椭圆离心率问题
一、椭圆离心率的
1、运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜
｜BA ｜
⑤e=｜FO ｜｜AO ｜
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2
c
∴有③。
题目1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形
的两边，则椭圆的离心率e ？
思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c
a
= 3-1
变形1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离
心率？
解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1
变形2: 椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，
PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF 1｜=b 2
a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=
b ｜OA ｜=a
PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2
∴a 2
=5c 2
e=
55
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
题目2：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2
+b
2
a 2+
b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+
c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2
e 2
+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52
(舍去)
变形：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5
2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=
5-1
2
的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜
BF 1｜,求e?
解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m
在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：???a 2
–c 2
=m(2a-c)
2(a 2-c 2
)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ?e=23 题目4：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的
一个交点，且
∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P = ｜PF 2｜
sin PF 1F 2
根据和比性质：
｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜
sinF 1F 2P+sin PF 1F 2
变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2
sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =
=
2c
2a
=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2
变形1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，
求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α
e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°
sin α+sin(120°-α)
= 1 2sin(α+30°)≥12 ∴1
2
≤e<1
变形2：已知椭圆x 2
4+ y 2
4t 2 =1(t>0)
F 1F 2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若13 2 ,求e 的取值范围？ 分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。 解;根据上题结论e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β) sin α+sin β = 2sin α+β 2 cos α+β 2 2sin α+β 2 cos α-β 2 = cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β 2 cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2 =1- tan α 2 tan β2 1- tan α 2 tan β 2 =e ∵13<1-e 1+e <12 ∴13 2 三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式. 题目5：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点， →OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求 法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ???b 2x 2 +a 2y 2 =a 2b 2 y=x-c (a 2 +b 2 )x 2 -2a 2 cx+a 2 c 2 -a 2b 2 =0 x 1+x 2=2a 2 c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2 c a 2+b 2-2c=-2b 2 c a 2+b 2 →OA +→ OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2=3b 2 e= 63 法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→ OB ?????x 12a 2 + y 1 2 b 2 =1 ① x 22a 2 + y 2 2 b 2 =1 ② ① -② 得： y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2 a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=- b 2 a 2 (-3) 既a 2=3 b 2 e=63 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 题目6：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内 部，则e 的取值范围？ 分析：∵→MF 1·→ MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。 解：∴c a 2 =b 2 +c 2 >2c 2 ∴0 22 题目7：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （- c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的垂直平 分线恰过F 2 点，求e 的取值范围？ 分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a 2 c ,y 0 ) M( a 2 c -c 2 ,y 0 2 ) 既( b 22c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a 2 c +c, y 0 ) →MF 2 =-( b 22c -c, y 0 2 ) →PF 1·→MF 2 =0 ( a 2c +c, y 0 ) ·( b 2 2c -c, y 0 2 )=0 ( a 2 c +c)·( b 2 2c -c)+ y 02 2 =0 a 2 -3c 2 ≤0 ∴ 3 3 ≤e<1 解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c ｜PF 2｜≥a 2 c -c 则2c ≥a 2 c -c 3c ≥a 2 c 3c 2 ≥a 2 则 3 3 ≤e<1 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。 离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。 椭圆中与焦点三角形有关的问题 题1：椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。 