE 与平面ABC 的交线.∵AE ∥CD ，CD AE 2=，则DC 为ABC ∆的中位线，∴42==AC AN ，即BC CN AC ==，∴BN AB ⊥，∴3222=-=AB AN BN .而5222=+=AN AE EN ，2222=+=AB AE BE ，∴222EN BNBE =+，即BNBE ⊥∴EBA ∠即为平面BDE 与平面ABC 所成二面角的平面角.∴22222sin ===∠BE AE EBA 故平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值为22.19.解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为190110C C ,∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1122100190110==C C C A P 故抽取的两名学生中锋恰有一名学生获一等奖的概率为112.（2）（i ）∵852=+σμ，∴()02275.029545.0185=-≈>X P ,∴参赛学生中成绩超过85分的学生数约为22802275.010000≈⨯人.（ii ）由65=μ，得()2165=>X P ，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为21，∴随机变量Y 服从二项分布Y ~⎪⎭⎫ ⎝⎛214，B ，∴()161210404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41211414=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()83212424=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41213434=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()161214444=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P .∴随机变量Y 的分布列为：∴期望为()216144138324111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E.20.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，m y y 421=+，b y y 421-=，∴()b m b y y m x x 24222121+=++=+，()22212116b y y x x ==，∵()4,411--=y x P A ，()4,422--=y x PB ，()()324421212121++-++-=⋅y y y y x x x x PB P A ()32161216324442442222=+---=+⨯--+-=m b m b m b b m b ∴41616361222++=+-m m b b ，即()()22246+=-m b ，当6-b 与24+m 同号时，246+=-m b ，即84+=m b ，此时()04284222>++=++=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()8484++=++=y m m my x 过定点()48-，，当6-b 与24+m 异号时，246+=-m b ，即44+-=m b ，此时()0244222≥-=+-=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()4444+-=--=y m m my x 过定点()44，，则此时与点B A P ,,中任意两点不重合矛盾，故直线AB 过定点，定点坐标为()48-，.21.解：（1）证明：()1ln --=x x x x f 的定义域为()∞+，0，∵()()x x x f ln 1ln 1-=+-='，∴11=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e f ，121111-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e ef ，∴()e x e xg 112-=⎪⎭⎫⎝⎛--，即()11-+=e x x g .令()()()()x x ex x e x x f x g x F ln 11ln 11+=----+=-=，()+∞∈,0x ，()x x F ln 1+='，令()0='x F ，解得ex 1=，∴当e x 10<<时，()0<'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，单调递减，当e x 1>时，()0>'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 单调递增，∴()01min =⎪⎭⎫⎝⎛=e F x F ，∴()0≥x F 恒成立，即()()x f x g ≥.（2）由（1）知()x x f ln -='，令()0='x f ，得1=x .∴当10<<x 时，()0>'x f ，()x f 在()1,0单调递增，当1>x 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+，1单调递减，∴()()01max ==f x f ，当0→x 时，()1-→x f ；当e x >时，()()1-=<e f x f ，∵方程()m x f =有两个不相等的实根()2121,x x x x <，∴01<<-m 且e x x <<<<2110，∵()1-='e f ，()1-=e f ，∴函数()x f 在e x =处的切线方程为()()e x y --=--1，即1-+-=e x y .下证：()1-+-≤e x x f 令()()e x x x x f e x x h ++-=--+-=ln 21，()+∞∈,0x ∵()x x x h ln 11ln 2+-=++-='，令()0='x h ，解得e x =，∴当e x <<0时，()0<'x h ，()x h 在()e ,0单调递减，当e x >时，()0>'x h ，()x h 在()∞+，e 单调递增，∴()()0min ==e h x h ∴()0≥x h 恒成立，即()1-+-≤e x x f ，当且仅当e x =时等号成立.∵e x <<21，∴()122-+-<=e x x f m ，即12+->-e m x ，由（1）知，()()11-+=≤e x x g x f ，∵101<<x ，∴()1111-+≤=e x x f m ，即111+-≥em x ，∴ee m x x 12221--+>-.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题 数学(文) 含答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试文科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ＝N ，A ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x|1<x ≤6，n ∈N}，则()U A B =I ð A. {2，3，4，5，6} B. {2，4，6} C. {1，3，5} D. {3，5}2.