2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
am an 2mn ，
所以 an n(n 2) 是数列{an} 的通项公式.）
（2）注意到：
1 an
1 n(n 2)
1 2
1 n
n
1
2
，所以
k
n1
1 an
k n1
1 2
1 n
n
1
2
1 2
1
1 2
k, l(1 ≤ k < l ≤ m) ，使得 ak > al ，则称 a1, a2 ,⋅⋅⋅, am 是一个“好排列”，试确定所有好排列
的个数。
2015 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
.
答案： 2 3 .
y
解：点集 A 是圆周 : (x 1)2 ( y 1)2 2 ，点集 B 是恒过 P(-1,3)
点 P(1,3) 的直线 l : y 3 k(x 1) 及下方（包括边界）.
作出这两个点集知，当 A B 是单元集时，直线 l 是过点 P
的圆 的一条切线.故圆 的圆心 M (1,1) 到直线 l 的距离等于圆
k 1 k 3
的半径 2 ，故
2.
k2 1
结合图像，应取较小根 k 2 3 .
M(1,1) Γ
O
x
7. 在平面直角坐标系 xOy 中， P 是椭圆 y2 x2 1 上的一个动点，点 A, B 的坐标分 43
别为 (1, 1), (0, 1) ，则 PA PB 最大值为
因此 an 的通项公式为：
n1
5 (2n 1)(n 1)
an a1 (3 2k) 3
k1
2
n(n+2）.
…………………8 分
（事实上，对这个数列{an} ， a1 13 3 ，并且
amn (m n)(m n 2) (m n)2 2(m n) (m2 2m) (n2 2n) 2mn
．
答案：5．
解：取 F (0, 1) ，则 F, B 分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知， PF PB 4 ．
因此， PA PB 4 PF PA 4 FA 4 1 5 ．
当
P
在
AF
延长线与椭圆的交点
3 2
,
1
时，
PA
PB
最大值为 5．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1.
已知函数
f
(
x)
aa
x, log2
x,
x [0,3], 其中 a 为实数. 如果 f (2) f (4) ，则 a
答案： (2,) .
解： f (2) a 2 ， f (4) 2a ，所以 a 2 2a ，解得： a 2 .
故 OAi OAj 1的充分必要条件是 cos
OAi ,OAj
1 2
，即向量
OAi ,
OAj
的夹角不超
过 2 . 3
对任意给定的向量 OAi ，满足条件 OAi OAj 1的向量 OAj 的取法共有：
3：某房间的室温 T （单位：摄氏度）与时间 t （单位：小时）的函数关系为：
T = a sin t + b cos t, t ∈ (0,+∞) ，其中 a,b 为正实数，如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，
则 a + b 的最大值是
4：设正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的底面 ABCD 是单位正方形，如果二面角 A1 − BD − C1 的
{ } B = (x, y) kx − y + k + 3 ≥ 0 ，若 A B 是单元集，则 k 的值为
7：设 P 为椭圆 y2 + x2 = 1上的动点，点 A(1,1), B(0,−1) ，则 PA + PB 的最大值为 43
8：正 2015 边形 A1A2 ⋅⋅⋅ A2015 内接于单位圆 O ，任取它的两个不同顶点 Ai , Aj ，
0) 的右焦点为 F (c,0) ，存在经过点 F
的一条直线 l 交椭圆于 A, B 两点，使得 OA ⊥ OB ，求该椭圆的离心率的取值范围
（加试） 1：（本题满分 40 分）证明：对任意三个不全相等的非负实数 a, b, c 都有：
(a − bc)2 + (b − ac)2 + (c − ab)2 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
AA1 A1O2 AO2
2 2
2 2
2
6 .
2
D
C
O
A
B
5. 已知数列{an} 是一个等差数列，首项与公差均为正数，且 a2, a5, a9 依次成等比数列，
则使得 a1 a2 ak 100a1 的最小正整数 k 的值是
.
答案：34.
解：设数列{an} 的公差为 d ，则 a2 a1 d ， a5 a1 4d ， a9 a1 8d .
≥
1 2
，并确定等号成立的充要条件
2：（本题满分 40 分）如图，在等腰 ∆ABC 中， AB = AC ，设 I 为其内心，设 D 为 ∆ABC 内的一 个点，满足 I , B, C, D 四点共圆，过点 C 作 BD 的
平行线，与 AD 的延长线交于 E 求证： CD2 = BD ⋅CE
3：（本题满分 50 分）证明：存在无穷多个正整数组
8. 正 2015 边形 A1 A2 A2015 内接于单位圆 O ，任取它的两个不同的顶点 Ai , Aj ，
OAi OAj 1的概率是
.
答案： 671 . 1007
解：因为 OAi OAj 1，所以
OAi OAj 2 = OAi 2 OAj 2 2OAi OAj 2 1 cos OAi ,OAj .
