物理第讲 信道编码循环码生成多项式和生成矩阵交织
循环码(7,3)码
循环码（7，3）码（生成多项式1)(234+++=x x xx g ）摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。
分析和讨论了 此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。
关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab信道编码：信道编码又称差错控制编码或纠错编码，它是提高信息传输可靠性的有效方法之一。
一类一类信道编码是对传输信号的码型进行变换，使之更适合于信道特性或满足接收端对恢复信号的要求，从而减少信息的损失；另一类信道编码是在信息序列中人为的增加冗余位，使之具有相关特性，在接收端利用相关性进行检错或纠错，从而达到可靠通信的目的。
1.1、循环码循环码是线性分组码中一个重要的分支。
它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。
循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。
1.1.1、循环码定义定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。
设码字 )(0121c c c c c n n ⋅⋅⋅=-- （1.1.1） 若将码元左移一位，得 ())(10121--⋅⋅⋅=n n c c c c c （1.1.2）()1c也是一个码字。
由于（k n ,）线性分组码是n 维线性空间n V 中的一个k 维子空间，因此()k n ,循环码是n 维线性空间n V 中的一个k 维循环子空间。
注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。
1.1.2、循环码的特点循环码有两个数学特征： （1）线性分组码的封闭型；（2）循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。
第7讲 信道编码：循环码、典型矩阵、编码电路
gnk 0 G 0
g n k 1 gnk
g n k 1 0
g1 g nk
g0 g1 g n k 1
x k 1 g ( x) 0 0 k 2 x g ( x) g0 0 xg ( x) g1 g 0 g ( x)
xn-ku(x) = x4u(x) = x14 + x11 + x8 + x5 →( 10010010010 0000 )
r(x) = [x4u(x)]mod g(x) = x2 →(0100) c(x) = x4 u(x) + r(x) = x14 + x11 + x8 + x5 + x2
即：循环码组c = ( 10010010010 0100 )
用矩阵的形式表示上式：
[ x n-k u ( x)]mod g ( x ) uk 1 uk 2
[ x n 1 ]mod g ( x ) n2 [ x ]mod g ( x ) u0 r ( x) [ x n k ] mod g ( x )
g0 h0 + gn-k hk = 0
那么对于生成多项式所构成的生成矩阵G
g nk 0 G 0 g n k 1 g nk g n k 1 0 g1 g nk g0 g1 g n k 1 0 g0 0 g1 g 0 0
k ( n k ) r1,1 r1,2 r1,n k r2,1 r2,2 r2,n k rk ,1 rk ,2 rk ,n k
信道编码5
生成矩阵和监督矩阵
• 系统码的生成矩阵典型形式 • 非系统码 系统码
– 生成矩阵
G Ik
Q
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 Q
– 监督矩阵
1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 G ( D) 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Ik
0 0
hk g k 1 g 0 h1 g 1 h0 0 g 0 h2 g 1 h1 g 2 h0 0 ... g n k h0 g n k 1 h1 ... g 0 hn k 0 g n k h1 g n k 1 h2 ... g 0 hn k 1 0 ... g n k hk 1 g n k 1 hk 0
16
• 将任意k个信息码组用类似p100图9.3.1的编码器编成系 统码， • 得到一个长为 n k r 的码，这就是CRC。
17
Polynomial
CRC-64 CRC-32 CRC-24 CRC-16
Parity bits 64 32 24 16
x64 x 4 x3 x 1
x16 x15 x14 x11 x 6 x5 x 2 x 1
CRC-12
CRC-10 CRC-8 CRC-6 CRC-4
x12 x11 x3 x2 x 1
x12 x11 x10 x 9 x8 x 4 x 1
12
10
