线性代数二次型及标准形
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是矩阵形式的二次函数，通常用向量和矩阵的乘积来表示。
在线性代数中，二次型是一种将一个多元变量的向量映射到实数的函数，常用于描述抽象空间中的二次曲面。
对于一个n维实向量空间V上的二次型，可以通过一个对称矩阵A来定义，即二次型的矩阵表达式为Q(x) = x^T Ax，其中x是一个列向量。
二次型的标准型是指将二次型通过合适的线性变换转化为一个特定的形式，这个形式更便于研究和计算。
在实数域上，任何一个n维非退化二次型都可以通过合适的正交变换（即特征变换）化为标准型，即形如Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... +λnyn^2，其中λi为非零实数，yi为变换后的新变量。
标准型中的每一项都是对应新变量的平方项，没有交叉项。
二次型的规范型是指将二次型通过一个线性变换转化为一个更简洁的形式，通常是对标准型进行变换。
规范型的形式为Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2，其中yi为变换后的新变量。
规范型相对于标准型来说，更加精简，变量之间没有相关性，也没有尺度差异。
这样的形式能够更好地研究和理解二次型的性质。
转化为二次型的标准型和规范型在研究和计算中起着重要的作用。
它们可以帮助我们更好地理解二次型的本质和性质，更清晰地描述和分析问题。
同时，标准型和规范型之间的转化可以通过线性变换来实现，这种变换能够保持二次型的性质不变，因此在问题求解中也可以通过变换将二次型转化为更容易处理的形式，简化计算过程。
总之，二次型的标准型和规范型是对其矩阵表达形式进行变换，将其转化为更方便研究和计算的形式。
标准型通过正交变换将二次型转化为形如λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2的形式，其中λi为非零实数，yi为变换后的新变量。
规范型是对标准型进行变换，将其转化为更简洁、更方便理解和分析的形式Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2，其中yi为变换后的新变量。
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
4.2 二次型的标准型与规范型
4.2 二次型的标准型与规范型二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。
在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。
本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。
1. 二次型二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。
其中 $n$ 称为二次型的阶数。
二次型具有以下性质：（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。
2. 标准型标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。
标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。
我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；（3）令 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\& \ddots & \\& & \lambda_n\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。
此时，$D$ 即为该二次型的标准型。
标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。
例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。
线性代数二次型的标准形和规范形
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
Ch5-5线性代数二次型及其标准型
2 01
0
0 0 1
可得
f
的规范形：f
=
－z
2 1
+
z
2 2
+
z
2 3
.
用正交阵将二次型化为标准形的步骤:
正交变换法
(i) 写出 f 的矩阵 A,并求出 A所有相异特征值 1, , m;
它们的重数依次为 r1, r2 , rm ( r1 r2 rm n )
(ii) 对每个重特征值i , 求出对应的 ri 个线性无关的特征向量
二次曲线
旋转变换
ax2 bxy cy2 1
令
x y
x cos x sin
y sin y cos
, ,
二次齐次多项式
m x2 n y2 1
不改变长度、夹角
可逆线性变换 正交变换
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个可逆的线性变换 将其变为只含平方项的二次齐次多项式
求可逆矩阵 C 使得 C TAC B , 称为将 A 合同(变换)为 B .
简单性质:
10 矩阵的合同关系是等价关系;
20 合同矩阵CT必A等C 秩 B; , 而 C 可逆，
30 与对称矩阵合同的矩阵也是对称阵.
A AT , C TAC B BT CT ATC CT AC B
从合同的角度看二次型的变换问题:
二次型 f xTAx 经可逆变换 x C y化成二次型 f yTB y
存在可逆阵 C 将矩阵 A合同为B, 即 A, B 满足CTAC =B, 且 B仍为对称阵,二次型 f 的秩不变.
