新高一数学教材必修第一册第二章不等式习题答案
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
高中数学新教材必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(南开题库含详解)
高中数学新教材必修第一册2.2 基本不等式（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 设是等差数列．下列结论中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2. 已知命题；命题，则下列判断正确的是A. 是假命题B. 是真命题C. 是真命题D. 是真命题3. 若，，，则下列不等式中①；②；③；④．对一切满足条件的，恒成立的序号是A. ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④4. 已知，，且，则A. B. C. D.5. 设，．若是与的等比中项，则的最小值为A. B. C. D.6. 已知，则函数有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值7. 若正数，满足，则的最小值是A. B. C. D.8. 过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于，，，四点，且，则的最大值等于A. B. C. D.9. 已知，且，则的最小值是A. B. C. D.10. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.11. 若函数有最大值，则的值是A. B. C. D.12. 设，、为正常数，则的最小值为A. B. C. D.13. 设，，，，若，，则的最大值为A. B. C. D.14. 在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为A. B. C. D.15. 二次函数的值域为，则的最小值为A. B. C. D.16. 下列说法中错误的是A. 命题"若，则“的逆否命题是”若，则 "B. 若，则" “是” "的充要条件C. 已知命题和，若为假命题，则与中必一真一假D. 若命题：，，则：，17. 设，，．若，，则的最大值为A. B. C. D.18. 若，且恒成立，则的最小值是A. B. C. D.19. 已知直线将圆平分，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为A. B. C. D.20. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为A. B. C. D.21. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为A. B. C. D.22. 给出下列三个命题：①若，则；②若正整数和满足，则；③设为圆上任意一点，圆以为圆心且半径为．当时，圆与圆相切．其中假命题的个数为A. B. C. D.23. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为A. B. C. D.24. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为A. B. C. D.25. 一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最小值为A. B. C. D.26. 已知，，（为自然对数的底数），则A. B. C. D.27. “”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件28. 若直线过点，则的最小值为A. B. C. D.29. 设向量，，，其中为坐标原点，＞，＞，若，，三点共线，则的最小值为A. B. C. D.30. 如图，在边长为的正三角形中，，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，分别是，的中点，则的最小值为A. B. C. D.31. 如图所示，正三角形的边长为，其外接圆为圆，点为劣弧上的一个动点（不与点、重合），过点与的中点的直线交圆于另一点，则的最小值为A. B. C. D.32. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.33. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是A. B. C. D.34. 函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为A. B. C. D.35. 在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为A. B. C. D.36. 设正实数满足．则当取得最小值时，的最大值为A. B. C. D.37. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是A.B.C.D.38. 设是内一点，且，，定义，其中，，分别是，，的面积，若，则的最小值是A. B. C. D.39. 如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为A. B. C. D.40. 已知棱长为的正四面体，在侧棱上任取一点（与，不重合），若点到平面与平面的距离分别为，，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 椭圆上一点到两焦点的距离之积是，当取最大值时，点坐标为．42. 已知，，，则的最小值为．43. 已知，则函数的最小值为．44. 已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为．45. 若直线过点，则的最小值为．46. 已知，且，则的最小值为．47. 若，，则的最小值为．48. 已知正数，满足，那么使得取最小值的实数对是．49. 设，，，则的最大值为．50. 已知，则函数的值域是．51. 已知，且满足，则的最小值为．52. 已知，下列不等式：①，②，③，④，其中一定恒成立的是（填写序号）．53. 若，均为正实数，且，则的最小值为．54. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．55. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．56. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为．57. 若对于，恒成立，则的取值范围是．58. 己知，，且，则的最小值为．59. 已知：，均为正，，则的最小值为．60. 已知，则的最小值为．61. 已知，，，则的最小值是．62. 已知，分别为三角形两个内角，满足，则取最大值时．63. 若对，，总有不等式成立，则实数的取值范围是．64. 设，，则的最小值为．65. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为．66. 给出下列命题：①函数既有极大值又有极小值，则或；②若，则的单调递减区间为；③过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为或；④双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为．其中为真命题的序号是．67. 已知集合，，则集合．68. 已知实数，，的等差中项为，设，，则的最小值为．69. 在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则当时，有最小值为．70. 某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨．71. 已知集合，，则集合．72. 已知，都是正实数，且满足，则的最小值为．73. 设，，则当时，取得最小值．74. 设，，则的最小值为．75. 若数列满足，，为非零常数，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是．76. 在三棱锥中，，，两两垂直，且，设是底面内一点．定义，其中分别是三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积．若，且恒成立，则正数的最小值为．77. 已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则的取值范围是．78. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为．79. 在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为．80. 已知为的外心，，，，若，则的最小值为三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知函数的定义域为，且．设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为，．（1）求的值．（2）问：是否为定值?若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．82. 已知直线与函数的图象相切于点．（1）求实数的值；（2）证明除切点外，直线总在函数的图象的上方；（3）设，，是两两不相等的正实数，且，，成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论．83. 某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额（单位：元）与日产量满足函数关系式，已知每日的利润，且当时，．（1）求的值；（2）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．84. 已知函数的最小值为．（1）求的值以及此时的的取值范围；（2）若实数，，满足，证明：．85. 设函数的最小值为．（1）求的值；（2）已知，，求的最小值．86. 已知定义在上的函数，若存在实数使得成立．（1）求实数的值；（2）若，，求证：．87. 已知函数，．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值．88. 已知，，为正实数，且，证明：．89. 已知函数的最大值．（1）求的值；（2）若，试比较与的大小．90. 已知函数的最小值为，且．（1）求的值以及实数的取值集合；（2）若实数，，满足，证明：．91. 已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，，满足?并说明理由．92. 已知实数，，均大于．（1）求证：；（2）若，求证：．93. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点）面积的最大值．94. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为平方厘米的矩形纸板，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中．（1）当时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定，，的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．95. 已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若，证明对任意，恒成立．96. 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，与其“伴随圆”交于，两点，当时，求面积的最大值．97. 已知是定义在上的单调递增函数．对于任意的正数、满足；对于满足．（1）求；（2）若，解不等式；（3）求证：．98. 已知抛物线：．（1）写出抛物线的准线方程，并求抛物线的焦点到准线的距离；（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点．（i）求点的坐标；（ii）求与面积之和的最小值．99. 在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为．（1）求椭圆的方程，（2）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围．100. 