x10 x9 x8 x 7 x 6 x 4 x3 1
• 则监督矩阵为
0 ... 0 hk 0 ... ... ... ... h0 ... hk ( n k )n
信道编码中ppt课件
循环码：cyclic code 码多项式：code polynomial 生成多项式：generator polynomial 求模运算：modular arithmetic 系统码：systematic（regular）code 循环移位运算：cycle shift operation
上节回顾：线性分组码
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
插件1：查表分解xn-1的方法
（1）并非所有的xn-1都具有r次的既约(不能再分解)的因式。 但只要满足n=2r-1，xn-1就具有r次的既约因式。因此 P194 页表4中只列出满足n=2m-1的xn-1的分解情况。
由对偶式 (1110011)2和187页表知m23(x)=x6+x5+x4+x+1； i=7：(111)8=(1001001)2，得知m7(x)=x6+x3+1；
对偶式还是自己。
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本节的主要内容
❖ 码多项式 ❖ 循环移位的数学表达 ❖ 循环码的生成多项式 ❖ 循环码的编码 ❖ 循环码的译码 ❖ 编、译码的电路实现
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数字通信原理(附答案)[1]
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1、已知一个4进制信号的码元速率为4800波特，则其对应的信息速率是( C )A.4800bit/sB.2400bit/sC.9600bit/sD.14400bit/s2、产生已抽样信号频谱混叠的原因是（ C ）A.f s≥f mB.f s=2f mC.f s<2f mD.f s≥2f m3、样值为301△，它属于A律13折线的（ B ）A.第5量化段B.第6量化段C.第7量化段D.第8量化段4、在同一条链路上可传输多路信号，利用的是各路信号之间的（ B ）A. 相似性B.正交性C. 一致性D. 重叠5、在光纤中采用的多路复用技术是（ C ）A.时分复用B. 频分复用C.波分复用D. 码分复用R=( ), 信1、在4进制系统中，每秒钟传递1000个4进制符号，此系统的码元速率B R( ).( A )息速率bA.1000Bd,2000b/sB.2000Bd,2000b/sC. 2000Bd,1000b/sD. 1000Bd,1000b/s2、满足抽样定理时低通型信号的抽样频率应选为（ D ）A.f s≥f mB.f s=2f mC.f s<2f mD.f s≥2f m3、设模拟信号s(t)的幅度在[-2,2]v内均匀分布，对它进行奈奎斯特速率抽样，并均匀量化后，编为2进制码。
量化间隔为1/64v，需要多少量化电平数？（ D ）A.64B.128C.192D.2564、消息码为：1010001110001，对应的AMI码为：（ A ）A. +10-1000+1-1+1000-1B. +10-00000-1+1000-1C. -10+1000+1-1+1000-1D. +10+1000-1-1+1000+15、PCM30/32的二次群速率为（ B ）A.64 kb/sB.8.448Mb/sC.384kb/sD.2.048Mb/s2、产生已抽样信号频谱混叠的原因是（ C ）A.f s≥f mB.f s=2f mC.f s<2f mD.f s≥2f m3、均匀量化的PCM系统中，编码位数每增加1位，量化信噪比可增加（ C ）dB.A.2B. 4C. 6D. 84、绝对码为：10010110，对应的相对码为：（ B ）A. 10100101B.11100100C. 11100110D. 110001105、SDH采用的数字复接方法一般为（ B ）A.异步复接B.同步复接C.异步复接或同步复接D.以上都不是1、出现概率越__小__ 的消息，其所包含信息量越大；2、模拟信号的数字化过程主要包括抽样、_量化 _和编码；3、数字复接的方式主要有按位复接、按字复接和按帧复接；4、为了减小相干载波的稳态相位误差，应减小带通滤波器带宽和增大锁相环的增益；5、分组码（n,k）的编码效率为_ k/n ；1、衡量数字通信系统可靠性的主要指标是___差错率；2、模拟信号的数字化过程主要包括抽样、量化和编码；3、数字复接的方式主要有按位复接、按字复接和按帧复接；4、匹配滤波器就是指在某一特定时刻，使滤波器的瞬时输出信噪比最大的线性滤波器；5、码组0011011与码组0011011之间的码距是_ 0 _；1、已知8进制数字信号的传输速率为1600波特，若信息速率保持不变，变换成2进制数字信号的传输速率为 4800 波特。
陈运-信息论与编码-第六章 信道编码
i 1, 2, , n
