线面垂直的判定答案习题详细答案
线面垂直判定(解答题)
线面垂直练习1 如图1，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，AD ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，F 是AB 中点， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDD7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒ENAM// ∴AE MN//又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭ ⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
线面垂直的性质答案习题详细答案
【解析】1.选B. 若l∥α,l∥β，则α,β可能相交故A错；若
l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α， 故α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若 α⊥β,l∥α则l与β关系不确定，故D错．
2.解题流程：
线线平行 取AB的中点G，连接FG、GC，则 FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.
提示：(1)解答题1的关键是利用题中的垂直关系证得 a与l垂直
于同一个平面.
(2)解答题2的关键是在平面ABC中找一直线与直线DF平行.
线面垂直的性质的综合应用
【技法点拨】线面垂直与平行的相互转化
(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平 行可以相互转化.每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与 平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的. (2)转化关系：
5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且 AB∥CE. 求证：CE⊥平面PAD. 【证明】因为PA⊥平面ABCD,CE⊂平面ABCD, 所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CE⊥平面PAD.
2.若a,b表示直线(不重合)，α 表示平面，有下列说法： ①a⊥α ,b∥α ⇒a⊥b; ③a∥α ,a⊥b⇒b⊥α ; ②a⊥α ,a⊥b⇒b∥α ; ④a⊥α ,b⊥α ⇒a∥b.
其中正确的序号是_______.
【解析】1.选C.∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥平面α， 同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m. 2.由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中 b可能 满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交但不垂直，也可能
线面垂直判定(解答题)
1如图1，在正方体1111ABCD A B C D-中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1A O⊥平面MBD．2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，AD⊥PC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD，，于E F G，，．求证：AE SB⊥，AG SD⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，F是AB中点，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADB OC7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒EN AM //∴AE MN //又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E ⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A'E ⊥FG∴A'E ⊥BC设A'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A'D 2=A'E 2+ED 2-2•A'E •EDcos60°=3a2∴ED 2=A'D 2+A'E 2∴A'D ⊥A'E∴A'E ⊥平面A'BC10如图, 在空间四边形SABC 中, SA 平面ABC , ABC = 90, AN SB 于N , AM SC 于M 。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1D CA B7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC 平面PBC。
12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16. 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF21CD 又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36． 4.【证明】取SA的中点E，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ， 所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D 为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴.∵为直角三角形，D 为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD ⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC ，AE ⊥BC ， 直角△ABE 中，，，， 在△PEA 中，，，∴，平面ABC ⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－D B－C的平面角．利用平面几何知1，(第10题)识可得OF＝5又OE＝1，所以，tan∠EFO＝5．11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC ⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ． 又∠PDA=45°，E 为PD 的中点． ∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ． 又MN ⊥CD ，∴ MN ⊥平面PCD ．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．。
线面垂直的判定答案习题详细答案
【规范训练】(12分)如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的 直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平 面PBC.
【解题设问】(1)由PA⊥圆O所在平面会得到线线垂直，根据 是什么？_线__面__垂__直__的__定__义___. (2)欲证AE⊥平面PBC.可利用_线__面__垂__直_的__判__定__定__理_____.
∵AB⊂平面APB③， ∴PC⊥AB.……………………………………………………5分 连接CH，∵H为△ABC的垂心， ∴CH⊥AB，…………………………………………………7分 ∵PC∩CH=C①，PC⊂平面PHC,CH⊂平面PHC②， ∴AB⊥平面PHC，PH⊂平面PHC③， ∴AB⊥PH.…………………………………………………9分 同理可证PH⊥BC.…………………………………………10分 ∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC=B①， ∴PH⊥平面ABC.……………………………………………12分
3.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则直线l与平面α 的位置关系是______.
3.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则直线l与平面α 的位置关系是______. 【解析】由线面垂直的定义可知，直线l垂直于平面α. 答案：垂直
1.关于直线与平面垂直的定义的理解 (1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线” 是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
1.直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的__任__意__一__条__直线都垂直，则直 线l与平面α互相垂直.记作__l⊥__α__. (2)相关概念：直线l叫做平面α的__垂__线__.平面α叫做直线l 的__垂_面___.直线与平面垂直时，它们唯一的公通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂 直，如图.
