2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试理科数学试题

2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试

理科数学

本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合1|

<222x A x ??=≤????，1|ln()02B x x ??

=-≤????

，则()A B =R I e A ． ? B ．11,2?

?- ??

?

C ．1,12

?????

?

D ．(]1,1-

2. 棣莫弗公式(cos isin )cos isin n

x x nx nx +=+(i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cos

isin )55

ππ

+在复平面内所对应的点位于 A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线023=+-a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是

A ． 247<<-a

B ．7=a 或24=a

C ．7a <或24>a

D ．724<<-a

4. 已知1()3,1,

()2

,1,x a x a x f x a x ?

-+

? ???

C.11,

62?????? D ．1,16??

????

5. 在ABC ?中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，，1AD =u u u r ，则AC AD ?u u u r u u u r =

A

． B

C

D

6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1

的正

BC =u u u r BD u u u r

方形, 则此四棱锥的体积为

A B ． C ．

1

3

D ． 7．在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且01>a ，若n S 取得最大值，则n 为

A ．20

B ．21

C ．22

D ．23

8．已知抛物线x y 82

=，过点(2,0)A 作倾斜角为π

3

的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为

A ．

163 B ．8

3

D. 9．已知函数π()sin()(0,||)2f x x ω?ω?=+><

的最小正周期是π，把它图象向右平移π

3

个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论： ①函数()f x 的图象关于直线5π12x =

对称 ②函数()f x 的图象关于点π

(,0)12

对称 ③函数()f x 在区间ππ,212??-

-????上单调递减 ④函数()f x 在π3π,42??

????

上有3个零点 其中所有正确结论的编号是

A ．①②

B ．③④

C ．②③

D ．①③

10.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以3:1获胜的概率是 A ．0.0402 B ．0.2592 C ．0.0864 D ．0.1728

11．设)(x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当]3,2[∈x 时，x x f =)(，则]0,2[-∈x 时，)

(x f 的解析式为

A ．|1|2)(++=x x f

B ．|1|3)(+-=x x f

C ．x x f -=2)(

D ．4)(+=x x f

12．如图,长方体1111ABCD A B C D -中, E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点．直线1DB 与平面EFC 的交点O ,则

1

DO

OB 的值为 A ．

45 B ．35 C ．1

3

D ．23 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13．已知x 轴为曲线3

()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为 ． 14. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -=________.

15．某市公租房的房源位于A ,B ,C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________.

16．在平面直角坐标系中，过椭圆22

221x y a b

+=( a b >>0)的左焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，

C 为椭圆的右焦点，且ABC ?是等腰直角三角形，且90A ∠=?，则椭圆的离心率为 ．

三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2

sin sin sin B A C =． （1）求证：π

03

B <≤

； （2）求2

2sin sin 12

A C

B ++-的取值范围.

A

如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，

2AD =．

（1）在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ?请证明你的结论； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知椭圆22

:

1124

x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点. （1）求AMB ∠的最大值，并证明你的结论； （2）设直线AM 的斜率为k ，且11

(,)23

k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围.

20．（本小题满分12分）

已知函数()ln(1)f x x =+,()e x

g x =（e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()()x a

x f x x

?+=-

在定义域内极值点的个数； （2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点00(,)A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．

A

D

B

C

S

2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）.

（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：

由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布2(,15.2)N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70≥）的患者比例；

（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （120n <<且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值．

参考数据：若~Z ),(2σμN ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，

(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9973P Y μσμσ-<<+=，

40.90.66≈，0.590.95≈，0.350.910≈.

（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos sin x t y t αα=??=?，（t 为参数，π

02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ

=??

=?，（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；

（2）已知直线2l ：π

=6

θρ∈R ()与圆2C

：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记△AOB 的面积为1S ，△2COC 的面积为2S ，求

12

21

S S S S +的值.

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知()2f x x a =-.

（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；

（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2

()++1

f x x m a <-有实数解，求实数m 的取值范围.