第1章-质点运动学
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
第1章质点运动学讲解
第1章 质点运动学一、基本要求1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义；2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程；3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。
二、基本内容（一）本章重点和难点重点：掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。
难点：将矢量运算方法及微积分运算方法应用于运动学解题。
（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示）（二）知识网络结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧相对运动总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移位矢基本物理量,,,,:)(,,（三）基本概念和规律1．质点的位矢、位移、运动方程（1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r)()()()(++=（描述质点运动的空间位置与时间的关系式）（2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= （3）位移（r ∆）：k z j y i x r ∆+∆+∆=∆（注意位移r ∆和路程s ∆的区别，一般情况下：S r ∆≠∆ ，r r r∆∆≠∆或； 位移大小：()()222)(z y x r ∆+∆+∆=∆；径向增量：21212122222212z y x z y x r r r r ++-++=-=∆=∆（4）参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x（5）轨迹方程：从参数方程中消去t ，得：0),,(=z y x F 2．速度和加速度 直角坐标系中（1）速度（v）：k dt dz j dt dy i dt dx dt r d v++==（2）平均速度（v）：tr v ∆∆=（3）加速度（a ）：k dt z d j dty d i dt x d dt r d dt v d a22222222++===（4）平均加速度（a）：tv a ∆∆=（注意速度和速率的区别：dt rd v =，但一般情况下dtdr dt r d ≠） 3．曲线运动描述质点的曲线运动，常采用自然坐标系（由切向和法向组成），在自然坐标系中，质点的（线）速度和加速度为：（1）速度：t t e dtds e v v== （2）加速度：n n t t n t e a e a a a a+=+= 其中：切向加速度（t a ）t t e dtdv a=，量度速度量值的变化； 法向加速度（n a ）n n e v aρ2=，量度速度方向的变化，ρ为曲率半径。
大学物理第1章质点运动学ppt课件
大学物理第1章质点运动学ppt课件•质点运动学基本概念•直线运动中质点运动规律•曲线运动中质点运动规律•相对运动中质点运动规律目录•质点运动学在日常生活和工程技术中应用•总结回顾与拓展延伸质点运动学基本概念01质点定义及其意义质点定义用来代替物体的有质量的点，是一个理想化模型。
质点意义突出物体具有质量这一要素，忽略物体的大小和形状等次要因素，使问题得到简化。
参考系与坐标系选择参考系定义为了研究物体的运动而选作标准的物体或物体系。
坐标系选择为了定量描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系等。
位置矢量与位移矢量位置矢量定义从坐标原点指向质点的矢量，用r表示。
位移矢量定义质点从初位置指向末位置的有向线段，用Δr表示。
质点在某时刻的位置矢量对时间的变化率，即单位时间内质点位移的矢量，用v 表示。
速度定义加速度定义速度与加速度关系质点在某时刻的速度矢量对时间的变化率，即单位时间内质点速度的变化量，用a 表示。
加速度是速度变化的原因，速度变化快慢与加速度大小成正比，方向与加速度方向相同。
速度加速度定义及关系直线运动中质点运动02规律匀速直线运动特点及应用特点质点在直线运动中，速度大小和方向均保持不变。
应用描述物体在不受外力或所受合外力为零的情况下的运动状态。
匀变速直线运动规律探究定义质点在直线运动中，加速度大小和方向均保持不变。
运动学公式包括速度公式、位移公式和速度位移关系式，用于描述匀变速直线运动的基本规律。
定义物体在重力的作用下从静止开始下落的运动。
运动学公式包括位移公式、速度公式和速度位移关系式，用于描述自由落体运动的基本规律。
运动特点初速度为零，加速度为重力加速度，方向竖直向下。