设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。 （二）问题的分析与引导 问题分解： 问题1.椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐 标是_______。 问题2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？ 解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。 设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。 性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。 3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。 问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？ 问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值” （面对cos 21PF F ∠= | |||2||||||212 212221PF PF F F PF PF ?-+如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两 次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是2221|||| PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ?，二者的关系是 ()||||24||||2||||||||212 212 212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ?-=?++=+，于 是目标式可分成两部分1| |||2212 -?PF PF b ，最后对||||21PF PF ?利用均值不等式，即可大功告成。 设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个7：3是我们一直致力在研究的课题，本例很好地体现了三角及基本不等式的应用。 从而求得当|||| 21PF PF =，即点 P 与短轴端点重合时，cos 21PF F ∠有最小值为1222 -a b ， 21PF F ∠有最大值。此题结果为??? ? ??-553,553。 ） 问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？ 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形2 1F PF 中,2 1θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号） 设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！ 题 2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使 ?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。 思路：由焦点三角形性质二，.2190 cos 20 e -≥ ? 2 2 ≤e ＜1 变式1：已知椭圆 )0(12 2 22>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得 ,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120 cos 20 e -≥即2212 1 e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23??? ? ??? 追问：何时取等号？ 变式2：若椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使?=∠9021PF F ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。 简解：两种做法： 方法一：设 m PF =1,n PF =2，可以得到???=+=+4 4 2 2n m n m ，故6=mn ，所以P 的纵坐标的绝对值 3=P y ，故P 的纵坐标为3或-3. 方法二：2 2190cos e -≥?? 2 2≤e ＜1，但椭圆离心率为 2 1，不在范围内，故不存在。 两种解法，答案不一致，原因？ 设计意图：两个练习题，层层递进，练习2直接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用。 （三）问题引入2（一道很普通的错题） 题3：P 是椭圆14 52 2=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π= ∠PF F ，则21F PF ?的面积等于 _______。 多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出||||21PF PF ?，代入面积公式。 问大家：“既然面积可求，那么|||| 21PF PF 、也一定可求，请大家计算一下||||21PF PF 、 的值”。同学们利用根与系数的关系构造一个以|||| 21PF PF 、为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于 0， 无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才—探索出的规律，当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠有最大值，查表求得是 57，因此，给定椭圆上不存在点P ，使3 2 1π = ∠PF F 问题1：已知椭圆C ：122 22=+b y a x (a>b>0)，F 1、F 2是两个焦点，对于给定的角()παα<<0，探求 在C 上存在点P ，使α=∠2 1PF F 的条件。 尽量让学生得到：存在点P 的条件可相应得到：α≥∠2 1BF F 。(B 为椭圆短轴的一个端点) 设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。 问题2：怎样改动，使上面不是一个错题？ 改动一：P 是椭圆 14 52 2=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若621π=∠PF F ，则21F PF ?的 面积等于_______。 改动二：P 是椭圆 14 22 =+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ?的 面积等于_______。 问题3：改动的依据是什么？（212 1BF F PF F ∠≤∠,B 为短轴的一个端点） 设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。 题4：若1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ， 求椭圆的面积。 解：设 m PF = 1， n PF =2，由余弦定理得 22 2 1224cos 2c F F mn n m ==-+θ① 由椭圆定义得a n m 2=+② 由①得：θ θcos 12cos 1)(22 22+=+-= b c a mn ∴2 tan cos 1sin sin 21222 1 θθθθb b mn S PF F =+== ? 性质三：若1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点， 且θ=∠21PF F ，则2 tan 22 1 θ b S PF F =?。 继续看题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点， 椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。 思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2 1 b b S PF F =?=?≤bc b c S BF F =??= ?22 1 2 1 b ?≤ c 2 b ?≤2 c 2 2 c a -?≤2 c 2 2 2 a c e =?≥ 2 1 故 2 2≤e ＜1 当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。 如果把图形特殊化，使PF 1⊥F 1F 2,我们可以得到： 性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 a b 2 2。 题5：已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦 长为1．求椭圆1C 的方程； 这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。 设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。 