复数z ＝(1－mi)2(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝ A.±1 B.－1 C.1 D.03.以双曲线2213y x -=的顶点为焦点，离心率为33的椭圆的标准方程为A.22143x y +=B.22134x y +=C.22196x y +=D.22169x y += 4.函数f(x)＝3ln xx的部分图像是5.已知α∈(0，π)，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.2425 B.－2425 C.725 D.－7256.点P ，Q 在圆x 2＋y 2＋kx －4y ＋3＝0上(k ∈R)，且点P ，Q 关于直线2x ＋y ＝0对称，则该圆的半径为3 2 C.1 27.已知函数f(x)＝x 3－x 和点P(1，－1)，则过点P 与该函数图像相切的直线条数为 A.1 B.2 C.3 D.48.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 A.372cm B.373cm C.376cm D.37cm 9.已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则“2a 3>a 1＋a 5”是“S 2n －1<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在△PAB 中，已知2,1OB BA ==u u u r u u u r ，∠AOB ＝45°，点P 满足OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r (λ，µ∈R)，其中2λ＋µ＝3满足，则|OP uuu r|的最小值为A.355 B.255 C.63 D.6211.边长为2的等边△ABC 和有一内角为30°的直角△ABC 1所在半平面构成60°的二面角，则下列不可能是线段CC 1的取值的是 A.30 B.10 C.10 D.10 12.已知不等式x ＋alnx ＋1x e≥x a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为 A.－e B.－2eC.－eD.－2e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2024年1月数学试卷及答案
一、单项选择题：本题共8符合题目要求的．1． 已知R ∈m ，集合=A ，若C AB =则=mA ．−32． 已知数列a n }{满足a 1A ．+−n 21213． 复数z 满足+=z 2i )(A ．−34． 在直三棱柱−ABC A 1A ．7 5． 设x a a x +=+n1201)(A ．66． 若不等式A ．5 7． 已知==a b 2e ,ln e23A ．>>a b c8． 已知>+−x y x y ,0,33A ．15．若,αγβγ，则αβ．若,,mn m n αβ，则αβγ⊥，则⊥⊥αγβγ,，则αβx 2E F ,，5．12PE PF ⋅=−25258=12)分成长度相等的四段D ．3 则+++ααβtan 2tan )(D ．8当∈x 2,4][时，=f x )(C 上一点，线段PF 2的中垂的离心率为 ． 动直线=≠x a a 0)(与函数l 1与函数g x )(的图象+x 817)恒成立，则实数m四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列a n }{的前n 项和为=S a n ,11，当≥n 2时，⎝⎭ ⎪=−⎛⎫S a S nn n 212．（1）求证：数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1是等差数列，并求S n 的表达式；（2）设+=n b n S n n212，数列b n }{的前n 项和为T n ，不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，求正整数m 的最小值．18．（12分）如图所示，在∆ABC 中，=AB D 1,是BC 上的点，∠=∠BAD DAC 21． （1）若∠=πBAC 2，求证：−=AD AC 21； （2）若1BD DC =4，求∆ABC 面积的最大值．19．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体−ABCD A BC D 1111的顶点A 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为61，沿正方体的侧棱爬行的概率为32．（1）若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．（第19题图）（第18题图）20．（12分）如图所示，已知∆ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，点M 是边AB 的中点，点N 在边BC 上，且=BNNC 3．以MN 为折痕将∆BMN 折起，使点B 到达点D 的位置，且平面⊥DMC 平面ABC ，连接DA DC ,．（1）若E 是线段DM 的中点，求证：NE 平面DAC ；（2）求二面角−−D AC B 的余弦值．21．（12分）如图所示，已知抛物线=−y x M 1,0,12)(，A ，B 是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于C ，D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．（1）求⋅CDCM DM 的取值范围；（2）问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数=+−−xf x x a x1ln 2)(有两个零点<x x x x ,1212)(． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：<x x 112； （3）求证：−<<−x x x x 212122．（第20题图）（第21题图）中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4 14．135 15．216．