能将二次型 f = xTA x 经过可逆线性变换化成标准形
线性代数课件456二次型与标准形xg
2
解之 x1 2x2 2x3 其基础解系 1 1
0
先将1,2 正交化。
2
2 0
1
1 1,
2
2
2 , 1,
1 1
1
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
1 5
2
单位化
p1
1
2 1 ,
5 0
2
p2
1 35
4, 5
24
当 1 7 时解 7E AX 0
为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.
解 x1 y1 y2
令
x2 y1 y2
x3
y3
f (x1, x2, x3) 2 y12 2 y22 4 y1y3 4 y2 y3
2( y12 2y1y3 y32 ) 2y22 4y2 y3 2y32
2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2 1
0 2
0 2 0
(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的
特征向量。
2 2 0
E A 2 1 2 2 1 4
0 2
1 2 2 1 3 4
17
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
1
P1
3
1 2
2
1
P2
3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
为 x1, x2,, xn 的标准二次型（二次型的标准形）
可见 f 为对角形。
注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。
如：
f
x12
x1x2
3x2 3
线性代数§5.5二次型及其标准形
总有正交变换 y=Px, 使 f 化为标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2,
其中1, 2, · · · ,n 是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · Байду номын сангаас · , xn) =a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · · · · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.
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1 0 1
2
1 0
,
3
0 1
,
2
11,
0
1
1
3．将特征向量正交化单位化
1 2
0
1 2
单位化即得
p2
1
0 0
2
,
p3
1 1
0
2 2
,
p4
1 2 12 1 2
于是正交变换为
x1 1 2
x2
x3 x4
1 2 1 2 12
12 12
0 0
x1( x1 x2 ) x2 ( x1 x2 )
x1
x1
x2
x1 x1
x2 x2
x
2
1 1
11
x1 x2
令
x
x1 x2
则 f x1 , x2 xT Ax
其中 A 11 11
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 1 1 1 1 1 1 1
(
A
E
)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 11
0 0 0
00 00 00
0
0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
00 00 00
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
00
x1 x2 x3 x4 0
可得正交的基础解系
一、正交变换法
定理2
任给二次型 f
n
aij xi x j aij a ji
, 总有
i , j1
正交变换x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1,2 , , n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
四、化二次型为标准形
f x1 , x2 x12 2 x1 x2 2 x2 2
( x1 x2 )2 x22
令y1 x1 x2 , y2 x2
则(1)式变为y12 y22。所作的变量替换为
x1
x2
y1
y2 y2
即
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
ann
x
2 n
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
曲面.
思考题解答
5 1 3
解
二次型的矩阵为A
1
5
3,
3 3 3
可求得 det( A E) ( 4)( 9),
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1.
2
0
1
将其单位化得
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
x1 x2
1 0
11
y1 y2
记为x Cy
f x1 , x2
xT Ax
yTCT
ACy
y
T
1 0
0 1
y
x Cy
称
为
由
变
量y1
,
y
到
2
变
量x1
,
x
的
2
一
个
线
性
替
换
，
矩阵形式为x Cy。
若C 0,则称线性变换为可逆的线性变换， 或称非退化的线性变换。
若C为正交矩阵时，则称为正交变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 30Leabharlann 545所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
a11 a12 a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2 ,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
1 6
q1
p1 p1
1 2
6 ,
6
1 2
q2
p2 p2
1 2,
0
q3
p3 p3
1
1
1
3
3 .
3
故正交变换为
1
x1 x2 x3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f
4
y
2 2
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
4.
将特征向量1 ,
2
,
,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 , ,n ,记C 1 ,2 , ,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例2 求一个正交变换x Py,把二次型
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
11
1
1
0 1 2
2
A E ( 1)
0 2 1 2
00
0
( 1)2 1 2 2 1
1
( 1)2(2 2 3) ( 3)( 1)3.
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
和号表示 f x1 , x2 x12 2 x1 x2 x22
x12 x1 x2 x2 x1 x22
矩阵表示
22
aij xi x j
i1 j1
f x1 , x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 2
一般地
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化 为 标 准 形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1