线面垂直判定定理测试题(含答案)
线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1， 则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。
直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义及答案)
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义）＞知识点睛一、直线与平面垂直（线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ______________ .(Jb/ /■* b丄a.其他性质：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面•二、平面与平面垂直（面面垂直）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内线与另一个平面垂直.其他性质：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面；如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面.的直2 2精讲精练已知直线/垂直于直线AB 和AC.直线W 垂直于直线BC 和 AC.则直线/, /«的位置关系是（ ）A.平行B.异面 C •相交 m n 和平面6 0,能得出a 丄戶的一组条件是（ .in//a^n//Par\p=in^ rtuan 邛、inca> /»丄0, «丄戶若川，心/是互不重合的直线，g 緘7是互不重合的平面， 给出下列命题：① 若a 丄0, «门0二川，② 若ct 〃0, a n y=zz/»③ 若m 不垂直于<z,④ 若《门0二"f,加〃“，且"E Q , «妙，则n//a 且《〃0；⑤ 若《门0二加，n y=n » aPl 尸/,且ct 丄0, a 丄y, 0丄y,贝J w 丄川丄/, «丄人其中正确命题的序号是 _________________ •边长为a对于直线, A. in//n, B- 川丄心 C. m//D- m//川丄心则《丄《或《丄0：0n 尸小则加〃”； 则加不可能垂直于a 内的无数条直线;D ・垂直A. C 6C. --- a D ・aD的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕， 把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出 下列四个结论：① BD 丄AC^② 是等边三角形；③ 三棱锥DMBC 是正三棱锥;④ 平面ADC 丄平面ABC.其中正确的是（如图，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中， 则C,在底面ABC 上的射影H必在（）A.直线AB 上C.直线AC 上 已知直二面角0[-/-〃，点AEa. AC ■丄/,垂足为点C,点医0, BD 丄h 垂足为点D,若AB=2. AC=BD=i ,则CD 的长为3 CD. 1A.①②④B.①②③C.②③④ D-①③④ZBqC=90。
线面垂直及应用(习题及答案)
线面垂直及应用（习题）➢例题示范例1：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=1，则点C 到平面ABC1 的距离为（）A.42 6B.3C.217D.2 37思路分析：思路一：观察特征，考虑采用构造垂面法，取AB 的中点E ，易证平面C1CE⊥平面ABC1，过点C 作CF⊥C1E，则CF 的长即为所求距离，接着在直角三角形中研究边角关系，求解．思路二：采用等体积法，VC -ABC =VC -ABC，建立等式，求解．1 1解题过程：方法一：如图，取AB 的中点E，连接CE，C1E，过点C 作CF⊥C1E 于点F．在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB⊥CE，又CE CC1=C，∴AB⊥平面CC1E，∴平面C1CE⊥平面ABC1，∴CF⊥平面ABC1，则CF 的长即为所求距离．在Rt△CEC1 中，CC1=1，CE = 3AB =3，∴C1E =2 2 =7．2由等面积得，CF =CC1 ⨯CE=C1E21，7即点C 到平面ABC1 的距离为21．71CC12 +CE 22 1 37方法二：在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，AB=BC=AC=CC1=1，易得AC1=BC1=，S△ ABC =4，在△ABC1 中，AC1=BC1= ，AB=1，∴ S△ ABC =4，∵VC -A BC=V C -ABC ，设点 C 到平面ABC1 的距离为d，1 1则1⨯7⨯d =1⨯3⨯1 ，解得d =21．3 4 3 4 7例2：如图，∠BAC 在平面α内，点P 在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别为E，F，O，且PE=PF，求证：∠BAO=∠CAO．思路分析：根据特征，有线面垂直、平面的斜线与平面内直线垂直，根据三垂线定理的逆定理处理．解题过程：∵PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴Rt△PAE≌Rt△PAF，∴AE=AF，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠BAO=∠CAO．2232 3323➢巩固练习1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，则点C 到平面PBD 的距离为（）A.B．C．D．1第1 题图第2 题图2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=2，AD=4，则点A 到平面PCD 的距离为（）A.63B.2C．26D．233.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2，PA=AB=1，则点D 到平面PBC 的距离为（）A.22B.1C．12 3D．33第3 题图第4 题图4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E 是BC 的中点，则点B1 到平面AEC1 的距离为（）A.B．4 3C．3D．623665.下列命题：①若a 是平面α的斜线，直线b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b；②若a 是平面α的斜线，平面β内的直线b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b；③若a 是平面α的斜线，直线b⊂α且b 垂直于a 在另一平面β内的射影，则a⊥b；④若a 是平面α的斜线，直线b∥α且b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个6.