，⎝⎦⎥ −∞⎛⎤21 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）当≥n 2时，数列a n }{的前n 项和为S n ，满足⎝⎭⎪=−⎛⎫S a S n n n 212， 即⎝⎭ ⎪=−−=−−+⎛⎫−−−S S S S S S S S S n n n n n n n n n 22211111122)(， 整理可得=−−−S S S S n n n n 211 ········································································ 1分 11S =，则=−S S S S 22112，即=−S S 2122，可得=S 312 ······························· 2分由=−S S S S 22323，即=−S S 332133，可得,,=S 513以此类推可知，对任意的N *∈>n S n ,0，在等式=−−−S S S S n n n n 211两边同时除以−S S n n 1可得−=−S S n n 2111······················· 4分所以数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1为等差数列，且其首项为=S 111，公差为2 ································· 5分 ∴=+−=−S n n n 121211)(，因此， −=n S n 211 ············································ 6分 （2）解：()()⎝⎭⎝⎭+−+−+ ⎪ ⎪ ⎪==+=+−⎛⎫⎛⎫n n n n n b n S n n 214212148212111111112 ， ⎝⎭+ ⎪∴=+−⎛⎫n T n n 4821111 ············································································ 8分 不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，则−+≥m m 33022，即≥+m 69或≤m 69····································································· 9分 因此，满足条件的正整数m 的最小值为3 ······················································ 10分 18．（12分）（1）证明：由∠=∠=∠πBAC BAD DAC 22,1，知∠=∠=ππBAD DAC 63,，=+⋅⋅+⋅⋅=⋅ππ∆∆S S S AB AD AD AC AB AC ABC ABD ACD 26232,sin sin 111，即+⋅=AD AC AC 2，两边同除以⋅AD AC，得−=AD AC21······················································ 5分 （2）设∠=αBAD ，则∠=αDAC 2，∆ABD 中，由正弦定理，得∠=αBDA AB BDsin sin ①，∆ACD 中，由正弦定理，得∠=αCDA AC DCsin sin 2 ②，②÷①，结合∠=∠=BDA CDA DC BD sin sin ,4，得=αAC cos 2···················· 7分 =⋅⋅===−⋅−∆αααααααS AB AC ABCsin 33tan 4tan sin 1sin 33sin 4sin 23++=−⋅=−ααααααα1tan 1tan 3tan 4tan tan 3tan tan 2223 ···································· 9分设=∈αt tan (，即求函数+=∈−ty t t t 1,323(的最大值， ()()++'==−+−−−−++t t y t t t t t t t 113313233222222322)()()()()(，∈−t 32)(时，'>y 0，函数单调递增；∈t 3,32)(时，'<y 0，函数单调递减，当=−t 32时，函数有最大值，=y max∴∆ABC··························································· 12分 19．（12分）（1）记蚂蚁爬行n 次在底面ABCD 的概率为P n ，由题意可得，==+−+P P P P n n n 333,121211)(···················································· 3分 ⎝⎭⎩⎭ ⎪⎨⎬−=−−−⎛⎫⎧⎫+P P P n n n 2322,11111是等比数列，首项为61，公比为−31， ⎝⎭⎝⎭⎪⎪−=−=+−⎛⎫⎛⎫−−P P n n n n 263263,11111111························································ 5分（2）X =0,1,2，X =2时，蚂蚁第3次、第5次都在C 处，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P X 6636366363366661822221121211212211111)( ·············································································································· 7分X =1时，蚂蚁第3次在C 处或第5次在C 处， 设蚂蚁第3次在C 处的概率为P 1，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P 6636366366666331822211212112115152111·············································································································· 8分 设蚂蚁第5次在C 处的概率为P 2，设蚂蚁不过点C 且第3次在D 1的概率为P 3，设蚂蚁不过点C 且第3次在B 1的概率为P 4，设蚂蚁不过点C 且第3次在A 的概率为P 5，由对称性知，=P P 34，=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P 6663635443111212133，=⨯⨯⨯+⨯⨯=P 636333276121222115，得=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P P P 63665422212117235 ··················································· 11分 ∴==+=P X P P 271512)(， ==−=−==P X P X P X 54011241)()()(， XX 的数学期望=⨯=+⨯=+⨯==E X P X P X P X 270011228)()()()( ············ 12分20．（12分）（1）过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ．因为点E 是线段DM 的中点，=BN NC 3，∴==EF NG AM 21，且EFNG ，四边形EFGN 是平行四边形．