信号与系统-第五章
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信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
信号与系统第5章
0 1 as s e F a a
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-13页 13页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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■
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信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页
信号与系统第5章
3）波形图表示
时间 离散
幅值 离散
5
5.1.2 基本离散信号 1．单位样值信号 又称单位样值序列
6
2．单位阶跃序列u(n) u(n) 与单位阶跃信号 u(t) 相对应，可以看成 是u(t)的抽样信号
7
3．单位斜变序列R(n) R(n)可以看成是单位斜变信号R(t)的抽样信号
4．矩形序列Gk(n) Gk(n)又称门函数序列
1 t1 1 0 t2 1
0
-1
2
-4 1 0 4
相加
-4 4 -1
-6 -4
1
0 -1 4
0
22
例2 两个离散信号相乘
不进位
23
5.2.3 信号的差分
离散信号f(n)的前向差分运算为：
当前时刻
后一时刻
离散信号f(n)的后向差分运算为：
当前时刻
之前时刻
本课主要讨论离散信号f(n)的后向差分
24
5.2.4 信号的求和 信号的求和运算是对某一离散信号进行历 史推演求和过程。f(n)的求和运算为：
k<0 左移位
k>0 右移位
27
移位前后波形或样值没有变化，即没有失真
5.2.7 信号的尺度变换 • 尺度变换： 其中a为实常数，即将原信号在时间轴上进 行压缩或扩展。 当|a|>1时，原信号被压缩。
a=2压缩
波形或样值发生变化，说明有失真
a=2
28
当0<|a|<1时，原信号被扩展。
a=0.5扩展
8
5．单边指数序列 单边指数序列一般指右边序列
（a）衰减指数序列
（b）增长指数序列
（c）单位阶跃序列
信号与系统课后习题答案第5章
全响应:
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统郑君里版第五章
系统的H（jw）为低通滤波器，不允许高频分 量通过，输出电压不能迅速变化，于是不再表现为 举行脉冲，而是以指数规律逐渐上升和下降。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
信号与系统课后习题答案第5章
代入初始条件yzi(0)=1,确定c=1,故有零输入响应:
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
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k
y(k) f (n) n
即累加后产生的序列在k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。
(5)序列反转 f (k)
f (k)
k
3 2 1 0 1 2
k
2 1 0 1 2 3
(6)序列平移
f (k)
f (k 1)
f (k 2)
k
3 2 1 0 1 2
k
2 1 0 1 2 3
右移
时不变系统
如果 f (k ) y (k )
则 f (k i) y(k i)
二. 离散时间系统的数学描述—差分方程 一个离散系统可以用差分方程来描述。
差分方程的应用主要表现在两个方面：
一方面它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；
另一方面它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。 在计
当T足够小时， y' (t) y[(k 1)T ] y(kT) T
y[(k1)T ] y(kT)
T
y(kT) f (kT)
f (kT) 简写f (k) y(kT) 简写y(k)
y[(k1)]y(k )
T
y(k) f (k)
y (k 1) (T 1) y (k ) Tf (k )
f (k)
f (k) Asin(k )
正弦序列的角频率
567 8
正弦序列可以从对连续正弦信号的抽样得到，0 1 2 3 4
k
f (k) sin t sin kT sin k tkT
有： T
角频率的单位是rad / s，而角频率的单位是rad，
表示相邻样值间弧度的变化量。
有关正弦序列f (k) Asin(k )的周期性。
（a）
f2 (k) 3 2 1 -3 -2 -1
0 1 23 k
（b）
序列的相加
f1(k) f2 (k) 3 2 1 -3 -2 -1
0 1 23 k
（c）
(2) 相乘
f1 (k )
1
• -1
0
1
23
k
（a）
f (k) f1(k) f2 (k)
f2 (k) 3 2 1 •
-1 0 1 2 3 k
P
（2）若用户总借款额为40万元，贷款期限为20年，银行每月利息为7.2％，试问 用户每月应还款多少？
例2：微分方程的离散化（微分方程的数值计算问题）
设某一连续系统的微分方程为：y'(t) y(t) f (t)
试求其对应的差分方程。
解：为离散化，令t＝kT，T为固定正数，k取整数：
y'(t) y(kT) f (kT) tkT
q(k 1)
D•
•
q(k n 1)
an1
b1
q(k) D • b0
y(k)
a1
a0
一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由 系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分 方程。
例2、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。
f (k)
y(k)
y(k 1)
D
D
y(k 2)
2
4
y(k 2) 1 y(k 1) 1 y(k) f (k)
2
4
二阶差分方程（前向差分）
讨论： 1、这两个系统没有本质区别，仅输出信号的取出端 有所不同。在相同输入下，响应形式相同，但(b)图较(a) 图输出延时两位。
2、一般因果系统用后向差分方程比较方便。
3、在状态变量分析中习惯用前向形式的差分方程。
y ( k 1)
f (k)
y(k) D•
a0
描述一阶系统的后向差分方程为 y (k ) a0 y (k 1) f (k ) 可表示为：y(k ) f (k ) a0 y(k 1)
y(k)
f (k) • D
a0
3．n阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的前向差分方程
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) f (k )
j0
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种
逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机， 1、迭代法 缺点是不能得出通式解答。
2、时域经典法
全响应＝齐次解 ＋ 特解 自由响应 强迫响应
3、全响应＝零输入响应＋零状态响应 零输入响应解的形式与齐次解形式相同，是满足齐次差分方程及零输入 初始状态的那部分解。 零状态响应解的形式与全响应形式相同，求解利用卷积和法求解。
k
4 3 2 1 0 1 2 3
左移
(7) 序列的尺度变换
序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。
y k f ak （a 1），是 f k 序列每隔 a -1点取一点形成的，即时间轴
k 压缩了 a 倍。
f (k) 1
0 123 k
f (2k) 1
..
0 123 k
yk f ak （ 0 a 1 ），是 f k 序列每两相邻序列值之间加
4、前向差分方程的求解方法与后向差分方程类似。
5.3 离散时间系统的响应
一、常系数线性差分方程的求解
一般形式
y(k) an1y(k 1) ..... a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) ....b0 f (k m)
简写成
n
ai
y(k
i)m bj
f
(k
j)
i0
这一递归关系式称为常系数差分方程， 因y(k)自k以递增方式给出，
称为前向形式的差分方程， 否则为后向形式的差分方程。
前向差分方程 y(k 2) 1 y(k 1) 1 y(k) f (k)
2
4
后向差分方程 y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
未知序列y(k)的最高序号与最低序号 之差称为差分方程式的 阶数。
■ 当正弦序列的2 不是整数时，但是有理数时，即2 N ，
m
该序列也为周期序列，周期为m 2 。
■ 当正弦序列的2 / 为无理数时，该序列为非周期序列。
f1 (k )
sin( 4
5
k),
f2 (k )
sin(
3
k),
f3 (k )
s in(2k )
判断上述正弦序列的周期性，如为周期信号，确定其周期。
f1(k )
f2 (k)
3
2 1
1 234 k
1 234 k
离散信号
数学上离散信号用数值的序列来表示，
序列f (k)与序列的第k项两者在符号上不加以区分。
都表示为f (k)，例如，离散信号
f (k) k 2
k k为整数
其函数值是一个序列f
(k
)
,
1 2
,
0,
1 2
,
下面画有 的数值是序号k 0的数值
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
可改写为 y (k n) an1 y (k n 1) a0 y(k ) f (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k n)
f (k)
D•
an1
y(k 1)
y(k)
• D•
a1 a0
4、n阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的后向差分方程
y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) f (k )
（b）
f1(k) f2 (k)
3
2
1
• -1
0
1
23
k
（c）
(3) 差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两
个序列值的变化率。定义为
前向差分： f (k) f (k 1) f (k) 后向差分： f (k) f (k) f (k 1)
(4) 累加 对离散时间信号而言，信号的累加定义为
可改写为 y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) f (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k)
f (k) • D
D
an1
a1 a0
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
y (k n) an1 y (k n 1) a0 y (k )
bm f (k m) bm1 f (k m 1) b0 f (k )
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
第五章：离散时间信号与系统的时域分析
5.1 离散时间信号及基本运算 5.2 离散时间系统 5.3 离散时间系统的响应 5.4 离散时间系统的零输入响应与零状态响应
激励是离散
响应是离散
f (k) 时间信号
离散系统
y(k) 时间信号
连续时间系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换
离散时间系统 差分方程 卷积和 Z变换 离散傅立叶变换
y(k) f (n) n
即累加后产生的序列在k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。
(5)序列反转 f (k)
f (k)
k
3 2 1 0 1 2
k
2 1 0 1 2 3
(6)序列平移
f (k)
f (k 1)
f (k 2)
k
3 2 1 0 1 2
k
2 1 0 1 2 3
右移
时不变系统
如果 f (k ) y (k )
则 f (k i) y(k i)
二. 离散时间系统的数学描述—差分方程 一个离散系统可以用差分方程来描述。
差分方程的应用主要表现在两个方面：
一方面它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；
另一方面它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。 在计
当T足够小时， y' (t) y[(k 1)T ] y(kT) T
y[(k1)T ] y(kT)
T
y(kT) f (kT)
f (kT) 简写f (k) y(kT) 简写y(k)
y[(k1)]y(k )
T
y(k) f (k)
y (k 1) (T 1) y (k ) Tf (k )
f (k)
f (k) Asin(k )
正弦序列的角频率
567 8
正弦序列可以从对连续正弦信号的抽样得到，0 1 2 3 4
k
f (k) sin t sin kT sin k tkT
有： T
角频率的单位是rad / s，而角频率的单位是rad，
表示相邻样值间弧度的变化量。
有关正弦序列f (k) Asin(k )的周期性。
（a）
f2 (k) 3 2 1 -3 -2 -1
0 1 23 k
（b）
序列的相加
f1(k) f2 (k) 3 2 1 -3 -2 -1
0 1 23 k
（c）
(2) 相乘
f1 (k )
1
• -1
0
1
23
k
（a）
f (k) f1(k) f2 (k)
f2 (k) 3 2 1 •
-1 0 1 2 3 k
P
（2）若用户总借款额为40万元，贷款期限为20年，银行每月利息为7.2％，试问 用户每月应还款多少？
例2：微分方程的离散化（微分方程的数值计算问题）
设某一连续系统的微分方程为：y'(t) y(t) f (t)
试求其对应的差分方程。
解：为离散化，令t＝kT，T为固定正数，k取整数：
y'(t) y(kT) f (kT) tkT
q(k 1)
D•
•
q(k n 1)
an1
b1
q(k) D • b0
y(k)
a1
a0
一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由 系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分 方程。
例2、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。
f (k)
y(k)
y(k 1)
D
D
y(k 2)
2
4
y(k 2) 1 y(k 1) 1 y(k) f (k)
2
4
二阶差分方程（前向差分）
讨论： 1、这两个系统没有本质区别，仅输出信号的取出端 有所不同。在相同输入下，响应形式相同，但(b)图较(a) 图输出延时两位。
2、一般因果系统用后向差分方程比较方便。
3、在状态变量分析中习惯用前向形式的差分方程。
y ( k 1)
f (k)
y(k) D•
a0
描述一阶系统的后向差分方程为 y (k ) a0 y (k 1) f (k ) 可表示为：y(k ) f (k ) a0 y(k 1)
y(k)
f (k) • D
a0
3．n阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的前向差分方程
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) f (k )
j0
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种
逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机， 1、迭代法 缺点是不能得出通式解答。
2、时域经典法
全响应＝齐次解 ＋ 特解 自由响应 强迫响应
3、全响应＝零输入响应＋零状态响应 零输入响应解的形式与齐次解形式相同，是满足齐次差分方程及零输入 初始状态的那部分解。 零状态响应解的形式与全响应形式相同，求解利用卷积和法求解。
k
4 3 2 1 0 1 2 3
左移
(7) 序列的尺度变换
序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。
y k f ak （a 1），是 f k 序列每隔 a -1点取一点形成的，即时间轴
k 压缩了 a 倍。
f (k) 1
0 123 k
f (2k) 1
..
0 123 k
yk f ak （ 0 a 1 ），是 f k 序列每两相邻序列值之间加
4、前向差分方程的求解方法与后向差分方程类似。
5.3 离散时间系统的响应
一、常系数线性差分方程的求解
一般形式
y(k) an1y(k 1) ..... a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) ....b0 f (k m)
简写成
n
ai
y(k
i)m bj
f
(k
j)
i0
这一递归关系式称为常系数差分方程， 因y(k)自k以递增方式给出，
称为前向形式的差分方程， 否则为后向形式的差分方程。
前向差分方程 y(k 2) 1 y(k 1) 1 y(k) f (k)
2
4
后向差分方程 y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
未知序列y(k)的最高序号与最低序号 之差称为差分方程式的 阶数。
■ 当正弦序列的2 不是整数时，但是有理数时，即2 N ，
m
该序列也为周期序列，周期为m 2 。
■ 当正弦序列的2 / 为无理数时，该序列为非周期序列。
f1 (k )
sin( 4
5
k),
f2 (k )
sin(
3
k),
f3 (k )
s in(2k )
判断上述正弦序列的周期性，如为周期信号，确定其周期。
f1(k )
f2 (k)
3
2 1
1 234 k
1 234 k
离散信号
数学上离散信号用数值的序列来表示，
序列f (k)与序列的第k项两者在符号上不加以区分。
都表示为f (k)，例如，离散信号
f (k) k 2
k k为整数
其函数值是一个序列f
(k
)
,
1 2
,
0,
1 2
,
下面画有 的数值是序号k 0的数值
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
可改写为 y (k n) an1 y (k n 1) a0 y(k ) f (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k n)
f (k)
D•
an1
y(k 1)
y(k)
• D•
a1 a0
4、n阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的后向差分方程
y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) f (k )
（b）
f1(k) f2 (k)
3
2
1
• -1
0
1
23
k
（c）
(3) 差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两
个序列值的变化率。定义为
前向差分： f (k) f (k 1) f (k) 后向差分： f (k) f (k) f (k 1)
(4) 累加 对离散时间信号而言，信号的累加定义为
可改写为 y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) f (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k)
f (k) • D
D
an1
a1 a0
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
y (k n) an1 y (k n 1) a0 y (k )
bm f (k m) bm1 f (k m 1) b0 f (k )
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
第五章：离散时间信号与系统的时域分析
5.1 离散时间信号及基本运算 5.2 离散时间系统 5.3 离散时间系统的响应 5.4 离散时间系统的零输入响应与零状态响应
激励是离散
响应是离散
f (k) 时间信号
离散系统
y(k) 时间信号
连续时间系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换
离散时间系统 差分方程 卷积和 Z变换 离散傅立叶变换