7.6用锐角三角函数解决问题(仰角、俯角问题)
7.6用锐角三角函数解决问题(3)
7.6锐角三角函数解决问题(3)学习目标：1.掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、角有关的实际问题，培养学生。
2.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.教学流程提纲1.仰角、俯角的定义：如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是俯角，∠2就是仰角。
2.课本例题讲解3.课本练习4.拓展例题如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离．变式：如上图，飞机在一定高度上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行10km后，在B处测得该小岛的俯角为60°,求飞机的飞行高度。
本节课2个目标你达成个？分别是：7.6锐角三角函数解决问题(3)过关检测1.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30º，看这栋高楼底部C处的俯角为60º，若热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋高楼有多高？（结果保留整数，2≈1.414，3≈1.732）2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．3.据黄石地理资料记载：东方山海拔DE＝453.20米，月亮山海拔CF＝442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图，已知tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0．1秒）。
视线与水平线的夹角叫做仰角
——仰角俯角
平望二中 徐丽美
怎样测学设计了这样一个方案： 先在地面上距塔底B的适当地方， 比如100米的A处，架一个测角 仪，如测角仪高1.52米，那么 从C点可测出∠ECD=27°此时 CD⊥BE, 显然DE＋BD即为铁 塔的高。
27°
C
D
sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89, tan 27°≈0.51
.
例题1:如图，AB和CD是同一地面上的两座相距 36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼 顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼 CD的高。
C
A 45° 30°
36
B
D
例题2：在山顶上点D处有一铁塔，在塔顶B 处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底D 测得点A的俯角β=45°，已知塔高为30米，求 山高CD。
B α
D β
C
A
1.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔 顶A的仰角为30°，前进 20米到D处， 又测得塔顶A的仰角为60°. 求塔高AB.
A
30°
60°
C
D
B
2.如图，在山脚C处测得山顶A的仰角为 45°，沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高 AB。
1.52米
B
100米
A
视线 铅
仰角
垂O
俯角
水平线
线 视线
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 的夹角叫做仰角；
当从高处观测低处的目标时, 视线与水平线 的夹角叫做俯角。
如图，在地面上距塔底B的100米的A 处，架一个测角仪，测角仪高1.52米， 从C点测得仰角∠ECD=27°，求铁 塔的高度。（精确到1米）
九下数学课件仰角、俯角和方向角有关的问题(课件)
(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93) A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
题型一 仰角、俯角问题
解：过点E作EF⊥CD于点F，过点E作EM⊥AC于点M，如图． ∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1:2.4，∴设EF＝x米，则DF＝2.4x米． 在Rt△DEF中，DE＝78米，∵EF2＋DF2＝DE2，∴x2＋(2.4x)2＝782， 解得x＝30(负值舍去)，∴EF＝30米，DF＝72米．∴CF＝DF＋DC＝72＋78＝150(米)． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形．∴EM＝CF＝150米， CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°， ∴AM＝EM·tan 43°≈150×0.93＝139.5(米)， ∴AC＝AM＋CM≈139.5＋30＝169.5(米)． ∴AB＝AC－BC≈169.5－144.5＝25(米)． 故选D.
为50°，则建筑物AB的高度约为( D )
(参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；tan 50°≈1.19) A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
题型一 仰角、俯角问题
【变式2】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操
作：
①在点C处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角∠ACE＝α； ②量得测角仪的高度CD＝a；
题型一 仰角、俯角问题
【变式4】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的
俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__________米(结果保留根
§7.6用三角函数解决实际问题3--仰角俯角
l.78m
参考数据： sin78°≈0.98 cos78°≈0.21 tan78°≈4.70
P C
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
合作与探究
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底 部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
A
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O B
合作与探究
意犹未尽
5、一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的 俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线， CD＝200米，求塔高AB？
A
C
D
B
D′
6、有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60 米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三 角形场地的面积．
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45°.已知调整后的楼梯 比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
B
A
合作与探究
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上 方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大 桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °， 求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30°和45°，求飞机的高度PO .