由,NEFG NE ⊄平面DAC ，⊂FG 平面DAC ，∴NE 平面DAC ······················································································ 5分（2）解法1：以点A 为原点，AB ，AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系····································································· 6分 设==AB AC 2，则⎝⎭⎪⎛⎫A M N 220,0,0,,1,0,0,,,013)()(，设D x y z ,,,)(，因为平面⊥DMC 平面ABC ，所以点D 在平面ABC 上的射影落在直线CM 上，∴+=x y21 ①，由题意可知，==∴−++=DM DN x y z 1,11222)( ②， ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−+=⎛⎫⎛⎫x y z 222139222③，由①②③解得，⎝⎭ ⎪ ⎪==−=∴−⎛⎫x y z D 777777,,,,,8282 ·························· 8分 82211816211,,,,,AD CD ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭777777，设平面ACD 的法向量为(,,n x y z =)，00AD n CD n ⋅=⋅=⎩⎪⎨⎪⎧，即⎩⎪−+=⎨⎪−+=⎧x y x y 48040，取===−x y z 0,4 ······················ 11分 取平面ABC 的法向量(0,0,1m =)．设二面角−−D AC B 的平面角为θ， 则43cos cos ,9m n m nm n⋅===θ， 所以，二面角−−D AC B 的余弦值为9··················································· 12分 解法2：如图，过点B 作直线 MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ．由题意知，点D 在底面ABC 上的射影在直线BI 上且在直线MC 上，所以点H 即点D 在底面上的射影，即⊥DH 平面ABC ····················································································· 6分设=AB 2，则==∠=πBM BN MBN 41,，由余弦定理，得=MN 2，∠=∠−∠=⋅+⋅=IMH IMB HMB 10510510cos cos )(，∠==IMH MH MI cos 7．过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，由三垂线定理知，⊥DO AC ，∴∠DOH 是二面角−−D AC B 的平面角 ········································································ 9分 由=HO CH AM CM，解得===HO DH 77,8，∠==HO DOH DH 4tan，得∠=DOH 9cos ，所以，二面角−−D AC B的余弦值为9·················································· 12分 21．（12分）（1）设点C x y D x y ,,,1122)()(，设直线l 的方程为=+≠y kx k 10)(，代入抛物线=−y x 12，得−−=x kx 202（*），⎝⎭⎪ ⎪===⎛⎫CD CM DM 2,2 ·········· 4分（2）⎝⎭⎪−−−⎛⎫k C x x D x x Q ,1,,1,,01112222)()(，设T m n ,)(， 由（*）式，知+==−x x k x x ,21212 ······························································ 5分 直线AC 的方程为=−+y x x 111)()(，直线BD 的方程为=+−y x x 112)()(，解得−+−+−+===++−−−−x x x x x x x y x x x x x x x x 222,212321212112121212)()(，所以点P 的坐标为⎝⎭−+−+ ⎪+⎛⎫−−x x x x x x x x 22,2321211212)( ··············································· 7分 ()1212231,,,x x x x TP m n TQ m n −−⎛⎫+⎛⎫=−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−+−+x x x x k 222121，TP TQ m m n n ⎛⎫⋅=−−−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫+⎛⎫−−x x x x 1231212)()(()⎝⎭−+−+−+ ⎪=−−−+−++⎛⎫−−x x k k x x x x m m n n x x x x x x 22212321212112122212)( ⎝⎭−+−+ ⎪=−−+++−⎛⎫x x k x x m m n n k n 222121212122 21x x k −=±+82，22TP TQ m n n ∴⋅=++++±++−+−k k km n m 822212 ··············································· 10分 当m n TP TQ ==⋅20,,1为定值45， 所以存在定点T 的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫20,1 ·································································· 12分 22．（12分）（1）()f x x '=+=−+−+x x x x x 22ln 21ln 223)( ···················································· 1分又因为函数=−+g x x x 21ln 3)()(递增，且=g 10)(，'>⇔>f x x 01)(， ∴f x )(在0,1)(递减，在+∞1,)[递增 ···························································· 2分 当=−<f a 120)(，即>a 2时，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−−=+>⎛⎫⎛⎫a a a a f a a a a 1ln ln 0111122， =+−>−+>−−=>−−−−−+a a a a f a a a a a a a a a a a a 01ln 111112222)()()()(， ∴f x )(在⎝⎭⎪⎛⎫a a ,1,1,1)(上各有一个零点 ························································· 3分 当≤a 2时，f x )(的最小值为f 1)(，且=−≥f a 120)(，∴f x )(在+∞0,)(内至多只有一个零点，综上，实数a 的取值范围是>a 2 ·································································· 