设函数，．（1）解方程：；（2）令，求的值；（3）若是实数集上的奇函数，所以，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. C 【解析】因为为等差数列，所以．当时，得公差，所以，所以，所以，即．2. C 【解析】由题可知，是真，是假，为真．3. C 【解析】，所以，所以①正确；，所以②不正确；，所以③正确；，所以④正确．4. C5. B【解析】因为，所以，于是，当且仅当即时“ ” 成立．6. A7. C8. D 【解析】如图所示，由抛物线可得焦点．设直线的方程为：，因为，可得直线的方程为．设，，，．联立化为，得，．同理可得，．所以同理可得．所以当且仅当时取等号．所以的最大值等于．9. D10. A【解析】当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，则当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由（当且仅当）取得最大值；由（当且仅当）取得最小值．则由可得，．11. B 12. C 【解析】，等号当且仅当，即时取得．13. C 【解析】因为，取对数，得 ， ， 所以．14. A 【解析】因为 ，两边平方得，所以 ． 因为，所以． 15. C【解析】因为 的值域为 ， 所以 ， ，即 ，即 ， 所以．16. C 【解析】对于（C ），若 为假命题，则 与 均为假命题，所以（C ）错误． 17. C18. B 【解析】因为 恒成立，所以恒成立．两边同时平方，整理后得恒成立，即不等式左边的最大值 不等式右边的最小值．因为 （当且仅当" "时取" "），所以不等式左边的最大值为 ，所以 ，所以 ． 19. B 20. B【解析】由题意， ，所以此三角形面积的最大值为 ． 21. C 【解析】如图所示，设 ，则，即．设，由，得化简可得所以直线的斜率为（当且仅当时取等号）．22. B 【解析】①在上为增函数，故①真；由均值不等式知②真；③由题意知点为圆的交点，得不出其他结论，故③假，假命题个数为．23. B 【解析】由，得．所以，当且仅当，即时取等号．此时，（当且仅当时等号成立）．24. B 【解析】因为，且，，所以，又（当且仅当时等号成立），所以，故的最大值为．25. C26. A27. C28. D 【解析】因为直线过点，所以，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．29. C30. C【解析】所以因为，所以，所以．31. D 【解析】由相交弦定理，．所以（当且仅当时，等号成立）．32. C 【解析】因为恒成立，所以恒成立．①当时，恒成立，即恒成立．此时．②当时，恒成立，即恒成立，即恒成立．即．综上，的取值范围为．33. B 【解析】可得两条直线分别过定点和且垂直，可得．当点在点或点时，取得最小值，而由得的最大值为，当且仅当时等号成立．34. A 【解析】由题意知，于是有，所以35. B36. C 【解析】含三个参数，消元，利用基本不等式及配方法求最值．所以当且仅当，即时" "成立，此时．所以所以当时，取到最大值．37. D 【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为所以设，则，解得38. D 【解析】在中，，，所以，，所以，因为是，，的面积之和，所以，所以，当且仅当，即时，即，时取等号．39. A 【解析】设，，则 .因为，根据勾股定理： . ，整理得 .又当且仅当时等号成立．此时，所以 .40. C【解析】如图，连接，，设为底面三角形的中心，连接，则正四面体的高．因为，所以，所以当且仅当，即时取等号．第二部分41. 或42.43.44.【解析】由正弦定理及，得．又因为，所以．所以．由余弦定理得．因为，所以．由，得，当且仅当时等号成立，即．所以．故面积的最大值为．45.46.47.【解析】，，所以当且仅当时等号成立，即即，或，时取“”；所以上式的最小值为．48.【解析】当且仅当即时等号成立．49.【解析】设，则，当且仅当时，等号成立，即，．所以的最大值为．50.51.52. ①②③53.【解析】由，得，因为，均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），即，解得，即，故的最小值为 .54.【解析】由题意可知，因为点在直线上，所以．所以当且仅当时成立．55.【解析】若恒成立，只须的最小值大于．．，．56.57.【解析】由题意恒成立，，所以．58.【解析】因为，，，所以又，则其中等号成立的条件：当且仅当解得，，，所以的最小值是．59.【解析】因为，均为正，，所以，当且仅当时，等号成立．60.【解析】由题意，，所以，所以，当，时取得最小值．61.62.【解析】，把代入得，当，即时取得最大值．63.【解析】因为，即恒成立．只需．而令，．因为，当且仅当时取等号，所以在上为减函数，所以当时，取最小．所以，所以．64.【解析】因为，所以．显然当，且时，上式取等号，此时，联立，解得，此时．所以的最小值为．65.【解析】根据直线方程，得．由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，即，整理得．因此，根据均值不等式，得．当且仅当时，取得最小值．66. ①②④【解析】①正确，令，因为既有极大值又有极小值，所以，解出或；②正确，令，解出的单调递减区间为；③错误；由题意可说明点在圆外，点和圆心之间的距离大于半径，求出；④正确，，当且仅当时，取最小值为．67.【解析】集合，所以；集合，，当且仅当时取等号，所以，所以．68.69. ，【解析】由题意，易得．所以，（当且仅当时等号成立）．70.71.【解析】因为，，所以．72.【解析】因为，所以，即，所以，当且仅当：，时，取“”，即的最小值为：．73.【解析】当，时，取得最小值．由，，解得．74.【解析】当时，当时，综上所述，的最小值是．75.【解析】因为为“梦想数列”，所以，即，是以为公比的等比数列．所以，所以，又因为，所以．76.77.【解析】由题意，画出函数的图象，如图所示，又函数有四个零点，，，，且，所以，且，所以，，所以，，所以，当且仅当时“”成立；所以的取值范围是．78.【解析】先由正弦定理，得；再由余弦定理，得，然后结合均值定理，得（当且仅当时取等号）；最后由三角形面积公式，得．79.【解析】当且仅当，即时等号成立（舍去）．80.【解析】利用向量投影的定义可得：由，代入整理后得：得整理得所以．第三部分81. （1）因为，所以．（2）设点的坐标为，则有，＞，由点到直线的距离公式可知，，，所以有，即为定值，这个值为．（3）由题意可设，可知．因为与直线垂直，所以，即．解得．又，所以．所以，．所以四边形．当且仅当时，等号成立．此时四边形的面积有最小值：．82. （1）设切点为，则，由，有，解得，于是，得．（2）构造函数，其导数，当时，；当时，，所以在区间单调递减，在区间单调递增，所以，因此对于，总有，即除切点外，直线总在函数的图象的上方．（3）因为，，是两两不相等的正实数，所以，又因为，，成等比数列，所以，于是，而，，由于，且函数是增函数，因此，故．83. （1）由题意可得：．因为时，，所以，所以．（2）当时，，所以当且仅当即时取等号．当时，，所以当时，取得最大值，所以当日产量为吨时，毎日的利润可以达到最大值．84. （1）依题意，得，故的值为．当且仅当，即时等号成立，即的取值范围为．（2）因为，故．因为，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，故，当且仅当时等号成立．85. （1）函数，故函数的减区间为，增区间为，故当时，函数取得最小值为 .（2）已知，，所以当且仅当时，取等号，故的最小值为．86. （1）因为，所以要使有解，则，解得．因为，所以．（2），，所以，所以当且仅当，即，时“”成立，故．87. （1）当时，；当时，．所以不等式等价于或所以，或．所以所以原不等式的解集为．（2）由（1），得．可知的最小值为．所以．所以，变形得．因为，，所以当且仅当，即时，取等号．所以的最小值为．88. 因为，，为正实数，所以由基本不等式，得，，，当且仅当时取等号．三式相加，得：．又，所以．89. （1）函数，所以的最大值为，所以．（2）因为，且，，所以当且仅当，即，时等号成立；所以．90. （1）因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值等于，即，，则实数的取值集合为．（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，又因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当或时取等号，综上所述，结果是：．91. （1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．（2）不存在．因为，所以，所以，又，所以．从而有，因此不存在，，满足．92. （1）因为实数，，均大于，所以，，，三式相加，可得：．（2）因为，，，所以．93. （1）由已知，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，．所以所求椭圆方程为．（2）设，，因为的垂直平分线过点，所以的斜率存在．当直线的斜率时，所以，，所以，当且仅当时取" "，所以时，，当直线的斜率时，设．所以消去得，由得①所以，，所以，所以，所以的中点为，由直线的垂直关系有，化简得②由①②得，所以，又到直线的距离为，，，所以时，．由于，所以，解得．即时，．综上，．94. （1）因为矩形纸板的面积为，故当时，，从而包装盒子的侧面积，．因为，故当时，侧面积最大，最大值为平方厘米．（2）包装盒子的体积，，．当且仅当时等号成立．设，．则．于是当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．因此当时，有最大值，此时，．答：当，时纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．95. （1）当时，，，所以，因为，所以切线方程为：，整理得：；（2），令，解得：或．①若，，当变化时，，的变化情况如表：增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间和内是增函数，在内是减函数；②若，，当变化时，，的变化情况如表：增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间和内是增函数，在内是减函数．（3）因为，所以在内是减函数，又，不妨设，则，．于是等价于，即，令，因为在内是减函数，故．从而在内是减函数，所以对任意，有，即，所以当，对任意，恒成立．96. （1）由题意得，又因为，所以．所以椭圆的方程为．（2）“伴随圆”的方程为，①当轴时，由，得圆心到的距离为，即、点的横坐标为，代入椭圆方程得、点的纵坐标为，．②当与轴不垂直时，由，得圆心到的距离为．设直线的方程为，得．设，，由得．所以，．当时，，当且仅当，即时等号成立，此时．当时，．综上所述：，此时的面积取最大值．97. （1）令，则，解得．（2）由，得由，得由在上单调递增，解得．因此，原不等式的解集为．（3）因为在上单调递增，且，所以时，；时，．由，得，从而由，在上递增，得．由，得，从而．由均值不等式，得从而．由，得由在上递增，得由，得由，得结合，解得．98. （1）由题可得，，所以准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为．（2）（i）令，，则，且令，令：，，所以，，则直线方程为，，，当时，，，，，所以．（ii），，则当且仅当时，即等号成立．99. （1）由已知，设，即，，所以，即，所以．得：．①又的周长为，所以．②由①②得：，，所以，所以所求椭圆的方程为：．（2）设点，直线的方程为，由消去，得：，设，，中点为，则，所以，所以，，即．因为是以为顶点的等腰三角形，所以即，所以．设点到直线距离为，则，所以．即点到直线距离的取值范围是．另解：，所以．法：因为是以为顶点的等腰三角形，所以．因为，，，所以．又，，所以．所以，所以．以下同解法一．100. （1）即：，解得或舍，．（2）．因为，所以，．（3）因为是实数集上的奇函数，所以．，在实数集上单调递增．由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，．。
高中数学第二章2.1等式性质与不等式性质教师用书新人教A版必修第一册