自由落体运动分析竖直上抛运动过程剖析定义物体以一定的初速度竖直向上抛出，仅在重力作用下的运动。
运动特点具有竖直向上的初速度，加速度为重力加速度，方向竖直向下。
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第1章 质点运动学1.1 选择题1、 (1)根据瞬时速度矢量v 的定义，及其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小v可表示为[BDFH ](A)dt dr (B)dt r d(C)dtds (D)ds dt (E)dt dzdt dy dt dx ++ (F)dx dy dz i j k dt dt dt ++ (G)222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dz dt dy dt dx (H)21222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dz dt dy dt dx(2)根据瞬时加速度矢量a 的定义，及其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小a可表示为[ACGH](A)dt v d(B)dt dv(C)22dt r d (D)22dt r d (E)22dt s d (F)222222dt z d dt y d dt x d ++(G)21222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dv v ρ (H)2122222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dt s d v ρ(3)以下说法中，正确的是[BCDF](A)质点具有恒定的速度，但仍可能具有变化的速率 (B)质点具有恒定的速率，但仍可能具有变化的速度(C)质点加速度方向恒定，但速度方向仍可能在不断变化着 (D)质点速度方向恒定，但加速度方向仍可能在不断变化着(E)某时刻质点加速度的值很大，则该时刻质点速度的值也必定很大(F)质点作曲线运动时，其法向加速度一般并不为零，但也有可能在某时刻法向加速度为零 (4)D(5)质点以速度24t v +=m/s 作直线运动，沿质点运动直线作Ox 轴，并已知3=t s 时质点位于=x 9m 处，则该质点的运动学方程为[C] (A) t x 2=(B) 2214t t x += (C) 123143-+=t t x(D) 123143++=t t x1.2 填空题(1)该时刻质点的瞬时加速度；从t 1到t 3时间质点的平均加速度；4t vdt ⎰；4t v dt ⎰(2)圆周运动；匀速率曲线运动 (3)(4) dvdt ；()21t t v t dt ⎰；()21t t v t dt ⎰1.7 一质点的运动学方程为2x t =，()21y t =-，x ，y 的单位均为m ，t 以s 为单位，试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在t =2s 时，质点的速度v 和加速度a(1)由运动学方程消去时间t 可得质点的轨迹方程，将t =代入有)21y =1=(2)对运动学方程微分求速度和加速度，即x dx v dt =2t =; y dy v dt=()21t =-; x y v v v =+()221ti t j =+- xx dv a dt=2=; y y dv a dt =2=; x y a a a =+22i j =+当t=2s 时，代入即可42v i j =+m/s; 22a i j =+ m/s 21.8第一类运动学问题：已知运动学方程，求v ，a已知一质点运动方程()j t i t r 222-+=，其中r 、t 分别以m 和s 为单位，试求：(1)1=t s 到2=t s 质点的位移；(2)2=t s 时，质点的v ，a； (3)质点的轨迹方程;(4)在Oxy 平面画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出t =2s 时，质点的位矢r 、速度v和加速度a 。
解：(1)j i r +=21，j i r 242-=，j i r r r3212-=-=∆(2)dt r d v =，dtv d a =；j t i v22-=，j a 2-=；2=t s 时，j i v 42-= m/s ，j a2-= m/s 2(3)j y i x r +=；t x 2=，22t y -=；轨迹方程为422x y -=(4)10520151054321第二类运动学问题：已知加速度和初始条件，求v ，r已知质点运动的j a16=，0=t 时，i v 60=，k r 80=求质点的速度v ，运动方程r解：dt v d a =，j a 16=；v d dt a=，⎰⎰=v v t v d dt a00，⎰⎰=v v t v d dt j 0016j t v v 160=-，可得j t i v166+=dtr d v =，j t i v 166+=；r d dt v=，⎰⎰=rr v v r d dtv 00，()⎰⎰=+r r v v r d dt j t i0166 j t i t r r 2086+=-，可得k j t i t r 8862++=1.10 一质点沿一直线运动，其加速度为a = -2x ，式中x 的单位为m ，a 的单位为m/s 2，试求该质点的速度v 与位置坐标x 之间的关系。