4分 （2）设 ⎪=−>⎛⎫F x f x f x ,11)()(，则 ⎝⎭⎪'='+'=−−+⎛⎫−−x x x x F x f x f x x x x 21ln 111212322)()()()( ⎣⎦⎢⎥⎣⎦=−−−=−−+⎡⎤⎡⎤+−x x x x x x x x x x x 12ln 221ln 2113233)()( 当>x 1时，<−x x ln 1，−−+−=+−=−++>x x x x x x x x x 22112120332)()()()(， ∴−>+−>+x x x x x x x 22111ln 3)()()(，∴F x )(在+∞1,)(上递增，当>x 1时，>=F x F 10)()(，即当>x 1时，⎝⎭⎪>⎛⎫x f x f 1)( ······································································ 6分 又因为函数f x )(有两个零点<x x x x ,1212)(，由（1）知，<<<<<x x x 01,011212， ⎝⎭⎪∴=>⎛⎫x f x f x f 1212)()(， 又()f x 在0,1)(递减，∴<x x 121， 即<x x 112 ································································································ 8分 （3）设⎝⎭⎪=−+−=−−⎛⎫x x G x f x x a x x x 1ln 12)()(， =−−==−−−+−+++'x x x G x x x x x x x x x x 211ln 21ln 121ln 2221322)()()(， ='G 101)(，当≠x 1时，⎣⎦−⎢⎥=+++⎡⎤−'x x G x x x x x 121ln 1212)()()(， 显然−+++>x x x x 1210ln 2)(∴G x 1)(在0,1)(递减，+∞1,)(递增，∴≥=G x G 1011)()(， 即>+−=xf x x a h x 11)()(，设h x 1)(的零点为<−=x x x x x x ,,343443)(， 由图象可知<<<x x x x 3124，∴−<x x 21 ·················································································· 10分 设⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=−=−−⎛⎫⎛⎫−x x x x x f x x a x x 1ln 11ln 111222)(， 设=−−xG x x 1ln 12)(， 易得≤G x 02)(恒成立，即<+−=xf x x a h x 1222)()(，设h x 2)(的零点为<−=x x x x x x ,,56566522)(，由图象可知，<<<x x x x 1562，∴<<<x x x x 15622222，∴−>x x 2122∴−<<−x x x x 212122 ····································································· 12分。
中学生标准学术能力诊断性测试2021年1月测试理科数学试卷(一卷)及答案
当 x > 0 时， r' ( x) > 0,r ( x) 单调递增；当 x < 0 时， r' ( x) < 0,r ( x) 单调递减，
则 r ( x) ≥ r (0) = e0 − 0 −1 = 0 ，即 ex ≥ x +1 .……10 分
∴ea(x1−x0 ) = 2a x1x0 ≥ 1+ a(x1 − x0 ) > 3 2e ⋅ a + a(x1 − x0 )，
可得： S∆ADE
= 1×2×2× 2
3= 2
3 .……10 分
因为 CD ⊥ 平面 ADE, EF / /CD ，所以 EF ⊥ 平面 ADE ，所以这个多面体的体积
V
= V四棱锥F − ABCD
+ V三棱锥F − ADE
=
1×4× 3
3+1× 3
3 ×1 = 5 3 .……12 分 3
19．解：
5k 4 + 9k 2
= 9k 1+ k 2 4 + 9k 2
.……9 分
( )( ) 又 MN =
1+ k 2 ⋅ x1 − x2 = 24
1+ k 2 1+ 2k 2 4 + 9k 2
，
( ) MN
于是
=8
1+ 2k 2
=8
( ) PQ 3k 1+ k 2 3
1+ 2k 2 = 8 k2 +k4 3
= n22 n(n++211n)2
<
2n +1
n2 (n +1)2
(n +1)2 − n2
2020届中学生标准学术能力诊断性测试 文理文科数学(一卷)试卷THUSSAT3月测试
上单调递减
B．在区间
−
π 6
,
π 3
上单调递增
C．在区间
−
π 3
,
π 6
上单调递减
D．在区间
−
π 3
,
π 6
上单调递增
10．已知正四面体 ABCD ，点 E 为棱 AD 的中点，O 为△ BCD的中心，则异面直线 EO 与 CD 所成的角等于（ ）
A． 30
A． 3 3
B． 2
( ) C． 3 +1
D． 3
4．下列函数中，周期是 的奇函数为（ 2
A．
y
=
sin
2x
+
π 3
）
B．
y
=
cos
3 2
π
−
4x
C．
y
=
sin
4x
−
2
D． y = tan x
5．如右图所示，已知 BA = a ， BC = b ， DC = 3BD ， AE = 2EC ，则 DE =（ ）
（
t
为参数），曲线
C
的参数方程为
x y
= =
3cos 2 sin
（
为参
数）．
（1）写出直线 l 与曲线 C 的普通方程； （2）过曲线 C 上任意一点 A 作与 l 夹角为 的直线，交直线 l 于点 B ，若 tan = 1 ，求| AB | 的最大值和最
2
小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲] （10 分）
4 14. 23 15. x − y −1 = 0
2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试(1月)数学(理)试题(解析版)
2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试（1月）数学（理）试题一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,0,1,2}-【答案】B【解析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2．若()25i z +=，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．i -D ．i【答案】A【解析】利用复数除法运算化简z ，则虚部可求 【详解】()()()5252222i z i i i i -===-++-，故虚部为－1 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题3．已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的两条渐近线互相垂直，则e =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据题意，利用双曲线的两条渐近线垂直推出-1b b a a=-g ，可得a b =，再通过离心率的计算公式即可得出。