2．1 等式性质与不等式性质考点学习目标核心素养不等关系的表示会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系数学建模数(式)大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理不等式的性质掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题逻辑推理问题导学预习教材P37－P42，并思考以下问题：1．如何比较两个实数的大小？2．等式的基本性质有哪些？3．不等式的基本性质有哪些？1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．(2)符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.■名师点拨符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．2．常用的不等式的基本性质性质1 a>b⇔b<a；性质2 a>b，b>c⇒a>c；性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c；性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc；性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；性质7 如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．■名师点拨对不等式性质的五点说明(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．(2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”．(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( )(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )(3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( )(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是( )A．x＋y>120 B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120答案：C已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D 一定成立．若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N.答案：M>N用不等式(组)表示不等关系(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________．(2)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．【解】 (1)因为该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x >408.故填72＋12x ＞408.(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11 m ，对面积没有要求，则x 应满足的不等关系是什么？解：因为矩形的另一边15－x2≤11，所以x ≥8，又0<x ≤18，且x ≤11，所以8≤x ≤11.2．本例(2)中，若要求x ∈N ，则x 可以取哪些值？解：函数S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2的对称轴方程为x ＝15，令S ≥110，x ∈N ，经检验当x ＝13，14，15，16，17时S ≥110.利用不等式表示不等关系时的注意点(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x >85y ≥90z ≥95 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z >95 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95解析：选C.x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.2．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 000数(式)大小的比较(1)比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小．(2)已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小． 【解】 (1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．当x ≤1时，有x －1≤0，而3x 2＋1>0.所以(3x 2＋1)(x －1)≤0，所以3x 3≤3x 2－x ＋1. 当x >1时，(3x 2＋1)(x －1)>0， 所以3x 3>3x 2－x ＋1. (2)因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0. 所以MN＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a.因为a ＋1＋a >a ＋a －1>0， 所以M N<1，所以M <N .利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论．[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A.因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．解：由题意，知(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )＝x 3－xy 2＋2x 2y －2y 3＝x (x 2－y 2)＋2y (x 2－y 2)＝(x 2－y 2)(x ＋2y )＝(x －y )(x ＋y )(x ＋2y )，因为x >y >0，所以x －y >0，x ＋y >0，x ＋2y >0， 所以(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )>0，即x 3－2y 3>xy 2－2x 2y . 3．比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解因为5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，所以5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．不等式的基本性质(1)对于实数a ，b ，c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为0未知，因而判断ac 与bc 的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac 2>bc 2，知c ≠0，故c 2>0，所以a >b 成立，故②正确．③中，⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a <0⇒a 2>ab ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，b <0⇒ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故③正确．故填②③.(2)证明：因为a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b . 因为c >a ，所以c －a >0，所以0<c －a <c －b . 上式两边同乘1（c －a ）（c －b ），得1c －a >1c －b >0.又因为a >b >0，所以ac －a >bc －b.利用不等式的性质证明不等式的方法(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．1．给出下列命题： ①a >b ⇒a 2>b 2； ②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ⇒1a <1b.其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误； 对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误； 当a >0，b <0时，1a ＞1b，故④错误．2．已知a >b >0，求证：a b >b a. 证明：因为a >b >0，所以a >b >0.①又因为a >b >0，两边同乘正数1ab，得1b >1a>0.② ①②两式相乘，得a b >b a.利用不等式性质求代数式的取值范围已知－1<x <4，2<y <3.(1)求x －y 的取值范围； (2)求3x ＋2y 的取值范围．【解】 (1)因为－1<x <4，2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2. (2)由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3， 所以－3＜－y <1，所以－4<x －y <4. 又因为x <y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0.2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12. 即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[注意] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．1．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β＜0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A.由－1<α<1，－1<β<1， 得－1<－β<1， 所以－2<α－β<2.又因为α<β，故－2<α－β<0.2．已知12<a <60，15＜b <36，求a －b 与ab的取值范围． 解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15， 所以12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<a b<4.1．已知b <2a ，3d <c ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2a －c >b －3d B ．2ac >3bd C ．2a ＋c >b ＋3dD ．2a ＋3d >b ＋c解析：选C.由于b <2a ，3d <c ，则由不等式的性质得b ＋3d <2a ＋c ，故选C. 2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B.因为0<a 1<1，0<a 2<1，所以－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，所以M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，所以M >N ，故选B.3．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2a .(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为a ≠b ，a ＜0，所以a －⎝⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝（a －b ）2a ＜0，所以a ＜2b －b 2a . 答案：＜4．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .[A 基础达标]1．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 mB ．⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120 km/h d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m解析：选B.依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为v ≤120 km/h ，d ≥10 m.2．