问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。 定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。 【课堂测试】 1.已知的两个焦点，为椭圆上的一点， 若的面积为9，则 .（09上海） 2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?= 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范 围是（ C ） （09江西） 12F 、F p C 12PF F ?b = A ．(0,1) B ．1(0, ]2 C ．(0,2 D ．2 3.已知椭圆22 21(1)x y a a +=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且12 60F PF ∠= ,则 12||||PF PF ?的值等于． 4（选做）设椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12F F A ，，是椭圆上的一点， 212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为1 1 3 OF ．证明a =； 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例1 椭圆112 162 2=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ?的形状. 解：由椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4|| 21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 性质一：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?。 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ， 若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知： o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 12 12 12cos PF PF F F PF PF -+= θ 2 12 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+= 1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122 222 --o x e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴ 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质四：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211 r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ .2112221) 2 (2222 2 2222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 （2000年高考题）已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使 得,12002 1=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120 cos 20 e -≥即2212 1 e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23??? ? ??? 性质五：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ， ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β αβαsin sin ) sin(++= e 。 ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 由正弦定理得： β α βαsin sin ) 180sin(122 1PF PF F F o = = -- 由等比定理得： β αβαsin sin ) sin(2121++= +PF PF F F 而)sin(2)sin(2 1βαβα+=+c F F ，β αβαsin sin 2sin sin 21+= ++a PF PF ∴β αβαsin sin )sin(++= = a c e 。 已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜ ∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝ 3 ∴椭圆的方程为3 42 2y x + ＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ 椭圆的离心率2 1 = e 则)60sin(2 3 sin ) 60sin(120sin ) 180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ， 整理得：5sin θ＝ 3(1＋cos θ) ∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝ 113525 3153 2=-? ． 圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题 1. 已知点P 在椭圆2 212 x y +=内，12,F F 是椭圆的两个焦点，求12PF PF +的范围. ''PF PF QF PF PQ +=+- ''2QF PF PQ QF QF a +-<+= 故122PF PF ≤ +< 2. 已知点P 在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上，12,F F 是椭圆的两个焦点，求点 P 位于何处时 12F PF ∠最大？（焦点三角形两个基本关系？） 解：设12F PF θ∠=，在12F PF ?中，2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-=， 因为 122PF PF a +=，所以22 1212 424cos 2a PF PF c PF PF θ--= ， 即2122cos 1b PF PF θ=-，而2 122122PF PF PF PF a ?+??≤= ??? ，所以cos θ 的最小值是在 12PF PF a ==时取得（cos θ在()0,π上是减函数） ，即点P 为椭圆短轴上的顶点. 3. 已知椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 上，12,F F 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点P 使 012120F PF ∠=，求椭圆离心率的范围. 解法一：解12F PF ?，由上题22 21222cos 11b b PF PF a θ= -≥-， 所以222 22 122cos12012b a c a a -=-≥-= ，e ≥ 故,1e ?∈???? 解法二：设()00,P x y ，则1 0PF a e x =+，20PF a e x =-，则222120PF PF a e x =-；在 12F PF ?中，2 2 2120 124cos1202PF PF c PF PF +-= ，即2 12 4b PF PF =，因为0a x a -< <，所以 224b a ≤，2234a c ≤ ，e ≥ 01e << 故,1e ?∈???? . 4. 已知椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴两端点为 A 、 B ，如果椭圆上存在点 Q ，使 , 120 =∠AQB 求 椭 圆 离心率的 范围 。 tan a b θ= ≥ ??? ? ???1,36 5. 已知椭圆 )0(122 22>>=+ b a b y a x 上，12,F F 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点P 使 12 4PF PF =，求椭圆离心率的范围 . 解法一：设()00,P x y ，则1 0PF a e x =+，20PF a e x =-， 由 12 4PF PF =得0 5a x e = . 而05a x a e = ≤，所以35e ≥，故3,15e ?? ∈???? 解法二：由22221x y a b +=及()()2222 16x c y x c y ??++=-+?? 即22 22220b x a y a b +-= 及2 2220x cx y c -++=即222222220a x ca x a y a c -++= 联立解得5a x e = ，余同上. 6. 已知椭圆 )0(12 2 22>>=+b a b y a x 与 x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点 P ，使 0AP OP ?