第五章 定积分的换元法备课讲稿
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高等数学第五章第3节定积分的换元与部分积分
b
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
5-定积分的换元法和分部积分法
解
0x
sinxt t
dt
x 2sinu
0
du u
sin x2
原 式 x l i0m x120x2su iu ndu 00
lim
x0
x2 2x
2x
1
18
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u(x),v(x)在区[a间 ,b]上有连续的导数,
1a2
4
这是半径为a的四分之一的圆的面积.
7
定积分的换元法和分部积分法
几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分
由被积函数和积分区间来确定变换.
例 设 f(x )在[ 区 a ,a ]上 间 ,证 可明 积 令xt
a af(x )d x0a[f(x )f( x )d ] x d x d t.
证明 0af(x)dxa0f(t)dt 0af(x)dx
解 法一 令x2t, dxdt
13f(x2)dx11 f(t)dt
01(1t2)dt 01etdt
7 3
1 e
12
定积分的换元法和分部积分法
例 若 f(x)在 [0,1]上连 ,证 续明
(1 )0 2f(s x )d ix n 0 2f(c x )d o x ;s
证 (1) 设 x t d x d t
2
02
f(sinx)dx
0
f[sin(t)d ]t 2
2
02f(cot)sdt 02f(cox)sdx
14
定积分的换元法和分部积分法
周期函数的定积分公式
如果 T是连续f函 (x)的 数周, 期
aaTf(x)dx0Tf(x)dx a为任何. 常数
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
第五章定积分的换元法
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限 变量 x 的函数，而只要把新变量 分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限 变量 x 的函数，而只要把新变量 分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx
5-4 定积分的换元法
40
02 f
(sin x)dx
02 f (cos x)dx;
50
0
f
(sin x)dx
2 02
f
(sin
x )dx;
60
0
xf
(sin
x )dx
2
0
f
(sin
x )dx
02 f
(sin
x )dx .
例6 计算
11
1
x2 e
x
dx
.
河海大学理学院《高等数学》
例7 计算
cos xdx
2
0
sin
x
cos
x
例8
求
5
(cos
x
cos
2
x
cos
3
x
sin
x
sin
2
x
sin
3
x
)dx
例9 求01 f ( x)dx,使得201 f ( x)dx f ( x) x 0.
河海大学理学院《高等数学》
小结
定积分的换元法
b
a f ( x)dx
应地改变.
（2）求出 f [(t )](t )的一个原函数(t )后，不必象
计算不定积分那样再要把(t )变换成原变量 x的
函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入 (t )然后相减就行了.
河海大学理学院《高等数学》
例1
计算
4
0
x 2 dx. 2x 1
例2 计算 4 e3 e
f
[(t
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
《定积分的换元法》课件
《定积分的换元法》PPT 课件
这是一份关于定积分的换元法的 PPT 课件。掌握换元法对于理解微积分非常 重要，我们将一步步带你探索换元法的奥妙。
什么是定积分？
定义
定积分是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，也可以理解为反函数 f(x) 的导数在区间 [a, b] 上的 和。
意义
定积分可以用于求解一段时间内的平均变化率、物体的质量、几何体的体积等。
提高效率
不同的技巧可以在不同的场合下 提高求解效率，掌握多种技巧能 够帮助我们更好地应对各类求解 问题。
如何通过换元法求不定积分？
确定被积函数的类型
根据被积函数的特点，选择合适的换元公式。
求导求逆
对出现的积分变量进行求导求逆操作。
完成换元变换
选择变换方法，并完成积分变换，得到新的积 分式
积分复原
将新积分式中的积分变量替换回原自变量，还 原为原始的积分式。
当被积函数包含对数函数时，可 以尝试用 u = g (x) 的注意事项有哪些？
1 选择合适的变量
变量的选择会直接影响到 换元法的求解，应该根据 实际情况灵活选择。
2 注意导数求逆
3 遵循换元法的步骤
在进行积分变换时需要特 别注意变换后的导数，一 定要进行正确的求逆操作。
1)/2)+1)^2 du/2
3
变换 2
令v=(u-1)/2，得到
积分复原
4
∫e^(2v+2)/(2e^v+1)^2 dv/4
∫e^(2v+2)/(2e^v+1)^2 dv/4 = (1/4)ln|2e^v+1| + C
换元法的示例三：三角函数换元法
原积分式
这是一份关于定积分的换元法的 PPT 课件。掌握换元法对于理解微积分非常 重要，我们将一步步带你探索换元法的奥妙。
什么是定积分？
定义
定积分是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，也可以理解为反函数 f(x) 的导数在区间 [a, b] 上的 和。
意义
