线性方程组(克莱姆法则)
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则
按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数 余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列 互换，有 所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线 性 代 数
(第二版)
第五节 克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则 定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
用克莱姆法则解线性方程组
用克莱姆法则解线性方程组
克莱姆法则(Cramer's rule)是一种用来求解线性方程组的方法，它可以用来求解n 元线性方程组。
假设有n元线性方程组Ax = b,其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
克莱姆法则的基本步骤是:
求出系数矩阵A的行列式值。
从A中删去第i列，用b中的第i个元素来代替原来的第i列，这样得到一个新矩阵Ai。
求出Ai的行列式值。
计算x的第i个元素为Ai的行列式值除以A的行列式值。
需要注意的是，克莱姆法则的求解结果只有在行列式的值不为零时才有意义。
克莱姆法则的优点是可以在不使用矩阵逆的情况下求解线性方程组，并且对于小型线性方程组具有较高的精度。
然而，克莱姆法则对于大型线性方程组的求解效率较低，并且容易出现数值误差。
总之，克莱姆法则是一种用来求解线性方程组的方法，但是它的应用范围有限，对于大型线性方程组效率较低，并且容易出现数值误差。
在实际应用中需要根据线性方程组的规模和要求来选择合适的求解方法。
需要注意的是，当矩阵的行列式值为0时，克莱姆法则就不能使用了。
这种情况下就需要使用其他的方法来求解线性方程组，比如高斯消元法或者矩阵的逆。
总的来说，克莱姆法则是一种有效的求解线性方程组的方法，但是由于它的应用
范围有限，在实际应用中需要考虑使用其他的方法来求解线性方程组。
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆法则解方程组解法
克莱姆法则是一种用于解线性方程组的方法，它基于行列式的性质。下面是使用克莱姆法 则解方程组的步骤：
1. 给定一个线性方程组，假设有n个未知数和n个方程。
2. 将方程组的系数矩阵记为A，常数矩阵记为B。
3. 计算系数矩阵A的行列式，记为|A|。
4. 对于每个未知数Xi，将系数矩阵A中第i列替换为常数矩阵B的列，得到新的矩阵Ai。
克莱姆法则解方程组解法
此外，克莱姆法则的计算复杂度较高，特别Байду номын сангаас对于大型的方程组来说，计算行列式和替换 矩阵的操作都需要较大的计算量。因此，在实际应用中，通常会使用更高效的解方程组的方 法，如高斯消元法或矩阵求逆等。
克莱姆法则解方程组解法
5. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|。
6. 使用克莱姆法则的公式，解出每个未知数的值：Xi = |Ai| / |A|。
7. 重复步骤6，依次解出所有未知数的值。
需要注意的是，克莱姆法则只适用于方程组的系数矩阵满足非奇异（可逆）的条件，即 |A| ≠ 0。如果方程组的系数矩阵是奇异的，即|A| = 0，那么克莱姆法则无法使用。
克莱姆(Cramer)法则
0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
det Bn
a21 M
a22 M
...
b2 M
x1
det B1 det A
x2
det B2 det A
...
xn
det Bn det A
an1 an2 ... bn 两个条件: 三个结论:
证
将方程组
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
... ... M
a1n
a2n b1 A12 b2 A22 ... bn An2
M
a11 a12 ... a1n
an1 bn an3 ... ann
a21 a22 ... a2n
a11
det
Bn
a21 M
a12 a22 M
... b1 ... b2
MM an1 an2 ...
M b1 A1n b2 A2n ... bn Ann
an1
an2 ...
ann
xn
bn
A
AX B
X A1B 从而 解存在唯一.
X A1B 是方程组( 2.1 )的唯一解.
ax a x ... an xn b a11 a12 ... a1n x b
未知量的个数 方程的个数
的方程组.
a22
a12
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
a21
a11
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(a11a22a12a21) x1 b1a22b2a12 (a11a22a12a21) x2 b2a11 b1a21
2) 解的求法 ( 怎样求解？)
3) 解的个数 ( 有多少个解？)
4) 解的结构 ( 解与解之间的关系 )
基本概念：
a11xc1 a12 xc2 L a1n xcnn b1
对于方程组
a21 xc11 a22cx22 L
M
a2n xcnn b2
449
1 11
11 1 D2 1 2 3
D3 1 2 2 1 44
(2 1)(2 1)(2 2) 12
(2
14
1)(3
9
1)(3
2)
2
方程组的唯一解为：
x1
20 30
x2
2 30
x3
12 30
a x a x
a41 a42 a43 a44
a41 a42 a43 a44
定理2.1(克莱姆法则)
线性方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
... M
a2n
xn
b2
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
当det A 0时, 方程组(2.1)有唯一解 X A1B 即
x1
x2
M
A11
1
A12
A
A21 ... A22 ...
An1 An2
b
b
M
1 det
A
A11b1 A12b1
A21b2 A22b2
b3
a12
a33 a13
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a11
a21
x3
a31 a11
a21
a31
a12 b1 a22 b2 a32 b3
a12 a13 a22 a23 a32 a33
四元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1
即当 a11
a21
a12 ≠0 时
a22
当 a11a22a12a21 0 时， 方程组有唯一解：
x1
b1a22 b2a12 a11a22 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
b1 a12
x1
b2 a11
a22 a12
a21 a22
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4
a1b11 aa1122 ab131 a14
a11 ab112 aa1133 ba114
ab212 aa2222 ab223 a24
a21 ab222 aa2233 ba224
ab313 aa3322 ab333 a34
(2.1)
a11 a12 ... a1n
当其系数行列式
det A
a21 a22 MM
...
a2n ≠0时,
M
an1 an2 ... ann
有且仅有唯一解
x1
det B1 det A
x2
det B2 det A
...
xn
det Bn det A
其中det B12j是将系数行列式detA中第 12j 列元素 对应 地换为方程组的常数项 b1,b2,...,bn 后得到的行列式.
方程组的全体解构成的集合，称为方程组的解集.
设有两个 n 元线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
L M
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
(Ⅰ)
c11 x1 c12 x2 L c1n xn d1
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
方程组有唯一解：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1
a21 x1 a22 x2 a13 x3 a24 x4 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3
a11
x2
a21 a11
b1
b2 det B2
a12 det A
a21 a22
a21 a22
这一结果可以推广到一般的含有n个未知量 n个方程的线性方程组.
三元线性方程组
a11 a12 a13
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a
x
a x
... M
an xn
b
anx an x ... ann xn bn
a21
a22
MM an1 an2
... ...
a2n
x
b
M M M
ann
xn
bn
an1
an2
...
ann
xn
bn
A
X
B
即 AX B A是n阶方阵.
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
由于 det A
a21 x1
a22
x2
... M
a2n
xn
b2(det A
...
xn
det Bn det A
证毕
b1 a12 ... a1n
det B1 b2 a22 ... a2n b1 A11 b2 A21 ... bn An1
MM
M
bn an2 ... ann
a11
det
B2
a21 M
b1 a13 b2 a23 MM
... ...
a21
x1
a22
x2
a13 x3
a24
x4
b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4
a11 a12 a13 a14
当 det A a21 a22 a23 a24 0 时,
a31 ab332 aa3333 ba334
xx31
ab414
a11
aa4422 a12
ab443
a13
a44 a14
xx42
a41 ab442 aa4433 ba444
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a1n xn a2n xn
b1 b2
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
表为矩阵形式
( 2.1)
a11 a12 ... a1n x1 b1
a21
a22
...