设当x =0时，v 0=4m/s 。
dv a dt =2dvdx dvv x dt dx dx===-；002v xv vdv xdx =-⎰⎰v =1.12 一质点沿半径R =1m 的圆周运动。
t =0时，质点位于A 点，如图。
然后沿顺时针方向运动，运动学方程为2s t t ππ=+，其中s 的单位为m ，t 的单位为s ，试求：(1)质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2)质点在第1s 末的速度和加速度的大小。
(1)质点绕行一周所经历的路程为圆周的周长，即2s R π∆==6.28m 由位移和平均速度的定义，可知此时位移为零，平均速度也为零，即0r ∆=，0rv t∆==∆令()()202t s s s t t R πππ∆=-=+=，可得质点绕行一周所需时间1t ∆=s ，平均速率为2s Rv t tπ∆==∆∆=6.28m/s 上述结果可知路程与位移，速度与速率是不相同的。
(2) t 时刻质点的速度和加速度大小为dsv dt=2t ππ=+ n a a a τ=+2v dv n R dt τ=+222v d sn R dtτ=+故而2a R dt =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，t=1s 时代入即可 v =9.42 m/s.；a =89.0 m/s 2.1.14 一质点按规律322s t t =+在圆轨道上运动，s 为沿圆弧的自然坐标，以m 为单位，t以s 为单位，如果当t=2s 时总加速度为2，求此圆弧的半径。
质点做圆周运动，由自然坐标系下的运动方程可得质点运动速率大小234dsv t t dt==+ 切向和法向加速度大小为n a a a τ=+2v dv n R dt τ=+222v d sn R dtτ=+64dva t dtτ==+；()22234n t t v a R R+==当t=2s 时，v=20 m/s.，16a τ= m/s 2.；400n a R=a ==R =25m1.15 一质点作半径为0.1m 的圆周运动，已知运动学方程为342t +=θ，求： (1)当2=t s 时，质点运动的加速度a的大小； (2)当?=θ时，质点的加速度与半径成45角？ 提示：22τa a a n +=解：(1)2ωr a n =，dt d θω=，2⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt d r a n θr t 4144=βτr a =，22dt d θβ=，22dtd r a θτ=tr 24=22τa a a n +==230.5(m/s 2)(2)a与n a 成45 角，即τa a n =，则t t 241444=，55.0=t s可得342t +=θ=2.67(rad)1.19 一质点运动学方程为2x t =，()21y t =-，x ，y 的单位均为m ，t 以s 为单位。
(1)试写出质点的轨迹方程，并在Oxy 平面示意地画出轨迹曲线； (2)质点的速度何时取极小值?(3)试求当速度大小等于10m/s 时，质点的位置坐标； (4)试求t 时刻质点的切向加速度和法向加速度的大小。
(1) 由运动学方程消去时间t可得质点的轨迹方程，将t =代入有)21y =1=(抛物线)211.00.80.60.40.21(2) t 时刻质点的速度为 x dx v dt =2t =; y dy v dt=()21t =-; x y v v v =+()221ti t j =+- 速度大小为v ==令0dvdt=，可知xx dv a dt=2=; y y dv a dt =2=; x y a a a =+22i j =+(3) 令()()2222221x y v v v t t =+=+-⎡⎤⎣⎦=10，得到t =4s ，代入运动学方程2x t ==16m ，()21y t =-=9m ，即坐标为(16，9)m(4) xx dv a dt =2=; y y dv a dt =2=; x y a a a =+22i j =+n a a a τ=+2v dv n R dt τ=+222v d sn R dtτ=+dv a dt τ=()()22221d t t dt=+-⎡⎤⎣⎦()222211t t t -=+-22n a a a τ=+且22x y a a a =+()()222222221221n t a t t ⎛⎫-⎪+=+ ⎪+-⎝⎭因此，法向加速度()221n a t t =+-。