九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题
7.6用锐角三角函数解决问题同步习题一．选择题1．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（）m．A．40B．45C．30+D．302．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大3．如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD ＝2CD，设斜坡AC的坡度为i AC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为i AB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（）A．i AC＝2i AB B．∠ACD＝2∠ABD C．2i AC＝i AB D．2∠ACD＝∠ABD 4．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE 平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A．11.1米B．11.8米C．12.0米D．12.6米5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣56．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB ＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．2.7B．3.4C．2.5D．3.17．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（）A．3米B．3米C．（3﹣2）米D．（3﹣3）米8．为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A 处的仰角是49°（如图），则通信塔AB的高度约为（）参考数据：sin35°＝0.57，tan35°＝0.70，sin49°＝0.75，tan49°＝1.15）A．27米B．31米C．48米D．52米9．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A．12海里B．6海里C．12海里D．24海里10．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20二．填空题11．如图，在坡角为30°的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离AC为3m，则这两棵树间的坡面距离AB的长为m．12．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为海里．13．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．三．解答题16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E 的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，求大楼AB的高．17．如图，在瞭望塔AB前有一段坡比为1：的斜坡BC，经测量BC＝8米，在海岸上取点D，使CD＝45米，在点D测得瞭望塔顶端A的仰角为40°，求瞭望塔AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41）18．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走16米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图2所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：过点D作DE⊥BC于点E，∵∠BDE＝30°，BD＝30m，∴BE＝BD＝15m，∵AD＝30m，∴CE＝30m，∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．故选：B．2．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，故选：A．3．解：斜坡AC的坡度i AC＝，斜坡AB的坡度i AB＝，∵BD＝2CD，∴i AC＝2i AB，A正确，C错误；∠ACD≠2∠ABD，B错误；2∠ACD≠∠ABD，D错误；故选：A．4．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，∴DM＝4，CM＝3，∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，∴HF＝DG+2＝15，在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故选：D．5．解：在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝10（m），∴AB＝BC•sin60°＝10×＝15（m）．故选：B．6．解：根据题意可知：∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x≈2.7．所以人行道HD的长度是2.7米．故选：A．7．解：作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，则AH＝AB•sin∠ABH＝6×＝3，∵∠E＝45°，∴AE＝AH＝×3＝3，故选：A．8．解：设CE＝x米，∵斜坡BC的坡度为2：1，∴BE＝2x米，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，则＝0.7，解得，x＝21，∴DE＝39+x＝60，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，则AE＝DE•tan∠ADE＝69，∴AB＝AE﹣BE＝69﹣42＝27（米），故选：A．9．解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴BC＝AB＝12，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），故选：B．10．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．二．填空题11．解：由题意知，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠A＝30°，∵cos∠A＝，∴AB＝＝＝6（m），故答案为：6．12．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，故答案为：15．13．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠P AC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△P AC中，＝tan∠P AC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案为：6．三．解答题16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度，∴BG：CG＝3：4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．17．解：如图，延长AB，交直线DC于点F．∵在Rt△BCF中，，∴设BF＝k，则，．又∵，∴k＝8，∴BF＝8，．∵DF＝DC+CF，∴．∵在Rt△ADF中，，∴（米）．∵AB＝AF﹣BF，∴AB＝47.28﹣8≈39.3（米）．答：瞭望塔AB的高度约为39.3米．18．解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝16，∴BE＝x﹣16，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣16），∴2（x﹣16）＝x，解得：x＝32（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝32×＝，∴CD＝CE﹣DE＝32﹣≈14（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为14米．。
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题（附答案）1．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，≈1.7）．3．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）4．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD 的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）5．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）6．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.2877．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）8．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）9．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°条幅底端F到地面的距离FE的长度．≈0.80，tan37°≈0.75）10．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C 在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．12．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）14．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]15．如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）16．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．17．如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）18．我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）19．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）20．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）参考答案1．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高约为78m．2．解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的长约为10.2m．3．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．4．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．5．