【详解】由题意得，-1b b a a =-g ，可得a b =，则2222222,2c a b e e a a+====。
【点睛】本题主要考查双曲线的性质中离心率的求解。
4．由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π【答案】C【解析】根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。
【详解】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122V ππ=⋅⨯=， 故答案选C 。
【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。
5．函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】求导，求出函数()y f x =的单调性，利用单调性来辨别函数()y f x =的图象，以及函数值符号来辨别函数()y f x =的图象． 【详解】()()22x f x x x e =-Q ，()()()()222222x x x f x x e x x e x e '∴=-+-=-.解不等式()0f x '<，即220x -<，得22x -<<；解不等式()0f x '>，即220x ->，得x <x >所以，函数()y f x =的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(．令()0f x >，即220x x ->，得0x <或2x >； 令()0f x <，即220x x -<，得02x <<.所以，符合条件的函数()y f x =为B 选项中的图象，故选B. 【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号．在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题．6．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎛-∞ ⎝⎭B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可 【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则2a >=x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A 【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法7．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论8．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C【解析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=，D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．9．在ABC △中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u vu u u v （ ） A ．1 B．2CD．2【答案】C【解析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果。
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题含解析
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1( ) A ．cos160︒ B ．cos160±︒ C ．cos160±︒D ．cos160-︒2．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．103．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．角α的终边经过点221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值为（ ）A ．12B ．C ．3-D ．5．得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左移动6π B ．向右移动6π C ．向左移动3π D ．向右移动3π 6．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+7．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．238．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S =（ ）A ．13B ．15C ．40D ．469．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学(文)试题答案(一卷)(扫描版)
中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试文科数学（一卷）答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. [)(]1,00,1−14. (]}{0,2415. ()1,00,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭16.14三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17． 解：记A 表示事件：考生选择生物学科B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科；D 表示事件：选择生物但不选择物理E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科 （1）()()0502P A .P B .C AB ===，，,AB =∅ ………………………………2分()()()()0.7P C P AB P A P B ==+= ………………………………5分（2）由某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知()350.D P = ………………………………7分 因为DE A = ………………………………9分()()()15.035.05.0=−=−=D P A P E P ………………………………12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得⎩⎨⎧==512211a a a a ，解得⎩⎨⎧==211d a ………………………………3分所以2,12n S n a n n =−= ………………………………6分 （2）因为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=+=−+=1114114111212n n n n n b n ………………………………9分 所以()41n nT n =+ ………………………………12分19．