a x an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 ai 0,1 1 a x an 2 x n 1 an 3 x n 2 a1 x 2 a0 x an i a x an 1i x n 1 an 2i x n 2 a1 x i 1 a0 x i an 1 x i 1 an i
T T T
S可以指示差错的存在
25
6.4 线性分组码
s [ s0 s1 s2 ]T Hz T z0 z 1 0 z2 z 0 3 1 z4 z5 z 6
26
1 0 1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
6.4 线性分组码
伴随式 错误 s0 s1 s2 位置 z0 101
111 110 011 z1 z2 z3 错误图样 1000000 0100000
s1 z0 z1 z2 z4 s2 z1 z2 z3 z5 s3 z0 z1 z3 z6
第 6 章 信道编码
6.1 概述
• 作用
提高信息传输时的抗干扰能力
• 目的
增加信息传输的可靠性
• 手段
增加信息冗余度
• 名称
信道码、数据传输码、差错控制码
2
6.1 概述
• 信道编码器在通信系统中的位置
信源
信源编码
加密
信道编码
信宿
信源译码
解密
信道译码
3
6.1 概述
• 分类
分 组 码 树 码 线 性 码 非 线 性 码 检 错 码 纠 错 码 抗 随 机 差 错 码 抗 突 发 差 错 码 代 几 组 数 何 合 码 码 码
信道编码汉明码译码电路循环码生成多项式生成矩阵
将矩阵u和g相乘：
ug
ug
u2g
u1
gu012ug01gg10xux22gggg0((00xx))00u1gu12x2
ux 12 g0(
gx(gx)(
x) u0g1
x)u1 xg (
x)
u0 g0
u0g
(
x)
0 0 gg(1x) g0 g(x)
(u2x2 u1x u0 )g(x) u(x)g(x)
式中计算，那个乘式为1S，2 就 S1表 S明0 是 1哪一个
图样
7个逻辑与门所进行的运算分别为：
S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
当且仅当S2、S1、S0全为S12时 S成1 立S0，因1此：
保1证）其对乘每积一为校1正；子设计S一2 个 S1这 S样0 的 1乘式， 2）对于右表共设计7个S2乘 S式1 ，S0对应1 于7种
可能出现的错误图样； S2 S1 S0 1 3）当三位校正子确定S后2 ， S1代 S入0 到 17个乘
进行纠错，即实现等式：
5信道编码原理精品文档
第5章 信道编码原理
3. 错误译码概率Pej
当信道的输入符号是ai，在信道输出端接收到某符号 bj(j=1,2,…,s)后，错误译码的概率pej为信道输出端出现 bj(j=1,2,…,s)的前提下，推测信道输入的符号是除了ai以外 的其他任何可能的输入符号的后验概率，即
第5章 信道编码原理
注： （2） 不同的译码规则会引起不同的可靠程度。
例：若已知二进制对称信道传递矩阵为
01 P0 1 3
44 131
44
其信源符号“0”和“1”的正确传递概率均为p=1/4； “0”和“1”的错误传递概率均为p＝3／4。
第5章 信道编码原理
如采取译码规则(2)，F(0)=0,F(1)=1，则信道输出端出 现“0”和“1”的正确译码概率分别是：
符号种数r和s可相等，也可不等。
第5章 信道编码原理
基本离散信道的信道矩阵
要完整描述信道的传递特性必须测定r×s个条件概率，并 将r×s个条件概率排列成一个r×s阶矩阵
a1 P a2
ar
b1 p(b1 a1) p(b1 a2)
p(b1 ar)
b2
bs
p(b2 a1) p(bs a1)
p ej P X eY b j
式中：e表示除了F(bj)=ai以外的所有可能的输入符号的集合。
注：
p e j1 p r j1 p F ( b j) a ib j
第5章 信道编码原理
4. 平均错误译码概率Pe
s
s
P ep (b j)p e j p (b j)1 p F (b j) a ib j
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若所使得用到g(的x)的矩系阵数的组各成项矩恰阵好：与ug(x1 ) ·gg0(x)所然0 得后多将0 项上式式的的系数作为矩阵的第二行 系数相等，因此可用这种g 矩 阵0相乘g1代替g0两个0 多 项式 相乘，这一特性可用于构造循0环码0的生g1成矩g0阵
同时u(x)的系数组成矩阵: uu2 u1 u0 将矩阵u和g相u乘g：u u 2gg u1gu 012 ug 01 gg10xu x22 gggg 0((00 xx)) u 001 g u1 2x2gu x1 x(2g ggx)0 ((xx ))uu 10 xg g1 (x)u 0 ug 00 g(x)
c ( 1 ) ( x ) [ x c ( x ) ] m o d ( x n 1 ) , c ( i) ( x ) [ x ic ( x ) ] m o d ( x n 1 )
证明：码组c的多项式为：
相当于将多项式