下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若1a >1b，则a <bC ．若b >c ，则|a |b ≥|a |cD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．3．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化解析：选C.y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以y 1>y 2.故选C.4．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b>a －1a解析：选A.因为a >b >0，所以1b >1a>0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.5．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零．由b >c ，a >0知，ab >ac . 故选C.6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b成立的是________．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200. ②若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”， 写成不等式为8x >9(x －12)． 答案：8(x ＋19)>2 200 8x >9(x －12)8．已知三个不等式①ab >0；②c a >db；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略) 由②得bc －adab>0，又由③得bc －ad >0.所以ab >0⇒①.所以可以组成3个正确命题． 答案：39．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小． 解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围． (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 解：(1)|a |∈[0，3]． (2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1， 相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，①由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，②由①＋②得，－10<2a －3b ≤3.[B 能力提升]11．(2019·河南省实验中学月考)若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D.因为1a <1b<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A ，B ，C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误，故选D.12．若α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π解析：选C.由－π2<α<β<π2，得－π<α－β<0，又－π2<α<π2，所以－32π<α＋(α－β)<π2，即－32π<2α－β<π2.13．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较：(1)a 2＋b 2与b 的大小；(2)2ab 与12的大小． 解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <12<b ， 则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<0， 所以2ab <12. 14．若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ≥0⇒bc ≥ad bd >0⇒1bd >0⇒c d ≥a b ⇒c d ＋1≥a b ＋1⇒c ＋d d ≥a ＋b b ⇒a ＋b b ≤c ＋d d . [C 拓展探究]15．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%.已知m >n >0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m %)(1＋n %)＝1＋(m ＋n )%＋m %·n %；方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n %)(1＋m %)＝1＋(m ＋n )%＋m %·n %；方案(Ⅲ)提价后的价格是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2＝1＋(m ＋n )%＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2； 方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m ＋n )%.所以只要比较m %·n %与⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2的大小即可． 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2－m %·n %＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2%2≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2≥m %·n %. 又因为m >n >0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2>m %·n %. 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2>(1＋m %)·(1＋n %)， 因此，方案(Ⅲ)提价最多．。
2022高一必修第一册第2章一元二次不等式 教师版有答案
第2讲一元二次函数方程和不等式专题复习要点一不等关系与不等式不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.【例1】(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A.ab>acB.c(b－a)>0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0答案 C解析 因为c <a ，且ac <0，所以c <0，a >0. A 成立，因为c <b ，所以ac <ab ，即ab >ac . B 成立，因为b <a ，b －a <0，所以c (b －a )>0. C 不一定成立，当b ＝0时，cb 2<ab 2不成立. D 成立，因为c <a ，所以a －c >0，所以ac (a －c )<0. (2)已知2<a <3，－2<b <－1，求ab ，b 2a 的取值范围. 解 因为－2<b <－1，所以1<－b <2. 又因为2<a <3，所以2<－ab <6， 所以－6<ab <－2.因为－2<b <－1，所以1<b 2<4. 因为2<a <3，所以13<1a <12， 所以13<b 2a <2.【训练1】 已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab ，因为a >0，b >0，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )>0，即a 2b ＋b 2a >a ＋b .要点二 基本不等式的应用基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例2】 设a >0，b >0，2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值为________. 答案 8解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，b a ＝4a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12时等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为8.【训练2】 已知x >0，y >0，且x ＋3y ＝1，则x ＋yxy 的最小值是________. 答案 23＋4 解析x ＋y xy ＝1y ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x (x ＋3y )＝4＋3y x ＋xy ≥4＋23， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3y x ＝x y ，x ＋3y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12，y ＝3－36时取“＝”号.要点三 恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法：将参数分离转化为求解最值问题.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.【例3】 已知y ＝x 2＋mx －6，当1≤m ≤3时，y <0恒成立，那么实数x 的取值范围是________. 答案 －3＜x ＜－3＋332解析 ∵1≤m ≤3，y <0， ∴当m ＝3时，x 2＋3x －6<0， 由y ＝x 2＋3x －6<0， 得－3－332<x <－3＋332；当m ＝1时，x 2＋x －6<0， 由y ＝x 2＋x －6<0，得－3<x <2. ∴实数x 的取值范围为－3<x <－3＋332. 【训练3】 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，－1≤a ≤1恒成立的x 的取值范围.解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.设关于a 的一次函数为y ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为y >0，当－1≤a ≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则y ＝0，不符合题意，应舍去. (2)若x ≠3，则由一次函数的图象， 可得⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}.破解不等式“恒成立”“能成立”问题解决不等式恒成立、能成立问题，常常使用的方法为：判别式法、数形结合法、分离参数法，主参换位法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养. 类型一 “Δ”法解决恒成立问题【例1】 (1)已知不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若不等式－x 2＋2x ＋3≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当k ＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k ≠0时，令y ＝kx 2＋2kx －(k ＋2)，由y <0恒成立， ∴其图象都在x 轴的下方， 即开口向下，且与x 轴无交点. ∴⎩⎨⎧k <0，4k 2＋4k （k ＋2）<0， 解得－1<k <0.综上，实数k 的取值范围是{k |－1<k ≤0}. (2)原不等式可化为x 2－2x ＋a 2－3a －3≥0 ， ∵该不等式对任意实数x 恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a 2－3a －3)≤0，即a 2－3a －4≥0， 解得a ≤－1或a ≥4，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ≥4}. 类型二 数形结合法解决恒成立问题【例2】 已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x >2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值范围. 解 (1)∵m ＝1，∴f (x )＝x 2－x －2. ∴x 2－x －2≥0， 即(x －2)(x ＋1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥2.故f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}.(2)f (x )≥－1，即x 2－mx ＋2m －3≥0在x >2恒成立，①若m2≤2，即m≤4，则如图.只需f(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4满足题意；②若2m>2，即m>4，则如图.则需Δ＝m2－4(2m－3)≤0，即(m－2)(m－6)≤0，∴2≤m≤6.综上所述，m的取值范围为(－∞，6].类型三分离参数法解决恒成立问题【例3】“∀x<0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为() A.a≤2 2 B.a≤－22C.a≥2 2D.a≥－22答案A解析由∀x<0，x2＋ax＋2≥0可得a≤－x－2 x，因为－x－2x＝(－x)＋⎝⎛⎭⎪⎫－2x≥2（－x）×⎝⎛⎭⎪⎫－2x＝22，当且仅当－x＝－2 x，即x＝－2时等号成立，所以a≤2 2.类型四主参换位法解决恒成立问题【例4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.解设关于m的函数y ＝mx 2－mx －6＋m ＝(x 2－x ＋1)m －6. 由题意知y <0对1≤m ≤3恒成立. ∵x 2－x ＋1>0，∴y 是关于m 的一次函数，且在1≤m ≤3上随x 的增大而增大， ∴y <0对1≤m ≤3恒成立等价于y 的最大值小于0， 即(x 2－x ＋1)·3－6<0⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52.∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.类型五 转化为函数的最值解决能成立问题【例5】 若存在x ∈R ，使得4x ＋mx 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围.解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立， ∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2， ∴m 的取值范围为{m |m ≥－2}.尝试训练1.在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )，若任意x ∈R 使得(x －a )⊗(x ＋a )<1成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－12或a >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－12<a <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－32<a <12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－32或a >12 答案 B解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a <1， 即－x 2＋x ＋a 2－a －1<0在R 上恒成立， 所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)＝(2a －3)(2a ＋1)<0， 解得－12<a <32.2.已知不等式x 2－mx ＋4>0对任意的x >4恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.{m |m ≤5}B.{m |m <5}C.{m |m ≤4}D.{m |m <4}答案 A解析 若不等式x 2－mx ＋4>0对于任意的x >4恒成立， 则m <x ＋4x 对于任意的x >4恒成立， ∵当x >4时，x ＋4x ∈(5，＋∞)，∴m ≤5，即实数m 的取值范围是{m |m ≤5}.3.若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是( ) A.94<a <259 B.94<a ≤259 C.259<a <4916 D. 259<a ≤4916答案 B解析 原不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0， 由题意，知⎩⎨⎧Δ＝（－4）2－4（－a ＋4）＝4a >0，－a ＋4>0，解得0<a <4， 又原不等式的解集为12＋a <x <12－a， 且14<12＋a<12，则1，2为原不等式的整数解， 所以2<12－a ≤3，解得94<a ≤259.4.已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，则a 的取值范围是( ) A.{a |a ≥1} B.{a |－1≤a <4} C.{a |a ≥－1} D.{a |－1≤a ≤6}答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立， 等价于a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，a ≥t －2t 2在1≤t ≤3时恒成立， y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，则当t ＝1时，y max ＝－1，a ≥－1， 故a 的取值范围是{a |a ≥－1}.课后巩固测试(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A.ac >bd B.a －c >b －d C.a ＋c >b ＋d D.a d >b c答案 C解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 2.不等式1x <12的解集是( ) A.{x |x <2} B.{x |x >2} C.{x |0<x <2} D.{x |x <0或x >2} 答案 D解析 由1x <12，得1x －12＝2－x2x <0， 即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D.3.已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，则a ＋b 的值为( ) A.1B.－1C.0D.－2答案 C解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a ＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴a ＋b ＝0.4.若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1b B.ba >1 C.a 2<b 2 D.ab <a ＋b答案 D解析 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；ba <0，B 错； a 2＝b 2，C 错；ab <a ＋b ，D 正确.5.已知a >0，b >0，且满足a 3＋b4＝1，则ab 的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B解析 因为a >0，b >0，且满足a 3＋b4＝1， 所以1≥2a 3·b 4，化为ab ≤3，当且仅当a ＝32，b ＝2时取等号，则ab 的最大值是3.6.设实数1<a <2，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A.{x |3a <x <a 2＋2} B.{x |a 2＋2<x <3a } C.{x |3<x <4} D.{x |3<x <6}答案 B解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵1<a <2，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为{x |a 2＋2<x <3a }.故选B.7.已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 2a ＋1b ＝2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号.又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.8.若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( )A.{x |x <－2或x >1}B.{x |1<x <2}C.{x |x <－1或x >2}D.{x |－1<x <2} 答案 C解析 ∵不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0， 故ax ＋b x －2＝a （x ＋1）x －2>0，等价于(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.已知a >b >c ，下列不等关系不成立的是( )A.ac ＋b 2>ab ＋bcB.ab ＋bc >b 2＋acC.ac ＋bc >c 2＋abD.a 2＋bc >b 2＋ab 答案 ACD解析 对于A ，若ac ＋b 2>ab ＋bc ，则ac －bc >ab －b 2，即c (a －b )>b (a －b )，不成立；对于C ，若ac ＋bc >c 2＋ab ，则ac －c 2>ab －bc ，即c (a －c )>b (a －c )，不成立；对于D ，若a 2＋bc >b 2＋ab ，则a 2－ab >b 2－bc ，即a (a －b )>b (b －c )，若a ＝4，b ＝3，c ＝1，不成立.故选ACD.10.设a >b >1，c <0，给出下列四个结论正确的有( )A.c a >c bB.ac <bcC.a (b －c )>b (a －c )D.a c >b c答案 ABC解析 A.∵a >b >1，c <0，∴c a －c b ＝c （b －a ）ab>0， ∴c a >c b ，故正确；B.∵－c >0，∴a ·(－c )>b ·(－c )，∴－ac >－bc ，∴ac <bc ，故正确；C.∵a >b >1，∴a (b －c )－b (a －c )＝ab －ac －ab ＋bc ＝－c (a －b )>0，∴a (b －c )>b (a －c )，故正确；D.a c －b c ＝a －b c ，又a －b >0，c <0，所以a －b c <0，即a c <b c ，故错误.故答案为ABC.11.若a >0，b >0，与不等式－b <1x <a 不等价的是( )A.－1b <x <0或0<x <1aB.－1a <x <1bC.x <－1a 或x >1bD.x <－1b 或x >1a答案 ABC解析 若x >0，则不等式－b <1x <a 等价为1x <a ，即x >1a ，若x <0，则不等式－b <1x <a 等价为－b <1x ，即x <－1b .12.对于a >0，b >0，下列不等式中正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1bB.ab ≤a 2＋b 22C.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 答案 BCD解析 当a >0，b >0时，因为21a ＋1b≤ab ， 所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.不等式x 2－2x <0的解集为________.答案 {x |0<x <2}解析 不等式x 2－2x <0可化为x (x －2)<0，解得：0<x <2，∴不等式的解集为{x |0<x <2}.14.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.答案 5解析 二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时等号成立.15.一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________(第一空2分，第二空3分). 