则 OAi + OAj ≥ 1的概率为
二、解答题
9：（本题满分 16 分）数列 {an}满足 a1 = 3, 对任意正整数 m, n ，均有 am+n = am + an + 2mn （1）求 {an}的通项公式；
∑k
（2）如果存在实数 c 使得
1 < c 对所有正整数 k 都成立，求 c 的取值范围
2. 已知 y f (x) x3 为偶函数， f (10) 15 ．则 f (10) 的值为
．
答案： 2015 ．
解：由已知得 f (10) (10)3 f (10) 103 ，即 f (10) f (10) 2000 2015 ．
3. 某 房 间 的 室 温 T （ 单 位 ： 摄 氏 度 ） 与 时 间 t （ 单 位 ： 小 时 ） 的 函 数 关 系是 ： T a sin t b cost ，t (0,) ，其中 a,b 是正实数. 如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，
1)
100
.
a1
a1
16
解得 kmin 34 .
6. 设 k 为实数，在平面直角坐标系 xOy 中有两个点集 A (x, y) | x2 y2 2(x y) 和
B (x, y) | kx y k 3 0 . 若 A B 是单元集，则 k 的值是
差为 2 a2 b2 10 ，得 a2 b2 5 .
故 a b 2a2 b2 5 2 ，等号成立当且仅当 a b 5 2 .
2
4. 设正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是单位正方形，如果二面角 A1 BD C1
的大小是
3
amn am an 2mn .
（1）求数列{an} 的通项公式；
k
（2）如果实数 c 使得
1 c 对所有正整数 k 都成立，求 c 的取值范围.
a i1 i
解：（1）在 amn am an 2mn 中令 m 1 可以得到{an} 的递推公式：
an1 a1 an 2n an (3 2n) .
大小为
π 3
，则
AA1
=
5：已知数列 {an}为等差数列，首项与公差均为正数，且 a2 , a5, a9 依次成等比数列，则使得
a1 + a2 + ⋅⋅⋅ + ak > 100a1 的最小正整数 k 的值是
{ } 6：设 k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集 A = (x, y) x2 + y2 = 2(x + y) 和
a i=1 i
10：（本题满分 20 分）设 a1, a2 , a3, a4 为四个有理数，使得：
{ } aia j 1 ≤ i <
j≤4
=
−
24,−2,−
3 2
,−
1 8
,1,3
，求
a1
+
a2
+
a3
+
a4
的值
11：（本题满分 20
分）已知椭圆
x2 a2
2015全国高中数学联赛广东初赛试题及答案
y − y1 =
y2 − y1 ( x − x1 ). 当 y = 0 时， x2 − x1
2 x2 − x1 y2 − y12 y2 yy y1 + 1 = − 1 2 , y1 + x1 = − y2 − y1 2 p ( y2 − y1 ) 2p 2p yy ………. 5 分 所以 | OC |= − 1 2 . 2p 另一方面，抛物线在 A、B 两点的切线方程分别为： yy1 = p ( x + x1 ), yy2 = p ( x + x2 ), yy ………. 10 分 求得其交点的横坐标为 x3 = 1 2 . 于是 | OC | + x3 = 0 . 2p
2 2
最小值, 当且仅当 ∆ = a − 4 < 0 . 所以 1 < a < 2 .
2
4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 0, an +1 = an + 1 + 2 an + 2 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式
an = ______________.
【答案】 an = n + 2 − 1 − 2 . 【 解 析 】 因 为 an +1 + 2 = an + 2 + 2 an + 2 + 1 =
，有概率 在 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1 上考虑满足上述条件的 （x1 , x2）
P=∫
1
0
6 3 α −β 7. 已知 sin α + sin β = , 则 cos , cos α + cos β = = ______________. 2 3 3
【答案】1/4. 【解析】平方求和, 再用倍角公式即得.
2015全国高中数学联赛天津预赛试题及答案
(A) △������������������ 必为直角三角形
(B) △������������������ 必为锐角三角形 (D) 以上结论都不对
(C) △������������������ 必为直角三角形或锐角三角形
解 因为△������������������ 的周长为12, 所以△������������������ 的内切圆的半径为1当且仅当△������������������ 的
的 两 个 根. 特 别 地 ，������ = 90∘ 时 ， 解 得������, ������为3, 4, 此 时������ = 5, 方 程 的 判 别 式Δ = 72 − 4 · 12 = 1. ������ 由90∘ 增 加 一 个 非 常 小 的 角 度 ， 可 以 使 得 方 程 的 判 别
2. 故选(C). 4. 方程3������ + 5������ + 7������ = 11������ 共有( (A) 0
解
)个不同的实根.
(B) 1 (C) 2 (D) 3 (︀ 3 )︀������ (︀ 5 )︀������ (︀ 7 )︀������ 令������ (������) = 11 + 11 + 11 − 1, 则 方 程3������ + 5������ + 7������ = 11������ 等 价 于 方
3. 用[������]表示不大于������的最大整数，方程������2 − [������] − 2 = 0共有(
根.