如图，PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．PA⊥BD7.如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线l⊥平面MNP 的图形是（）①②③④A．①④B．①②C．②④D．①③48.直接利用三垂线定理证明下列各题：（1）已知：PA⊥正方形ABCD 所在平面，O 是BD 的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD．（2）已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M 是BC 的中点，求证：BC⊥AM．59.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=BC=a，AA1 2a ，D，E，M 分别为棱AB，BC，AA1的中点．（1）求证：A1B1⊥C1D；（2）求点C 到平面MDE 的距离．10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=4，AC=AA1=2，∠ACB=90°．（1）求证：A1C⊥B1C1；（2）求点B1 到平面A1BC 的距离．62 【参考答案】 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.A 7.A 8. 证明略．9. （1）证明略； （2）点 C 到平面 MDE 的距离为 6a ．610. （1）证明略；（2）点 B 1 到平面 A 1BC 的距离为 ．7。
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【解题设问】(1)由PA⊥圆O所在平面会得到线线垂直，根据
线面垂直的定义 . 是什么？________________ 线面垂直的判定定理 . (2)欲证AE⊥平面PBC.可利用_____________________
【规范答题】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 ∵AC⊥BC,AC∩PA=A， ∴BC⊥平面PAC. AE⊂平面PAC，„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∴BC⊥AE.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 又∵PC⊥AE，BC∩PC=C，„„„„„„„„„„„„„10分 PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边的位置关系是( (A)平行 ) (B)垂直
(C)相交不垂直
(D)不确定
2.直线a与b垂直，b⊥平面α ，则a与平面α 的位置关系是(
(A)a∥α (B)a⊥α
)
(C)a⊂α
(3)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂 直，如图.
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)语言表述
相交直线 条件：直线垂直于平面内的两条__________. 垂直 结论:直线与此平面______. (2)符号表述： l⊥a l⊥b a⊂α ,b⊂α _____________ a∩b=P ________ ⇒l⊥α .
PO⊥平面ABC于O，连接OA，OB，OC.求证：AC⊥平面PBO.
【证明】∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC.
又∵PA⊥BC，PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO.
又∵OA⊂平面PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心. ∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.又∵PO∩OB=O,PO,OB均在平面PBO内， ∴AC⊥平面PBO.
【解题指导】
【规范解答】如图所示，
∵PC⊥AP，PC⊥BP，
AP∩BP=P
①，AP⊂平面APB，BP⊂平面APB②，
∴PC⊥平面APB.„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
∵AB⊂平面APB③，
∴PC⊥AB.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 连接CH，∵H为△ABC的垂心， ∴CH⊥AB，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ∵PC∩CH=C①，PC⊂平面PHC,CH⊂平面PHC②，
连接BD,在Rt△ABC中，则AD=DC=BD，
∴△ADS≌△BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD=D, ∴SD⊥平面ABC. 答案：垂直.
线面垂直的判定
【技法点拨】
1.利用线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论.
(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂 直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂 直时经常使用的一种重要方法. (4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形
的横边垂直，符号语言表述为l⊥α .
线面垂直的判定定理的理解 【技法点拨】正确把握线面垂直的判定定理 (1)记法及意义：“线线垂直，则线面垂直”中“线线”指一 条直线和平面内的两相交直线；“线面”指这条直线和两相交 直线所在的平面.
(2)成立的条件：直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线
与两相交直线有无公共点均可.
【典例训练】
1.下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α 内的一条直线垂直，则l⊥α .
②若直线l与平面α 内的两条直线垂直，则l⊥α . ③若直线l与平面α 内的两条相交直线垂直，则l⊥α . ④若直线l与平面α 内的任意一条直线垂直，则l⊥α . (A)4 (B)2 (C)3 (D)1
平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线
MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
2.∵AA1⊥底面ABC,
平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°， ∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B, ∴A1C1⊥AD.