= （O 为原点） ，求离心率e 的范围。 设(),P x y ，由0AP OP ?= ，得()(),,0x y x a y ?-=，即：22 0x ax y -+=. A 又因为22221x y a b +=，所以222 22 0a b x ax b a --+=， 所以 ()2 223220a b x a x a b --+=分解因式，得 ()()2 2 2 0x a a b x ab ??---=??，所以x a =或22 222 ab ab x a b c ==- 因为P x a ≤，所以22b c ≤，即222a c ≤所以12 e >≥ 变式：垂直关系改为0 060120或 7. 设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点 P ，使AP PQ ⊥， 则双曲线的 离心率的取值范围 是 1,2?? ? ?? ? 解：以AQ 为直径的圆与双曲线还有除A 外的公共点，联立2 22 24a a x y ??-+= ?? ?、22 221x y a b -=，联立解得 ()2 222422320a b x a x a a b +-+-=此方程一根为a （对应点 A 的横坐标），由韦达定理另一根为 3222 2a ab x a a b -=>+，所以()2222 22a b c a >=- 8. 已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ?是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．(1，＋∞) B ．)2, 1(；C ．)21,1(+D ．)21,2(+ 解：因为△ABE 是等腰三角形，故只要0 145F EA ∠<即可. 所以 11AF F E <， 即2b a c a <+，得12e << 另解：因为1e >，考察结论考虑取2e =时△ABE 的形 状， 再根据e 的变化与双曲线的形状间的关联做出选择. 9. 设点(),P x y 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222 x y a b +=+在第一象限的交点， 12,F F 是双曲线的左、右焦点，且12 3PF PF =10. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆222 4a x y += 的切线， 切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()12 OE OF OP =+ ，则双曲线的离心率为 2 ； 212PF PF a -=，23PF a = 关于椭圆离心率的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，222 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥， 则椭圆的离心率为 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1 22 22=+n y m x 的的离心率为 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点 分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知 ,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1 且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。 13.椭圆 12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 椭圆、双曲线离心率难题专题 1. （2018学年杭高高三开学考15）已知1F ，2F 分别是椭圆()22 22133 x y a a +=>的左右焦点，A 是椭圆上 一动点，圆C 与1F A 的延长线以及线段2AF 相切，若()2,0M 为一切点，则椭圆的离心率为 ． 2. （2018学年杭十四中4月月考2）已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y ，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 3. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考2）双曲线2 213 x y -=的焦距为（ ） A ．2 B ． C ． D ．4 4. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考12）已知直线l 为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的一条 渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ，离心率e 的值为 ． 5. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考3）已知双曲线2 221y x a -=的一条渐近线方程为y =， 则该双曲线的离心率是（ ） A ． 3 B C ．2 D 6. （2019届超级全能生2月模拟16）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆 上点P 满足122PF PF =，射线PM 平分12F PF ∠，过坐标原点O 作PM 的平行线交1PF 于点Q ，且 121 4PQ F F =，则椭圆的离心率是 ． 7. （2019届慈溪中学5月模拟6）若椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点 的 曲线，且都过点B ，它们的离心率分别是1e ，2e ，则2212 11 e e +=（ ） A ． 32 B ．2 C ．3 D ． 52 8. （2019届杭二仿真考16）存在第一象限的点()00,M x y 在椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点,02c ?? ??? （c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取 值范围是 ． 9. （2019届杭州4月模拟10）已知椭圆()22 22:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点， 以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ ，则a 的取值范围为（ ） A ．( B ．? C ．? ?? D ．? ?? 10. （2019届湖州三校4月模拟17）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个顶点()(),0,0,A a B b ，过,A B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同的顶点C ，D 两点，若23BD AC =，则椭圆的离心率是 ． 11. （2019届稽阳联谊4月模拟16）已知,C F 分别是椭圆22 22:1x y a b Γ+=的左顶点和左焦点，,A B 是椭圆 的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若2CD DB =u u u r u u u r ，则椭圆Γ的离心率为 ． 椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 、椭圆离心率的 1、运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目 如图，0为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交0A 于B, P 、Q 在椭圆上，PD 丄L 于D, QFL AD 于 F,设椭圆的离心率为 e,则①e = | ②e= | Q ； |③e=yAOp ④e= | | 2 a I AO | =a, | OF | =c,有⑤；T 丨 AO | =a, | BO | = —有③。 c 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF 2的中点B,连接BF i ,把已知条件放在椭 圆内，构造△ F i BE 分析三角形的各边长及关系。 解：丁| F 1F 2 | =2c | BF | =c | BE | 活c 2 2 X y 变形1:椭圆h + —=1(a>b >0)的两焦点为F i 、F 2，点P 在椭圆上，使△ OPF 为正三角形，求椭圆离 a b 2 2 x y 题目1：椭圆 h + —=1(a>b >0)的两焦点为 R a b 的两边，则椭圆的离心率 e F 2，以FF 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④ c+ 3c=2a 心率 解：连接 PF2，则 I 0F2| = | OF | =| OP| , / F i PR =90 ° 图形如上图，e^3-1 2 2 X y 变形2:椭圆尹+話=1(日比>0)的两焦点为F i、F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF i丄X轴, ? 