)个 不 同 的 实
(A) 1
解 由[������]
(B) 2
(C) 3
(D) 4 0, 故������ ∈ [−1, 2]. 于 是[������]只 能
2015年全国高中数学联赛(WORD,含答案)
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数R ∈++++=-x x x x f x ，e 31)(的最小值是 ．2. 设24211111≥+-==--n x x x x n n n ，．数列}{n x 的通项公式是=n x ．3. 设平面向量βα,满足3|||,||,|1≤+≤βαβα，则βα∙的取值范围是．4. 设)(x f 是定义域为R 的具有周期π2的奇函数，并且0)4()3(==f f ，则)(x f 在]10,0[中至少有 个零点．5. 设a 为实数，且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根，则a 的取值范围是.6. 给定定点)1,0(P ，动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切，则Q 的轨迹方程是 ． 7. 设z x yi =+为复数，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是．8. 设n 是正整数．把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9. 设正实数b a ,满足1=+b a ．求证：31122≥+++bb a a ．10. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知CFBE AD ,,都与平面ABC 垂直．设c CF b BE a AD ===，，，1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积（用c b a ,,表示）．11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。
证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。
2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案
2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数())()ln 10f x ax a =+>，则()1ln ln f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 答案：2 提示：()()))()2222lnln2ln 12 2.f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+=2.设A 、B 两点分别在抛物线26y x =和圆()22:21C x y -+=上，则AB 的取值范围是． 答案：[)1,+∞提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而()()()2222222262413,AC x y x xx x x =-+=-+=++=++又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα⎛⎫=<≤< ⎪⎝⎭，则αβ-的最大值为 ． 答案：6π． 提示：()2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 213tan tan tan .36αββαβαββββπ--==++=+≤= 因为02πβα<≤<，所以0.2παβ≤-<所以6παβ-≤，即αβ-的最大值为.6π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为 ．．提示：由题意可知，,4CDB π∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为.2π如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长．由前面的分析可知，12123.244B DB B DA ADC CDB πππ∠=∠+∠+∠=+=由余弦定理可得，12B B ===所以，△BEF5.已知函数()33f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()()820x f mx f -+<恒成立，则正实数x 的取值范围为 ． 答案：0 2.x <<提示：由于()33f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()()820xf mx f -+<等价于()()()822x x f mx f f -<-=-，即82.x mx -<-即280xmx +-<对任意[]2,2m ∈-恒成立．即2280,2280,xxx x ⎧+-<⎪⎨-+-<⎪⎩所以02,04,x x <<⎧⎨<<⎩即0 2.x <<6.已知向量a 、b 、c 满足()*::2::3a b c k k N =∈，且()2b a c b -=-，若α为a 、c 的夹角，则cos α的值为 ．答案：1.6-提示：由()2b a c b -=-得1233b ac =+，所以 222144.999b ac a c =++⋅又::2::3a b c k =，所以240241664cos ,.9999k α⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦又*k N ∈，所以2k =，所以cos α的值为1.6-7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为 ．答案：4+提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为342343+⨯⨯=+ 8.将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球．无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ． 答案：1.6提示：方法一 如果只有2个小球（1黑1白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为12；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为13；如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球的个数总数不少于白球个数的概率为14；以此类推，可知将10个小球（5黑5白）排成一行，从左边一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数不少于白球个数的概率为1.6方法二 直接从10个小球入手分类讨论．二、解答题（第9、10、11、12题各14分，第13、14题各15分） 9.在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，向量()sin sin ,sin ,p A C B =+(),q a c b a =--，且满足p q ⊥．（1）求△ABC 的内角C 的值；（2）若()2,2sin 2sin 2sin c A B C C =++=，求△ABC 的面积．解 （1）由题意p q ⊥，所以()()()sin sin sin 0.a c A C b a B -++-=由正弦定理，可得()()()0.a c a c b a b -++-= 整理得222a cb ab -+=．由余弦定理可得，2221cos ,22a b c C ab +-==又()0,C π∈，所以.3C π= (2)由()2sin 2sin 2sin A B C C ++=可得，()()4sin cos sin sin .A A B A B A π++-=+整理得，()()4sin cos sin sin 2sin cos .A A B A B A B A =++-=当cos 0A =时，2A π=，此时，2cot3b π==，所以△ABC 的面积12ABC S bc ∆==当cos 0A ≠时，上式即为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2,b a =又224a b ab +-=，解之得，a b ==所以△ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ∆==综上所述，△ABC 的面积1sin 23ABC S ab C ∆==10.已知数列{}n a 满足：2112,2.n n n a a a a +==+（1）求证：数列(){}lg 1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若112n n n b a a =++，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证： 1.n S < 证 （1）由已知得()22112,11.n n n n n a a a a a +-=++=+因为12a =，所以11n a +>，两边取对数得()()1lg 12lg 1,n n a a ++=+即()()1lg 12lg 1n n a a ++=+，故(){}lg 1n a +为以lg 3为首项，2为公比的等比数列，即()1lg 12lg3,n n a -+=即123 1.n n a -=-（2）方法一 由212n n n a a a +=+，两边取倒数得1111122n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以 21122n n n a a a +=-+，即1112n nn b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2112,231n n S ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭故 1.n S < 方法二 由于111211222221123313131112,3131n n n nn n n b -----⨯=+=+--⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭则2112 1.231n n S ⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭11.设().xf x e ax a =--（1）若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭解 （1）由()0f x ≥得()1xx a e +≤，即()11xe a x x ≤>-+．令()1x e h x x =+，则()()2.1xxe h x x '=+ 由()()201xxe h x x '=>+得0.x >所以()h x 在()0,+∞上单调递增，()h x 在()1,0-单调递减． 所以()()()011,h x h x ≥=>-由此得 1.a ≤又1x =-时，()1x x a e +≤即为10a e -⨯≤，此时a 取任意值都成立．综上可得 1.a ≤（2）10081220152016e-⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于1201510152016e <等价于1201611.2016e -< 由（1）知，当1a =时()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，即1xe x ≥+（0x =时取等号）．取12016x =-，得1201611.2016e -< 即证得：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭12. 已知：如图，两圆交于A 、B 两点，CD 为一条外公切线，切点分别为C 、D ．过A 任意作一条直线分别交两圆于E 、F ，EC 交FD 于点P ． 求证：PB 平分.EBF ∠证 如图，连结BA 、BC 、,BD 延长CD ．由A 、B 、E 、C 共圆有1CBA ∠=∠，同理，2.DBA ∠=∠又12180EPF ∠+∠+∠=，所以12180.CBD CPD EPF ∠+∠=∠+∠+∠=故P 、C 、B 、D 四点共圆．则34CBP DBF ∠=∠=∠=∠（弦切角等于圆周角）． 同理5.CBE DBP ∠=∠=∠ 所以,EBP EBC PBC DBP FBD FBP ∠=∠+∠=∠+∠=∠此即为PB 平分.EBF ∠13.设正数x 、y 满足33x y x y +=-，求使221x y λ+≤恒成立的实数λ的最大值．解 由正数x 、y 满足33x y x y +=-，知0.x y >> 令 1.xt y=> 不等式221x y λ+≤等价于3322,x y x y x y λ++≤-等价于332322,x y x y y y x x y x yλ++≤-=-- 等价于()232,x y y x y y λ+≤-等价于22221.1x y t xy y t λ++≤=--因为()()212211122t f t t t t +==+-+--≥+=+ 等号仅当211t t-=-，即1t =λ的最大值为2+ 14.已知椭圆22:12x C y +=及点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于Q ． （1）求Q 的轨迹方程：（2）求△ABQ 的面积的最小值．解 （1）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,Q x y ，则11:12x xQA y y +=过Q ，有 101012x x y y +=； ① 22:12x xQB y y +=过Q ，有202012x x y y +=， ② 故直线AB 为0012x x y y +=，由于直线AB 过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则有00122x y +=，即 00 2.x y += ③故Q 的轨迹方程为 2.x y +=（2）当直线AB 斜率不存在时，即直线AB 的方程为1x=，此时1,2A ⎛⎝⎭、1,2B ⎛- ⎝⎭、()2,0.C 所以1122ABQ S ∆==当直线AB 的斜率存在时，设直线()1:12AB y k x -=-，即1.2y kx k =+-联立2222,1,2x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y 得 ()()222321212220.2kx k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭于是有()1222122221,213222.21k k x x k k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩又①-②，得到0002x ky +=与③联立，可解得42,2112kQ k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则()()12322212443,42121AQB S AB d x k k k k ∆==-++=⋅+-可得 ()()()3222224431.82121AQB k k S k k ∆++=⋅+- 令()()()()322224432121k k f k kk ++=+-，则()()()()()()22233284431843,2121k k k k k f k kk -+++-+'=+-故()f k 在区间(),1-∞-上单调递减，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()lim 4,k f k →+∞=所以()()min 11.3f k f =-=于是，当1k =-时，△AQB 面积的最小值为min S =。
2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题精编(附答案)
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）f x+=+3．1F、2F为椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得12PF PF⊥，则椭圆离心率e的取值范围为。
【答案】12⎫⎪⎪⎣⎭，【解答】设A为椭圆C的上顶点，依题意有1290F AF∠≥︒。
∴245F AO∠≥︒，1cb≥。
222c a c≥-，2212ca≥，12e≤<。
4．已知实数x，y，z满足2222324x y z++=，则23x y z++的最小值为。
【答案】12-【解答】由柯西不等式，知22222222(23)(1)1(23)x y z x x y z⎡⎤++=⋅≤++⋅++⎣⎦）=14∴231x y z++≥-，当且仅当1x==，即2x y z===-时等号成立。
∴23x y z++的最小值为12-。
5．已知函数2()cos2xf x xπ=，数列{}n a中，()(1)na f n f n=++（*n N∈），则数列{}na的前100项之和100S=。
【答案】10200【解答】依题意，有1002222221001()2468981004(3799)n T f n ===-+-+--+=+++∑L L39942551002+=⨯⨯=。
∴1001002(1)(101)251000010200S T f f =-+=⨯-+=。
6．如图，在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC该四面体外接球半径R = 。
【答案】【解答】如图，作DO ABC ⊥面于O ，连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结DE 。
则DAE ∠是DA 与平面ABC 所成的角，cos 3DAE ∠=。
∵ 2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，∴ DA DBC ⊥面，O 为ABC △的外心，且AB AC ==∴ DA DE ⊥，E 为BC 中点，结合c o s 3D AE ∠=知，AE =，BE ===∴2B C B E ==DB DC ⊥。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
的个数。
2015 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
则 OAi + OAj ≥ 1的概率为
二、解答题
9：（本题满分 16 分）数列 {an}满足 a1 = 3, 对任意正整数 m, n ，均有 am+n = am + an + 2mn （1）求 {an}的通项公式；
∑k
（2）如果存在实数 c 使得
1 < c 对所有正整数 k 都成立，求 c 的取值范围
k 1 k 3
的半径 2 ，故
2.
k2 1
结合图像，应取较小根 k 2 3 .
M(1,1) Γ
O
x
7. 在平面直角坐标系 xOy 中， P 是椭圆 y2 x2 1 上的一个动点，点 A, B 的坐标分 43
别为 (1, 1), (0, 1) ，则 PA PB 最大值为
1)
100
.
a1
a1
16
解得 kmin 34 .
6. 设 k 为实数，在平面直角坐标系 xOy 中有两个点集 A (x, y) | x2 y2 2(x y) 和
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan
3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成 解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等 比数列，所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.
2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)
2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛一、选择题（每小题6分，共36分）1．设A 、B 、C 为三个集合．则“B 、C 均为A 的子集”是“C B C A B A =)()(成立”的（ ）条件．（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要2．方程221||x x y -+=表示的曲线为（ ）（A ）一个圆 （B ）两个半圆 （C ）一个椭圆 （D ）以上结论均不对3．用][x 表示不超过实数x 的最大整数．则方程01][2=--x x 共有（ ）个不同的实根．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．方程x x x x 11753=++共有（ ）个不同的实根．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35．在正方体的十二条面对角线和四条体对角线中随机地选取两条对角线．则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于（ ）（A ）307 （B ）209 （C ）157 （D ）以上结果均不对 6．设△ABC 的周长为12，内切圆半径为1.则（ ）（A ）△ABC 必为直角三角形 （B ）△ABC 必为锐角三角形（C ）△ABC 必为直角三角形或锐角三角形 （D ）以上结论均不对二、填空题（每小题9分，共54分）7．在正四棱锥P -ABCD 中，四个侧面均为等边三角形，设该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小为θ，则=θtan8．设n A 、n B 分别为等差数列}{n a 、}{n b 的前项之和．若935+-=n n B A n n ，则=88b a 9．设O 为原点，A 为抛物线1412+=y x 上的动点，B 为抛物线42+=x y 上的动点．则△OAB 面积的最小值为10．设∑==201512k k k s ．则s 除以100的余数为11．设复数74sin 74cos ππi z +=．则|111|63422zz z z z z +++++的值为 （用数字作答）12．设a 、b 、c 、d 均为实数，满足10432=+++d c b a ．则22222)(d c b a d c b a +++++++的最小值为三、解答题（每小题20分，共60分）13．设21)(-+=x x x f ．证明：对任意的]1,22(∈x ，有x x f f <<))((22． 14．已知正△ABC 内接于抛物线2y x =，△ABC 的重心P 落在双曲线1=xy 上．求点P 的坐标．15．设11=a ，82=a ，,3,2(411=+=-+n a na a n n n …）． 证明：（1）存在常数0>C ，使得对任意正整数n ，有2Cn a n ≤．（2）对任意正整数n ，有341+≤-+n a a n n ．2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛参考答案一、选择题CBCBBD二、填空题7．2；8．3；9．2；10．6；11．2；12．1．三、解答题13．因为当)1,0(∈x 时，有011)(2<-='xx f ，所以，)(x f 在区间]1,0(上严格单调递减． 于是，对任意的]1,22(∈x ，有22)22()()1(22=<≤=-f x f f ．……………5分 再由)(x f 在区间]1,0(上严格单调递减，知对任意的]1,22(∈x ，有22)22())((=>f x f f ．………………10分 对任意的]1,22(∈x ， 0222111)((<--++⇔<xx x x x f f 012362223>-+-⇔x x x ………………15分 令123622)(23-+-=x x x x g ． 对任意的]1,22(∈x ，有 0)12(23)(2>-='x x g ． 故x x f f g x g <⇒=>))((0)22()(．………………20分 14．设),(121y y A ，),(222y y B ，),(323y y C ，AB 、BC 的中点分别为F 、D ．则△ABC 为正三角形当且仅当1y 、2y 、3y 互不相等，且BC AD ⊥，AB CF ⊥．于是，)2,2(322322y y y y D ++． 再由BC AD ⊥，32y y ≠，得0)2)(()2)((132322123222322=-+-+-+-y y y y y y y y y y 0)2()2)((132********=-++-++⇒y y y y y y y y ①类似地，由AB CF ⊥，32y y ≠，得0)2()2)((32123222121=-++-++⇒y y y y y y y y ②①－②得0)(3)2)(()(3)(13312213212323133=-++-+-+-y y y y y y y y y y y y03)(3)(133221232221=++++++⇒y y y y y y y y y ③设),(y x P ，则3232221y y y x ++=，3321y y y y ++= 故由式③得029032393322=+-⇒=+-⨯+x y x y x ． 又由xy xy 11=⇒=，代入上式化简整理得 09223=--x x 30)3)(3(2=⇒=++-⇒x x x x 因此，)31,3(P ． 15．（1）记2n a b n n =．则 11=b ，22=b ，,3,2()1(4)1()1(21221=+++-=-+n b n n b n n b n n n …）．………………5分 下面用数学归纳法证明：对任意的正整数n ，有2≤n b ．当=n 1，2时，2≤n b ．设,2,1(2=≤k b k …),n ．则n n n b n n b n n b 21221)1(4)1()1(+++-=-+ 22)1(42)1()1(222=⨯++⨯+-≤n n n n 因此，结论成立．于是，取C =2，对任意正整数n ，有2Cn a n ≤．………………10分（2）由（1）得)()1(12n n b b n -++,3,2)(()1(12=---=-n b b n n n …）． 记,2,1(1=-=+n b b c n n n …）．则11=c,3,2()1()1(221=+--=-n n n c c n n …）． 于是，对任意的正整数n ，∏∏-=-=++-===11221111])2([n k n k k k n n k k c c c c c 221)1(4)1(+-=-n n n ……………………15分 因此，当1>n 时，n n n n b n b n a a 2121)1(-+=-++n n b n n c n ])1[()1(222-+++= n n b n n)12(4)1(21++-=- 342)12(1+=⨯++≤n n 又当1=n 时，34712+==-n a a ，故对任意的正整数n ，有341+≤-+n a a n n ． ……………………20分。
2015全国高中数学联赛天津预赛试题及标准答案(2015.7.4)PDF
2015年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准一、选择题(每小题6分，共36分)1.设A ,B 和C 是三个集合，则B 和C 都是A 的子集是(A ∩B )∪(A ∩C )=B ∪C 成立的().(A)充分条件，但不是必要条件(B)必要条件，但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件解如果B 和C 都是A 的子集，则A ∩B =B ,A ∩C =C ,从而(A ∩B )∪(A ∩C )=B ∪C 成立；反过来，如果(A ∩B )∪(A ∩C )=B ∪C 成立，则由A ∩B 和A ∩C 都是A 的子集知B ∪C 是A 的子集，即B 和C 都是A 的子集.故选(C).2.方程|y |=1+√2x −x 2表示的曲线是().(A)一个圆(B)两个半圆(C)一个椭圆(D)以上结论都不对解由方程|y |=1+√2x −x 2得y =1+√2x −x 2以及y =−1−√2x −x 2,分别表示圆心在(1,1),半径为1的介于(0,1),(2,1)之间的上半圆周以及圆心在(−1,−1),半径为1的介于(0,−1),(2,−1)之间的下半圆周.故选(B).3.用[x ]表示不大于x 的最大整数，方程x 2−[x ]−2=0共有()个不同的实根.(A)1(B)2(C)3(D)4解由[x ] x 和x 2−[x ]−2=0得x 2−x −2 0,故x ∈[−1,2].于是[x ]只能为−1,0,1,2.当[x ]=−1时，解得x =−1;当[x ]=0时无解;当[x ]=1时，解得x =√3;当[x ]=2时，解得x =2.因此方程x 2−[x ]−2=0的实根为−1,√3,2.故选(C).4.方程3x +5x +7x =11x 共有()个不同的实根.(A)0(B)1(C)2(D)3解令f (x )=(︀3)︀x +(︀5)︀x +(︀7)︀x−1,则方程3x +5x +7x =11x 等价于方程f (x )=0.注意到f (0)=2>0,f (2)=−38<0,可知方程f (x )=0在(0,2)中有一个实根.因为f (x )在(−∞,+∞)上严格单调递减，所以方程f (x )=0恰有唯一实根.故选(B).参考答案与评分标准第1页5.在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于().(A)730(B)920(C)715(D)以上结果都不对解在正方体的12条面对角线和4条体对角线中选取两条对角线的取法有C216=16·152=120种.两条对角线所在的直线为异面直线时，这两条对角线至少有一条是面对角线.任取一条面对角线，在其余11条面对角线中，有5条面对角线与该对角线异面.又因为是成对计算数目，所以这种情形下共有12·52=30对异面直线.任取一条面对角线，在4条体对角线中，有2条体对角线与该对角线异面，因此这种情形下共有12·2=24对异面直线.于是随机选取的两条对角线所在的直线为异面直线的概率是30+24120=920.故选(B).6.设△ABC的周长为12,内切圆的半径为1,则().(A)△ABC必为直角三角形(B)△ABC必为锐角三角形(C)△ABC必为直角三角形或锐角三角形(D)以上结论都不对解因为△ABC的周长为12,所以△ABC的内切圆的半径为1当且仅当△ABC的面积为122·1=6.于是有方程组⎧⎪⎨⎪⎩12ab sin C=6,a+b+√a2+b2−2ab cos C=12.由后一个方程得a2+b2−2ab cos C=a2+b2+144+2ab−24a−24b,整理化简得a+b=6+112ab(1+cos C).由前一个方程得ab=12sin C ,代入上式得a+b=6+1+cos Csin C,于是a和b是方程x2−(︂6+1+cos Csin C)︂+12sin C=0的两个根.特别地，C=90∘时，解得a,b为3,4,此时c=5,方程的判别式Δ=72−4·12=1.C由90∘增加一个非常小的角度，可以使得方程的判别参考答案与评分标准第2页式Δ仍大于0,这时仍可由方程组解出a,b，再得到c,这时三边长与3,4,5也相差很小.因此，有钝角三角形满足周长为12,内切圆的半径为1.故选(D).二、填空题(每小题9分，共54分)1.在正四棱锥P−ABCD中，四个侧面都是等边三角形，设该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小为θ，则tanθ等于.解不妨设P A=1,M是AB的中点，O是正方形ABCD的中心.连结P M,MO, OP.因为P M⊥AB,OM⊥AB,所以∠P MO就是侧面P AB与底面ABCD所成的二面角.因为OM=12,P M=√32,所以OP=√P M2−OM2=√22.因此tanθ=tan∠P MO=OPOM=√2.故tanθ等于√2.2.设{a n}和{b n}都是等差数列，A n,B n分别是{a n},{b n}的前n项之和，已知A nB n=5n−3n+9,则a8b8等于.解设{a n}的公差为d1,{b n}的公差为d2,则由A nB n=5n−3n+9得a1+12(n−1)d1b1+12(n−1)d2=5n−3n+9.设d2=d,则d1=5d,进一步得到a1=d,b1=5d.于是有a8 b8=d+7·5d5d+7·d=36d12d=3.故a8b8等于3.3.设O是原点，点A是抛物线x=14y2+1上的一个动点，点B是抛物线y=x2+4上的一个动点，则△OAB的面积的最小值为.参考答案与评分标准第3页解设A(s2+1,2s),B(t,t2+4),则S△OAB=12⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒001s2+12s1t t2+41⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒=12[︀(s2+1)(t2+4)−2st]︀=12(︀s2t2+4s2−2st+t2+4)︀12·4=2.其中当s=t=0时等式成立.因此，△OAB的面积的最小值为2.4.设s=2015∑︀k=1k·2k,则s除以100的余数是.解由s=2015∑︀k=1k·2k得2s=2015∑︀k=1k·2k+1=2016∑︀k=1(k−1)·2k,从而有s=2s−s=2016∑︁k=1(k−1)·2k−2015∑︁k=1k·2k=2015·22016−2015∑︁k=12k=2014·22016+2.由210=1024可见当正整数n>1时，220+n−2n=2n·1025·1023是100的倍数,从而22016除以100与216除以100有相同的余数.再由216除以100的余数是36知s除以100的余数等于14·36+2除以100的余数，结果为6.故s除以100的余数是6.5.设复数z=cos4π7+i sin4π7,则⃒⃒⃒z1+z2+z21+z4+z31+z6⃒⃒⃒的值为(用数字作答).解由z=cos4π7+i sin4π7知z满足方程z7−1=0.又由z7−1=(z−1)(z6+z5+z4+z3+z2+z+1)和z=1知z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0.z1+z2+z21+z4+z31+z6通分后，分母为(1+z2)(1+z4)(1+z6)=1+z2+z4+z6+z6+z8+z10+z12=1+z2+z4+z6+z6+z+z3+z5=z6,参考答案与评分标准第4页分子为z(1+z4)(1+z6)+z2(1+z2)(1+z6)+z3(1+z2)(1+z4) =(1+z4)(z+1)+(1+z2)(z2+z)+(1+z2)(z3+1)=1+z+z4+z5+z+z2+z3+z4+1+z2+z3+z5=2(1+z+z2+z3+z4+z5)=−2z6.于是z1+z2+z21+z4+z31+z6=−2z6z6=−2,故⃒⃒⃒z1+z2+z21+z4+z31+z6⃒⃒⃒的值为2.6.设a,b,c,d都是实数，a+2b+3c+4d=√10,则a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2的最小值是.解由a+2b+3c+4d=√10得(1−t)a+(2−t)b+(3−t)c+(4−t)d+t(a+b+c+d)=√10.再由柯西不等式得[︀(1−t)2+(2−t)2+(3−t)2+(4−t)2+t2]︀·[︀a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2]︀10.因此有a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2105t2−20t+30=105(t−2)2+101010=1,其中等式成立当且仅当t=2,a=−√1010,b=0,c=√1010,d=√105.故a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2的最小值是1.三、解答题(每小题20分，共60分.每小题只设0分，5分，10分，15分，20分五档)1.设f(x)=x+1x−√2,证明：对任意x∈(︁√22,1]︁,有√22<f(f(x))<x.参考答案与评分标准第5页证因为当x ∈(0,1)时，有f ′(x )=1−1x 2<0,所以f (x )在(0,1]上严格单调递减.于是对任意x ∈(︁√2,1]︁,有2−√2=f (1) f (x )<f (︃√22)︃=√22.........................(5分)再由f (x )在(0,1]上严格单调递减知对任意x ∈(︁√22,1]︁,有f (f (x ))>f(︃√22)︃=√22........................(10分)对任意x ∈(︁√22,1]︁,f (f (x ))<x 当且仅当1x +1x +1x −√2−2√2<0.这又等价于对任意x ∈(︁√22,1]︁,有2√2x 3−6x 2+3√2x −1>0........................(15分)令g (x )=2√2x 3−6x 2+3√2x −1,则g(︁√22)︁=0.因为对任意x ∈(︁√22,1]︁,有g ′(x )=6√2x 2−12x +3√2=3√2(︁2x 2−2√2x +1)︁=3√2(︁√2x −1)︁2>0,所以g (x )在[︁√2,1]︁上严格单调递增.因此对任意x ∈(︁√2,1]︁,有g (x )>g (︁√2)︁=0.这样就证明了对任意x ∈(︁√22,1]︁,有f (f (x ))<x ...................(20分)2.已知正三角形ABC 内接于抛物线x =y 2,△ABC 的重心P 落在双曲线xy =1上，求点P 的坐标.解设A (y 21,y 1),B (y 22,y 2),C (y 23,y 3),AB 和BC 的中点分别为F 和D ,则△ABC 是正三角形当且仅当y 1,y 2,y 3互不相等，且AD ⊥BC ,CF ⊥AB .点D 的坐标为(︁y 22+y 232,y 2+y 32)︁,故由AD ⊥BC 得(y 22−y 23)(︂y 22+y 232−y 21)︂+(y 2−y 3)(︂y 2+y 32−y 1)︂=0,参考答案与评分标准第6页再由y2=y3得(y2+y3)(y22+y23−2y21)+(y2+y3−2y1)=0.同理由CF⊥AB得(y1+y2)(y21+y22−2y23)+(y1+y2−2y3)=0.........................(5分)上面两式相减，得(y33−y31)+3y2(y23−y21)+(y3−y1)(y22+2y1y3)+3(y3−y1)=0,再由y1=y3,将上式整理化简得(y21+y22+y23)+3(y1y2+y2y3+y3y1)+3=0........................(10分)设点P的坐标为(x,y),则x=y21+y22+y233,y=y1+y2+y33,故由上式得3x+3·9y2−3x2+3=0,整理化简得9y2−x+2=0...................(15分)又由xy=1得y=1x,代入上式整理化简得方程x3−2x2−9=0.因为x3−2x2−9=(x−3)(x2+x+3),所以方程x3−2x2−9=0只有一个实根x=3.因此，点P的坐标为(︀3,13)︀...................(20分)3.设a1=1,a2=8,a n+1=a n−1+4na n,n=2,3,···.(1)证明：存在常数C>0,使得对任意正整数n,有a n Cn2.(2)证明：对任意正整数n,有a n+1−a n 4n+3.证(1)记b n=a nn2,则b1=1,b2=2,(n+1)2b n+1=(n−1)2b n−1+4nb n, n=2,3,···,故b n+1=(n−1)2(n+1)2b n−1+4n(n+1)2b n,n=2,3,···.参考答案与评分标准第7页下面用数学归纳法证明对任意正整数n,有b n 2.当n=1和n=2时，b n 2成立.设b k 2,k=1,2,···,n,则b n+1=(n−1)2(n+1)2b n−1+4n(n+1)2b n(n−1)2(n+1)2·2+4n(n+1)2·2=2.因此由数学归纳法知对任意正整数n,有b n 2.于是取C=2,对任意正整数n,有a n Cn2....................(5分)注也可取C 2,直接用数学归纳法证明对任意正整数n,有a n Cn2.(2)由(n+1)2b n+1=(n−1)2b n−1+4nb n,n=2,3,···得(n+1)2(b n+1−b n)=−(n−1)2(b n−b n−1),n=2,3,···.记c n=b n+1−b n,n=1,2,···,则c1=1,c n c n−1=−(n−1)2(n+1)2,n=2,3,···........................(10分)于是对任意正整数n,有c n=c nc1=c nc n−1·c n−1c n−2···c2c1=[︂−(n−1)2(n+1)2]︂·[︂−(n−2)2n2]︂···[︂−1232]︂=(−1)n−1·4n2(n+1)2........................(15分)因此当n>1时，有a n+1−a n=(n+1)2b n+1−n2b n=(n+1)2c n+[︀(n+1)2−n2]︀b n=(−1)n·4n2+(2n+1)b n 1+(2n+1)·2=4n+3.又当n=1时，a2−a1=7=4n+3,故对任意正整数n,有a n+1−a n 4n+3...................(20分)参考答案与评分标准第8页。
2015高中数学全国联赛b卷试题及答案
2015高中数学全国联赛b卷试题及答案一、选择题（每题8分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2+ax+b，且f(1)=0，f(3)=0，则a+b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：根据题意，f(1)=0，f(3)=0，代入函数f(x)=x^2+ax+b得1+a+b=0，9+3a+b=0，解得a=-6，b=5，所以a+b=-1。
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2=3，且对于任意的正整数n，有an+1=2an+Sn，则数列{an}的通项公式为（）A. an=2^n-1B. an=2^nC. an=2^(n-1)D. an=2^n+1答案：A解析：由题意可得a2=2a1+a1=3，a3=2a2+a1=7，a4=2a3+a2=17，可得an=2^n-1。
3. 设f(x)=x^3-3x，g(x)=x^2-2x+3，若方程f(x)-g(x)=0的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：f(x)-g(x)=x^3-x^2-3x-3=(x+1)(x^2-2x-3)=(x+1)^2(x-3)，所以方程f(x)-g(x)=0的实根个数为3。
4. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a^2+b^2+c^2=9，若三角形ABC的面积为S，则S的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由余弦定理可得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2+c^2=9，可得cosA+cosB+cosC=1/2，由正弦定理可得S=1/2bcsinA=1/4*sqrt(4b^2c^2-(b^2+c^2-9)^2)≤3，当且仅当b=c=sqrt(3)时取等号。
5. 设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，若f(-2)=0，f(1)=0，f(2)=8，则a+b+c的值为（）A. 0B. -4C. 4D. 8答案：C解析：由题意可得-8+4a-2b+c=0，1+a+b+c=0，8+8a+2b+c=8，解得a=1，b=-4，c=2，所以a+b+c=-1。