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．6．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．7．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．8．解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度约为28m．9．解：设AC与GE相交于点H，由题意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，设CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．10．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．11．解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BC sin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．12．解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．13．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．14．解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∴CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴．∴CF≈133.3．∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．答：河宽EF的长约为53m．15．解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°＝，∴，解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（米），故广告牌的高度为17米．16．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．17．解：过点C作CF⊥DE于F，由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．18．解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝8米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．19．解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．20．解：过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝7.5﹣2＝5.5cm，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAD＝115°﹣70°＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝，∴AB＝，∵AB+AO+OM＝31.64cm，∴AO＝12cm，在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，∴OD＝AO•cos∠AOD＝12×cos20°≈11.28cm，∴BC+OD+7.5＝11.28+10+7.5＝28.78cm，∴点B到桌面得距离为28.78cm．。
锐角三角函数最新模拟押题预测40道(俯角仰角、方向角、坡度、解三角形)-中考数学重难题型押题【学生】
锐角三角函数最新模拟押题预测40道(俯角仰角、方向角、坡度、解三角形)类型一、锐角三角函数的应用：俯角仰角问题1.(2023·河南安阳·统考一模)某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，2≈1.41)2.(2023·山东菏泽·一模)某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．(结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)3.(2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模)如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB=1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B 两点的仰角，测得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗杆顶端到地面高度AD．(结果精确到0.1)参考数据：(sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.66，tan48.5°=1.13)4.(2023·黑龙江绥化·校考一模)小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG=3米(点E，G，C，B在同一水平线上)．(1)小王和小李两人之间的距离CD；(2)此时无人机的高度AB．(sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米)5.(2023·河南新乡·校联考一模)如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°(点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上)求纪念碑的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈43)6.(2023·陕西宝鸡·统考一模)如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．(结果精确到1米，参考数据:sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14)7.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，西安市某居民楼南向的窗户用AB表示，其高度为2.5米(A，B，D三点共线)，此地一年冬至正午时刻太阳光与地平面的最小夹角α为32.3°，一年夏至正午时刻太阳光与地平面的最大夹角β为79.2°，并且在冬至的正午时刻阳光刚好全部射入窗户，求遮阳棚中BD的高(结果精确到0.1m，参考数据：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos32.3°≈0.8，tan32.3°≈0.6)．8.(2023·江苏淮安·统考一模)如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度(结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710，3≈1.7)．9.(2023·广东深圳·校考模拟预测)消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动张角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，转动点A距离地面的高度AE为4米．(1)当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为米．(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由(参考数据：3≈1.7)(提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度)10.(2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模)大雁塔是古城西安的标志性建筑(如图1)．某学习小组为测量大雁塔的高度，在梯步A处(如图2)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7:24的斜坡AE前行100米到达平台E处，测得此时楼顶D的仰角为60°，请同学们根据学习小组提供的数据求大雁塔的高度DC(结果保留根号)．类型二：锐角三角函数的应用：方向角问题11.(2023·河南驻马店·统考一模)在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372km，此时，我方军舰沿着AC方向以30km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)12.(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测绘员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上．现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长？(结果取整数，3≈1.732)13.(2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处时测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁，如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tm67°≈125)14.(2023·山西晋中·统考一模)通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD中，∵sin B=ADAB∴AD=AB⋅sin B∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC⋅AB⋅sin B=12ac sin B同理可得，S△ABC=12bc sin A，S△ABC=12ba sin C即S△ABC=12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C⋯⋯⋯⋯⋯①由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵abc≠0∴将等式12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C两边同除以12abc，得，sin Aa=sin Bb=sin Cc∴a sin A =bsin B=csin C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．理解应用：如图，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距102海里．(1)求：△ADC的面积；(2)求：乙船航行的速度(结果保留根号)．15.(2023·安徽滁州·校考一模)在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O0，0、B(12，0)、C(12，16)，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑-2016”中国多军种军事演习区，如图所示．(1)求圆形区域的面积．(2)某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离，结果保留根号；(3)当可疑船A由(2)中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．16.(2023·广西河池·校考一模)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC是多少nmile(结果保留根号)？