2 厂2 ? ? a =5c e= 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 2 2 X y 题目2:椭圆 p + —=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ ABF=90°，求e a b PE // AB,求椭圆离心率 解:v| PF F2 F i | =2c | OB| =b | OA| =a PH // AB I PF1 | I F2 F1 | a 又?/ b= a2-c2 专题：椭圆的离心率 一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2 21?? ? ??-=a b e ） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e 3 2，椭圆1422=+m y x 的离心率为2 1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时， 32124=?=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316 214=?=-m m m ， 综上3 16 = m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 5 3 4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 [解析]由??? ???≠=+=0 222 2mn n m n n m n ?? ?==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 6，设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的 距离，则椭圆的离心率是2 1 。 二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1，在?Rt ABC 中，ο 90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ( ) 36-= e 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο 901=∠BDB , 则椭圆的离心率为( ) [解析] =?=-?-=-?e ac c a c b a b 221)(21 5- 3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13- 变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13- 巧解椭圆离心率的取值范围 河北容城中学 牛文国 邮编071700 在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。 解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-?+c x y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+b y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2 2≥=∴a c e 又1 222a c b a c b <≤?<≤ ∴2222a c c a <≤-12 2<≤∴ e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？ 无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2 245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10< 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率 为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2 c ∴ 有③。 题目1：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以 F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则 椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1 椭圆离心率问题专题练习 1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 2.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等 于 2 1 ∣AF ∣，椭圆的离心率为 3.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过 焦点，椭圆的离心率为 4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为 5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为 6. 如图所示，A 、B 是椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点， 且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为 7.已知直线L 过椭圆 122 22=+b y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2 a ，椭圆的离心率为 · 8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为 9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2 )2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2 , 椭圆离心 率e 的取值范围为 10.设椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/6110587387.html, 椭圆离心率的范围问题 作者：嘉平 来源：《读写算》2012年第10期 圆锥曲线的离心率的范围问题是解析几何中的常见问题。近几年高考中又出现了与存在性有关的离心率范围问题。下面就椭圆结合实例谈谈这类问题的处理方法。 一、由存在点的坐标范围，结合与存在点有关的等量关系，转化成方程有解问题，进而求离心率的范围。 例1．已知椭圆（a>b>0）的两个焦点为F1（-c，0），F2（c,0）,若直线x= 上总存在一 点p，使线段F1P的垂直平分线恰好过F2点，求椭圆的离心率的范围。 解：设点P的坐标为（，y），y∈R.由线段F1P的垂直平分线过点F2知，|F1F2|=|PF2|，则关于y的方程2C= ,y∈R有解，整理，得 ,则，即，开方，得，即，故。 二、由与存在点有关的焦半径范围，求离心率的范围。 例2．（2010四川）椭圆（a>b>0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是。 解：由线段AP的垂直平分线过点F知 |PF| = |AF|，而P在椭圆上，由题意知a－c 三、由焦点三角形F1PF2中∠F1PF2的变化规律求离心率的范围。 椭圆（a>b>0）的左、右两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c,0），P是椭圆上任一点。如图设P（x,y）在第一象限，由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，又由焦半径公式知|PF1|=a+ex, |PF2|=a－ex Cos∠F1PF2= = = = = 当点P在第一象限从短轴端点向长轴端点运动时，cos∠F1PF2逐渐增大，而0 椭圆中的离心率 学习目标：掌握常见的求椭圆的离心率的值与范围的方法 一．课前预习： 1. 已知正三角形ＡＢＣ，椭圆以B ，C 为焦点，且过ＡＢ、AC 的中点，椭圆的离心率是 。 2．椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离 等于2 1 ∣AF 3．如图，从椭圆上一点P 向x 的一个焦点1F B 的连线与OP 4.椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点是12,F F ，P 是椭圆右准线上一点，若线段1PF 的 中垂线经过2F ，则椭圆离心率的取值范围是 。 二．例题解析： （一）．求离心率的值： 1．椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰 好过焦点，求椭圆的离心率。 2．如图所示，A 、B 是椭圆122 22=+b y a x （a>b>0F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率 3．椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的直线l 过椭圆的左焦点F 且交椭圆于A 、B 两点，若AF ＝２BF ，求椭圆的离心率 （二）．