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3.如果直线l与平面α 内的所有直线都垂直，则直线l与平面α 的位置关系是______.
3.如果直线l与平面α 内的所有直线都垂直，则直线l与平面α 的位置关系是______. 【解析】由线面垂直的定义可知，直线l垂直于平面α. 答案：垂直
1.关于直线与平面垂直的定义的理解 (1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线” 是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
1.直线与平面垂直 任意一条 直线都垂直，则直 (1)定义：若直线l与平面α 内的__________ l⊥ α 线l与平面α 互相垂直.记作______. 垂线 平面α 叫做直线l (2)相关概念：直线l叫做平面α 的______. 垂足 垂面 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做_____. 的______.
2.解决线面垂直的常用方法
(1)利用勾股定理的逆定理.
(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线.
(3)利用线面垂直的定义. (4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.
【典例训练】 1.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置
关系是(
)
(A)平行 (C)垂直但不相交
∴AB⊥平面PHC，PH⊂平面PHC③，
∴AB⊥PH.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 同理可证PH⊥BC.„„„„„„„„„„„„„„„„10分 ∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC=B①， ∴PH⊥平面ABC.„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
【规范训练】(12分)如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的 直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平 面PBC.
(B)垂直相交 (D)相交但不垂直
2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC， AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1的中点. 求证：AD⊥平面A1DC1
【解析】1.选C.连接AC,因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥
平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂
况，后者只需说明直线与平面内的两条相交直线的情况就可以
了.
(2)在证明出所要证的直线与平面内的两条直线垂直后，易忽
略说明这两条直线是相交直线.
【规范解答】证明线面垂直
【典例】(12分)如图，已知P是△ABC所在平面外一点， PA,PB,PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心. 求证：PH⊥平面ABC.
其垂直于三角形所在平面，从而垂直于第三边.
2.【解析】选D.a与b垂直，b⊥平面α ，则a⊂α 或 a∥α .
3.【解析】选C.①中n⊂α或n∥α,不正确；②中，两直线可以
平行，也可以异面，故不正确；③中，n∥α或n⊂α，故不正
确,所以选C.
5.如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB.过P作
1.若直线l与平面α 内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l
与平面α 垂直？
1.若直线l与平面α 内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l
与平面α 垂直？
提示：不一定.如果这无数条直线是一组平行线，就得不出垂
直.
2.若直线m∥直线n,且直线m⊥平面α ,能否推出直线n⊥平面α ? .
2.若直线m∥直线n,且直线m⊥平面α ,能否推出直线n⊥平面α ? 提示:能.任取直线a⊂α,b⊂α,a∩b=P，又直线m⊥平面α,所以 m⊥a,m⊥b，又直线m∥直线n,所以n⊥a,n⊥b,于是得直线n⊥平 面α.
(D)a⊂α 或a∥α
3.已知两条直线m,n，两个平面α ,β ，给出下面四种说法： ①m⊥n,m⊥α ⇒n⊥α ； ②α ∥β ,m⊂α ,n⊂β ⇒m∥n； ③m∥n,m∥α ⇒n∥α ； ④α ∥β ,m∥n,m⊥α ⇒n⊥β .
其中正确的序号是(
(A)①③ (B)②
)
(C)④ (D)②③
1.【解析】选B.一条直线和三角形的两边同时垂直，则
由已知计算得AD= 2 ,A1D= 2 ,AA1=2.
∴AD2+A1D2=AA12,
∴A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D=A1, ∴AD⊥平面A1DC1.
【思考】(1)判定线面垂直的依据主要有哪些？
(2)利用线面垂直的判定定理时易出现哪方面的失误？
提示：(1)直线与平面垂直的定义以及判定定理都是判断直线 与平面垂直的依据，但前者要说明直线与平面内所有直线的情
直线与平面垂直的判定
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1.了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程.
2.理解线面垂直的定义以及判定定理.
3.能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直.
1.本节课的重点是掌握线面垂直的定义以及判定定理、线面角
的概念，并能正确运用.
2.本节课的难点是判定定理和线面角的理解以及应用.
2.如图所示：
直角△ABC所在的平面外一点S，SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. 则直线SD与平面ABC的位置关系为______.
【解析】1.选B.对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线
与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误 的，③④是正确的. 2.∵SA=SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC.