研究生矩阵理论
研究生矩阵论总复习重点公式
第四章
一、 幂法
1. 定义: 计算主特征值及其对应的特征向量的方法。
yk Axk 1 2. 实用计算公式 mk max yk x y /m k k k
当 k 充分大时,有
( k 1, 2, )
1 mk v1 xk ( yk )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量.
三、向量与矩阵的范数
1. 常用的向量范数
x 1 x1 x2 xn
2 2 2 x 2 x1 x2 xn
x max xi
1 i n
2. 常用的矩阵范数
4. A max | i ( A) | 谱半径
（矩阵的列范数）
（矩阵的行范数） （矩阵的谱范数）
2. 迭代法的收敛条件 f ( xk ) ( k 0,1, ) 四、牛顿切线法 xk 1 xk f ( xk ) 五、 割线法 f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ) ( k 1, 2, ) f ( xk ) f ( xk 1 )
1 (4) 2 2 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( )( x x0 ) ( x x1 ) 4!
第七章
m 1 m xi i 0 m n xi i 0
一、多项式拟合的正规方程组
研究生矩阵论
研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。
研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。
本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。
矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。
矩阵的行和列分别代表其维度。
在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。
矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。
逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。
矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。
矩阵的秩具有一些重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。
特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。
矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。
对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。
研究生矩阵论复习提纲(全)
1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。
研究生矩阵理论课后答案第6-7章
求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 Jordan
由行列式因子定不变因子和初等因子:( :(参看 ①由行列式因子定不变因子和初等因子:(参看 0 λ − 2 0 第二章有关定义及结果). ).如 第二章有关定义及结果).如 λE-A= −1 λ −1 −1 )=λ行列式因子:D 行列式因子:D1(λ)=1; D2(λ)=λ-2;
第六章 矩阵函数
•矩阵函数一般定义:矩阵函数是从Cm×n到Cu×v的一 矩阵函数一般定义:矩阵函数是从C 个对应规则f:C 使对每个x 个对应规则f:Cm×n→Cu×v,使对每个x∈Cm×n,都 对应于唯一 f(x)∈ 唯一的 对应于唯一的f(x)∈Cu×v. 例如:det:C ,det(A)∈ 例如:det:Cn×n→C1×1,∀A∈Cn×n,det(A)∈C1×1; ,f(A)=2Af:Cn×n→Cn×n,∀A∈Cn×n,f(A)=2A-E∈Cn×n. 矩阵函数的概念十分广泛, •矩阵函数的概念十分广泛,其应用也相应地十分 广泛. 广泛. 我们仅限于讨论从C •我们仅限于讨论从Cn×n到自身的函数 f:Cn×n→Cn×n. 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 矩阵多项式函数和由 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 幂级数定义的矩阵函数. 幂级数定义的矩阵函数.
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
. P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
2 0 0 2 0 0 0 A − 2E = 1 1 1 − 2 = 1 −1 1 1 −1 3 2 1 −1 1 0 0 x = 1 , ( A − 2E)x = 1 1 1 1 0 z = 0 , ( A − 2E)z = 1 −1 1 0 00 −1 1 1 = 0 −1 1 1 0 0 1 −1 1 0 = 0 −1 1 −1
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
矩阵考研知识点总结
矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。
这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。
当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。
性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。
性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。
性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。
（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。
性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
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(1)
A A可逆;
返回
定理 3 在方程组 Ax b中， A固定且可逆，令 b 0且
有小扰动，解方程
A( x x ) b b ,
得
|| x ||a || b ||a K ( A) . || x ||a || b ||a
返回
定理 4 在 Ax b 中， b 固定且非零，令可逆矩阵 A
定义 4
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
定理 4 设 || || 是 C n上的任一向量范数，则
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
返回
§2 矩阵的范数
定义 1 设 A P m n，若映射 || || ： P m n R
有小扰动 A，则当 || A-1 ||a || A ||a 1时，解方程组
( A A) x b,
得
|| A ||a K ( A) || x ||a || A ||a . || A ||a || x ||a 1 K ( A) || A ||a
( 4) 对任意x , y C n，有 | || x || || y || ||| x y || .
n
例 1 设x (x1 , x2 , , x n ) C ，则
n
(1) || x ||1 | xi |
i 1
n
n
1 范数 2 范数 无穷范数
返回
(2) || x ||2 ( | xi |2 )1 / 2
2 2
|| AB || m 2 || A || m || B || m 1
返回
. 例 3 || ||m1 和 || ||m 2 是 相 容 的 矩 阵 范 数
返回
定理 3 设 A P nn ,
(1) 若A ( a1 , a 2 , , a n ), 则
定理 3 Vn ( P )上的任意两个向量范数均等价.
返回
定义 3 设 x
(k )
(k ) (k ) (k ) T ( x1 , x 2 , , x n )
(k ) xi
C n，如果
k
lim
ai
( i 1,2, , n )
则称向量序列x ( k )收敛于a ( a1 , a 2 , , a n ).
H 2 || A || 2 || U AV || m2 m 2 || UAV H
i 1
|| 2 m2
返回
推论 1 设 A P nn , 对任意的酉矩阵U、 V P nn，
有
|| A || m 2 || UA || m 2 || AV || m 2 || UAV || m 2
A ||1|| A ||
返回
§6 范数的应用
(1) 矩阵 A可逆 ,A与其扰动矩阵 A满足 什么条件时 ,A A可逆 ?
(2) 当 A A可逆 , A 与( A A) 的
1 1
近似程度如何估计 ?
返回
例 1 设
6 0 2 0 A A 2 6.00001 0 0.00002
第二章
向量与 矩 阵的范数
返回
1 向量的范数
定义 1 设 映射 || ||: C n R满足：
(1) 正 定 性 || x || 0,当 且 仅 当x 0时 ， || x || 0;
( 2) 齐次性 || x ||| | || x ||, R , x C n ;
返回
3. 算子范数
一、 算子范数
定义 1
设 || || a 是 P 上的向量范数， || || m 是
n
P
n n
上的矩阵范数，且
|| Ax ||a || A ||m || x ||a
则称 || || m 为与向量范数 || || a 相容的矩阵范数.
返回
例 1 设 x P n , A P nn，则
则称映射|| || 为 p m n上的矩阵范数 .
返回
例 1 设 A P mn，则
|| A || m1
| aij |
j 1 i 1
n m 1 |2 ) 2
n
m
|| A || m2 ( | a ij
j 1 i 1
|| A || m max{| a ij |} 1 i m 1 j n
i, j
返回
定义 2 设 || || a : P m l R , || || b : P l n R ,
|| || c : P m n R 是矩阵范数，如果
|| AB || c || A || a || B || b 则称矩阵范数 || || a , || || b 和 || || c 相容.
|| A || max ( | a ij |)
i j 1 n
被称为极大行和范数 .
返回
定义 2
设 A C ， i 是 A 的特征值，则 r ( A) max | i | 称 为 A 的 谱 半 径.
i
n n
例 6 设 A P m n，则从属于 || x || 2 的算子
|| A || m1 | a ij |
j 1 i 1 n n
是与向量范数 || ||1 相容的矩阵范数.
例 2 设 x P n , A P nn，则 || A || m2 是与 || x || 2
相 容 的 矩 阵 范 数.
返回
定理 1 设 || x || a 是 P n上的向量范数, A P n n , 则
如果
|| AB || || A || || B ||
则称 || || 是自相容矩阵范数.
返回
例2
|| A || m max{| a ij |} 1 i m 1 j n
i, j
是不相容的矩阵范数 .
1 1 例如 A B 1 1
2 AB 2
例2
设 x ( x1 , x2 , , xn ) C n，则
|| x || p ( | xi | p )1/ p 1 p
i 1 n
是C n上的向量范数，称为 H o lder范数.
返回
..
定理 2
设 || || 是 C
m
mn 上的范数，A C n ，则
|| A || 是 C n上的范数.
满足
(1) 正定性 || A || 0,当且仅当A 时， || A || 0;
(2) 齐次性 || A ||| | || A ||, P, A P mn ;
( 3) 三角不等式 || A B || || A || || B ||, A, B P m n .
3) 它是自相容矩 阵范 数(推 论1) .
返回
定理 2 设 || || m 是相容的矩阵范数，则存在向量
范数 || x || ，使
|| Ax |||| A || m || x ||
P63页，相容的矩阵范数一定存 如果 || || m : C n n R 是一相容的矩
返回
定理2设 A是可逆， A为扰动矩阵，且 || A1 ||a || A ||a 1，
则
|| A ||a K ( A) 1 1 || A ( A A) ||a || A ||a (2) 1 || A ||a || A ||a 1 K ( A) || A ||a
求A 、（A A) .
1 1
解：
300 000.5 300 000 A , 100 000 100 000
1
299 999.5 300 000 （ A A) . 100 000 100 000
1
返回
定义 1
设 A是可逆矩阵，称
( 3) 三角不等式 || x y || || x || || y ||, x , y C n .
则 称 映 射|| || 为 C n上 向 量x的 范 数.
向量范数的性质：
(1) || 0 || 0；
1 ( 2) x 0时， || x || 1; || x ||
返回
( 3) 对任意x C ，有 || x |||| x ||;
定义 2
设 在Vn ( P )上定义了 || x || a , || x || b 两种向 C1 || x ||a || x ||b C 2 || x ||a x Vn ( P )
量范数，若存在常数C1 0, C 2 0，使得
则称 || x || a 与 || x || b 等价.
i 1
(3) || x || max | x i |
1 i n
1 1 定理 1 (H o lder不等式) 若p, q 1，且 1， p q
..
则对C n任意向量x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T 都有
p 1/ p q 1/ q | x | | y | ( | x | ) ( | y | i i i i ) i 1 i 1 i 1 n n n
( 3 ) 对任何 n 阶酉矩阵 U及 V都有
|| UA || 2 || AV || 2 || UAV || 2 || A || 2
返回
定理 5 设 A C n n，则
(1) || A ||2
|| x || || y || 1