则此它有定的：理 循说 环xc明 移(若 位x)cx (ic cx(( a )x是x n )-均) 1(nx为 , nk该) ( 循循a a 环n n 环- 2 码1 x 码x中n n - 的1 -1 的 码一a L 组n 个 ，2 码x 且a n 组- 12 这x ，些2L 则 a0a x1 1 x c(a x)0 循) 环移位一次
c(1)(x)
No ImageBiblioteka No Image循环码生成多项式
因为g(x)是n-k次的多项式，故xkg(x)为一个n次多项式
则定xkg义(x)：除记以xCn+(x1的)为商(必n,为k1)，循余环式码记的为b所(x)有码组对应的多项式的集合， 若即g：(xx)kg是(xC)=(1x•)中(xn除+10) +多b项(x)式以外次数最低的多项式，则称g(x)为这个 循表环示g码(x的)向生左成移动多k项次，式并且仍为许用码组，即：是g(x)的倍式，则有：
码多项式
码多项式是描述循环码的主要方法
对于任一长为n的码组
可用一多项式来表示：
c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )
c(x) = ( an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 ) 此多项式称码多项式，式中每项的各分量an-1 , an-2 , …… , a1 , a0是多项式的系数 系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x) 例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为
b(x) = u(x)g(x)
其则一xn+般1=形g(式x)[为xk +：u(gx)(]x=) h=(xx)rg+(x)gr-1 xr-1 + …… + g1 x1 + 1 g即(x证)具明有g(x以)为下xn性+1的质一：个因子 因1此），g这(x一)的性0质次也项就是指出1；了g(x)的求解方法，即对多项式xn+1进行分解：
码多项式都能是被模xxa nnn ++-1 11的整xn 一除个，a余n-2式xn-1La1x2 最a 高0此x1为na–n-1 1，小an于-1( xn +1 )
所以余an 数-1(为x0n1)c(1)(x)
的幂次，所以余数为c(1) (x)
[xc(x)]m od(xn1) [an1(xn1)c(1)(x)]m od(xn1)
0 0 gg(1x)g0 g(x)
(u2x2u1xu0)g(x)u(x)g(x)
码多项式的模运算
正整数的模运算 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M NQ RN 0RN
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M R(模 N ，记 为 mN o)d
多项式的模运算与正整数的模运算相同，一般利用长除法计算商式和余式 有两个多项式a(x)和p(x)，一定存在有唯一的多项式Q(x)和r(x)，使得：
c7(x) = 1·x6+1 ·x5+ 0 ·x4 + 0 ·x3 + 1 ·x2 + 0 ·x +1 = x6 + x5 + x2 +1
码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已
相当于将g(x)乘以x2 ，使得g(x)的次数
码多项式的加法与乘法
变 相当为3于，将即g(使x)g乘(x以)的x最，使高得次g与(xu)(的x)次·g(数x) 一 变样 为2：：
a (x) Q (x)p (x) r(x)
称Q(x)是a(x)除以p(x)的商式，r(x)是a(x)除以p(x)的余式，在模p(x)运算下
a(x)r(x)[mp o (x)d]
且有 0 d e g r(x ) d e gp (x )即：除到余式的次数小于除式为止，当能整除时次 数为0
定理：对于( n, k )循环码，若c(x)对应码组c = (an-1an-2 …… a1a0 )， c(1)的一次循 环移位c(1) = ( an-2an-3 …… a1a0 an-1 )及c(i )(x)对应的c码循环移位i次c(i )，则有：
信道编码
循环码
是线性分组码中最主要、最有用的一种码 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性，每个码组经任意
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
有两个码多项式u(x) = u2 x2 + u1 x + u0；g(gx()x不)x=g变(gx1)：xx=2+gg(1gxx0)2=+gg10xx3 + g0 x2 相加： u(x) + g(x) = ( u2 + 0 ) x2 + ( u1 + g然1 )后xg将+(xu上)0=+式=g的100x系x23+数+gg0作1xx为2 +矩g阵0 x的第一行 相乘： u(x) ·g(x) = u2 g1x3 + ( u2g0+ u1g1然) 后x2 将+ (上u=1式g00的+x3系u+0g数01x)作2x+为+g1矩ux0g阵+0 g的0 第二行