17.(2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模)如图，AB是湘江段江北岸滨江路一段，长度为2km，C为南岸一渡口．为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，CD⊥AB垂足为点D．经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向．问：桥长CD为多少km？(结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732．)18.(2023·浙江嘉兴·校考一模)小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．(结果保留根号)19.(2023·新疆·统考一模)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A港口的距离(结果取整数)．(参考数据：sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192,2≈1.414)20.(2023·河南洛阳·统考一模)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)类型三：锐角三角函数的应用：坡度坡角问题21.(2023·天津武清·校考模拟预测)如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1:2，DC=2米，则条幅AB的长度为多少米．(结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1)22.(2023·山西忻州·统考一模)绵山是中国清明节(寒食节)的发源地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚在山上．绵山入口处有一座雄伟高大的介子推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学们想要测出这座铜像有多高．他们先制订了测量方案，随后又进行了实地测量．如图，铜像MN建在坡比为1∶2.4的楼梯BM顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角为30°，然后沿着AC方向走了12m到达B处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为63.4°，其中点A，B，C，D，M，N均在同一平面内．请根据以上数据求出铜像MN的高度．(结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)23.(2023·陕西榆林·校考一模)延安宝塔，是革命圣地延安的标志和象征，融历史文物和革命遗址为一脉，集人文景观和自然景观为一体．某数学兴趣小组在确保无安全隐患的情况下，开展了测量延安宝塔的高度的实践活动，具体过程如下：如图，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的长为15米，BC=32米．MN是测角仪，长为2米，从点M测得该塔顶部A处的仰角为37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求该塔AB的高度．(参考数据：tan37°≈3 4 )24.(2023·陕西西安·校考三模)开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME(结果精确到1m，参考数据：3≈1.7)．25.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为8米，落在广告牌上的影子CD的长为5米，求铁塔AB的高．(AB、CD均与水平面垂直，结果保留根号)26.(2023·河北衡水·校考二模)如图，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．(1)求证：△ABC≅△DEF；(2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；(3)在(2)的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．27.(2023·江苏宿迁·统考一模)如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB=CD，坝顶BC=2m，坝高CH=5m，迎水坡AB的坡度为i=1:1．(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改为α=30°．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？(参考数据：π≈3.14,2≈1.41,3≈1.73；结果精确到0.1m3)28.(2023·上海崇明·统考一模)如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i=1:43的斜坡CD，如果高为3米的标尺EF竖立地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．(1)当影子全在水平地面BC上(图1)，求标尺与路灯间的距离；(2)当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上(图2)，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？29.(2023·海南儋州·统考一模)如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．(1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度(结果精确到1米)．(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4)30.(2023·山东济南·一模)在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1∶3，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=40米．(1)求点E距水平地面BC的高度；(2)求楼房AB的高．(结果精确到整数，参考数据2≈1.414，3≈1.732)类型四、锐角三角函数与解直角三角形31.(2023·福建漳州·统考一模)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，作BF⊥BD交AC延长线于点F．(1)求证：△OBE∽△OFB；(2)求证：OC⋅CF=EC⋅OF．32.(2023·河南安阳·统考一模)如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若DE=35，tan B=12，求线段CE的长．33.(2023·安徽安庆·统考一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34，求cos C的值．34.(2023·浙江舟山·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．(1)求证：△ADE∽△FCD；(2)若AD=6,tan∠DCF=13，求AE的长．35.(2023·上海静安·统考一模)如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B=513，AB=13,BC=21．(1)求AC的长；(2)求∠BAC的正弦值．36.(2023·广东深圳·统考一模)(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD=10，S▱ABCD=60，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为．(从以下选项中选取)A．正方形 B．菱形 C．矩形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=8，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②连接DF，求sin∠ADF的值．37.(2023·广东梅州·校考模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sin E=35，求AD的长．38.(2023·上海崇明·统考一模)如图，D是△ABC边上的一点，CD=2AD,AE⊥BC，垂足为点E，若AE=9，sin∠CBD=34．(1)求BD的长；(2)若BD=CD，求tan∠BAE的值．39.(2023·上海浦东新·统考一模)如图，在Rt△EAC中，∠EAC=90°，∠E=45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC=∠EAB，BF=5，tan∠AFB=34．求：(1)AD的长；(2)cot∠DCF的值．40.(2023·浙江湖州·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．(1)当AB<AD时，①求证：BE=CD，②猜想∠BDF的度数，并说明理由．=k时，求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示)．(2)若ABAD。
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7.6 锐角三角函数的简单应用——仰角、俯角问题
一、画一画 根据题意，画出仰角或俯角
（1）人看气球 （2）在飞机上看地面控制中心
二、实际问题
问题1: “小机灵”在飞行高度为180米的飞机A 上看到上海浦东国际机场地面指挥中心B 的
俯角为30°，求此时飞机A 在地面上的投影点C 离B 点的水平距离。
（结果保留
根号）
变式：“小机灵”在离中国馆AB 120米的C 处，用高为1米的测角仪测得中国馆的最高处A
的仰角为30°，已知测角仪CD 垂直于地面，求中国馆AB 的高。
（结果保留根号）
A
B
问题2：在南浦大桥AB 的上方有一只热气球停在P 点处，此时热气球离桥面的高度为1200
米，“小机灵”在大桥的两端A 、B 分别测得热气球的仰角为27°、40°，求南浦大
桥的AB 。
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9， tan27°≈0.5，sin40°≈0.6， cos40°≈0.8，tan40°≈0.8
P
B A
人的眼睛 P · 0· A · 地面控制中心 B · A ·
B · D C
变式1：已知南浦大桥的主桥AB长900米，热气球由西向东飞行，一段时间后到达C处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为30°、45°，求此时热气球距桥面的高度。
（结果保留根号）
C
B A
变式2：热气球继续向东飞行至D处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为40°、27°，已知主桥AB的长为900米，求此时热气球距桥面的高度。
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5，
sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8
D
B A
三、数学活动室
思考：1、如何测量得到旗杆的高度？（图1 ）
2、怎样从地面测量小山的高度呢？（图2 ）
仪器：卷尺，高度为h的测角仪；
要求：画出图形，测得的角用α、β等表示，测得的长度用a、b、c等表示。
图1
图2
图2。