答案 18 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 解析 由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，故a b ＝18. 不等式ax ＋b <0即为2x －3<0，所以x <32.16.若关于x 的不等式x 2－mx ＋m ＋2>0对－2≤x ≤4恒成立，则m 的取值范围是________.答案 {m |2－23<m <2＋23}解析 设y ＝x 2－mx ＋m ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24＋m ＋2， ①当m 2≤－2，即m ≤－4时，当x ＝－2时，y 的最小值为4＋2m ＋m ＋2＝3m ＋6>0，m >－2，又m ≤－4，∴无解；②当－2<m 2<4，即－4<m <8时，当x ＝m 2时，y 的最小值为－m 24＋m ＋2>0， 解得2－23<m <2＋23，又－4<m <8，∴2－23<m <2＋23； ③当m 2≥4，即m ≥8时，当x ＝4时，y 的最小值为16－4m ＋m ＋2＝18－3m >0，∴m <6，又m ≥8，∴无解.综上，m 的取值范围为{m |2－23<m <2＋23}.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)当x >3时，求2x 2x －3的最小值. 解 ∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2（x －3）2＋12（x －3）＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22（x －3）·18x －3＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝18x －3， 即x ＝6时，上式等号成立，∴2x 2x －3的最小值为24. 18.(本小题满分12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式的解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.19.(本小题满分12分)某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h.根据题意，有118x ＋1180x 2≥40，移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.即(x －80)(x ＋90)≥0.故得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.20.(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立.证明 因为a ，b ，c 均为正数，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原不等式等号成立.21.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN 上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD 的学生公寓，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，假设AB 长度为x 米.(1)要使矩形学生公寓ABCD 的面积不小于144平方米，AB 的长度应在什么范围？(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？解(1)依题意知△NDC∽△NAM，所以DCAM＝NDNA，即x30＝20－AD20，则AD＝20－23x.故矩形ABCD的面积为S＝20x－2 3x 2.根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，即S＝20x－23x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.故AB的长度应在12米～18米内.(2)S＝20x－23x2＝23x(30－x)≤23⎝⎛⎭⎪⎫30－x＋x22＝150，当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.此时AD＝20－23x＝10.故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.22.(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)求证y1＝－a或y2＝－a；(2)求证函数的图象必与x轴有两个交点；(3)若y>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0)，解关于x的不等式cx2－bx＋a>0. (1)证明∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.(2)证明当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，∴图象与x轴有两个交点；当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，∴图象与x轴有两个交点.∴二次函数的图象必与x 轴有两个交点.(3)解 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x >m 或x <n }(n <m <0)， ∴a >0且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为m ，n ，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a ，∴m ＋n mn ＝－b c 且c >0，∴cx 2－bx ＋a >0即x 2－b c x ＋a c >0，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n mn x ＋1mn>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n >0. ∵n <m <0，∴－1n <－1m ，∴不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－1m 或x <－1n .。
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
新人教A版高中数学必修第一册2.1 等式性质与不等式性质 练习(1)(解析版)
第二章 一元二次函数、方程和不等式（新人教A 版） 2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．【2018-2019学年银川一中】下列说法正确的是( ) A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <" B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >" C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥" D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥" 【答案】C【解析】对于,A x 应满足 2 000,x ≤故A 错;对于,,B x y 应满足x y <,故B 不正确; C 正确; 对于,D y 与a 的关系可表示为y a ≤,故D 错误.2．【2018-2019正定一中期中】3.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定 【答案】B【解析】由题意得()()1212121110M Na a a a a a -=--+=-->,故M N >.故选B3. 【2018-2019莆田二中期末】某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，用不等式组可以表示为( )A ．8580x y >⎧⎨⎩…B ．8580x x <⎧⎨⎩…C ．8580x y ⎧⎨>⎩… D ．8580x y >⎧⎨<⎩ 【答案】A 【解析】语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，8580x y >⎧∴⎨⎩…，故选：A ．4．【2018-2019湖南师大附中月考】有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分 别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是( )A ．65x y z ++=B ．65x y z x zy z ++=⎧⎪>⎨⎪>⎩C ．650x y z x z y z ++=⎧⎪>>⎨⎪>>⎩D ．65656565x y z x y z ++=⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪<⎩ 【答案】C 【解析】一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，65x y z ∴++=，0x z >>，0y z >>．故选：C ．5. 【2018-2019六安中学月考】若2x ≠-且1y ≠,则2242M x y x y =++-的值与5-的大小关系是( )A. 5M >-B. 5M <-C. 5M ≥-D. 5M ≤- 【答案】A【解析】()225425M x y x y --=++-+()()2221x y =++-,∵2,1x y ≠-≠,∴()220x +>,()210y ->,因此()()22210x y ++->.故5M >-.6．【2018-2019攀枝花市级联考】某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2018年底这 位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年【答案】C【解析】设这位职工工龄至少为x 年，则2400160010000(110%)25%x +>+⨯， 即40016003025x +>，即 3.5625x >，所以至少为4年．故选：C ． 二、填空题7．【2018-2019银川一中】若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 【答案】x 1＋x 2≤12【解析】∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12. 8.【2018-2019学年山东威海市期中】一辆汽车原来每天行驶xkm ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程将超过2200km ，用不等式表示为 ． 【答案】8(19)2200x +> 【解析】汽车原来每天行驶xkm ，该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，∴现在汽车行驶的路程为19x km +，则8天内它的行程为8(19)x km +， 若8天内它的行程将超过2200km ，则满足8(19)2200x +>； 故答案为：8(19)2200x +>；9．【2017-2018学年上海市金山中学】如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来__________【答案】()2212a b ab +> 【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积()222211,2S a b a b =+=+ (2)的面积2S ab =,所以有()2212a b ab +> 10．【2018广西玉林高一联考】近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可） 【答案】乙【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为3362a b a b++=， 乙购买产品的平均单价为2021010aba b a b=++，由条件得a b ≠． ∵()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++， ∴22a b aba b+>+，即乙的购买方式更优惠． 三、解答题11．