求离心率的范围： １.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1290F PF ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围。 2．椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 求椭圆 离心率e 的取值范围。 三．巩固练习： １．已知椭圆M ：122 22=+b y a x （a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点 P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率。 2. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是 。 3．设椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存 在一点Q ，使∠AQB=120o，求椭圆离心率e 的取值范围。 4．椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点是12,F F ，Q 是椭圆右准线与x 轴的交点，P 是 椭圆上一点，若线段PQ 的中垂线经过2F ，则椭圆离心率的取值范围是_________. 求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例１已知椭圆22 2 2 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OＰ垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围. 例2 已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0) F c F c -,若椭圆上存在 一点P使 1221 sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为() 21,1 -. 二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足 的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是( ) A.(0,1) Ｂ. 1(0, ]2 Ｃ．2 (0, )2 D.2[,1)2 ?三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点Ｂ为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的 一个端点,另两个顶点也在椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ，求椭圆离心率的范围. x y O F 1 F 2 四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=?OB OA (Ｏ为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例６ 已知F １、Ｆ2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点，∠F １P Ｆ2＝６０°.求椭圆离心率的范 围； 解 设椭圆方程为错误!未定义书签。+ｙ2 b 2＝１ (a ＞b>0),|PF 1|＝ｍ,|PF 2|＝ｎ，则ｍ+n ＝2a. 在△ＰF 1F 2中，由余弦定理可知, 4c 2=ｍ２+n 2－2ｍｎc ｏs 6０°=(m ＋ｎ)2－3m ｎ ＝4a 2-3mn ≥４ａ2-3·错误!2=4ａ2－3a 2=ａ２ (当且仅当m ＝n 时取等号).∴错误!未定义书签。≥错误!未定义书签。,即ｅ≥错误!未定义书签。. 又０ 椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题 【重点知识温馨提示】 1.e ＝c a ＝ 1－ b2a2(0 椭圆专题3：离心率 一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。 5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。 6..已知则当mn 取得最小值时，椭圆的的离心率为 7.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。 9.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知椭圆的离心率为 10.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若， 则椭圆的离心率为 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 12.设椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是。 13.椭圆（a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率是。 14.椭圆（a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是 15.已知直线L 过椭圆（a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为，则椭圆的离心率是 16.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O 为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 17.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ ） a c ，e )0,3(),0,1(21F F )0(,122 22>>=+b a b y a x P 21PF PF ⊥=e )0.0(121>>=+n m n m 122 22=+n y m x 22 221(0)x y a b a b +=>>1F 2F x M N ，12MN F F 2≤=e 22a x 22 b y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F =e 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF 222 22b y a x +122 22=+b y a x 21122 22=+b y a x 122 22=+b y a x 2a 22 22x y a b +=a b >>a 2,0a c ?? ???e 22221(0)x y a b a b +=>>1e 2=(0)F c ，20ax bx c +-=1x 2x 12()P x x ， 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭 圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 222222 2 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++= 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211 22 2 122 βααβ αβ αβ αβ αβ == ??++=+=== =+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 2 1 ≤- 一、椭恻离心率的 1.运川几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图? 0为椭圆的中心，F为焦点? A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上? PD丄L于D. QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I ⑤ *1757 评：AQP为椭圆上的点?根据椭圆的第一定义得， V I A0 I =a, I OF I =c,???有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.??有③。 题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 ?以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内?构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。 解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =?C c-K/3c=2a Ae= yjs-l *2 u2 变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 ?