定积分可以用于求解一段时间内的平均变化率、物体的质量、几何体的体积等。
提高效率
不同的技巧可以在不同的场合下 提高求解效率，掌握多种技巧能 够帮助我们更好地应对各类求解 问题。
如何通过换元法求不定积分？
确定被积函数的类型
根据被积函数的特点，选择合适的换元公式。
求导求逆
对出现的积分变量进行求导求逆操作。
完成换元变换
选择变换方法，并完成积分变换，得到新的积 分式
积分复原
将新积分式中的积分变量替换回原自变量，还 原为原始的积分式。
当被积函数包含对数函数时，可 以尝试用 u = g (x) 的注意事项有哪些？
1 选择合适的变量
变量的选择会直接影响到 换元法的求解，应该根据 实际情况灵活选择。
2 注意导数求逆
3 遵循换元法的步骤
在进行积分变换时需要特 别注意变换后的导数，一 定要进行正确的求逆操作。
1)/2)+1)^2 du/2
3
变换 2
令v=(u-1)/2，得到
积分复原
4
∫e^(2v+2)/(2e^v+1)^2 dv/4
∫e^(2v+2)/(2e^v+1)^2 dv/4 = (1/4)ln|2e^v+1| + C
换元法的示例三：三角函数换元法
原积分式
第五章 4定积分的换元法
1
2
奇函数
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
1 2
1
1 − x 2 dx
四分之一单位圆的面积
= 4 − π.
微积分
是以L为周期的连续函数 为周期的连续函数， 例7 设 f(x) 是以 为周期的连续函数，证明
a+L
证明
a+ L
值 a 关 ∫ f (x)dx的 与 无 a
0 L a+ L
∫ a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx +
a 0
a+L
∫ f ( x )dx (令 x = t + L ) ∫ f ( t + L )dt
L 0
a
∫ f ( x )dx L
= ∫ f ( t )dt = ∫ f ( x )dx
a+ L
a
a
0
⇒
∫
a
f ( x ) dx =
3 5
Q f ( x) = sin x − sin x = cos x (sin x)
3 5
π 0 π 2 0 π 2 0
3 2
∴∫ =
sin3 x − sin5 xdx = ∫0 cos x (sin x ) dx cos x (sin x ) dx − ∫ cos x (sin x ) dx
2
π
微积分
先来看一个例子 4 x +2 dx 例1 ∫ 0 2x +1 1 2 换元求不定积分 令 t = 2x + 1 则 x = (t − 1) 2 1 2 1 t − +2 x+2 2 2 tdt = 1 t 3 + 3 t + C ∫ 2x +1 dx = ∫ t 6 2
2
奇函数
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
1 2
1
1 − x 2 dx
四分之一单位圆的面积
= 4 − π.
微积分
是以L为周期的连续函数 为周期的连续函数， 例7 设 f(x) 是以 为周期的连续函数，证明
a+L
证明
a+ L
值 a 关 ∫ f (x)dx的 与 无 a
0 L a+ L
∫ a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx +
a 0
a+L
∫ f ( x )dx (令 x = t + L ) ∫ f ( t + L )dt
L 0
a
∫ f ( x )dx L
= ∫ f ( t )dt = ∫ f ( x )dx
a+ L
a
a
0
⇒
∫
a
f ( x ) dx =
3 5
Q f ( x) = sin x − sin x = cos x (sin x)
3 5
π 0 π 2 0 π 2 0
3 2
∴∫ =
sin3 x − sin5 xdx = ∫0 cos x (sin x ) dx cos x (sin x ) dx − ∫ cos x (sin x ) dx
2
π
微积分
先来看一个例子 4 x +2 dx 例1 ∫ 0 2x +1 1 2 换元求不定积分 令 t = 2x + 1 则 x = (t − 1) 2 1 2 1 t − +2 x+2 2 2 tdt = 1 t 3 + 3 t + C ∫ 2x +1 dx = ∫ t 6 2
高等数学§5-3定积分的换元法-PPT文档资料
则 有 f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt . a
b
应用换元公式时应注意:
（1） 用x
( t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
求出 （2）
f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t ) 后，不必象
计算不定积分那样再要把 ( t ) 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入
2
．
2
这时由于没有换元 , 也就不需要换限 , 这样计算更为简便.
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例3
计算
2
0
5
2
5 cos x sin xdx .
5 解： cos x sin xdx cos cos x xd
2
0
0
令 t cos x
0
1
t dt
5
t 6
6 1
0
1 . 6
，
3 . x4 s in x 2 1 x2 dx 0 2
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二、定积分的分部积分法
设函数 u( x )、v ( x ) 在区间a , b上具有连续导数，则有
a udv uv a a vdu.
b b
b
上式称为定积分的分部积分公式 推导
uv u v u v ,
1 u e 2
2
0
.