【陕西省安康市高级中学检测】有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？ 【答案】见解析；【解析】 设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2ba +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2=ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算? 【答案】见解析；【解析】设该家庭除户主外,还有()x x x N ∈人参加旅游, 甲、乙两旅行社收费总金额分别为12,y y ,—张全票的票价为a 元,则只需按两家旅行社的优惠条件分别计算出12,y y , 再比较12,y y 的大小即可.∵()120.55,0.751y a ax y x a =+=+,而()120.550.751y y a ax x a -=+-+()0.2 1.25a x =-. ∴当 1.25x >时. 12y y <;当 1.25x <时, 12y y >.又x 为正整数,所以当1x =时, 12y y >,即两口之家应选择乙旅行社; 当()1x x x N >∈时, 12y y <,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.2.1等式性质与不等式性质（第2课时）一、选择题1．（2019湖南高一期中）若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（ ）A ．c b d a ->-B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a b d c> 【答案】A【解析】由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-， 又因为c d >，所以c b d a ->-， 故选：A ．2．（2019·福建高二期末）若,0a b c ac >><，则下列不等式一定成立的是 A ．0ab > B ．0bc <C ．ab ac >D ．()0b a c ->【答案】C【解析】取1,0,1a b c ===-代入，排除A 、B 、D ，故选：C 。
人教A版高中数学必修第一册《第二章一元二次函数、方程和不等式》复习参考题及答案
人教A版高中数学必修第一册《第二章一元二次函数、方程和不等式》复习参考题及答案复习巩固1. 某夏令营有48 人, 出发前要从A, B 两种型号的帐篷中选择一种. A 型号的帐篷比B 型号的少 5 顶. 若只选 A 型号的, 每顶帐篷住 4 人, 则帐篷不够; 每顶帐篷住5 人, 则有一顶帐篷没有住满. 若只选 B 型号的, 每顶帐篷住 3 人, 则帐篷不够; 每顶帐篷住 4 人,则有帐篷多余. 设A型号的帐篷有x顶,用不等式将题目中的不等关系表示出来.(第1 题)2. 用不等号“ >” 或“ <” 填空:(1) 若a>b,且1a >1b,则ab0;(2) 若c>a>b>0,则ac−a _____bc−b;(3) 若a>b>c>0,则ab _____ a+cb+c.3. (1) 在面积为定值S的扇形中,半径是多少时扇形的周长最小?(2) 在周长为定值P的扇形中,半径是多少时扇形的面积最大?14. 求下列不等式的解集:(1) 14−4x2≥x; (2) x2−14x+45≤0;(3) x2+6x+10>0; (4) x(x+2)>x(3−x)+1.综合运用5. 若a⋅b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.<0对一切实数x都成6. 当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx−38立?7. 一般认为, 民用住宅的窗户面积必须小于地板面积, 但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.(1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?(2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积, 公寓的采光效果是变好了还是变坏了?8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系: 即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题. 请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质. 仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题; 指出所列的对应不等关系的命题是否正确, 并说明理由.23拓广探索9. 如图, 居民小区要建一座八边形的休闲场所. 它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m 2 的十字形地域. 计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛,造价为4200元 /m 2 ; 在四个相同的矩形 (图中阴影部分) 上铺花岗岩地坪, 造价为 210元/m 2 ; 再在四个空角 (图中四个三角形) 上铺草坪,造价为 80 元/m 2 . 设总造价为 S (单位: 元)、 AD 长为 x (单位: m ). 当 x 为何值时, S 最小? 并求出这个最小值.(第 9 题)10. 两次购买同一种物品, 可以用两种不同的策略. 第...种是不考虑物品价格的升降. 每次购买这种物品的数量一定; 第二种是不考虑物品价格的升降. 每次购买这种物品所花的钱数一定. 哪种购物方式比较经济? 你能把所得结论作一些推广吗?答案：1. 设 A 型号帐篷有 x 个,则 B 型号帐篷有 x +5 个. 所以 数量号帐篷有x +5 个. 所以 {x ≥0,4x <48,0<5x −48<5,3(x +5)<48,0<4(x +5)−48<4.0<4(x +5)−48<4.3. (1) 半径是 √s 时,扇形的周长最小,最小值为 4√s . (2)半径是 P4 时,扇形的面积最大,最大值为 P 216.4. (1) −2≤x≤74. (2) 5≤x≤9. (3) R. (4) x<−12或x>1.5. ab≤1或ab≥9.6. 当k>0时,二次函数y=2kx2+kx−38开口朝上, 2kx2+kx−38<0不可能对一切实数x都成立.当k<0时,若一元二次不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立,则Δ<0,解得−3<k<0.7. (1) 设窗户面积为a m2,则地板面积为(220−a)m2. 由题意知a220−a≥10%,解得a≥20,所以窗户面积至少为20 m2.(2) 设窗户面积为a m2,地板面积为b m2,增加的面积为m m2. 因为a⋅b,m>0,且a<b,所以a+mb+m −ab=m(b−a)b(b+m)>0,即ab<a+mb+m,所以公寓的采光效果变好了.8.9. (1) 设DQ=y m,则x2+4xy=200,y=200−x24x. 于是, S=38000+4000x2+40000x2≥38000+2√4000x2+40000x2=118000,当x=√10≈3.16时,上式等号成立. 因此, 当AD约为 3.16 m时,休闲场所造价最低,为118000元.10. 若按第一种策略购物时,第一次购物时物品的价格为p1,购买了n kg,第二次购物时物品的价格为p2,仍购买了n kg. 则两次购买物品的平均价格为p1n+p2n2n =p1+p22.4若按第二种策略购物时,第一次购物时花费m元,能购买mp1 kg物品,第二次购物时仍花费m元,能购买mp2 kg物品,则两次购买物品的平均价格为2mmp1+mp2=21p1+1p2.比较两次购物的平均价格,可得p1+p22−21p1+1p2=(p1−p2)22(p1+p2)≥0,即按第一种策略购物的平均价格高于第二种价格、因此, 按第二种策略购物比较经济. 当n次购买同一种商品时,按第二种策略购物比较经济.5。
新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册
2．2.3 一元二次不等式的解法[课程目标] 1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．知识点一一元二次不等式的概念[填一填]一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c均为常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．知识点二一元二次不等式的解法[填一填]1．因式分解法(1)一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞,x1)∪(x2,＋∞)．(2)解一元二次不等式,先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等),若ax2＋bx＋c比较容易因式分解,可先将其进行因式分解,然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．2．配方法(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．(2)一般步骤：一移,将含未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边；二除,二次项的系数不为1时,不等号两边同时除以二次项的系数,将其化为1；三配,不等号两边同时加上一次项系数一半的平方,将其左边配成完全平方式；四开,不等号右边是非负数时,用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时,原不等式的解集为任意实数．[答一答]1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？提示：当a>1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(a,＋∞)；当a＝1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(1,＋∞)；当a<1时,不等式的解集是(－∞,a)∪(1,＋∞)．3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.提示：x2＋2x＝(x＋1)2－1≤0,即(x＋1)2≤1,－1≤x＋1≤1,即－2≤x≤0,不等式的解集是[－2,0]．类型一 因式分解法解一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0； (3)x 2－2x －8<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．[解] (1)因为x 2－5x －6＝(x －6)(x ＋1), 所以原不等式等价于(x －6)(x ＋1)>0.所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(6,＋∞)． (2)原不等式等价于(x －2)(x ＋3)>0,所以不等式的解集为(－∞,－3)∪(2,＋∞)． (3)因为x 2－2x －8＝(x －4)(x ＋2), 所以原不等式等价于(x －4)(x ＋2)<0. 所以原不等式的解集为(－2,4)． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2, 所以原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 因为9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2, 所以原不等式等价于(3x －2)2>0, 所以原不等式的解集为{x |x ≠23}．用因式分解法解一元二次不等式,首先要把不等式进行因式分解,注意先把二次项系数化为正数,否则得到相反的结论.[变式训练1] 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－x 2＋8x －15>0； (3)x 2－4x －5<0； (4)－3x 2－2x ＋8≥0.解：(1)因为2x 2＋7x ＋3＝(2x ＋1)(x ＋3),所以原不等式等价于(2x ＋1)(x ＋3)>0. 所以原不等式的解集为(－∞,－3)∪(－12,＋∞)．(2)原不等式等价于x 2－8x ＋15<0. 因为x 2－8x ＋15＝(x －3)(x －5), 所以原不等式等价于(x －3)(x －5)<0.