点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形?求椭恻离心 解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图， y2 变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点?且PF 】丄X 轴. tP ?■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB ?■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋 ?'?a2=5c2 e=￥ 点评：以上题目，构造焦点三角形?通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。 一、运用正余弦定理解决图形中的三角形 y2 \i2 题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求e PF2 〃 AB,求椭圆离心率 解: PF2 今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率。椭圆的几何性质中，离心率问题是重点。根据题设条件，借助a ,b ,c 之间的关系，构造a ,c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 先看例题： 例：椭圆22 221x y a b +=(a>b>0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 22 2155c e e a ==?= 规律整理： 构造齐次方程求离心率的一般方法 先列出关于a ,b ,c 的齐次方程，然后根据222 b a c ＝－消去b , 进而，方程两边同时除以a 2（a 4等，由方程的次数决定） 转化成关于e 的方程求解。 再看一个例题，加深印象 例：如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________. 联立①②可得两直线交点T 的坐标为2()(,)ac b a c a c a c +--, 则线段OT 的中点M 的坐标为()(,)2() ac b a c a c a c +--, 代入椭圆22 221x y a b +=,可得4c 2+(a +c )2=4(a －c )2,两边同时除以a 2 即得关于离心率的方程：e 2 +10e －3=0, 解之得5e =-±e ∈(0,1),∴5e =. 总结： 1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系. 2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e . 练习： 1.椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的半焦距为 c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ， 则椭圆的离心率为 ( ) A.2－22 B.22－12 C.3－1 D.2－1 2. 已知椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ,0)和 F 2(c ,0)(c >0),过点2 (,0)a E c 的直线与椭圆相交于A ,B 两点,且 F 1A ∥F 2B ,|F 1A |=2|F 2B |. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)求直线AB 的斜率; 椭圆离心率的三种求法: (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2, b2,求a, c的值，利用公式e= ￡或 a 利用e ⑵ 求椭圆的离心率时，若不能直接求得§的值，通常由已知寻求a, b, c的关系式，再与a2= b2+c2组成方程组，消去b得只含a, c的方程，再化成关于e的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a, b, c的不等式，消去 b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围. 1.若椭圆a^+ / 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F l, F2，线段F1F2被点；,0分成 5:3的两段，则此椭圆的离心率为() c+ ? .厂 解析依题意,得------ =3，.，? c= 2b, a=V b2+ c2 = gb, .. e=~j^ = ^^. 答 V5b c-2 a=\b2+ c2 = c= 2b, 点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率 2 2 2.设P是椭圆§+合=1(a>b> 0)上的一点，F i, F2是其左，右焦点.已知Z F i PF =60°,求椭圆离心率的取值范围. 分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解方法一根据椭圆的定义，有| PF i| +| PF| = 2a.① 在^ F i PF中，由余弦定理，得 。_ |PF i|2+|PF|2—|吓|21 C0S 60—2|PR||PR| — 2， 即|PE|2+ |P8|2—4C2= | PF|| PF|.② ①式平方，得|PF|2+|PFf+ 2|PF|| PF| = 4a2.③ 由②③，得| PR|| PF = 4b■.④ 3 由①和④运用基本不等式，得 | PF|| PR| < | PFl | 2 |PF2 | ，即4b< a2. C 1 2 2 2 4, 2 2、 2 由b = a —C,得3（a —C） < a,解得e= a> 2. 一、椭圆离心率的 1、运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2 c ∴有③。 题目1：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形 的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离 心率？ 解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴， PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF 1｜=b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2 ∴a 2 =5c 2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2 +b 2 求椭圆离心率举例 1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若ο ο 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 2． 椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等 于 2 1 ∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36） 3． 椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰 好过焦点，求椭圆的离心率.（ 2 1 5-） 4． 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆 的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-） 5． 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点， 如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-） 6． 如图所示，A 、B 是椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点， 且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （ 21 5-） 7． 已知直线L 过椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的 距离为 2 a ，求椭圆的离心率.（36）。 8． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且ο 6021=∠PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。?? ? ???1,21 9． 椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2 )2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 求椭圆 离心率e 的取值范围。（ 5 3 55<关于椭圆离心率专项练习(1)
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