1 2 0 1 2 (e e ) (e 1) 2 2
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在例2中,被积函数的原函数可采用凑微分来 计算,即
2
0
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解 f(x)si3x nsi5x ncoxssinx2
si3nxsi5nxdx
coxssin x23dx
0
0
2coxssin x2 3dx coxssinx23dx
0
2
3
2 sinx2dsinx
sinx23dsinx
0
2
2
sin
5
x2
2
5
0
2
sin
x
5
2
5
2
4. 5
3
例5
计算
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
①f (x)为偶函数，则
且有
a
a
f
(x)dx
a
20
f
(x)dx；
②f (x)为奇函数，则aa f (x)dx0.
证
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )d,x
在 0 af(x )d中 令 x x t,
0 a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f(t)dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin n x)(e4 e
. 6
例6 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco tds , t
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了.
a
例2 计算 a2 x2dx
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f ( t )dt
这说明可用
t(x)
a
引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t(x)
整体视为新变量，则不必换限
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
第五章 定积分的换元法
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x1则 x t2 1
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
(dt 1 0) dx 2x1
于是
4 x2dx 13(t23)d t22
0 2x1 21
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
f[ (t) ](t)d t( ) ( ),
() a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF(b)F(a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
应用换元公式时应注意:
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
dx
1 1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
1
x2
40 1
dx 1x2
401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
奇函数
1
40(1
1
1x2)dx44 0
1x2dx
4.
cost
dt
0 sint cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则
2
I J dt
IJ0 20scio ttn 2sc siottn ds tln(tsc in ot)s0 20
IJ
4
例7 当f (x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f (x)dxf (x) f (x)dx
a
0
0
0
a2 2 (1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1
1
6
1. 6
0
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
则 有 a bf(x)d x f[(t)](t)d.t
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(t)F [(t)],
(t)dFdx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
y a2x2
0
解1 由定积分的几何意义
xa
a
a2 x2dx
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a2
4
解2 a2x2d xxa2x2a2arx cC si
a
故
2
a2 x2dx a 2
2
a
0
4
解3 令 xasitnd xacot s
x 0 t 0xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
xa t , x0 t0,
原式 2
2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
பைடு நூலகம்
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
. 4
解二 接解一
2
对
cos t
dt
0
sin
t
cos
t
2
令 I
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 20a f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx 0.
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
四分之一单位圆的面积
例 9 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sinx)dx
si3nxsi5nxdx
coxssin x23dx
0
0
2coxssin x2 3dx coxssinx23dx
0
2
3
2 sinx2dsinx
sinx23dsinx
0
2
2
sin
5
x2
2
5
0
2
sin
x
5
2
5
2
4. 5
3
例5
计算
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
①f (x)为偶函数，则
且有
a
a
f
(x)dx
a
20
f
(x)dx；
②f (x)为奇函数，则aa f (x)dx0.
证
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )d,x
在 0 af(x )d中 令 x x t,
0 a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f(t)dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin n x)(e4 e
. 6
例6 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco tds , t
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了.
a
例2 计算 a2 x2dx
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f ( t )dt
这说明可用
t(x)
a
引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t(x)
整体视为新变量，则不必换限
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
第五章 定积分的换元法
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x1则 x t2 1
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
(dt 1 0) dx 2x1
于是
4 x2dx 13(t23)d t22
0 2x1 21
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
f[ (t) ](t)d t( ) ( ),
() a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF(b)F(a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
应用换元公式时应注意:
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
dx
1 1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
1
x2
40 1
dx 1x2
401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
奇函数
1
40(1
1
1x2)dx44 0
1x2dx
4.
cost
dt
0 sint cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则
2
I J dt
IJ0 20scio ttn 2sc siottn ds tln(tsc in ot)s0 20
IJ
4
例7 当f (x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f (x)dxf (x) f (x)dx
a
0
0
0
a2 2 (1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1
1
6
1. 6
0
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
则 有 a bf(x)d x f[(t)](t)d.t
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(t)F [(t)],
(t)dFdx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
y a2x2
0
解1 由定积分的几何意义
xa
a
a2 x2dx
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a2
4
解2 a2x2d xxa2x2a2arx cC si
a
故
2
a2 x2dx a 2
2
a
0
4
解3 令 xasitnd xacot s
x 0 t 0xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
xa t , x0 t0,
原式 2
2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
பைடு நூலகம்
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
. 4
解二 接解一
2
对
cos t
dt
0
sin
t
cos
t
2
令 I
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 20a f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx 0.
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
四分之一单位圆的面积
例 9 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sinx)dx