第三章 随机过程的随机分析

2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》

3.1 均方极限
1、均方极限的定义
设{X n，n 1, 2, } H，X H ,
如果
lim E X n X 0
n
2
则称{ X n }均方收敛于X， 或称X是{ X n }的均方极限 记作
l.i.m X n X n
0
h 0
所以
l.i.m X (t0 h) X (t0 ) h0
设 X (t ) 在 t 0 处均方连续，
再证必要性
又
R(t0 h, t0 k ) E （X (t0 h)( X (t0 k )）
由均方收敛性质2得 lim R(t0 h, t0 k ) E （X (t0 )X (t0 )） R(t0 , t0 )
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定理3.3.1
设{X (t )，t T }是二阶矩过程，RX ( s, t )是其相关函数， 则RX ( s, t )广义二阶可导的充分条件是RX ( s, t )关于s和t 的一阶偏导数存在，二阶混合偏导数存在且连续； RX ( s, t )广义二阶可导的必要条件是RX ( s, t )关于s和t的 一阶偏导数存在，二阶混合偏导数存在且相等。
2、均方可导准则 定义2 广义二次可微
设f (s, t )是普通二元函数，称f (s, t )在(s, t )处二阶可导， 如果下列极限存在：
f (s h, t k ) f (s h, t ) f (s, t k ) f (s, t ) lim h0 hk k 0
而此极限称为 f ( s, t ) 在 ( s, t ) 处广义二阶导数
3.2 均方连续
1、均方连续的定义 定义3.2.1
设{X (t )，t T }是二阶矩过程，t0 T，如果 l.i.m X (t ) X (t0 )
t t0
则称{X (t )，t T }在t0处均方连续。 若t0 T， {X (t )，t T }在t处均方连续，则称 {X (t )，t T }在T 上均方连续，或称{X (t )，t T } 是均方连续的。
s (s)2 s (t s) s 2 st
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同样
当 0 t s 时，有
R(s, t ) t 2 st
因此 由于 故 注
R(s, t ) min(s, t ) st
3、均方收敛准则 定理 3.1.6 (Loeve 准则或均方收敛准则)
设{X n，n 1, 2, } H，X H，则{X n，n 1, 2, } 均方收敛的充要条件为
m n
lim E ( X m X n ) c
c ，为常数。
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2 1 2 2 1 2
2
2
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2、均方极限的性质
定理 3.1.3 ( 均方极限的运算性）
设{X n，n 1, 2, }{ ， Yn，n 1, 2, } H，X ,Y H , 且 l.i.m X n X ,l.i.m Yn Y , a, b为常数，则
D(t ) D[ X (t )] t
若0 s t ， 则相关函数
R(s, t ) E[ X (s) X (t )] E{X (s)[ X (t ) X (s) X (s)]}
E[ X 2 (s)] E[ X (s)] E[ X (t ) X (s)] 2 D[ X (s)] [m(s)] s (t s)
定理3.3.2
设{X (t )，t T }是二阶矩过程，t0 T，RX ( s, t )是其相关 函数，则{X (t )，t T }均方可导的充要条件是RX ( s, t )在 (t0 ,t0 )处广义二阶可导。
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证 由均方收敛准则知 l.i.m h0 的充要条件是
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1、均方导数的定义
若{X (t )，t T }在T中的每一点t处都均方可导，则称 {X (t )，t T }在T 上均方可导，此时{X (t )，t T }的均 方导数是一个新的二阶矩过程，记为： {X (t )，t T }， 称为{X (t )，t T }的导数过程。
推论 3.1.2
设{X n，n 1, 2, } H，X H，且 l.i.m X n X ，则对于任意有限的t，有 l.i.m e jtX n e jtX 从而 lim X n (t ) X (t ), 也就是{X n，n 1, 2, }的特征函数序列收敛于X的特征函数。
若{X (t )，t T }的导数过程{X (t )，t T }均方可导，则 称{X (t )，t T }二阶均方可导，从而{X (t )，t T }的二 阶均方导数仍是二阶矩过程，记为： {X (t )，t T }。
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l.i.m f ( X n ) f ( X )
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3、均方收敛准则 1,2,…}是二阶矩随机变量序列，
则 X n 均方收敛的充要条件为
n m
lim E X n X m 0
当 h 0, k 0 时 正是 R( s, t ) 在 (t , t ) 处广义二次可微。
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2、均方可导准则 推论 3.3.1 设{X (t )，t T }是二阶矩过程，则{X (t )，t T }均方可导
的充要条件是t T , RX (s, t )在(t,t )处广义二阶可导。
h 0 k 0
即 R( s, t ) 在 (t0 , t0 ) 连续。
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例 解
设{ X (t ) , t 0 }是具有参数为 的泊松过程，
试讨论其均方连续性。 泊松过程的均值、方差函数为
m(t ) E[ X (t )] t
2、均方极限的性质 定理 3.1.4
设{X n，n 1, 2, } H，X H，且 l.i.m X n X ，f (u )是 一确定性函数，且满足李普西兹条件，即 f (u ) - f (v) M u v 其中M 0为常数，又设{f ( X n )，n 1, 2, } H，f ( X ) H， 则
2
R( s, t ) 在（t，t）处二元连续
X (t ) 在 t 0 时均方连续。
此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不 一定是连续的。
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3.2 均方导数
1、均方导数的定义
定义 3.3.1
设{X (t )，t T }是二阶矩过程，t0 T，如果均方极限 X (t0 t ) X (t0 ) l.i.m t 0 t 存在，则称此极限为X (t )在t0处的均方导数，记为： dX (t ) X (t0 )或 。 dt t t0
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第三章 随机分析
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3.1 均方极限 称概率空间（Ω，F，P）上具有二阶矩的随机变量为
二阶矩随机变量，其全体记为H。 定理3.1.1
设X1，X 2 H，C1，C2是常数，则 C1 X 1 + C2 X 2 H 从而H 是一个线性空间。
2
证
只证必要性 因为 X n 均方收敛于X， 所以有
lim E X n X 0
n
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2
m
lim E X m X 0
2
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又由
Xn Xm Xn X Xm X
2
2
2 Xn X 2 Xm X
所以
2
2
当 n ， m 时，得
0 lim E X n X m
n m
2
2{lim E X n X lim E X m X }
2
2
0
故
n m
n
m
lim E X n X m 0
2
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推论 3.3.2 设{X (t )，t T}是二阶矩过程，t0 T，则
X (t h) X (t ) h
存在
X (t h) X (t ) X (t k ) X (t ) 存在 lim E h 0 h k k 0 而
R(t h, t k ) R(t h, t ) R(t , t k ) R(t , t ) hk
推论3.2.1
设{X (t )，t T }是二阶矩过程，t0 T，RX (s, t )是其相关函数， 则{X (t )，t T }均方连续的充要条件是t T ,RX ( s, t )在(t,t ) 处连续.
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证
h 0
(1) l.i.m （aX n bYn ) aX bY ;