解（1）由已知AP ⊥面PCD ，可得AP ⊥PC ，AP ⊥ C D ，由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，易得// BE CD ,所以， AP BE ⊥ ．又因为BE ⊥AC ，所以BE ⊥⊥面APC ,故BE ⊥ PO ． ………………………………3分 在直角梯形ABCD中?AC AB AP PC ==⊥，， ，所以PAC ∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥．ABCD ,面⊂=BE O AC BE ，所以PO ⊥平面ABCD …………………………6分（2）法一：以O 为原点，分别以OB OC OP ，， 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设1BO =A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0), 设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量．满足00n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以030x z x y −+=⎧⎨−+=⎩ ，则令1x = ，解得(1,3,1)n =…………9分 222sin cos ,11AB n AB n AB nθ⋅===⋅ ……………………………12分 法二：（等体积法求A 到平面PBD 的距离）设AB=1，点A 到平面PBD 的距离为h ，计算可得,411=ΔPBD S A PBD P ABD V V −−= …………………………9分PO S h S ΔABD ΔPBD ⋅⋅=⋅⋅3131,1,ABD S ∆=2PO =解得h =…………………………11分sin h AB θ== …………………………12分20．解（1）x xax ≥+ln 在(]1,0恒成立，得x x x a ln −≥在(]1,0恒成立。
中学生标准学术能力诊断性测试 1月诊断性测试理科数学试卷PDF版含答案
由 CD = AB = 2, ED = 2, EF = 1 ，得 CF = 5 .……8 分
'CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 15 ，所以 FH = 5 × 15 = 3 .……9 分
5
5
因为 EF / /CD, EF ⊄ 平面 ABCD,CD ⊂ 平面 ABCD ，
所以 EF // 平面 ABCD ，所以 EM = FH = 3 ，
A．1
B． 2
C． 3
2．
x2 已知双曲线 1 m
y2 m5
A．焦点为 0,r 6
1 ，则下列说法正确的是
B．焦点为 r 2,0
D． 4
C．焦距是 4 3． 已知复数 z 满足 z i
i A． 3
D．焦距是 2 a 2i （ i 是虚数单位）, a R ，且 z 2 2 ，则实数 a 的值为
T2 R22
1
Tn Rn2
1
1．
第3页 共4页
20．（12
分）已知
F1
,
F2
是椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1 a ! b ! 0 的左、右焦点，弦 AB 经过点 F2 ，若
AF2
2 F2B , tanAF1B
3 4
，且
'F1F2
B
的面积为
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 y k x 1 1d k d 2 ，与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 M , N 两点，线段 MN
B．1
C． 1或1
D． 3 或1
高三数学中学生标准学术能力诊断性测试(1月)试题理
高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题理 本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝A.ΦB.{0，1}C.{0，1，2}D.{－2，0，1，2} 2.若(2＋i)z ＝5，则z 的虚部为A.－1B.1C.－iD.i3.已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b ＝ A.1 B.2 C.3 D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3πB.2π C.π D.2π 5.函数f(x)＝(x 2－2x)e x 的图象可能是6.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是 A.3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7.已知a ，b 为实数，则0<b<a<1是log a b>log b a 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。
则A.,E E D D ξηξη<<B.,E E D D ξηξη<>C.,E E D D ξηξη<=D.,E E D D ξηξη==9.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则AB BC =A.1B.22C.3D.6 10.在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝4，E 是边BC 上的点，EC ＝1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i－m(i ＝1，2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈RA.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有3个B.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有4个C.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有3个D.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有4个12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n (2S n －a n )＝1，则下列结论中①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n <； ③a n a n ＋1<1 A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。