所以原不等式的解集为(3,5)． (3)因为x 2－4x －5＝(x ＋1)(x －5), 所以原不等式可化为(x －5)(x ＋1)<0. 所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0, 即3(x －43)(x ＋2)≤0,即(x －43)(x ＋2)≤0,所以原不等式的解集为[－2,43]．类型二 配方法解一元二次不等式 [例2] 用配方法解下列不等式： (1)4x 2＋4x －5≤0； (2)14x 2＋x ＋2≥0. [解] (1)4x 2＋4x －5＝(2x ＋1)2－6≤0, 即(2x ＋1)2≤6,－6≤2x ＋1≤6, －1＋62≤x ≤6－12.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＋62≤x ≤6－12. (2)14x 2＋x ＋2＝(12x ＋1)2＋1≥0, 因为不等式恒成立,所以不等式的解集为R .[变式训练2] 用配方法求下列不等式的解集： (1)x 2＋6x >1； (2)2x 2＋6≥7x .解：(1)原不等式等价于x 2＋6x －1>0,因为x 2＋6x －1＝x 2＋6x ＋9－9－1＝(x ＋3)2－10,所以原不等式可化为(x ＋3)2－10>0,即(x ＋3)2>10.两边开平方,得|x ＋3|>10,从而可得x ＋3>10或x ＋3<－10,所以x >10－3,或x <－10－3.所以原不等式组的解集为(－∞,－10－3)∪(10－3,＋∞)．(2)原不等式可化为x 2－72x ＋3≥0,因为x 2－72x ＋3＝x 2－72x ＋(74)2－(74)2＋3＝(x －74)2－116,所以原不等式可化为(x －74)2－116≥0,即(x －74)2≥116,得x －74≥14或x －74≤－14,解得x ≥2或x ≤32.故原不等式的解集为{x |x ≤32或x ≥2}．类型三 含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x 的不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1(a >0)．[解] 不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1可化为ax 2＋(a ＋3)x ＋3>0,即(ax ＋3)(x ＋1)>0. 当－3a<－1,即0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－1或x <－3a ；当－3a ＝－1,即a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当－3a>－1,即a >3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－3a .综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3a 或x >－1；当a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当a >3时,原不等式的解集为{x |x <－1或x >－3a }．含参数的一元二次不等式要注意对参数的讨论,不重复不遗漏．如本题要依据－3a 与－1的大小关系进行讨论．[变式训练3] 关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0,若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2,则m 的取值范围是(－∞,0)．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2, ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2,且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.类型四 分式不等式的解法 [例4] 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. [解] (1)∵2x －13x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13⇔x <－13或x ≥12,∴原不等式的解集为{x |x <－13,或x ≥12}．(2)方法1：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，2－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12⇔－3<x <－12. ∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．方法2：原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1x ＋3<0⇔(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.[变式训练4] (1)下列选项中,使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．0<x <1D ．x >1解析：由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，所以x <－1.(2)不等式：x ＋2x 2＋x ＋1>1的解集为{x |－1<x <1}．解析：因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0,所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1,即x 2－1<0,解得－1<x <1,所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．下列各式：①x 2＋3>x ；②2x 2－3x >2x (x －1)－1；③3x 2－4x >5；④x 2>－1x ＋2.其中一元二次不等式有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①③把各项移到“>”左边,右边变为0,满足一元二次不等式的概念特征,是一元二次不等式；②化简后不含二次项,不是一元二次不等式；④中含有分式,不是一元二次不等式．2．不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为( C ) A ．(－2,1) B ．(－3,－1) C ．(－3,1) D ．(－1,3)解析：原不等式等价于x 2＋2x －3<0,即(x ＋3)(x －1)<0,所以不等式的解集为(－3,1)． 3．不等式2x －1x ＋3>0的解集是( D )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(4,＋∞)C ．(－∞,－3)∪(4,＋∞)D ．(－∞,－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：2x －1x ＋3>0⇔(2x －1)(x ＋3)>0⇒x <－3或x >12.故选D.4．不等式－x 2＋5x >6的解集是(2,3)． 解析：不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0, 因式分解为(x －2)(x －3)<0,解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为(2,3)． 5．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0, 所以(2x ＋1)(x －2)<0,故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0, 所以(2x ＋1)(x －1)≥0,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥1.(3)因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0, 故原不等式的解集是R .。
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-一元二次不等式的解法答案含解析
2.2.3一元二次不等式的解法第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法考点1不含参数的一元二次不等式的解法1.( 2019·山东宁阳二中高二月考)不等式2x 2-x +1<0的解集为( )。
A.⌀ B.R C.{x |-12<x <1} D.{x |x ≠14}答案：A解析：因为2x 2-x +1=0的判别式Δ=1-8<0,所以不等式2x 2-x +1<0的解集为⌀,故选A 。
2.(2019·抚顺12中高二月考)不等式-x 2+3x +10>0的解集为( )。
A.{x |x <-2或x >5} B.{x |x <-5或x >2}C.{x |-2<x <5}D.{x |-5<x <2}答案：C解析：原不等式可化为x 2-3x -10<0,即(x -5)(x +2)<0,解得-2<x <5,所以原不等式的解集为{x |-2<x <5}。
3.使不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是( )。
A.x ≥0或x ≤-2 B.x <0或x >2 C.x <-1或x >4 D.x ≤-12或x ≥3 答案：B解析：根据一元二次不等式的解法,解不等式2x 2-5x -3≥0,可得x ≤-12或x ≥3,则2x 2-5x -3≥0⇔x ≤-12或x ≥3,即找x ≤-12或x ≥3的必要不充分条件,因为“x <0或x >2”包含“x ≤-12或x ≥3”,所以2x 2-5x -3≥0的一个必要不充分条件是“x <0或x >2”,故选B 。
4.(2019·山东博兴一中高二期中)已知集合M ={x |0≤x <2},N ={x |x 2-2x -3<0},则M ∩N =( )。
2、高中新A版第一册不等式综合练习(含答案)
不等式1一、选择题1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．下列各对不等式中同解的是（ ）A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 3．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b >4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 5．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是 ( ) A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << 6．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是A. 10 B. -10 C.14 D.-14 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，2131 8．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y xx =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2y =D ．1y x =+-9．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a 的取值范围是 ( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,310．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m 11．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解，则a 的取值为( )A ．0 B ．2 C ．4 D ．612．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12 B ．32 C ．52 D ．1二、填空题1．若方程2222(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数n =_______。